Hauptprüfung Fachhochschulreife Baden-Württemberg

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1 Hauptprüfung Fachhochschulreife 04 Baden-Württemberg Aufgabe 5 Wirtschaftliche Anwendungen Hilfsmittel: grafikfähiger Taschenrechner Berufskolleg Alexander chwarz Januar 05

2 Ein Unternehmen stellt aus drei pflanzlichen Rohstoffen R, R und R die ubstanzen, und her. Aus diesen ubstanzen werden die edikamente und hergestellt. Die folgenden Tabellen zeigen den aterialbedarf in engeneinheiten (E): R R 4 R Erstellen ie eine Tabelle, die den Rohstoffbedarf für die edikamente darstellt. ( Punkte) 5. Erfahrungsgemäß werden im ommer 000 E des edikaments und 700 E des edikaments verkauft. Berechnen ie den Bedarf an ubstanzen, die dazu benötigt werden. ( Punkte) 5. Im Lager befinden sich 660 E R und 40 E R. Der Rohstoff R ist nicht mehr vorrätig. Es werden gleich viele E der ubstanz und benötigt. Wie viele E der ubstanzen, und können aus den Lagerbeständen hergestellt werden, wenn alle vorhandenen Rohstoffe verbraucht werden sollen? Wie viele E des Rohstoffs R müssen dazu bestellt werden? (6 Punkte) Die Zweigwerke A, B und C eines Unternehmens sind untereinander und mit dem arkt nach dem Leontief-odell verflochten. Für die Technologiematrix A gilt: (E A) = Wie viele E müssen in den einzelnen Zweigwerken produziert werden, wenn A 6000 E, B 9000 E und C 0000 E an den arkt abgeben? ( Punkte) 5.5 Berechnen ie die Technologiematrix A. (4 Punkte)

3 5.6 Gegeben sind die atrizen a 0 C = 7 b 8 und D = 4 5. b 7 Bestimmen ie a und b so, dass gilt: C + D = C D (7 Punkte) 5.7 Berichtigen ie folgende Aussagen. a) Ein lineares Gleichungssystem mit drei Unbekannten und zwei Gleichungen kann einen eindeutigen Lösungsvektor besitzen. b) Lineare Gleichungssysteme besitzen entweder einen oder unendlich viele Lösungsvektoren. c) Das atrizenprodukt A B kann nur gebildet werden, wenn die Anzahl der palten der atrix A mit der Anzahl der palten der atrix B übereinstimmt. d) Gegeben sind die atrizen A und B. Eine atrix X, die die Gleichung A X = B löst, erhält man, indem man durch die atrix A dividiert. (4 Punkte) Punkte

4 5. Lösung Tabelle des Rohstoffbedarfs für die edikamente Rohstoff-Zwischenprodukt-atrix A = Zwischenprodukt-Endprodukt-atrix B = 7 5 C = A B = 8 zugehörige Tabelle: R 7 5 R R 8 5. Bedarf der ubstanzen Aus den gegebenen engen der edikamente ergibt sich 000 p = z = B p = =

5 Es müssen 0500 E von und 700 E von und 7400 E von vorrätig sein. 5. Berechnung der ubstanz- und Rohstoffmenge Rohstoffvektor 660 r = 40 r ; Zwischenproduktvektor z s = s s s 660 A z = r : 4 s = 40 5 s r Ausmultiplizieren der Gleichung: s + s + s = 660 4s + s + s = 40 s + 5s + s = r Umformung für die GTR-Eingabe: s + s = 660 6s + s = 40 s + 5s r = 0 GTR: s = 00 ; s = 80 ; r = 00 Von und benötigt man jeweils 00 E, von benötigt man 80 E. Von Rohstoff R müssen 00 E bestellt werden. 5

6 5.4 Produktionsmenge Leontief-Gleichung: x = (E A) y mit x = = y = Zweigwerk A muss 000 E, Zweigwerk B E und Zweigwerk C 9000 E produzieren. 5.5 Technologiematrix A Es gilt ((E A) ) E A = und E (E A) = A wobei E die Einheitsmatrix ist. Aus der gegebenen atrix (E A) wird die Inverse mit dem GTR bestimmt: Es gilt 0,4 0, 0, 0, 0,4 0,4 E A = ((E A) ) = 0 0, 0, ,4 0, 0, 0,6 0, 0, A = E (E A) = , 0,5 = 0 0,7 0, , 0,4 0,4 0, 0,4 0,6 6

7 5.6 Berechnung von a und b a + a C + D = = 7 4 b b 7 b a b a + a b a C D = = b b b b b Vergleich der Einträge: 5 54 rechts oben: = a + a = a = rechts unten: = b + b = b = links unten: b = b ist wahr a= 9,b= 5 links oben: a + = a b 9 + = 9 ( 5) ist wahr Es ist a = 9 und b = Berichtigung der Aussagen: a) Ein lineare Gleichungssytem mit drei Unbekannten und zwei Gleichungen kann niemals einen eindeutigen Lösungsvektor besitzen. b) Lineare Gleichungssysteme besitzen entweder einen oder keinen oder unendlich viele Lösungsvektoren. c) Das atrixprodukt A B kann nur gebildet werden, wenn die Anzahl der palten der atrix A mit der Anzahl der Zeilen der atrix B übereinstimmt. d) Gegeben sind die atrizen A und B. Eine atrix X, die die Gleichung A X = B löst, erhält man, indem man die Gleichung auf beiden eiten von links mit multipliziert. A 7