Skript für die Oberstufe und das Abitur 2016 Baden-Württemberg - allg. Gymnasium. Analytische Geometrie Pflicht- und Wahlteilaufgaben

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1 Skript für die Oberstufe und das Abitur 2016 Baden-Württemberg - allg. Gymnasium Analytische Geometrie Pflicht- und Wahlteilaufgaben Dipl.-Math. Alexander Schwarz Im Weinberg Cleebronn aschwarz@mathe-aufgaben.com Homepage: Wichtiger Hinweis: Ich bitte den Eigentümer dieses Skriptes, weder das gesamte Skript noch Teilauszüge daraus zu kopieren, einzuscannen oder auf andere Art und Weise zu vervielfältigen, um es an andere weiterzugeben. Der Preis dieser Unterlagen steht in keinem Verhältnis zu dem Zeitaufwand, den ich dafür investiert habe und für den Inhalt, den man bekommt. Ich bitte um Fairness und danke dafür Alexander Schwarz

2 Vorwort Zunächst einmal bedanke ich mich für das Vertrauen, das ihr mir mit dem Kauf dieses Skriptes für die Abiturprüfung in Mathematik entgegengebracht habt! Der darin enthaltene Stoff der Analytischen Geometrie ist auf die Abiturprüfung 2016 von Baden- Württemberg abgestimmt. Dieses Skript enthält 108 Aufgaben auf Abiturniveau zum Pflicht- und Wahlteil. Es ist in einzelne Kapitel unterteilt, das jeweils einen Themenbereich der Analytischen Geometrie abdeckt. Jedes der Kapitel enthält sowohl Aufgaben zum Pflichtteil als auch zum Wahlteil. Die Pflichtteilaufgaben sind ohne GTR und ohne Formelsammlung zu lösen. Bei den Wahlteilaufgaben darf und soll der GTR eingesetzt werden. Die Aufgaben zum Wahlteil sind meist als Auszüge von Aufgabenstellungen zu verstehen, die in einer Wahlteilprüfung vorkommen können. Eine Wahlteilaufgabe umfasst also nicht einen kompletten Wahlteil einer Abiturprüfung. Lediglich im letzten Kapitel habe ich Wahlteilaufgaben zusammengestellt, die alle Themenbereiche betreffen und sowohl vom Umfang als auch von der Schwierigkeit her auch in der Abiturprüfung erwartet werden können. Da nicht jeder Schüler die gleiche Note in der Abiturprüfung anstrebt, habe ich die jeweiligen Aufgaben gekennzeichnet. Aufgaben mit *) sind schwierigere Aufgaben bzw. keine Standardaufgaben, die von Schülern, die bis zu 6 Notenpunkte erreichen wollen übersprungen werden können. Die Vergabe der Sterne sind eine individuelle Einschätzung von mir Eure Ergebnisse könnt ihr danach mit den Musterlösungen vergleichen. Der Lösungsteil besteht aus zwei Teilen: Der Hinweisteil steht jeweils am Ende eines Kapitels und soll helfen, wenn ihr einen Lösungshinweis zu einer Aufgabe benötigt, ohne gleich die komplette Lösung der Aufgabe durchzulesen. Im Lösungsteil im hinteren Teil des Skriptes sind alle Aufgaben komplett durchgerechnet. Natürlich sind meine Musterlösungen nicht immer der einzige Weg zum Ziel. In der analytischen Geometrie gibt es oft mehrere unterschiedliche Lösungswege (z.b. beim Vorgehen zur Abstandsberechnung eines Punktes von einer Geraden), so dass es durchaus möglich ist, dass im Unterricht ein anderer Lösungsweg behandelt wurde im Vergleich zu der dargestellten Musterlösung. Solltet ihr also einen anderen Lösungsweg mit demselben Ergebnis haben, kann dieser genauso richtig sein. Weitere Hinweise: Für diejenigen, die neben den Übungsaufgaben eine ausführliche Zusammenfassung des abirelevanten Stoffes benötigen, habe ich zu diesem Aufgabenskript ein zugehöriges Lehrbuch verfasst, in dem zu jedem der Kapitel die Theorie mit vielen Beispiele sowie die Einsatzmöglichkeiten des GTR enthalten sind. Für die Eigentümer des Lehrbuches empfehle ich, zunächst anhand des Lehrbuches den Stoff durchzuarbeiten und anschließend die zugehörigen Übungsaufgaben zu lösen. Die Aufgaben in den einzelnen Kapiteln sind so aufgebaut, dass man diese von vorne nach hinten durcharbeiten kann. Ich habe in diesem Skript darauf verzichtet, Originalaufgaben alter Abiturprüfungen (Haupttermine) zu stellen. Die Abituraufgaben seit 2004 könnt ihr kostenfrei von meiner Homepage inklusive ausführlicher Musterlösungen als pdf-dateien herunterladen. Auch wenn ich mir viel Mühe gebe, Tipp und Flüchtigkeitsfehler zu vermeiden, kann ich diese natürlich nicht komplett ausschließen. Solltet ihr Fehler entdecken, bin ich für eine Mitteilung dankbar. Auch Anregungen und konstruktive Kritik werden von mir gerne entgegengenommen und bei der Aktualisierung berücksichtigt. Viel Erfolg bei der Arbeit mit diesem Skript und alles Gute für eure Abiturprüfung! Alexander Schwarz 2

3 Inhaltsverzeichnis 1. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME UND IHRE ANWENDUNGEN 2. EINFÜHRUNG IN DIE VEKTORRECHNUNG 3. SKALARPRODUKT UND WINKELBERECHNUNG 4. GERADEN 5. EBENEN 6. SCHNITTWINKEL BEI GERADEN UND EBENEN 7. ABSTANDSBERECHNUNGEN 8. FLÄCHENINHALT UND VOLUMEN 9. SPIEGELUNGEN UND WINKELHALBIERENDE 10. VERMISCHTE WAHLTEILAUFGABEN 1. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME UND IHRE ANWENDUNGEN (L) 2. EINFÜHRUNG IN DIE VEKTORRECHNUNG (L) 3. SKALARPRODUKT UND WINKELBERECHNUNG (L) 4. GERADEN (L) 5. EBENEN (L) 6. SCHNITTWINKEL BEI GERADEN UND EBENEN (L) 7. ABSTANDSBERECHUNGEN (L) 8. FLÄCHENINHALT UND VOLUMEN (L) 9. SPIEGELUNGEN UND WINKELHALBIERENDE (L) 10. VERMISCHTE WAHLTEILAUFGABEN (L) 3

4 1. Lineare Gleichungssysteme und ihre Anwendungen 1. Lineare Gleichungssysteme und ihre Anwendungen Aufgaben zum Pflichtteil Aufgabe 1-1: Löse das folgende lineare Gleichungssystem und interpretiere das Ergebnis geometrisch: a) 2x + x + 2x = 4 x 3x = x + 2x = b) x + x x = 0 2x x 5x = 3 x + 3x + x = 2 Aufgabe 1-2: Bestimme die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems und interpretiere das Ergebnis geometrisch. a) 4x 3x + 7x = 1 5x 4x + 6x = 5 2x x + 9x = 7 b) 3x x + 2x = 2 2x + 4x 3x = 12 x 9x + 8x = 5 Aufgabe 1-3*: Bestimme die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems. a) 4a 3b + 5c 2d = 5 2a + 2b + 3c d = 1 b) x + x + x = 15 2x x + 7x = 50 3x + 11x 9x = 1 x x + x = 5 Aufgabe 1-4*: Gib ein lineares Gleichungssytem mit 3 Gleichungen und 3 Variablen an, bei dem alle Koeffizienten von Null verschieden sind und das die angegebene Lösungsmenge besitzt: a) L= {(1; 2; -4)} b) L = { } c) L = {(t-1 ; t + 1 ; t), t } Aufgabe 1-5*: Messing ist eine Legierung aus Kupfer und Zink. Aus den in genügender Menge vorhandenen Messingsorten A (Kupfergehalt 80%) und B (Kupfergehalt 60%) sollen vier Tonnen Messing mit einem Kupfergehalt von 65% hergestellt werden. Berechne die Anteile der Sorten A und B in der Mischung. Aufgaben zum Wahlteil Aufgabe 1-6*: Edelstahl ist eine Legierung aus Eisen, Chrom und Nickel. 18/10-Stahl besteht aus 72% Eisen, 18% Chrom und 10% Nickel. Aus den Legierungen A, B, C und D soll eine Tonne 18/10-Stahl hergestellt werden. Wie viel Tonnen werden von den einzelnen Legierungen benötigt, wenn möglichst wenig von Legierung D im Stahl 18/10 enthalten sein soll? Nachfolgende Tabelle gibt an, wie sich die Legierungen A D zusammensetzen: A B C D Eisen 70% 74% 78% 0% Chrom 22% 18% 15% 0% Nickel 8% 8% 7% 100% 4

5 1. Lineare Gleichungssysteme und ihre Anwendungen Aufgabe 1-7*: Eine Fischfarm verwendet zur Fütterung verschiedener Fischsorten im Wesentlichen drei Grundzutaten A, B und C, deren Bestandteile aus folgender Tabelle ersichtlich sind: A B C Kohlenhydrate 90% 80% 70% Fett 5% 10% 10% Rohprotein 5% 10% 20% Preis pro kg (in ) 0,30 0,50 0,70 Es sollen 20 kg Fischfutter hergestellt werden. a) Für die Züchtung von Forellen soll eine Futtermischung 12% Rohprotein und 7,5% Fett enthalten. Bestimme die Menge jeder Grundzutat. b) Für die Züchtung von Lachsen soll eine Futtermischung 8% Rohprotein enthalten. Was kostet die Mischung, wenn 6 kg von Zutat B enthalten sind? c) Für die Züchtung von Lachsen soll eine Futtermischung 8% Rohprotein enthalten. Bestimme die Menge jeder Grundzutat so, dass die Gesamtkosten möglichst gering sind. Welche Gesamtkosten entstehen dann? Lösungshinweise zu Kapitel 1: Aufgabe 1-1 und 1-2: Bringe die Gleichungssysteme auf Stufenform und löse es dann. Sofern in der 3.Zeile die Variablen wegfallen, ergibt sich entweder gar keine Lösung (z.b. bei einem Widerspruch 0 = 3) oder unendlich viele Lösungen (z.b. bei einer wahren Aussage 2 = 2) Geometrische Interpretation: Drei Ebenen schneiden sich im Raum. Ist das LGS eindeutig lösbar, schneiden sich diese in einem Punkt. Ist das LGS mehrdeutig lösbar, schneiden sich diese in einer Schnittgerade. Aufgabe 1-3: a) Das LGS besitzt unendlich viele Lösungen, da nur 2 Gleichungen aber 4 Variable existieren. Es müssen zwei Parameter eingeführt werden. b) Bringe das LGS auf Stufenform. Da hier mehr Gleichungen als Variable existieren, führt nicht jede Zeile in der Stufenform zu einer neuen Lösung, sondern es werden entweder bereits vorhandene Lösungen bestätigt (dann kann man weiterrechnen) oder es entstehen Widersprüche (dann hat das LGS keine Lösung). Aufgabe 1-4: a) Stelle drei Gleichungen auf, bei denen jeweils nach Einsetzen der gegebenen Variablenwerte eine wahre Aussage entsteht. b) Stelle drei Gleichungen auf, wovon sich zwei gegenseitig widersprechen. c) Stelle drei Gleichungen auf, bei denen jeweils nach Einsetzen der gegebenen Variablenwerte eine wahre Aussage entsteht. Die Variablen müssen hierbei so miteinander verrechnet werden, dass der Parameter t wegfällt (z.b. bei x1 + x2 2x3 gilt (t-1) + (t+1) - 2t = 0, d.h. im Ergebnis ist der Parameter t weggefallen) Aufgabe 1-5: x A ist die Tonnenanzahl von Sorte A und x B die Tonnenanzahl von Sorte B. Die Sorte A enthält 0,8 xa Tonnen Kupfer. Stelle aus den Bedingungen zwei Gleichungen auf und berechne die Variablen. Aufgabe 1-6: Es werden 4 Variable benötigt, die jeweils die gefragte Anzahl der Tonnen für die einzelnen Legierungen A - D angeben. Es ergeben sich insgesamt 4 Gleichungen. Eine Gleichung für die gesamte herzustellende Menge von einer Tonne und jeweils eine Gleichung für die Bedingungen für Eisen, Chrom und Nickel. Das LGS besitzt unendlich viele Lösungen, so dass die Lösungen durch einen Parameter t ausgedrückt werden müssen. Der Parameter t kann jedoch nur solche Werte annehmen, dass keiner der Variablen negativ wird. Bestimme diese Parameterwerte. Aufgabe 1-7: a) Es werden 3 Variablen benötigt, die jeweils die Menge der Grundzutaten A, B, C angeben. Stelle aus den Bedingungen 3 Gleichungen auf und löse das LGS. b) Es werden 2 Variablen benötigt, die jeweils die Menge der Grundzutaten A, C angeben. Die Menge der Zutat für B ist bereits gegeben. Stelle aus den Bedingungen 2 Gleichungen auf und löse das LGS. c) Es werden 3 Variablen benötigt, die jeweils die Menge der Grundzutaten A, B, C angeben. Stelle aus den Bedingungen 2 Gleichungen auf und bestimme die unendlich vielen Lösungen des LGS in Abhängigkeit des Parameters t. Berechne den Parameter t so, dass die Gesamtkosten möglichst gering sind. 5

6 5. Ebenen 5. Ebenen Aufgaben zum Pflichtteil Aufgabe 5-1: a) Die Punkte A(1/2/1), B(3/0/4) und C(-2/5/6) liegen auf der Ebene E. Stelle die Ebene E in allen 3 Gleichungstypen auf b) Die Geraden g : x = 2 + t 3 und h : x = 6 + s 6 liegen in der Ebene E Bestimme eine Gleichung von E c) Können die beiden Geraden g : x = 2 + t 3 und h : x = 5 + s 4 in einer gemeinsamen Ebene E liegen? Falls ja, wie lautet die Ebenengleichung? 1 5 d) Gegeben ist die Ebene E: x 3 3 = 0. Gesucht ist die Gleichung der Ebene F, die die 2 2 Punkte A(3/4/1) und B(2/6/-4) enthält und senkrecht auf E steht. e) Bestimme die Koordinatengleichung der Ebene, die parallel zur x2x3 -Ebene ist und den Punkt P(97/-83/105) enthält. f) Bestimme die Koordinatengleichung einer Ebene mit folgenden Eigenschaften: - Die Gerade g durch P(1/5/-2) und Q(3/1/6) schneidet E orthogonal. - P und Q haben denselben Abstand von E. Aufgabe 5-2: Gib die Gleichung der Ebene in Koordinatenform an a) E: x = 2 + r 6 + s 2 b) E: x = 0 + r 1 + s Aufgabe 5-3: Gib die Gleichung der Ebene in Normalenform an. a) E: x = 11 + r 0 + s b) E: x = 0 + r 1 + s Aufgabe 5-4: Gib die Gleichung der Ebene in Parameterform an. a) E: x1 + 2x2 x3 = 4 b) E: x1 3x2 + 6x3 = 6 c) E: x3 = 4 Aufgabe 5-5: Gegeben ist die Ebene E: x = 0 + r 1 + s a) Liegen die Punkte A(8/3/14), B(1/1/0) in der Ebene E? b) Bestimme für p eine Zahl so, dass der Punkt P(4/1/p) in der Ebene E liegt. 6

7 1. Lineare Gleichungssysteme und ihre Anwendungen (L) 1. Lineare Gleichungssysteme und ihre Anwendungen (L) Aufgabe 1-1: a) Das LGS wird in Matrixschreibweise umgeformt und dann in die Stufenform gebracht: ( 2) ( 2) Aus 3.Zeile: 14x3 = 14 x3 = 1 Aus 2.Zeile: x = 6 x2 = 2 Aus 1.Zeile: 2x 1 + ( 2) = 4 x1 = 2 Lösungsmenge L = { (2/-2/1) } Geometrische Interpretation: Das LGS beschreibt einen Schnitt von drei 3 Ebenen, die sich im Punkt P(2/-2/1) schneiden. b) Das LGS wird in Matrixschreibweise umgeformt und dann in die Stufenform gebracht: ( 2) ( 1) Aus 3.Zeile: 0 = 0 dies ist eine wahre Aussage, liefert aber kein Ergebnis für eine Variable Aus 2.Zeile: 3x2 3x3 = 3 ; da in der Zeile 2 Variablen auftreten, benötigen wir einen Parameter: Wir setzen x3 = t mit t. Aus 2.Zeile: 3x2 3t = 3 x2 = 1 t Aus der 1.Zeile folgt: x 1 + ( 1 t) t = 0 x1 = 2t + 1 Lösungsmenge L = { (1+2t / -1-t / t), t } Geometrische Interpretation: Das LGS beschreibt einen Schnitt von 3 Ebenen. Das LGS besitzt unendlich viele Lösungen; die 3 Ebenen schneiden sich in einer Schnittgerade. 1+ 2t 1 2 Die Gleichung der Schnittgeraden lautet x = 1 t = 1 + t 1 t 0 1 Aufgabe 1-2: a) Das LGS wird in Matrixschreibweise umgeformt und dann in die Stufenform gebracht: ( 5) ( 2) ( 1) Aus 3.Zeile: 0 = 0 dies ist eine wahre Aussage, liefert aber kein Ergebnis für eine Variable Aus 2.Zeile: x2 11x 3 = 15 ; da in der Zeile 2 Variablen auftreten, benötigen wir einen Parameter: Wir setzen x3 = t mit t. Aus 2.Zeile: x2 11 t = 15 x2 = 11 t 15 Aus der 1.Zeile folgt: 4x1 3( 11 t 15) + 7t = 1 4x1 = 44 40t x1 = 11 10t Lösungsmenge L = { (-11-10t / -11t-15 / t), t } Geometrische Interpretation: Das LGS beschreibt einen Schnitt von 3 Ebenen. Das LGS besitzt unendlich viele Lösungen; die 3 Ebenen schneiden sich in einer Schnittgerade. 7