16 Das Leontief-Modell

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Frieda Hella Hofmeister
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1 Das Leontief-Modell Das Leontief-Modell. assily Leontief * 5. August 905 in München 5. Februar 999 in New York assily Leontief wuchs in t. Petersburg auf wo er 9 das tudium der Philosophie und oziologie begn. päter studierte er noch irtschaftswissenschaften und erhielt 94 seinen Abschluss. Anschließend ging er die Friedrich-ilhelm-Universität nach Berlin und erhielt für seine Dissertation irtschaft als Kreislauf die Doktorwürde. 9 siedelte er in die UA über. 98 wird er amerikischer taatsbürger und erhielt 99 eine Berufung als außerordentlicher Professor nach Harvard. Leontief entwickelte die Input-Output-Analyse. In dieser stellt er die Güter- und Leistungsströme einer Volkswirtschaft mit statistischen Zahlen in Tabellenform dar. 97 erhielt er für seine Arbeiten den Nobelpreis für irtschaftswissenschaften.. Beschreibung des Leontiefs-Modells An einem einfachen Beispiel sollen die prinzipiellen Zusammenhänge realer Produktionsprozesse beschrieben werden. In einem Ldkreis liegt die Energieversorgung in Form Gas (G) und trom () sowie der öffentliche Nahverkehr (V) in den Händen der tadtwerke der Kreisstadt. Die Energieträger Gas und trom und die Dienstleistung Nahverkehr werden nicht nur den Endverbraucher abgegeben. Es soll weiter berücksichtigt werden, dass auch jeder der Teilbetriebe Güter benötigt, die ihm selbst oder einem der deren Betriebe produziert werden... Das Verflechtungsdiagramm In der untenstehenden Abbildung (Verflechtungsdiagramm) sind die wechselseitige Beeinflussung der einzelnen Teilbetriebe untereinder, die Abgabe der einzelnen Teilbetriebe die Endverbraucher sowie die Gesamtproduktion für den Zeitraum einer oche in erteeinheiten (E) dargestellt. Gas 0 4 trom Nahverkehr 0 Konsum Markt

2 Herstellung Das Leontief-Modell.. Darstellung als Tabelle Das Verflechtungsdiagramm kn m nun wieder in ein Tabelle übertragen, die dn so aussieht: Abgabe Gas trom Nahverkehr Markt Gesamt Gas 0 0 trom 4 0 Nahverkehr 0 0 Die Zahlen in den grünen Zellen beschreiben die echselwirkung der jeweiligen Bereiche (ektoren) untereinder. ie werden zur Verflechtungsmatri zusammengefasst. 0 A 4 0 Die Zahlen in den roten Zellen beschreiben den Endverbrauch (eterne Nachfrage). ie werden zum Konsumvektor, Nachfragevektor oder auch Marktvektor zusammengefasst. y eine Koordinaten geben die Abgabe (Output) des jeweiligen Bereichs den Markt. Da eine Erhöhung der innerbetrieblichen Produktion zu einer erhöhten Abgabe den Markt führt muss es zwischen den Koeffizienten der Verflechtungsmatri und den Koordinaten des Marktvektors einen gewissen Zusammenhg geben! Die Zahlen in den blauen Zellen geben die Produktionszahlen der einzelnen Bereiche, er wird deshalb auch Produktionsvektor gennt eine Koordinaten erhält m aus der umme der Zahlen in der entsprechende Zeile

3 Input Input Das Leontief-Modell In allgemeiner Notation hat eine Verflechtungstabelle folgendes Aussehen: Output ektor ektor ektor Markt Gesamt ektor y ektor y ektor y Verflechtungsmatri Marktvektor Produktionsvektor y A y y y Es gilt: y y y Aufgaben.0 Die gegenseitige Verflechtung dreier ektoren, und einer Volkswirtschaft sind gemäß dem folgenden Verflechtungsdiagramm untereinder mit dem Markt verflochten.. ie viele Einheiten werden den einzelnen ektoren insgesamt produziert?. Erstellen ie eine vollständige Verflechtungstabelle mit Input, Output, Marktabgabe und Gesamtproduktion Konsum Markt.0 Die Teilbetriebe A, B und C einer Fabrik sind untereinder und mit dem Markt verflochten. Die Verflechtung wird durch folgende Tabelle beschrieben. Output A B C Markt Gesamt A a B b 48 C c

4 Das Leontief-Modell. Bestimmen ie die fehlenden Angaben in der Tabelle.. tellen ie die Verflechtung der Betriebe untereinder und mit dem Markt in Form eines Verflechtungsdiagramms dar... Übergg zur technologischen Matri - Inputmatri Verändert sich die eterne Nachfrage (der Nachfragevektor) y, so muss die Produktion (der Produktionsvektor) diesen Veränderungen so gepasst werden, dass die Nachfrage auch erfüllt werden kn und sich das ystem dabei selbst erhält. omit wird es wohl eine Beziehung zwischen dem Konsumvektor y und dem Produktionsvektor geben. ir wissen, dass sich der Produktionsvektor wie folgt berechnet: y y y und durch etwas Umformung erhält m: y y y y y y y y y Matri A und jetzt den letzten Term noch etwas umgeformt: y y y T y Matri T Die Matri T heißt technologische Matri oder Input-Matri. ie gibt den für den Produktionsprozess notwendigen Input. Die Koeffizienten T werden auch als Produktionskoeffizienten bezeichnet. Die Elemente der Matri T geben, wie viele Einheiten einem ektor für jede Einheit eines deren ektors bereitzustellen sind, damit der wechselseitige Bedarf gedeckt wird. : Dieser Koeffizient gibt, wie viele Einheiten aus dem ektor benötigt werden, um einen Einheit aus dem ektor zu erzeugen. 4

5 Das Leontief-Modell Zurück zu unserem ursprünglichen Beispiel! Verflechtungsmatri Produktionsvektor 0 0 A Dn erhält m für die Input-Matri: , 0, 0 4 T , 0, 0, , 0, 0 Der ert 0, in der. Zeile der. palte sagt nun aus, dass 0, Einheiten trom benötigt werden, um eine Einheit Gas zu erzeugen. Aufgaben.0 Drei ektoren einer Volkswirtschaft sind nach dem Leontief-Modell untereinder und mit dem Markt verflochten. Die gegenseitige Verflechtung und die Gesamtproduktion werden durch folgende Tabelle beschrieben. Gesamt Berechnen ie den Konsumvektor.. Bestimmen ie die Input-Matri. 4.0 Drei ektoren einer Volkswirtschaft sind nach dem Leontief-Modell untereinder und mit dem Markt verflochten. Die Input-Matri T, der Produktionsvektor und der Konsumvektor y sind gegeben durch: 0, 0, 0 b 0 T 0, 0, 0,, 0, y 0 a 0, 0, 4 00 c 4. Erläutern ie die Bedeutung der Koordinaten a, b und c. 5

6 Das Leontief-Modell..4 Grundgleichung zum Leontief-Modell Zwischen dem Konsumvektor y, dem Produktionsvektor und der Input-Matri T besteht, wie wir oben schon gesehen haben, ein Zusammenhg: T y Nun formt m diese Gleichung ein klein wenig um erhält zunächst: T y Ersetzt m den Term mit E (da ja E gilt), so erhält m: E T y Klammert m noch den Vektor aus so erhält m schließlich die Grundgleichung zum Leontief-Modell: E T y Diese Vektorgleichung stellt somit mit Hilfe der Input-Matri T eine Beziehung her zwischen dem Produktionsvektor und dem Konsumvektor y. Eine eterne Nachfrage y kn genau dn erfüllt werden, wenn das Gleichungssystem mit den gesuchten Koordinaten, und des Produktionsvektors lösbar ist und die Lösungen sämtlich positiv sind. Bemerkung: Beim Leontief-Modell geht m da aus, dass sich die ökonomische truktur auch in dem nächsten zugrunde liegenden Zeitraum nicht ändert. Dies bedeutet, dass die Input-Matri T als zeitlich konstt gesehen werden kn. Aufgaben 5.0 Drei Teilbereiche A, B und C eines erks sind nach dem Leontief-Modell untereinder und mit dem Markt verflochten. Die Input-Matri ist 0, 0, 0 T 0, 5 0, 0,5 0, 0,5 0, 5 Für den nächsten Zeitraum können in den einzelnen Betrieben Mengeneinheiten hergestellt werden, die gegeben sind durch den Produktionsvektor Ermitteln ie, welche Nachfrage in dem Produktionsraum befriedigt werden kn?

7 Das Leontief-Modell.0 Die drei Teilbetriebe eines Industrieunternehmens sind nach dem Leontief-Modell untereinder und mit dem Markt verflochten. Das folgende Diagramm zeigt die gegenseitige Verflechtung der einzelnen Teilbetriebe und die Gesamtproduktion. Erstellen ie eine Verflechtungstabelle. Geben ie den Produktionsvektor und die Verflechtungsmatri A. Bestimmen ie die Input-Matri T.. Zu einem früheren Zeitpunkt betrug der Marktvektor Berechnen ie den zugehörigen Produktionsvektor. 4,5 y, Drei erke, und einer Firma sind nach dem Leontief-Modell untereinder und mit dem Markt verflochten. Die gegenseitigen und für den Markt erbrachten Leistungen enthält die folgende Tabelle. Gesamt Erläutern ie, welche besondere Form die Verflechtungstabelle besitzt. 7. Bestimmen ie die Input-Matri Berechnen ie den Vektor für den Nachfragevektor y U Konsum Markt 0 V 7

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