Mathematische Grundlagen für Wirtschaftswissenschaftler Übungsaufgaben aus Kapitel 3 - Lineare Optimierung

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1 Mathematische Grundlagen für Wirtschaftswissenschaftler Übungsaufgaben aus Kapitel 3 - Lineare Optimierung Sascha Kurz Jörg Rambau 24. November 2009

2 2 Aufgabe 3.1. Ein in m Depots gelagertes homogenes Gut wird von n Kunden bestellt. Der Transport der bestellten Mengen ist so zu organisieren, dass die insgesamt entstehenden Transportkosten möglichst klein werden. Bezeichnungen: a i = Lagerbestand des i -ten Depots, b j = Anzahl der vom j -ten Kunden bestellten Einheiten, c i,j = Kosten für den Transport einer Einheit vom i -ten Depot zum j -ten Kunden, x i,j = Anzahl der vom i -ten Depot zum j -ten Kunden transportierten Einheiten. Stellen Sie ein lineares Programm auf, welches die gesamten Transportkosten minimiert. Hierbei sollen alle bestellten Mengen ausgeliefert werden und die in den Depots vorhandenen Bestände nicht überschritten werden. Aufgabe 3.2. Die Potage and Leftover Limited stellt zwei verschiedene Sorten Soljanka A und B her. Neben den Standartzutaten Gewürzgurken, Pilzen und Fleischbrühe werden die Zutaten Speck, Paprika und Tomatenmark in unterschiedlichen Mengenverhältnissen verwendet. Eine Einheit von Soljanka A enthält zwei Einheiten Paprika, 4 E Speck und 1 E Tomatenmark. Eine Einheit von Soljanka B enthält 3 E Paprika, 1 E Speck und 1 E Tomatenmark. Beim Verkauf einer Einheit Soljanka A erzielt die Firma einen Gewinn von 5, der Verkauf von einer Einheit B bringt 4 Gewinn. Die Firma kann maximal E Paprika, E Speck und E Tomamtenmark beschaffen. Bei den weiteren Zutaten gibt es keinerlei Beschränkung im Einkauf. Formulieren Sie das Problem, einen Produktionsplan mit maximalem Gewinn zu bestimmen, als lineares Programm. Aufgabe 3.3. Eine Großmolkerei wird monatlich mit 24 Millionen Liter Milch beliefert, die zu Quark und Käse verarbeitet werden. Für die Herstellung von 1 kg Quark werden 4 Liter, für die von 1 kg Käse 12 Liter Milch benötigt. Ferner dürfen aus technischen Gründen die produzierten Massen an Quark und Käse zusammen Tonnen nicht übersteigen. Außerdem müssen aufgrund von Lieferverpflichtungen mindestens Tonnen Quark und 500 Tonnen Käse produziert werden. Pro Kilogramm Quark verdient die Molkerei nach Abzug aller Produktionskosten 10 Cent, bei einem Kilo Käse sind es 20 Cent. 1. Formulieren Sie ein lineares Programm, das den monatlichen Gewinn der Molkerei maximiert. 2. Zeichnen Sie in ein zweidimensionales Koordinatensystem den zulässigen Bereich, den Zielfunktionsvektor und eine Isogewinngerade ein. (Platzbedarf etwa 8 cm 6 cm, wenn 1 cm Tausend Tonnen entspricht und die Quarkvariable auf der x -Achse abgetragen wird) 3. Ermitteln Sie die Optimallösung aus der Zeichnung. Aufgabe 3.4. Um seine angespannte Finanzlage zu verbessern, möchte ein Arbeitnehmer besserbezahlte Nacht- und Sonntagsschichten übernehmen. Der

3 3 Mehrverdienst pro Stunde beträgt bei einer Nachtschicht 4, bei einer Sonntagsschicht 3. Von Gesetzes wegen darf er wöchentlich aber höchstens 9 Stunden in Sonderschicht arbeiten. Außerdem schreibt eine betriebsinterne Regelung vor, dass pro Woche nicht mehr als 24 Sonderbelastungspunkte anfallen dürfen, wobei eine Stunde Nachtschicht mit 3 und eine Stunde Sonntagsarbeit mit 2 Sonderbelastungspunkten angerechnet wird. 1. Stellen Sie ein lineares Programm auf, dessen Lösung angibt, wieviele Stunden der Arbeitnehmer wöchentlich in Nacht- und Sonntagsschicht arbeiten sollte, um seine Zusatzeinnahmen unter Einhaltung der genannten Regelungen zu maximieren. 2. Zeichnen Sie in ein zweidimensionales Koordinatensystem den zulässigen Bereich, den Zielfunktionsvektor und eine Isogewinngerade ein. (Platzbedarf etwa 13 cm 9 cm, wenn 1 cm einer Stunde entspricht und die Sonntagsschichten auf der x -Achse angetragen werden) 3. Ermitteln Sie die Optimallösung aus der Zeichnung. Aufgabe 3.5. Die Slip Rollers OHG, ein Papierfabrikant, stellt Papierrollen mit einer Standardbreite von 105 cm und einer Länge von L cm her. Die Kunden verlangen jedoch Rollen mit geringerer Breite (aber derselben Länge L). Es liegen folgende Aufträge vor: 100 Rollen mit Breite 25 cm, 125 Rollen mit Breite 30 cm, 80 Rollen mit Breite 35 cm. Zur Erledigung der Aufträge werden Standardrollen zerschnitten. Z. B. kann der Fabrikant aus einer Papierrolle mit Standardbreite zwei Rollen von je 35 cm Breite und eine Rolle von 30 cm Breite schneiden. Ziel des Fabrikanten ist die Minimierung der Zahl an Rollen, die zerschnitten werden müssen. Formulieren Sie dieses Problem als lineares Programm. Aufgabe 3.6. Maximieren Sie die Zielfunktion unter den Nebenbedingungen z(x 1,x 2,x 3 ) = 5x 1 + 5x 2 + 3x 3 x 1 + 3x 2 + x 3 3 x 1 + 3x 3 2 2x 1 x 2 + 2x x 1 + 3x 2 x 3 2 x 1, x 2, x 3 0

4 4 Aufgabe 3.7. Lösen Sie das folgende lineare Programm. max 6x 1 + 4x 2 + x 3 + 2x 4 s. d. 3x 1 + 2x 3 4x 4 6 x x 2 + 5x 3 + 5x x 1 + 6x 2 4x 3 4 x 1, x 2, x 3, x 4 0 Wie lautet das duale lineare Programm? Aufgabe 3.8. Zeichnen Sie jeweils den durch die folgenden Ungleichungen beschriebenen Bereich des 2. Beachten Sie, dass der beschriebene Bereich auch die leere Menge sein kann. x 1 + 2x 2 2 a) 2x 1 3x 2 2, b) x 1,x 2 0 x 1 + 4x 2 8 3x 1 + 4x 2 12 x 1 x 2 2 x 1,x 2 0 Aufgabe 3.9. Zu passenden Vektoren I, J,C,D,X,Y,U,V und Matrizen A, B,C,D, F,G ist das duale des linearen Programms max C T X + D T Y AX + BY I F X + G Y = J X 0 gegeben durch min I T U + J T V A T U + F T V C B T U + G T V = D U 0 Bestimmen Sie damit das duale des linearen Programms max 3x 1 + 4x 2 + 2y x 1 5x 2 + 4y 20 6x 2 y = 10. 2x 1 + 3x 2 = 15 x 1,x 2 0 Aufgabe Bringen Sie das Lineare Programm min 35x x x 3 11x 1 + 3x 2 + 2x 3 1 5x 2 + 7x 3 1 x 1, x 2, x 3 0. in die Form maxc T X, AX B, X 0 und lösen Sie es..

5 5 Aufgabe Sind die folgenden Behauptungen über lineare Programme in der Standard-Maximierungsform korrekt? max C T X AX B X 0 mit B 0 1. Führt man Schlupfvariablen ein und bestimmt dann eine Optimallösung, so sind in dieser alle Schlupfvariablen gleich null. 2. Ist der Zielfunktionskoeffizient zu einer Variable positiv und tritt diese in den Nebenbedingungen nur mit negativen Koeffizienten auf, so ist das Problem unbeschränkt, d. h. jeder noch so große Zielfunktionswert kann unter Einhaltung der Nebenbedingungen erreicht werden. 3. Ist der Zielfunktionskoeffizient zu einer Variable negativ, so kann die Variable nicht in einer optimalen Basis vorkommen. 4. Gibt es keine Optimallösung, so existiert auch keine zulässige Lösung. 5. Sind alle in C, A und B vorkommenden Zahlen größer null, so gibt es eine Optimallösung und der Optimalwert ist ebenfalls größer null. 6. Jedes beliebige LP läßt sich in die oben angegebene Standard-Maximierungsform bringen. 7. Ist das LP unbeschränkt, so ist das duale Programm unzulässig. 8. Ist das duale Programm des LP unzulässig, so ist das LP selbst unbeschränkt.