Analytische Geometrie Lehrbuch. Skriptum zum Vorbereitungskurs

Transkript

1 Analytische Geometrie Lehrbuch Skriptum zum Vorbereitungskurs

2 WICHTIGER HINWEIS: Ich bitte den Eigentümer dieses Skriptes, weder das gesamte Skript noch Teilauszüge daraus zu kopieren, einzuscannen oder auf andere Art und Weise zu vervielfältigen, um es an andere weiterzugeben. Ich bitte um Fairness und danke dafür Alexander Schwarz

3 Vorwort Dieses Lehrbuch dient sowohl zur Vorbereitung auf die Abiturprüfung als auch auf Klausuren in der Oberstufe. In jedem Kapitel werden die wesentlichen Inhalte zu jedem Thema ausführlich wiederholt. Die vielen Beispielrechnungen und Schaubilder dienen dazu, die Beschreibungen noch konkreter zu erläutern. Dabei werden auch die wichtigsten Themen und Formeln, die bereits in der Mittelstufe behandelt wurden und die man für die Abiturprüfung noch kennen sollte, wiederholt. Wichtige Regeln werden durch graue Unterlegungen gekennzeichnet. Dieses Zeichen taucht auf, wenn gerne Fehler gemacht werden! Es werden in dem Lehrbuch auch typische Irrtümer dargestellt. Wer die Fettnäpfchen kennt, kann ihnen besser ausweichen. Hinweis zum GTR: Die GTR-Befehlsangaben im Skript orientieren sich am GTR von Texas Instruments (TI -84 Plus). Da die Bedienung des GTR von Sharp ähnlich ist wie bei Texas Instruments, können auch die Nutzer eines Sharp-Rechners die Befehlsangaben zum größten Teil nutzen. Dieses Zeichen im Skript deutet darauf hin, dass dargestellt wird, wie die Lösung einer Aufgabenstellung mit Hilfe des GTR durchgeführt wird. Viel Erfolg bei der Bearbeitung dieses Skriptes und alles Gute für eure Abiturprüfung! Alexander Schwarz Taschenrechner: Texas Instruments und Sharp

4 Inhaltsverzeichnis. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME UND IHRE ANWENDUNGEN. BEGRIFF LINEARES GLEICHUNGSSYSTEM. LÖSEN LINEARER GLEICHUNGSSYSTEME OHNE GTR. LÖSEN LINEARER GLEICHUNGSSYSTEME MIT DEM GTR.4 MÖGLICHE LÖSUNGSMENGEN VON LINEAREN GLEICHUNGSSYSTEMEN.5 ANWENDUNGSAUFGABEN ZU LINEAREN GLEICHUNGSSYSTEMEN. EINFÜHRUNG IN DIE VEKTORRECHNUNG. PUNKTE UND VEKTOREN IM ³. RECHNEN MIT VEKTOREN. LINEARKOMBINATION VON VEKTOREN.4 LINEARE ABHÄNGIGKEIT / UNABHÄNGIGKEIT VON VEKTOREN.5 BETRAG VON VEKTOREN UND EINHEITSVEKTOREN. SKALARPRODUKT UND WINKELBERECHNUNG. SKALARPRODUKT UND WINKEL ZWISCHEN ZWEI VEKTOREN 4. GERADEN 4. GERADENGLEICHUNGEN IM ³ 4. LAGE VON GERADEN IM DREIDIMENSIONALEN RAUM 4.. Besondere Lagen und Zeichnen einer Gerade im Koordinatensystem 4.. Lage zweier Geraden im dreidimensionalen Raum 5. EBENEN 5. TYPEN VON EBENENGLEICHUNGEN 5. DAS KREUZPRODUKT (VEKTORPRODUKT) EIN NÜTZLICHES HILFSMITTEL 5. AUFSTELLEN VON EBENENGLEICHUNGEN 5.4 UMFORMEN VON EBENENGLEICHUNGEN 5.4. Parameterform -> Koordinatengleichung (das braucht man häufig!) 5.4. Parameterform -> Normalenform 5.4. Koordinatengleichung -> Normalenform Normalenform -> Koordinatengleichung Koordinatengleichung -> Parameterform Übersicht Umformung Ebenengleichungen 5.5 LAGEBEZIEHUNG UND SCHNITT EINER GERADE MIT EINER EBENE 5.6 Lagebeziehung und Schnitt zweier Ebenen 5.7 ZEICHNEN VON EBENEN 5.7. Die drei Koordinatenebenen und ihre Parallelebenen 5.7. Ebenen als Spurdreieck 5.7. Ebenen, die parallel zu einer Koordinatenachse sind 6. ABSTÄNDE, SCHNITTWINKEL, FLÄCHEN- UND VOLUMENBERECHNUNG 6. SCHNITTWINKEL ZWISCHEN GERADEN UND EBENEN 6.. Schnittwinkel Gerade Gerade 6.. Schnittwinkel Ebene - Ebene 6.. Schnittwinkel Gerade Ebene 6. ABSTANDSAUFGABEN 6.. Abstand Punkt Punkt 6.. Abstand Punkt Ebene 6.. Abstand Punkt Gerade 6..4 Abstand zweier paralleler Ebenen 4

5 6..5 Abstand einer Ebene von einer dazu parallelen Geraden 6..6 Abstand zweier paralleler Geraden 6..7 Abstand zweier windschiefer Geraden 6. FLÄCHEN- UND VOLUMENBERECHNUNGEN 6.. Berechnung von Parallelogrammflächen 6.. Berechnung von Dreiecksflächen 6.. Berechnung von Volumen von Pyramiden 7. SPIEGELUNGEN 7. SPIEGELUNG PUNKT AN PUNKT 7. SPIEGELUNG PUNKT AN EBENE 7. SPIEGELUNG GERADE AN EBENE 7.. Gerade schneidet Ebene 7.. Gerade ist parallel zur Ebene 7.4 PUNKT AN GERADE 7.5 GERADE AN GERADE 7.6 EBENE E AN EBENE F 7.6. Ebene E ist parallel zur Ebene F 7.6. Ebene E schneidet Ebene F in einer Schnittgerade g 8. AUFGABENTYPEN IM ÜBERBLICK 5

6 . Lineare Gleichungssysteme und ihre Anwendungen. Lineare Gleichungssysteme und ihre Anwendungen. Begriff lineares Gleichungssystem Ein lineares Gleichungssystem (dies wird ab jetzt mit LGS abgekürzt) besteht im Allgemeinen aus mehreren Gleichungen mit mehreren Unbekannten. Die Anzahl der Gleichungen muss dabei nicht der Anzahl der Unbekannten entsprechen. Das Wort linear bedeutet, dass die gesuchten Variablen die Hochzahl besitzen und die Variablen nicht durch ein Produkt direkt miteinander verbunden sind (siehe Bsp.. c)). Beispiel.: Lineare Gleichungssysteme sind beispielsweise a) x + x x 5 b) 4 a+ b c 0 c) x x + 4x 7 5x + x 7 a + 4c 6x x + x 4 a) Gleichungen mit Unbekannten b) Gleichungen mit Unbekannten c) Gleichung mit Unbekannten Beispiel.: Nichtlineare Gleichungssysteme sind zum Beispiel a) x ² + x 4 b) a + b 5 c) x + y z 4 4x x 7 sin( a) b 9 x+ z 9. Lösen linearer Gleichungssysteme ohne GTR Für die Lösung eines LGS ohne GTR bietet sich das Gauss-Verfahren an. Idee des Gauss-Verfahrens: Das LGS wird in eine Stufenform umgewandelt, aus der die Lösung dann problemlos berechnet werden kann. Beispiel.: Folgendes LGS besitzt bereits eine Stufenform: x + x x x + x 5x 9 5 Aus der. Zeile erhält man x. Nach Einsetzen dieser Lösung ergibt sich aus der.zeile x und schließlich aus der.zeile x Die Lösungsmenge lautet { ( / / ) }. Das LGS des Beispiels. besitzt genau eine Lösung (und keine Lösungen!). Daher wäre die Schreibweise { ; ; } falsch, denn das würde bedeuten, dass es drei verschiedene Lösungen geben würde (wie z.b. bei einer Gleichung.Grades) 6

7 . Lineare Gleichungssysteme und ihre Anwendungen Ein LGS kann durch folgende Umformungen in eine Stufenform umgewandelt werden: Zwei Gleichungen des Gleichungssystems vertauschen Eine Gleichung mit einer beliebigen Zahl b 0 durchmultiplizieren Eine Gleichung durch die Summe / Differenz eines Vielfachen von ihr und eines Vielfachen einer anderen Gleichung des LGS ersetzen. Wie ein gegebenes LGS systematisch in eine solche Stufenform umgewandelt wird, wird an folgendem Beispiel deutlich: Beispiel.4: Umwandlung eines LGS in Stufenform 4x x x x x + 5x + x + x x Schritt.Schritt: Das LGS wird zunächst in Kurzschreibweise (Matrixschreibweise) umgeschrieben. Hierbei werden nur die Koeffizienten (Zahlen vor den Variablen) des LGS in einer Tabelle aufgeschrieben und die Variablen weggelassen..schritt: Die Zeilen des LGS müssen vertauscht werden, falls der Eintrag links oben 0 wäre. Dieser Schritt kann hier entfallen, da dort eine 4 steht. Anschließend muss man durch Addition der.zeile und.zeile bzw. der.zeile und.zeile erreichen, dass die Einträge der.spalte mit Ausnahme des Eintrags links oben 0 ergeben (siehe die eingerahmten Zahlen unten) Hierzu müssen vorher die Zeilen entsprechend durchmultipliziert werden, damit sich bei der Addition 0 ergibt. Die Pfeile bedeuten jeweils eine Addition der entsprechenden Zeilen, wobei die Pfeilspitze dort hinzeigt, wo das Ergebnis der Summe stehen wird ( ) 4 7 ( 4) Die Zeile, von der die Pfeile wegzeigen (hier die.zeile) wird dabei wieder abgeschrieben. Die Multiplikation mit - sollte also nur im Kopf stattfinden. Ergebnis: 4 4 ( ) ( 4) ( ) + 4 ( ) + 5 ( 4) 6 ( ) ( ) + 4 ( ) + ( ) ( 4) 6+ 7 ( 4) Schritt: In der zweiten Spalte soll nun durch Addition der. und. Zeile der untere Eintrag auf 0 gesetzt (siehe eingerahmte Zahl unten): 7

8 . Lineare Gleichungssysteme und ihre Anwendungen ( ) Die. Zeile, von der der Pfeil wegzeigt, wird dabei wieder abgeschrieben. Ergebnis: Im.Schritt darf nicht die. und.zeile miteinander verrechnet werden, weil dadurch der wichtige 0-Eintrag links unten, der im.schritt erzeugt wurde, wieder zerstört werden würde. Nun besitzt das Gleichungssystem die geforderte Stufenform, da unterhalb der eingezeichneten Diagonalen die Zahlen alle 0 sind. Nun kann man die Variablen berechnen: Aus der.zeile: 44x 88 x Aus der.zeile: 9x x 9x 4 x Aus der.zeile: 4x + 6 x Die Lösungsmenge lautet { ( / / ) }, das LGS besitzt also genau Lösung. Die Umwandlung in Stufenform wie in Beispiel.4 vorgestellt ist eine Möglichkeit von vielen. Natürlich könnte man im.schritt z.b. auch die Einträge in der.spalte zu 0 machen. Es ist also nur eines von mehreren Kochrezept und ein geübter Rechner kann natürlich von diesem Kochrezept abweichen.. Lösen linearer Gleichungssysteme mit dem GTR In den GTR werden nur die Zahlen der Kurzschreibweise eingegeben. Beispiel.5: Lösung eines LGS mit GTR Das LGS aus Beispiel.4 wird nun mit dem GTR berechnet:.schritt: Tastenkombination: nd ; MATRX ; EDIT ; [A] ; ; ENTER ; 4 Anschließend werden die Zahlen aus dem LGS in die Matrix eingetragen: X4 bedeutet die Eingabe einer Matrix von Zeilen und 4 Spalten.Schritt: Nach Eingabe der Tabelle geht es weiter mit folgender Tastenkombination: nd ; QUIT ; nd ; MATRX ; MATH ; rref( ; ENTER ; nd ; MATRX ; NAME ; [A] ; ENTER ; ) ; ENTER 8

9 . Lineare Gleichungssysteme und ihre Anwendungen Aus der rechten Matrix kann die Lösung abgelesen werden: x und x x.4 Mögliche Lösungsmengen von linearen Gleichungssystemen Aus den Beispielen in Kapitel. erkennt man, dass ein LGS genau eine Lösung besitzen kann. Dies ist jedoch nicht immer so, wie folgendes Beispiel zeigt: Beispiel.6: x x x + 4x x + 7x x + x x 5 liefert als mögliche Stufenform ,5 0 0,5 0 0 Die letzte Zeile der Matrix zeigt einen Widerspruch: 0 Das heißt, dass das LGS keine Lösung besitzt, also Lösungsmenge { } Beispiel.7: x x x + 4x x + 7x x + x x 4 liefert als mögliche Stufenform ,5 0,5 0,5 0,5 0 0 Die letzte Zeile der Matrix zeigt eine wahre Aussage: 0 0 Da mit dieser Zeile aber keine Variable berechnet werden kann, kann sie ignoriert werden. Damit ist die Anzahl der Variablen () größer als die Anzahl der Gleichungen () nach Streichen der Nullzeile. Das heißt, dass das LGS aufgrund der überschüssig vorkommenden Variablen unendlich viele Lösungen besitzt. Um diese unendlich vielen Lösungen darzustellen, muss man einen Parameter t einführen: Man beginnt mit der.zeile: x,5x 0, 5. Nun hat man die freie Wahl, ob man x t oder x t setzt. Es sei hier nun Aus der.zeile ergibt sich: Aus der.zeile ergibt sich: 0 x t mit t 0,5t 0,5 x 0,5 + 0,5t + 0,5t 0,5 x 0,5 0,5t x x Die (unendlich große) Lösungsmenge lautet also { (0,5-0,5t / 0,5+0,5t / t), t } Wenn man anstatt dessen x t gesetzt hätte, wäre { (-t / t / t-) t }. Diese Lösungsmengen sehen zwar unterschiedlich aus, sind aber identisch. 9

10 Ein LGS kann nur eine der folgenden Lösungsmengen besitzen:.) keine Lösung, also { }.) genau eine Lösung, zum Beispiel { (/4/-) }.) unendlich viele Lösungen, zum Beispiel { (t / t- / 5t+), t } Anschauliche Interpretation der Lösung eines LGS mit Variablen: In der Abiturprüfung wird ab und zu gefragt, wie die Lösungsmenge eines LGS geometrisch/anschaulich interpretiert werden kann. Um dies zu beantworten, muss man thematisch etwas vorweggreifen und sich mit Geradenund Ebenengleichungen (Kapitel 5 und 6) bereits auskennen. Jede Zeile des LGS kann als Ebenengleichung (in Form einer Koordinatengleichung) interpretiert werden. Die Lösung eines LGS mit Gleichungen und Variablen entspricht anschaulich einem Schnitt von drei Ebenen im dreidimensionalen Raum ³. Das LGS aus Beispiel.4 besitzt genau eine Lösung (//), was bedeutet, dass sich die drei Ebenen in einem Punkt P(//) schneiden. Das LGS aus Beispiel.6 besitzt keine Lösung, was bedeutet, dass die Ebenen keine gemeinsamen Punkte besitzen. Das LGS aus Beispiel.7 besitzt unendlich viele Lösungen, das heißt, es gibt unendlich viele gemeinsame Punkte der drei Ebenen. Diese Punkte liegen auf einer gemeinsamen Geraden. Dies erkennt man daran, dass man die Lösungsmenge als Parameterform einer Geradengleichung umschreiben kann: 0,5 0,5t 0,5 0,5 g: x 0,5 + 0,5t 0,5 + t 0,5 t 0 Anschaulich bedeutet dies, dass die Ebenen die gemeinsame Schnittgerade g besitzen. 0