Hauptprüfung Abiturprüfung Baden-Württemberg

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Dominic Huber
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1 Hauptprüfung Abiturprüfung 018 Baden-Württemberg Teil 1 (ohne Hilfsmittel) Analysis, Stochastik, Vektorgeometrie, Matrizenrechnung berufliche Gymnasien (AG, BTG, EG, SG, TG, WG) Alexander Schwarz Juni 018 1

2 Analysis 1.1 Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Schaubilds K f einer Funktion f. Welche der folgenden Aussagen sind wahr bzw. falsch? Begründen Sie. (1) Es gilt: f (1) 0 () Die Steigung von f an der Stelle x = 0 ist kleiner als die durchschnittliche Änderungsrate von f im Intervall [0;3]. (3) Das Schaubild jeder Stammfunktion F von f hat an der Stelle x = 0 einen Tiefpunkt. (6 Punkte) 1. Berechnen Sie die erste Ableitung g für die jeweilige Funktion g. (1) () g(x) (x 1) x g(x) (x1) e (3 Punkte) 1.3 Gegeben ist die Funktion h durch h(x) cos( x) 1 mit xr Skizzieren Sie das Schaubild von h für 0 x 4. (3 Punkte) 1.3. Berechnen Sie: h(x)dx. (3 Punkte) 0

3 Stochastik In der norwegischen Hauptstadt Oslo ist jeder zehnte Pkw ein Elektroauto..1 Auf einem kommunalen Parkplatz in Oslo beträgt die Parkgebühr für Pkw fünf norwegische Kronen. Elektroautos parken kostenlos. Pro Tag wird der Parkplatz von 300 Pkw genutzt. Bestimmen Sie die Höhe der Einnahmen, die man erwarten kann. ( Punkte). Im Folgenden werden in Oslo zufällig vorbeifahrende Pkw betrachtet...1 Drei Pkw fahren vorbei. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse: A: Unter diesen Pkw ist genau ein Elektroauto. B: Unter diesen Pkw ist mindestens ein Elektroauto. (4 Punkte).. Definieren Sie die Zufallsvariable X und formulieren Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit wie folgt berechnet werden kann: 100 P(X ) 0,9 1000,10,9 0,1 0, ( Punkte) 3

4 Lineare Algebra: Vektorgeometrie 3.1 Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden linearen Gleichungssystems: x x x x x 3x x x 5 3 (3 Punkte) Die Vektoren a und b spannen ein Parallelogramm auf. 0 4 Zeigen Sie, dass die Vektoren ba und a zueinander orthogonal sind. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Parallelogramms. (4 Punkte) 4

5 Lineare Algebra: Mathematische Beschreibung von Prozessen durch Matrizen 3.1 Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden linearen Gleichungssystems: x x x x x 3x x x 5 3 (3 Punkte) 3. Im Folgenden sind alle vorliegenden (n x n) Matrizen invertierbar. E ist die Einheitsmatrix. Lösen Sie die Matrizengleichung (B A) (E A) (XB) A nach X auf und vereinfachen Sie soweit wie möglich. (4 Punkte) 5

6 Analysis 1.1 (1) Es gilt: f (1) 0 Lösungen Das Schaubild K f ist im Punkt (1/f(1)) rechtsgekrümmt und daher ist die zweite Ableitung an der Stelle x = 1 negativ. Die Aussage ist wahr. () Die Steigung von f an der Stelle x = 0 ist kleiner als die durchschnittliche Änderungsrate von f im Intervall [0;3]. f(3) f(0) 0 Die durchschnittliche Änderungsrate im Intervall [0;3] ist Zeichnet man an der Stelle x = 0 eine Tangente an das Schaubild von f ein, ist die Steigung der Tangente größer als 3. Die Aussage ist falsch. (3) Das Schaubild jeder Stammfunktion F von f hat an der Stelle x = 0 einen Tiefpunkt. Das Schaubild von f besitzt an der Stelle x =0 eine Nullstelle mit einem Vorzeichenwechsel von nach +. Die Aussage ist wahr. 1. Berechnen Sie die erste Ableitung g für die jeweilige Funktion g. (1) g(x) (x 1) g(x) (x1) 4 (x1) 8x 4 Man könnte die Klammer auch ausmultiplizieren und dann erst ableiten: g(x) 4x 4x 1 g(x) 8x 4 () x g(x) (x1) e x x x x g(x) 1e (x1) e e (1 x1) e (x ) Skizzieren Sie das Schaubild von h für 0 x 4. Die Funktion h(x) cos( x) 1 besitzt die Periode p der Kosinusfunktion um 1 Einheit nach oben verschoben. und ist gegenüber 6

7 h(x)dx (cos( x) 1)dx sin( x) x sin( ) (sin(0) 0)

8 Stochastik.1 Bestimmen Sie die Höhe der Einnahmen, die man erwarten kann. X = Anzahl der Pkw, die kein Elektroauto sind X ist binomialverteilt mit n = 300 und p = 0,9. E(X) np3000,9 70 Es sind 70 Pkw zu erwarten, die jeweils 5 Kronen bezahlen müssen. Die erwarteten Einnahmen sind Kronen..1 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse: A: Unter diesen Pkw ist genau ein Elektroauto. B: Unter diesen Pkw ist mindestens ein Elektroauto. X = Anzahl der Pkw, die ein Elektroauto sind 1 X ist binomialverteilt mit n = 3 und p P(A) P(X1) P(B) P(X1) 1P(X0) Die Wahrscheinlichkeit für A beträgt 0,43 bzw. 4,3%. Die Wahrscheinlichkeit für B beträgt 0,71 bzw. 7,1%. 3 Man kann die Aufgabe auch mit einem Baumdiagramm lösen: P(A) P(EEE,EEE,EEE) P(B) 1P(EEE)

9 Die Wahrscheinlichkeit für A beträgt 0,43 bzw. 4,3%. Die Wahrscheinlichkeit für B beträgt 0,71 bzw. 7,1%... Definieren Sie die Zufallsvariable X und formulieren Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit wie folgt berechnet werden kann. Aus dem Term ist erkennbar: Es handelt sich um n = 100 Versuche. Die Trefferwahrscheinlichkeit beträgt p = 0,1. X = Anzahl der Elektroautos unter 100 zufällig vorbeifahrenden Pkw Ereignis: Unter 100 zufällig vorbeifahrenden Pkw befinden sich höchstens zwei Elektroautos. 9

10 Lineare Algebra: Vektorgeometrie 3.1 Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden linearen Gleichungssystems. x x x x x 3x x x 5 3 ( ) + x x x x x 5 3 3x x x x x x x Das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen. Setze x t mit tr Aus der.zeile folgt: 3t x3 5 x3 5 3t Aus der 1.Zeile folgt: x1t ( 53t) 4 x19 4t Lösungsmenge L {(94t t 53t);t R } bzw. Lösungsvektor 94t x t 53t, tr 3. Zeigen Sie, dass die Vektoren ba und a zueinander orthogonal sind. 3 Es gilt ba Nachweis der Orthogonalität: a (ba) 0 0 ( 3) Da das Skalarprodukt 0 ergibt, sind die Vektoren zueinander orthogonal. 10

11 Berechnen Sie den Flächeninhalt des Parallelogramms. Skizze: 1.Möglichkeit: Agh a ba Möglichkeit: Aab ab A Die Fläche des Parallelogramms beträgt A =

12 Lineare Algebra: Mathematische Beschreibung von Prozessen durch Matrizen 3.1 Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden linearen Gleichungssystems. x x x x x 3x x x 5 3 ( ) + x x x x x 5 3 3x x x x x x x Das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen. Setze x t mit tr Aus der.zeile folgt: 3t x3 5 x3 5 3t Aus der 1.Zeile folgt: x1t ( 53t) 4 x19 4t Lösungsmenge L {(94t t 53t);t R } bzw. Lösungsvektor 94t x t 53t, tr 3. Lösen Sie die Matrizengleichung nach X auf und vereinfachen Sie soweit wie möglich. (B A) (E A) (XB) A BEBA AEA XAB A B A BAA X A A 1 von rechts BA AA A A X XBA 1 E A 1

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