Aufgabe 102. Gegeben sind die folgenden Punktmengen 2 R 2 2 R M 1 D. x 2 M 2 D. x 2 W x 1 2.0;1/ ; x 2 = 0 M 3 D. x 2 W x 1 C x 2 D 0 ; x 1 x 2 D 1

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1 Aufgabe 0 Lineare Algebra: Punktmengen (A4.5) Gegeben sind die folgenden Punktmengen R M D M D M 3 D M 4 D x x x x W R x W x N ; x D x R x W x.0;/ ; x = 0 R x W x C x D 0 ; x x D R x W x = x 3 ; x = 0 M 5 D x R W kxk = ;.; / x D 0 a) Man stelle alle Mengen graphisch dar und prüfe mit Hilfe der Zeichnung, welche der Mengen offen, abgeschlossen, beschränkt, konvex ist. b) Welche der paarweisen Durchschnitte sind leer? Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Wirtschaftsmathematik Wintersemester 06/7 Aufgabensammlung (Seite 5 von 48) a) M D x x R W x N; x D x M : abgeschlossen, nicht offen, nicht konvex, nicht beschränkt x M D R W x.0;/; x 0 x M : nicht abgeschlossen,nicht offen,konvex,nach unter beschränkt M 3 D x R W x C x D 0; x x D M 3 D ;: offen,abgeschlossen,konvex,beschränkt M 4 D x R W x x 3; x 0 M 4 : nicht offen,abgeschlossen,nicht offen,nicht konvex,nicht unten beschränkt M 5 D x R W kxk > ; x x D 0 M 5 : abgeschlossen, nicht offen, nicht konvex, nicht beschränkt b) M \ M D ; M \ M 3 D ; M \ M 3 D ; M 3 \ M 4 D ; M 3 \ M 5 D ; 5

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3 LineareGleichungssysteme Aufgabe 07 LineareGleichungssysteme: Gozintograph (A4.7) Aus den Werkstoffen A ; A werden Zwischenprodukte A 3 ; A 4 ; A 5 und Endprodukte A 6 ; A 7 hergestellt. Die nachfolgende Graphik stellt die Verknüpfungen dar. A 3 3 A 4 A 6 A 5 A 3 4 A 7 A 4 Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Wirtschaftsmathematik Wintersemester 06/7 Aufgabensammlung (Seite 30 von 48) Die Pfeilbewertung a ij mit A i a ij! A j gibt an, wie viele Mengeneinheiten von A i zur Herstellung einer Einheit A j benötigt werden. Wie viele Einheiten von A ; A ; A 3 ; A 4 werden benötigt, wenn von A 5 ; A 6 ; A 7 genau 50, 00, 0 Einheiten verkauft werden können? Sei x i.i D ; : : : ;7/ der Gesamtbedarf (+ Verkauf) von A i. Dann ergibt sich der Reihe nach: x 7 D 0; x 6 D 00; x 5 D 490; x 4 D 460; x 3 D 840; x D 6790; x D 60 30

4 Aufgabe 08 LineareGleichungssysteme: Allgemeines zu LGS (A4.8) Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Wirtschaftsmathematik Wintersemester 06/7 Aufgabensammlung (Seite 3 von 48) a) Welche der folgenden Aussagen über lineare Gleichungssysteme sind wahr bzw. falsch? (Begründen Sie Ihre Antwort!) a.) Ein lineares Gleichungssystem mit n Gleichungen und n Variablen ist stets lösbar. a.) Ein lineares Gleichungssystem mit n Gleichungen und n Variablen ist nicht immer lösbar. a.3) Wenn ein lineares Gleichungssystem mit n Gleichungen und n Variablen lösbar ist, dann ist die Lösung eindeutig. a.4) Ein lineares Gleichungssystem mit mehr Gleichungen als Variablen ist nicht lösbar. a.5) Ein lineares Gleichungssystem mit weniger Gleichungen als Variablen kann eindeutig lösbar sein. b) Für ein lineares Gleichungssystem Ax D b sei die erweiterte Koeffizientenmatrix ( A b) durch 0 4 a mit a R 0 0 gegeben. b.) Geben Sie die allgemeine Lösung des homogenen Systems ( b = 0 ) sowie eine spezielle Lösung des inhomogenen Systems an. b.) Für welche a R ist das gegebene Gleichungssystem lösbar? b.3) Gibt es ein a R, so dass x T D.; ;;;0/ das Gleichungssystem Ax D b löst? 0 4 a 0 0 x 3 D x 4 D 0; x 5 D ; x D ; x D ; x ; x - Basis, x 3 ; x 4 ; x 5 - Nicht-Basis x x x 3 x 4 x 5./ 0 4 a./ a././ 0 0./ Spezielle Lösung des inhomogenen Systems (Startpunkt) x 3 D x 4 D x 5 D 0 ) xs T D.a 0 0 0/ Allgemeine Lösung des homogenen Systems (Richtungsvektoren): x 3 =, x 4 =0, x 5 =0 ) x T k D. 0 0/ x 3 =0, x 4 =, x 5 =0 ) xe T D / x 3 =0, x 4 =0, x 5 = ) xm T D. 0 0 /

5 8 ˆ< L D x R 5 W ˆ: 0 0 a B 0 0 A C t C 0A C t 0 B0 A C t >= 0 C 0A I t ; t ; t 3 R >; ) LGS ist für alle a R lösbar. b.3) x T D. 0/ x 5 D 0 C 0 t C 0 t C t 3 D 0 ) t 3 D 0 x 4 D 0 C 0 t C t C 0 t 3 D ) t D x 3 D 0 C t C 0 t C 0 t 3 D ) t D ) Lösungsvektor: a C. / C 0 C 0. / D ) a C. / D ) a D 4 C. / C 0 C 0. / D 0 C C 0 C 0 0 D 0 C 0 C C 0 0 D 0 C 0 C 0 C 0 D 0 Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Wirtschaftsmathematik Wintersemester 06/7 Aufgabensammlung (Seite 3 von 48) 3

6 Aufgabe 09 LineareGleichungssysteme: Neue Kostenstellen (A4.9) Die Abteilungen A ; A ; A 3 eines Betriebes sind durch mengenmäßige Leistungen a ij.i;j D ; ; 3/ von A i nach A j gegenseitig verbunden. Jede der Abteilungen gibt ferner Leistungen b i.i D ; ; 3/ an den Markt ab und hat sogenannte Primärkosten c i.i D ; ; 3/ zu tragen. Gegeben seien folgende Daten: b c 0 50 A D.a ij / 3; A A 70A A 70A a) Formulieren Sie mit den Variablen x ; x ; x 3 für die innerbetrieblichen Verrechnungspreise ein lineares Gleichungssystem für ein innerbetriebliches Kostengleichgewicht der Abteilungen A ; A ; A 3. b) Lösen Sie das Gleichungssystem von a) und interpretieren Sie das Ergebnis. b b 3 c c 3 a) Abteilung Sek.kost. Sekundärkosten für abgegebene für erhaltene Leistg. Leistungen + Primärkosten Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Wirtschaftsmathematik Wintersemester 06/7 Aufgabensammlung (Seite 33 von 48) A x.40 C 0 C 0/ D 50 C 0x C 30x 3 A x.70 C 0 C 0/ D 70 C 0x C 0x 3 A 3 x 3.60 C 30 C 0/ D 60 C 0x C 0x ) 60x 0x 30x 3 D 50 0x C 00x 0x 3 D 70 0x 0x C 00x 3 D 60 b) Gaußalgorithmus liefert: x 3 D (Verrechnungspreis Abteilung A ), x D (V.P. Abt. A ), x D (A 3 ) 33

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8 Aufgabe 0 LineareGleichungssysteme: Zwei LGS (A5.0) Gegeben sind die beiden folgenden Gleichungssysteme:.G / x C x C x 3 D 4 x C x x 3 D 0 x x C x 3 D.G / 3x C x C x 3 D 3 x C x C x 3 D x C x 3 D a) Welches der beiden Gleichungssysteme besitzt keine Lösung, eine eindeutige Lösung, unendlich viele Lösungen? b) Wie verändert sich die Lösungsmenge von.g /, wenn die Gleichung x C x C x 3 D zusätzlich berücksichtigt werden soll? c) Wie verändert sich die Lösungsmenge von.g /, wenn die Gleichung x C x 3 D entfallen soll? d) Bestimmen Sie für.g / und.g /, falls möglich, eine Lösung mit x 3 D. Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Wirtschaftsmathematik Wintersemester 06/7 Aufgabensammlung (Seite 34 von 48) a) G : eindeutige Lösung mit x 3 D, x D, x D G : unendlich viele Lösungen, z.b. der Form: x 3 x 3 R bel., x D x 3, x D 3 b) Einsetzen: x C x C x 3 D C C D ) keine Veränderung der Lösung c) 3. Gleichung entfällt ) Keine Veränderung der Lösungsmenge d) G : x 3 D ) Widerspruch, damit G nicht lösbar. e) G : x 3 D ) X D 0; x D. Damit ist G eindeutig lösbar. 34

9 Aufgabe LineareGleichungssysteme: Marktentwicklung (A5.) Ein regionaler Markt wird von drei konkurrierenden Produkten P ;P ;P 3 beherrscht. Bezeichnet man mit a ij Œ0; den Anteil von P i -Käufern zum Zeitpunkt t N, der zum Zeitpunkt t C N das Produkt P j kauft, so charakterisiert die Matrix A D.a ij / 3;3 D 0;6 0;4 0 0; 0;6 0; 0 0; 0;8 die anteiligen Käuferfluktuationen zwischen den Produkten. Ferner beschreibt der Vektor x T D.0;5 ; 0;5 ; 0/ die Marktanteile der Produkte P ;P ;P 3 zum Zeitpunkt t D. a) Interpretieren Sie die in A und x enthaltenen Nullen. b) Berechnen Sie die Marktanteile der Produkte zu den Zeitpunkten t D ;3 und begründen Sie die Marktanteilszuwächse von P 3 mit Hilfe von A. c) Geben Sie eine stationäre Marktverteilung an, das heißt, für beliebiges t N sind xt T und xtc T D xt t A identisch. A Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Wirtschaftsmathematik Wintersemester 06/7 Aufgabensammlung (Seite 35 von 48) a) a 3 D a 3 D 0: Der Käuferanteil, der im Zeitpunkt t C gegenüber t von P nach P 3 bzw. von P 3 nach P wechselt, ist 0. x 3 D 0: Zum Zeitpunkt t D ist der Marktanteil von P 3 gleich 0. b) x T D xt A D.0;4; 0;5; 0;/ x3 T D xt A D.0;34; 0;48; 0;8/ Wachsende Marktanteile von P 3 : a 3 D a 3 D 0;: P gibt an P 3 0% seines Marktanteils ab, ebenso P 3 an P. Andererseits ist der Marktanteil von P 3 für t D ; jeweils kleiner als der Marktanteil von P. Wegen a 3 D a 3 D 0 spielt dabei P keine Rolle. c) y D x t D x tc ) y T D y T A ) y T.E A/ D 0 T mit y C y C y 3 D ) stationäre Marktverteilung y T D.0;; 0;4; 0;4/ 35

10 Aufgabe LineareGleichungssysteme: Tee (A5.) Ein Teegroßhändler führt drei Sorten Tee: Darjeeling, Nepal und Java mit den Anfangsbeständen x ;x ;x 3. Der Lagerbestand zu Beginn der ersten Woche beträgt 3 Tonnen. Nach der ersten (zweiten) Woche hat er 5 % (50 %) des Bestandes an Darjeeling und jeweils 0 % (40 %) des Bestandes an Nepal bzw. Java verkauft. Der Lagerbestand beträgt nach der ersten (zweiten) Woche 5 (8) Tonnen. Nach der dritten Woche hat er bei einem Gesamtlagerbestand von 5. Tonnen noch Vorräte von 0 % Darjeeling und jeweils 0 % Nepal bzw. Java (im Vergleich zu deren Anfangsbeständen). a) Formulieren Sie ein lineares Gleichungssystem mit den unbekannten Variablen x ;x ;x 3, das alle gegebenen Informationen angemessen wiedergibt. b) Ermitteln Sie alle ökonomisch sinnvollen Lösungen des Gleichungssystems. c) Verwerten Sie falls möglich die zusätzliche Information, dass zu Beginn der ersten Woche der Vorrat an Darjeeling um 0 % höher war als der Vorrat an Nepal. Wie verändert sich damit die Lösung von b)? Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Wirtschaftsmathematik Wintersemester 06/7 Aufgabensammlung (Seite 36 von 48) a) Lagerbestand zu Beginn: x C x C x 3 D 3 Lagerbestand nach der. Woche: 0;75x C 0;8x C 0;8x 3 D 5 Lagerbestand nach der. Woche: 0;5x C 0;6x C 0;6x 3 D 8 Lagerbestand nach der 3. Woche: 0;x C 0;x C 0;x 3 D 5; b) Gaußalgorithmus liefert: L D x R 3 C W x D ; x C x 3 D 0 c) x D ; x D ) x D 0 ) x 3 D 0 36

11 Aufgabe 3 LineareGleichungssysteme: Bier (A5.3) Eine Brauerei stellt 3 Biersorten her: Hell, Pils und Bock. Die Herstellung erfordert eine Arbeitszeit von Stunden für hl Hell, 4 Stunden für hl Pils und 5 Stunden für hl Bock, wobei insgesamt genau Z Arbeitsstunden zu leisten sind. Das für Werbung bewilligte Budget beträgt , wobei die Werbekosten je hl Hell und Bock und bei Pils betragen. Der Gewinn pro hl beträgt 0 bei Hell, 0 bei Pils und 30 bei Bock. Insgesamt soll ein Gewinn von erzielt werden. a) Formulieren Sie das gegebene Gleichungssystem. b) Ermitteln Sie die ökonomisch sinnvolle Lösungsmenge. (Hinweis: die zu produzierenden Einheiten an hl Bier sind nicht negativ). Für welchen Arbeitseinsatz Z gibt es keine Lösung, genau eine Lösung, mehrere Lösungen? c) Skizzieren Sie das in b) erhaltene Ergebnis. x ; x ; x 3 R C : Biermenge in hl für Hell (x ), Pils (x ) und Bock (x 3 ) Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Wirtschaftsmathematik Wintersemester 06/7 Aufgabensammlung (Seite 37 von 48) a) x C 4x C 5x 3 D Z (Arbeitszeit) x C x C x 3 D (Werbung) 0x C 0x C 30x 3 D (Gewinn) a) Gaußalgorithmus liefert: Keine Lösung für Z 00; für Z D 00: ) x 3 D 0000 und x C x D Damit Lösungsmenge: 8 9 < x 5000 = L D : x D x R 3 C W x D 0 C ; R ; x Ökonomisch sinnvolle Lösungen für x ; x > 0. Damit:

12 Aufgabe 4 LineareGleichungssysteme: Invertieren (A5.4) Gegeben sind die Matrizen: A D ; B D a) Zeigen Sie, dass A orthogonal ist. b) Berechnen Sie B. c) Lösen Sie das Gleichungssystem AB x D c mit unter Verwendung von b) x T D.x ; x ; x 3 ; x 4 / ; c T D.; ; 3; 4/ Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Wirtschaftsmathematik Wintersemester 06/7 Aufgabensammlung (Seite 38 von 48) a) Ausmultiplizieren liefert: A 4 A D E ) A D 0 4 A b) B D B A c) Von links (!) mit B A multiplizieren ergibt: x D B A c D 38 0 ;0 ;0 C ;5A ;0