Skript für die Oberstufe und das Abitur 2016 Baden-Württemberg berufl. Gymnasium (AG, BTG, EG, SG, TG, WG)

Transkript

1 Skript für die Oberstufe und das Abitur 06 Baden-Württemberg berufl. Gymnasium (AG, BTG, EG, SG, TG, WG) Aufgaben zur Analysis und Anwendungsorientierte Aufgaben Dipl.-Math. Aleander Schwarz Im Weinberg Cleebronn aschwarz@mathe-aufgaben.com Homepage: Wichtiger Hinweis: Ich bitte den Eigentümer dieses Skriptes, weder das gesamte Skript noch Teilauszüge daraus zu kopieren, einzuscannen oder auf andere Art und Weise zu vervielfältigen, um es an andere weiterzugeben. Der Preis dieser Unterlagen steht in keinem Verhältnis zu dem Zeitaufwand, den ich dafür investiert habe und für den Inhalt, den man bekommt. Ich bitte um Fairness und danke dafür Aleander Schwarz

2 Vorwort Zunächst einmal bedanke ich mich für das Vertrauen, das ihr mir mit dem Kauf dieses Skriptes für die Abiturprüfung in Mathematik entgegengebracht habt! Der darin enthaltene Stoff ist auf die Abiturprüfung 06 der beruflichen Gymnasien (AG, BTG, EG, SG, TG, WG) von Baden-Württemberg abgestimmt. Dieses Skript enthält 65 Aufgaben zur Analysis und Anwendungsorientierte Aufgaben auf Prüfungsniveau. Auf diese Aufgaben entfallen bei der Abiturprüfung immerhin zwei Drittel aller zu vergebenden Punkte. In den Kapiteln sind Übungsaufgaben zu den einzelnen Themengebieten enthalten. In Kapitel und 4 finden sich Aufgaben zur Analysis sowie Anwendungsorientierte Aufgaben, die sowohl vom Niveau als auch vom Umfang her jeweils einer Abiturprüfungsaufgabe entsprechen. Eure Ergebnisse könnt ihr danach mit den ausführlichen Musterlösungen vergleichen. Der Hinweisteil steht jeweils am Ende eines Kapitels und soll helfen, wenn ihr einen Lösungshinweis zu einer Aufgabe benötigt, ohne gleich die komplette Lösung der Aufgabe durchzulesen. Im Lösungsteil im hinteren Teil des Skriptes sind alle Aufgaben komplett durchgerechnet. Natürlich sind meine Musterlösungen nicht immer der einzige Weg zum Ziel. Solltet ihr also einen anderen Lösungsweg mit demselben Ergebnis haben, kann dies genauso richtig sein. Bei Unklarheiten stehe ich euch auch per Mail gerne zur Verfügung. Weitere Hinweise: Für diejenigen, die neben den Übungsaufgaben eine ausführliche Zusammenfassung des abirelevanten Stoffes benötigen, habe ich zu diesem Aufgabenskript ein zugehöriges Lehrbuch verfasst, in dem zu jedem der Kapitel die Theorie mit vielen Beispiele enthalten ist. Für die Eigentümer des Lehrbuches empfiehlt sich, zunächst anhand des Lehrbuches den Stoff durchzuarbeiten und anschließend die zugehörigen Übungsaufgaben zu lösen, Ich habe in diesem Skript darauf verzichtet, Originalaufgaben alter Abiturprüfungen (Haupttermine) zu stellen. Die Abituraufgaben seit 005 könnt ihr kostenfrei von meiner Homepage inklusive ausführlicher Musterlösungen als pdf-dateien herunterladen. Ich habe in diesem Skript darauf verzichtet, für einen bestimmten GTR anzugeben, wie die Eingaben zu erfolgen haben. Wer Schwierigkeiten im Umgang mit dem GTR hat, sollte auf das bereits erwähnte Lehrbuch zurückgreifen (für Teas Instruments oder Casio) in dem der Umgang und der Einsatz des GTR ausführlich beschrieben wird. Viele Rückmeldungen von Abiturienten sagen aus, dass ihnen mit diesem Skript ein besonders gut geeignetes Arbeitsmittel zur Prüfungsvorbereitung an die Hand gegeben wurde. Aber trotz aller Mühen, Tipp und Flüchtigkeitsfehler zu vermeiden, können auch mir Fehler unterlaufen sein. Solltet ihr welche entdecken, wäre ich für eine Mitteilung dankbar. Auch Anregungen und konstruktive Kritik werden von mir gerne entgegengenommen und bei der Aktualisierung berücksichtigt. Ich hoffe, dass dieses Skript euch hilft, die Abiturprüfung erfolgreich zu bestehen! Viel Erfolg bei der Bearbeitung dieses Skriptes und alles Gute für eure Abiturprüfung! Aleander Schwarz

3 Inhaltsverzeichnis (L = Lösungen) 0. Hinweise zu Aufgabenstellungen bei der Abiturprüfung. Lösen von Gleichungen und Ungleichungen. Spezielle Funktionstypen und ihre Besonderheiten. Ableitungsregeln und Bedeutung von Ableitungsfunktionen 4. Ausgewählte Elemente einer Funktionsuntersuchung 5. Funktionenscharen 6. Tangenten, Normalen, Schnittwinkel und Berührung 7. Aufstellen von Funktionsgleichungen 8. Integralrechnung 9. Zusammenhang zwischen Ableitungs- und Stammfunktionen 0. Optimierungsaufgaben / Etremwertaufgaben. Wachstum. Das Newton-Verfahren. Vermischte Aufgaben zur Analysis 4. Anwendungsorientierte Aufgaben im Abiturumfang Lösung Kapitel Lösung Kapitel Lösung Kapitel Lösung Kapitel 4 Lösung Kapitel 5 Lösung Kapitel 6 Lösung Kapitel 7 Lösung Kapitel 8 Lösung Kapitel 9 Lösung Kapitel 0 Lösung Kapitel Lösung Kapitel Lösung Kapitel Lösung Kapitel 4

4 0. Hinweise zu Aufgabenstellungen bei der Abiturprüfung 0. Hinweise zu Aufgabenstellungen bei der Abiturprüfung Bei den Wahlteilaufgaben in der Abiturprüfung ist nicht immer klar, wann der GTR zur Lösung der Aufgabe tatsächlich verwendet werden darf und wie die Verwendung zu dokumentieren ist. In der folgenden Übersicht werden die häufigsten Aufgabenformulierungen sowie die hierzu resultierenden Erwartungshaltungen an die Darstellung der Lösung beschrieben. Diese Übersicht ist ohne Gewähr und sollte auch immer mit dem Fachlehrer abgestimmt werden. Aufgabenstellung Berechnen Sie eakt Bestimmen Sie von Hand Interpretieren Sie das Ergebnis Interpretieren Sie die Zeichnung Hinweis Man kann den GTR für die Lösung von Teilschritten von Aufgaben nutzen (z.b. zur Lösung von Gleichungen), muss aber die wesentlichen Rechenschritte hinschreiben. Beispielsweise sollten bei der Berechnung von Etrempunkten die Ableitungen hingeschrieben und die jeweiligen Bedingungen notiert werden. Bei der Berechnung eines Integrals muss die Stammfunktion dann berechnet werden, wenn dies in der Aufgabenstellung verlangt wird. Die (gerundeten) Ergebnisse des GTR dürfen nicht benutzt werden. Alle wesentlichen Rechenschritte müssen hingeschrieben werden und die Ergebnisse ohne Rundung (ggf. abhängig von einem Wurzelausdruck oder π ) dargestellt werden. Der GTR kann lediglich zur Ergebniskontrolle genutzt werden. Die Ergebnisse können sowohl mit GTR als auch ohne GTR direkt ermittelt werden. Falls der GTR genutzt wird, sollte dies bei der Beantwortung hingeschrieben werden. Wenn die Berechnung komplett mit dem GTR erfolgt, kann ein Leichtsinnsfehler (z.b. falsches Abschreiben des GTR-Ergebnisses) dazu führen, dass keine Punkte dafür vergeben werden. Deshalb ist es ratsam zur Reduzierung dieses Risikos zumindest Zwischenergebnisse hinzuschreiben. Alle Rechenschritte müssen aufgeschrieben werden, der GTR darf nur zur Berechnung von Rechenausdrücken herangezogen werden. Der GTR kann lediglich zur Ergebniskontrolle genutzt werden. Aus dem Ergebnis sollen Schlussfolgerungen gezogen werden. Die Eigenschaften einer Funktion soll anhand einer Zeichnung mit eigenen Worten beschrieben werden. 4

5 0. Hinweise zu Aufgabenstellungen bei der Abiturprüfung Begründen Sie den Ansatz. Beweisen Sie / Zeigen Sie Visualisieren Sie mit einer Zeichnung Zeichnen Sie... Visualisieren Sie mit einer Skizze Skizzieren Sie... Es soll begründet werden, weshalb genau der Ansatz gewählt wurde. Die mathematische Behauptung soll auf Basis der gegebenen Voraussetzungen lückenlos bewiesen werden. Ein Beweis mittels Anschaulichkeit (z.b. anhand eines Schaubildes) reicht nicht aus. Der Beweis muss allgemeingültig sein; es reicht nicht aus, an einem konkreten Beispiel nachzuweisen, dass die Behauptung stimmt. Es wird eine saubere, eakte Zeichnung verlangt, an der sich die erforderlichen Sachverhalte ablesen lassen. Es wird eine saubere Skizze erwartet, bei welcher der Schwerpunkt nicht auf der Detailtreue liegt, aber die wesentlichen Besonderheiten der Funktion (z.b. Asymptoten, Etrempunkte, ) ablesbar sind. 5

6 . Lösen von Gleichungen und Ungleichungen. Lösen von Gleichungen und Ungleichungen Aufgaben zur Analysis Aufgabe -: Bestimme jeweils die eakte Lösungsmenge der folgenden Gleichungen: a) ( 4) ( 9) = 0 b) ( ) ( ) d) g) 8 = 0 e) = 0 h) + = 0 c) 4 + = 0 f) Aufgabe -: a) Für welche Werte von ist ( ) negativ? b) Für welche Werte von ist ( ) ( + 4) positiv? 6 4 = 0 i) Aufgabe -: Bestimme jeweils eakt die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen: a) d) = b) ( ) ( ) ( 5) e 0 e = e + e) 8 e 6 = 0 c) e e = 0 f) 6 4 = = = 0 e e = 0 e + e = 7 g) Aufgabe -4: Bestimme jeweils eakt die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen: a) e) e 6e + 5 = 0 b) 0,5 e + e = 0 f) e + 4 = 7e c) 4 e 5e + 6 = 0 d) 4 e 0e + 5e = 0 g) Aufgabe -5: Bestimme jeweils die eakte Lösungsmenge der folgenden Gleichungen: a) ( ln ) = b) ln( ) = 0 c) ( ) 6 e = 0 e + e + = e e e + e = 0 ln( ) = 0 Aufgabe -6: Bestimme für das angegebene Intervall jeweils die eakte Lösungsmenge: a) sin(4) = für [0; π ] b) sin( 4) = 0 für [0; π ] c) cos( ) = für [0;π ] d) e cos() + e = 0 für [0;π ] e) cos() (sin() ) = 0 für [0;π ] f) ( 4) cos() = 0 für [ π;0] g) cos () + cos() = 0 für [0; π ] h) sin () + 5sin() + 4 = 0 für [ π ;π ] i) cos () + cos() = 0 für [0;π ] j) sin () + sin() = 0 für Aufgabe -7: Bestimme die eakten Lösungen der folgenden Gleichung. a) cos() = für [ π ;π ] b) sin( ) = für c) cos( π ) = für Lösungshinweise Kapitel : Aufgabe -: a) und b): Satz vom Nullprodukt c) Ausklammern von und Satz vom Nullprodukt d) Ausklammern von und Satz vom Nullprodukt e) Ausklammern von und Satz vom Nullprodukt f) und g) Substitution u = h) Substitution u = i) Ausklammern von und Satz vom Nullprodukt

7 . Lösen von Gleichungen und Ungleichungen Aufgabe -: Es ist a b > 0 wenn a > 0 und b > 0 ist oder wenn a < 0 und b < 0 ist. Es ist a b < 0 wenn a > 0 und b < 0 ist oder wenn a < 0 und b > 0 ist. Aufgabe -: a) und b) Satz vom Nullprodukt c) e ausklammern und Satz vom Nullprodukt d) e-funktionen und Zahlen jeweils auf eine Seite dividieren e) e ausklammern und Satz vom Nullprodukt f) e ausklammern und durch die Klammer (in der kein mehr steht) dividieren g) Gleichung mit e durchmultiplizieren (da e im Nenner steht) Aufgabe -4: a) Substitution u = e b) Schreibe Gleichung um mit Hilfe von e =. Anschließend Gleichung mit e e multiplizieren und Substitution u = e c) Substitution u = e d) Gleichung mit e durchmultiplizieren und Substitution u = e 0,5 e) Substitution u = e f) e ausklammern und Satz vom Nullprodukt g) e + = e e (Potenzgesetz) und dann Substitution u = e Aufgabe -5: ln() Zum Auflösen von Logarithmengleichungen benötigt man die Formel e =. Außerdem muss man am Schluss eine Probe machen, ob die erhaltene Lösung auf tatsächlich eine Lösung ist. a) Gleichung nach ln() auflösen und dann b) ln() e ln() e = ausnutzen = ausnutzen c) Satz vom Nullprodukt Aufgabe -6: Zur Lösung der Gleichungen muss man die Schaubilder der Kosinus- und Sinusfunktion auswendig aufzeichnen können! a) Substitution u = 4 und löse sin(u) = b) Substitution u = 4 und löse sin(u) = 0 c) Substitution u = und löse cos(u) = - d) e ausklammern und Satz vom Nullprodukt e) und f) Satz vom Nullprodukt g) cos() ausklammern und Satz vom Nullprodukt h) Substitution u = sin() ; anschließend quadratische Gleichung lösen und rücksubstituieren i) Substitution u = cos(); anschließend quadratische Gleichung lösen und rücksubstituieren j) sin() ausklammern und Satz vom Nullprodukt ; Lösungen abhängig vom Parameter angeben! Aufgabe -7: Da man die eakten Lösungen nicht mehr aus dem Schaubild der Sinus-/Kosinusfunktion ablesen kann, verwendet man für die erste eakte Lösung den GTR; da das Ergebnis ein Vielfaches von π ist, dividiert man das GTR-Ergebnis einfach durch π. Weitere Lösungen erhält man bei Sinusgleichungen mit = π und bei Kosinusgleichungen mit = π Bei c) muss man zunächst u = π substituieren. (...) 7

8 6. Tangenten, Normalen, Schnittwinkel und Berührung 6. Tangenten, Normalen, Schnittwinkel und Berührung Aufgaben zur Analysis Aufgabe 6-: a) Bestimme die Gleichung der Tangente an das Schaubild von g() = sin() im Punkt P( π / g( π )). b) Bestimme die Gleichung der Tangente an das Schaubild von f() = ( + ) im Punkt P(/f()). c) Gib die Gleichung der Tangente an das Schaubild von f() = + im Punkt P(4/6) an. Aufgabe 6-: Gegeben ist die Funktion f und die Steigung m einer Tangente an das Schaubild von f. Bestimme die möglichen Gleichungen der Tangenten. a) f() = mit m = 6 b) f() = + mit m = 0,5. 4 Aufgabe 6-: a) Bestimme die Gleichung der Normalen zu f() = + + durch den Punkt P(-/f(-)). b) Bestimme die Gleichung der Normalen zu f() = durch den Punkt P(4/f(4)). Aufgabe 6-4: a) Bestimme die Gleichung der Tangente und der Normalen im Punkt P(/-) an das Schaubild der Funktion f() = 4 +. b) Bestimme die Gleichung der Tangente und der Normalen im Wendepunkt an das Schaubild der Funktion f() = + +. Aufgabe 6-5: Gegeben ist die Funktion f() = 5 +. Gesucht ist: a) Die Gleichung der Tangente, welche parallel ist zur Geraden durch A(0/) und B(-4/7). b) Die Gleichung der Normalen, welche parallel ist zur Geraden mit der Gleichung y = +. c) Die Gleichung der Normalen, welche orthogonal ist zur Geraden mit der Gleichung y = + 5 Aufgabe 6-6: Weise nach, dass die Gerade y = e e Tangente an das Schaubild von f() = e e ist und berechne den Berührpunkt. Aufgabe 6-7: Gegeben ist die Funktion f() =. Ihr Schaubild sei K. Vom Punkt P(0/-6), welcher nicht auf der Kurve liegt, werden Tangenten an K gelegt. Bestimme die Koordinaten der Berührpunkte sowie die Tangentengleichungen. Aufgabe 6-8: a) Zeige, dass sich die Schaubilder der Funktionen f und g mit f() = + und g() = + + im Punkt Q( / ) 6 8 berühren. b) Berechne die Koordinaten des Berührpunktes der Schaubilder der Funktionen f und g mit f() = 5 und g() = + 8

9 . Vermischte Aufgaben zur Analysis (...). Vermischte Aufgaben zur Analysis Aufgabe -:. Die Abbildung zeigt das Schaubild einer Eponentialfunktion. Diese kann durch einen der folgenden Funktionsterme beschrieben werden g () = a b e + g () = (a b) e + g () = (a + b) e +, a, b *, a) Begründe, welche Terme zur Beschreibung ungeeignet sind. b) Entnimm dem Schaubild die Koordinaten zweier Punkte. Bestimme damit für den geeigneten Funktionsterm Werte für a und b.. Für jedes t > 0 ist die Funktion f t gegeben durch f () = ( + t) e +, a) Zeichne K. K schließt mit den Koordinatenachsen im.quadranten eine Fläche ein. Berechne den Inhalt der Fläche. b) Berechne die eakten Koordinaten des Hochpunktes von K. Eine Parabel.Ordnung hat denselben Hochpunkt wie K und schneidet K im Punkt N(-/0). Bestimme eine Gleichung der Parabel. c) Im.Quadranten wird K durch das Schaubild der Funktion p mit p() = e + e, angenähert. An welcher Stelle weichen die Funktionswerte von f und p am stärksten voneinander ab? Gib die größte Abweichung an. t (...) 9

10 4. Anwendungsorientierte Aufgaben im Abiturumfang 4. Anwendungsorientierte Aufgaben im Abiturumfang Aufgabe 4-: Aus einem Wasserspeicher mit einem Fassungsvermögen von 00 m³ wird Wasser entnommen. An einem bestimmten Tag sind um 0 Uhr 800 m³ Wasser im Speicher. Die Entnahmegeschwindigkeit an diesem Tag wird beschrieben durch die Funktion f mit f() = + 4 ; 0 4. Dabei ist die Zeit in Stunden und f() gibt die Entnahmegeschwindigkeit in m³ pro Stunde zum Zeitpunkt an. a) Ermittle eine Funktion, die für diesen Tag das Volumen des entnommenen Wassers in Abhängigkeit von der Zeit angibt. Wann enthält der Speicher noch 440 m³ Wasser? b) Wie viel m³ Wasser werden zwischen Uhr und Uhr dem Speicher entnommen? c) Um 6 Uhr wird eine Pumpe eingeschaltet, die Wasser mit einer Zuflussgeschwindigkeit von 00m³ pro Stunde in den Speicher pumpt, bis er voll ist. Gib eine Funktion an, welche das Wasservolumen im Speicher im Verlaufe dieses Tages beschreibt. Zeichne das Schaubild dieser Funktion für 0 4 Wie viel m³ Wasser enthält der Speicher um 4 Uhr? (...) 0

11 Lösung Kapitel Lösung Kapitel Aufgabe -: a) ( ) ( ) 4 9 = 0 Lösung mit dem Satz vom Nullprodukt Gleichung I): b) ( ) ( ) c) d) 4 = 0 = ± Gleichung II) 9 = 0 = ; L = {-,, } + = 0 Lösung mit dem Satz vom Nullprodukt Gleichung I): Gleichung II): = 0 = ist nicht lösbar ± + 8 ± = 0, = = = und = -; L = {-; } auskl. = Gleichung I) ( ) = 0 Lösung mit dem Satz vom Nullprodukt = 0 = 0 Gleichung II) auskl. + ; : = 0 =,5 ; L = {0 ;,5} 8 = 0 ( 8) = 0 Lösung mit dem Satz vom Nullprodukt Gleichung I): = 0 Gleichung II): ± 4 + ± 6 8 = 0,= = = 4 und = ; L = {0; 4; -} auskl. 4 e) ( ) + = 0 + = 0 Lösung mit dem Satz vom Nullprodukt Gleichung I): = 0 = 0 ± 9 8 ± Gleichung II): + = 0, = = = oder = Lösungsmenge L = {0 ; ; } f) g) 4 + = 0 Substitution u = ± 9 8 ± u u + = 0 u, = = u = und u = Rücksubstitution: = = ± = = ± ; L = { ; ;; } = 0 Substitution u = 6 ± 6 6 ± u 6u + 8 = 0 u, = = u = 4 und u = Rücksubstitution: = = ± = 4 = ± ; L = { ; ; ; } h) i) 6 4 = 0 Substitution: u = ± + 48 ± 7 4u u = 0 u, = = u = und u = Rücksubstitution: = 0 = = auskl. = = ; L = {, } (4 + ² ) = 0 Lösung mit dem Satz vom Nullprodukt: Gleichung I): = 0 Gleichung II): ² = 0 Substitution: ± ± 5 4u + u = 0 u, = = 8 8 Rücksubstitution: = = ± 4 u = und u = 4 = ist nicht lösbar ; L = {0; u = ; }