Maximiere Gesamtgewinn aus verschiedenen Produkten unter Restriktionen an Produktmenge (Lagermenge, Transportmenge)

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1 Beispiel: Produktionsplanung Maximiere Gesamtgewinn aus verschiedenen Produkten unter Restriktionen an Produktmenge (Lagermenge, Transportmenge) Produktionskapazität Ressourcenmenge bei als fest angenommenem Preis und unbegrenztem Absatz. Etwa im Beispiel 1.16: Ist beispielsweise bekannt, dass je Mengeneinheit von Produkt 1 ein Gewinn von 3 Euro und bei Produkt von 4 Euro pro Mengeneinheit, erzielt wird, so lautet der Ansatz zur Bestimmung des gewinnoptimalen Plans: Maximiere 3 a[1] + 4 a[] in (a[1], a[]) : Schreibweise 3a[1] + 4a[] über (a[1], a[]) T A, also a[1] + a[] 1 5a[1] + 1a[] 3.5a[] 15 a[1] a[] max a[1],a[] In der Tat handelt es sich um ein lineares Programm; sowohl die Zielfunktion als auch die Restriktionen sind linear in den zwei Variablen a[1] und a[]. Grundlegende Idee zur graphischen Lösung von Optimierungsproblemen: Höhenlinie, also Bereiche mit gleichem Wert der Zielfunktion suchen. Höhenlinie c 1 a[1] + c a[] = c Hyperebene mit Senkrechter λ ( c1 c ) Von oben nach unten schieben, bis sie zum ersten Mal berührt (in Ecke, oder an Kante) Maximiere 3 a[1] + 4 a[] in (a[1], a[]) : 3a[1] + 4a[] max a[1],a[] 1

2 3a[1] + a[] 1 5a[1] + 1a[] 3.5a[] 15 a[1] a[] d = 3 a[1] + 4 a[] d = a[1], a[] = ; Punkte im Verhältnis 3 : 4, z.b. (3, 4) senkrechte runterschieben: schneidet bei C = (3, 15), also lautet die Optimallösung a[1] = 3, a[] = 15. Als optimaler Wert der Zielfunktion (maximaler Gewinn) ergibt sich = 15. In der Tat ist C ein Extremalpunkt, vgl. Bsp. 1. und Bem... Man bilde das duale Problem zu dem Optimierungsproblem aus Beispiel Das duale Standard-Minimum-Problem zu dem Standard-Maximum-Problem 3a[1] + 4a[] max a

3 3a[1] + a[] 1 5a[1] + 1a[] 3 a[1] +.5 a[] 15 a[1] a[] lautet 1u[1] + 3u[] + 15u[3] min 3u[1] + 5u[] + u[3] 3 (I) u[1] + 1u[] +.5u[3] 4 (II) u[1] (III) u[] (VI) u[3] (V) Eine Möglichkeit, das Dualitätsproblem zu lösen, besteht daran, alle ( 5 3) Extremalpunkte zu bestimmen und die Zielfunktion dort auszuwerten. Man kann die Suche abkürzen, wenn man die Lösung des Primalproblems bereits kennt. Gemäß.5 ergibt sich ja für das Optimum der Zufallsfunktion des dualen Problems der selbe Wert. Die späteren Überlegungen zu Schattenpreisen und komplementärem Schlupf zeigen ferner, dass für das Optimum u [3] = gelten muss: Startet man glücklicherweise gleich mit dem Eckpunkt aus den Gleichungen (I), (II), (V ), so erhält man I : 3u [1] + 5u[] = 3 II : u [1] + 1u[] = 4 ( ) I : 6u [1] 1u[] = 6 ( ) I + II : 4u [1] = u 1 [1] = 1u [] = 4 1 u 3 [] = 1 ( ) I + II : 4u [1] = u [1] = 1 1u [] = 4 1 u [] = 3 1 Dies liefert u [1] = 1, u [] = 3, 1 u [3] =, was einen Wert der Zielfunktion von = 15 produziert. Da dies das Optimum darstellt (vgl. Primzalproblem), ist 1 3

4 u [1] = 1, u [] = 3 1, u [3] = eine Optimallösung. Im Beispiel.6 erkennt man also mit u [1] = 1, u [] = 3 1, u[3] =, dass eine weitere Maschinenstunde den Gewinn um eine halbe Einheit erhöht und eine Erhöhung der Rohstoffmenge um eine Einheit eine Gewinnerhöhung von.3 Einheiten mit sich bringt, während eine Erhöhung der Arbeitszeit ohne Effekt bliebe, da diese Nebenbedingung ohnehin die Optimallösung nicht scharf restringiert. ( klar: wird im Optimum die Arbeitskapazität ohnehin nicht ausgeschöpft, so würde man natürlich nicht bereit sein, für eine Lockerung dieser Restriktion zu bezahlen.) (Hingegen sind die anderen beiden Restriktionen in der Tat scharf, vgl. den späteren Satz vom komplementären Schlupf.) Betrachtet man wieder das Beispiel.6, so lautet das Standard-Maximum-Problem in kanonischer Form 3a[1] + a[] max u[1],u[] Für die Optimallösung ergibt sich gemäß oben: und damit 3a[1] + a[] + a s [1] = 1 5a[1] + 1a[] + a s [] = 3.5a[] + a s [3] = 15 a[1] a[] a s [1] a s [] a s [3]. a[1] = 3, a[] = 15 a s[1] = = a s[] = = a s[3] = = 5 Man erkennt also, dass die dritte Restriktion an der Optimallösung nicht ausgeschöpft wird. Die Firma könnte also die verbleibende Arbeitskraft in anderen Bereichen einsetzen. Für die Optimallösung des primalen-problems gilt: a[1] 3 a[] a s[1] a s[] = 15. a s[3] 5 4

5 Bringt man das duale Problem 1u[1] + 3u[] + 15u[3] min u[1],u[],u[3] 3u[1] + 5u[] + u[3] 3 u[1] + 1u[] +.5u[3] 4 in die kanonische Form, so ergibt u[1] u[] u[3] 1u[1] + 3u[] + 15u[3] min u[1],u[],u[3] 3u[1] + 5u[] + u[3] u s [1] = 3 u[1] + 1u[] +.5u[3] u s [] = 4. u[1] u[] u[3] u s [1] u s [] Mit den Optimallösungen u[1] = 1, u[] = 3 1 und u[3] = erhält man also u[1] u[] u[3] u s[1] u s[] = In der Tat ist damit: ( a[1] a[]. ( ) ( us [1] u s [] ) ( 3 1 u s[1] = 4 u s [1] = u s [] = 3 ) + ) + u s [] =, a s[1] a s[] a s[3] 5 u[1] u[] u[3] 1/ 3/1 = =. 5

6 w su = klar bei Interpretation über Schattenpreise. Dort wo bei der optimalen Aktion bei der Restriktion noch Spiel ist, ist der Schattenpreis. Da das duale Problem des dualen Problems wieder das primale Problem bildet, gilt die analoge Aussage für die Schattenpreise des dualen, also die Optimallösung des primalen Problems. 6