Begleitbuch für Mathematik Oberstufe für die Abiturprüfungen 2017 und 2018 Baden-Württemberg - allg. Gymnasium. Teilgebiet Analysis

Transkript

1 Begleitbuch für Mathematik Oberstufe für die Abiturprüfungen 017 und 018 Baden-Württemberg - allg. Gymnasium Teilgebiet Analysis Dipl.-Math. Aleander Schwarz Im Weinberg Cleebronn aschwarz@mathe-aufgaben.com Homepage: Wichtiger Hinweis: Ich bitte den Eigentümer dieses Buches, weder das gesamte Buch noch Teilauszüge daraus zu kopieren, einzuscannen oder auf andere Art und Weise zu vervielfältigen, um es an andere weiterzugeben. Der Preis dieser Unterlagen steht in keinem Verhältnis zu dem Zeitaufwand, den ich dafür investiert habe und für den Inhalt, den man bekommt. Ich bitte um Fairness und danke dafür Aleander Schwarz 1

2 Vorwort Zunächst einmal bedanke ich mich bei euch für das Vertrauen, das ihr mir mit dem Kauf dieses Buches für die Abiturprüfung in Mathematik entgegengebracht habt! Der darin enthaltene Stoff der Analysis ist auf die Abiturprüfungen 017 und 018 von Baden- Württemberg abgestimmt. Dieses Buch dient sowohl zur Vorbereitung auf die Abiturprüfung als auch auf die Klausuren in der Oberstufe. Ich habe mir zum Ziel gesetzt, alle Themen so verständlich wie möglich darzustellen und auf fachchinesisch zu verzichten (gemäß Albert Einstein: Alles sollte so einfach wie möglich gemacht werden, aber nicht einfacher ). In jedem Kapitel werden die wesentlichen Inhalte zu jedem Thema ausführlich beschrieben. Die vielen Beispielrechnungen und Schaubilder dienen dazu, die Beschreibungen noch konkreter zu erläutern. Dabei habe ich in dem Buch auch die wichtigsten Themen und Formeln aufgenommen, die bereits in der Mittelstufe behandelt wurden, sofern sie für die Abiturprüfung relevant sind. Wichtige Formeln, die ihr häufig in der Prüfung benötigt oder Rechenverfahren, die ihr auswendig lernen solltet sind in dem Buch grau hinterlegt. Außerdem solltet ihr euch im Vorfeld der Abiturprüfung bzw. einer Klausur mit der "Merkhilfe" (kurze Formelsammlung) vertraut machen, die ihr im Wahlteil verwenden dürft. Die Merkhilfe findet ihr auch auf meiner Homepage zum download. Nach meiner Erfahrung hilft es Schülern, wenn man nicht nur darstellt, wie etwas gemacht wird, sondern auch, wie (und warum) etwas nicht gemacht werden darf. Ich habe daher in dem Buch auch typische Fehler und Irrtümer dargestellt, die Schüler aufgrund meiner langjährigen Erfahrung immer wieder machen. Sie sind durch das entsprechende Symbol am Rand gekennzeichnet. Wer diese "Fettnäpfchen" kennt, kann ihnen besser ausweichen. Um zu prüfen, ob ihr den Stoff auch verstanden habt, sind in diesem Buch fast 150 Übungsaufgaben enthalten. Steht hinter einer Aufgabe "GTR, MH", dann darf (und soll) der GTR und die Merkhilfe benutzt werden. Aufgaben ohne Anmerkung sind ohne Hilfsmittel zu lösen. Die Musterlösungen aller Übungsaufgaben aus dem Buch werden als pdf-dateien über einen geschlossenen Download-Bereich auf meiner Homepage zur Verfügung gestellt. Ihr habt als Besteller des Buches die Zugangsdaten zu diesem Bereich von mir per Mail erhalten. Falls ihr alle Übungsaufgaben aus dem Buch durchgerechnet habt und noch weiteren Übungsbedarf habt, findet ihr in diesem Download-Bereich zu jedem Kapitel noch viele weitere Zusatzaufgaben inklusive Musterlösungen. Ich habe darauf verzichtet, in dem Buch die Originalaufgaben alter Abiturprüfungen abzudrucken. Alle Abituraufgaben könnt ihr kostenfrei von meiner Homepage inklusive ausführlicher Musterlösungen als pdf-dateien herunterladen. Hinweis zum GTR: Damit ihr wisst, wie bestimmte Aufgaben mit dem GTR gelöst werden, findet ihr in dem geschlossenen Download-Bereich neben den Musterlösungen auch zwei GTR-Bedienungsanleitungen als pdf-datei für den GTR von Teas Instruments (TI - 8 Plus) sowie für den GTR von Casio (f 9860 GII). Anregungen und konstruktive Kritik zu diesem Buch werden von mir gerne entgegengenommen und bei der nächsten Aktualisierung berücksichtigt. Viel Erfolg bei der Bearbeitung dieses Buches und alles Gute für eure Abiturprüfung! Aleander Schwarz

3 Inhaltsverzeichnis 1. Lösen von Gleichungen und Ungleichungen 1.1 Polynomgleichungen 1. Lineare Ungleichungen 1. Eponentialgleichungen 1. Trigonometrische Gleichungen 1..1 Sinus und Kosinus am Einheitskreis 1.. Einfache trigonometrische Gleichungen im Pflichtteil 1.. Trigonometrische Gleichungen im Wahlteil. Spezielle Funktionstypen und ihre Besonderheiten.1 Funktionsbegriff, Definitionsmenge, Wertemenge. Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)..1 Verhalten für ± von ganzrationalen Funktionen. Gebrochenrationale Funktionen..1 Verhalten für ± von gebrochenrationalen Funktionen.. Verhalten an Definitionslücken von gebrochenrationalen Funktionen. Eponentialfunktionen..1 Verhalten für ± von Eponentialfunktionen.5 Trigonometrische Funktionen.5.1 Die verallgemeinerte Sinus- und Kosinusfunktion.6 Logarithmusfunktionen.7 Wurzelfunktionen.8 Zusammenfassung der Grundfunktionen.8.1 Parabeln.8. Geraden.9 Verschiebung, Spiegelung und Streckung von Schaubildern. Ableitungsregeln und Bedeutung von Ableitungsfunktionen.1 Definition der Ableitungsfunktion mit Differenzenquotient. Ableitungsregeln..1 Ableitungsregeln der Grundfunktionen.. Produktregel.. Kettenregel.. Kombination Produkt- und Kettenregel. Interpretation der ersten und zweiten Ableitungsfunktion. Ableitungen bei Anwendungsaufgaben und Sachzusammenhängen. Kurvendiskussion.1 Symmetrieuntersuchung der Funktion. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen..1 Schnittpunkt mit der y-achse.. Nullstellen und Schnittpunkte mit der -Achse. Etrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte). Monotonie.5 Wendepunkte und Sattelpunkte 5. Optimierungsaufgaben / Etremwertaufgaben 5.1 Globales Minimum/Maimum 5. Trigonometrie bei rechtwinkligen Dreiecken 5. Vorgehen beim Lösen von Etremwertaufgaben 6. Funktionen mit Parametern 7. Tangenten, Normalen, Schnittwinkel und Berührung 7.1 Aufstellen von Tangenten- und Normalengleichungen 7. Schnittwinkel zweier Schaubilder 7. Berührung zweier Schaubilder 8. Aufstellen von Funktionsgleichungen 8.1 Aufstellen von ganzrationalen Funktionen

4 8. Aufstellen von gebrochenrationalen Funktionen 8. Aufstellen von trigonometrischen Funktionen 8. Aufstellen von Eponentialfunktionen 9. Integralrechnung 9.1 Berechnung von Stammfunktionen 9. Integrale 9. Anwendungen der Integralrechnung 9..1 Flächenberechnung zwischen Schaubildern 9.. Unbegrenzte Flächen 9.. Volumen von Rotationskörpern 9.. Mittelwertberechnung bei Funktionen 9..5 Flächen unterhalb von Änderungsraten-/Geschwindigkeitsfunktionen 9. Veranschaulichung von Stammfunktionen 9.5 Die Integralfunktion 10. Zusammenhang zwischen Ableitungs- und Stammfunktionen 10.1 Eigenschaften der Ableitung f () bei gegebener Funktion f() erkennen 10. Eigenschaften der Stammfunktion F() bei gegebener Funktion f() 11. Wachstums- und Zerfallsvorgänge 11.1 Prozentrechnen 11. Differenzialgleichungen 11. Eponentielles Wachstum 11. Funktionsanpassungen 11.5 Beschränktes Wachstum 11.6 Ergänzungen zum Thema Wachstum

5 1. Lösen von Gleichungen und Ungleichungen Gleichungen zu lösen gehört zum wichtigsten Grundhandwerkszeug in Klausuren und der Abiturprüfung. Das Lösen einer Gleichung kann als eigenständige Aufgabe vorkommen oder bei der Berechnung von Nullstellen, Etrem- und Wendepunkten auftreten. Gleichungen im Pflichtteil muss man ohne GTR lösen können. Bei schwierigen Gleichungen im Wahlteil hilft uns der GTR. In Kapitel 1 lernen wir, wie man Gleichungen unterschiedlichen Typs ohne GTR löst. Wie wir mit dem GTR Gleichungen lösen, findet man in der GTR-Bedienungsanleitung in Kapitel. Satz vom Nullprodukt Wichtigste Regel für das Lösen von Gleichungen: Satz vom Nullprodukt: (Abkürzung "SvNp") Die Gleichung a b = 0 ist dann erfüllt, wenn a = 0 oder b = 0 ist. Diese Regel müssen wir immer dann anwenden, wenn in einer Gleichung auf einer Seite eine Multiplikation mindestens zweier Terme steht, die auf der anderen Seite = 0 gesetzt sind. Beispiel 1.1: a) Die Gleichung ( + ) ( ) ( + 5) = 0 müssen wir mit dem "SvNp" lösen. Es werden hierzu die einzelnen Multiplikatoren gleich Null gesetzt und berechnet. Gleichung I): + = 0 = Gleichung II): = 0 = Gleichung III): + 5 = 0 = 5 Lösungsmenge: L = {- ; ; -5} b) Die Gleichung ( ) e = 0 müssen wir mit dem "SvNp" lösen. Gleichung I): e = 0 diese Gleichung besitzt keine Lösung Gleichung II): = 0 = = ± ( Lösungen!) Lösungsmenge L = {- ; } Bei Gleichungen wie in Beispiel 1.1 versuchen manche, zunächst die Klammern in der Gleichung aufzulösen - da man dies bei Gleichungen in der Mittelstufe häufig auch gemacht hat. Es ist auch nicht immer falsch, in einer Gleichung vorhandene Klammern aufzulösen. Aber in dem Fall, wo auf einer Seite der Gleichung ein Produkt steht, so dass der "SvNp" angewandt werden kann, darf man die Klammern eben nicht auflösen. Da die Regel des Satzes vom Nullprodukt bei allen Gleichungstypen vorkommt, müssen wir diese Regel immer im Gedächtnis haben. 5

6 1.1 Polynomgleichungen In Polynomgleichungen kommen nur Variablen vor, deren Hochzahl ganzzahlig und nicht negativ sind, also 0,1,,,... Grad der Gleichung = höchste Variablenhochzahl in der Gleichung Beispiele für Polynomgleichungen: a) + = 0 : Gleichung.Grades b) 5 0,5 + = 7 : Gleichung 5.Grades c) ( 1) ( + ) ( 7) = 0 : Gleichung.Grades (erkennbar nach Auflösung der Klammern) Je nach Grad der Gleichung gibt es unterschiedliche Lösungsstrategien, die nun einzeln vorgestellt werden: Gleichungen 1. Grades Diese Gleichungen können wir einfach nach Sortierung der Terme nach auflösen: Beispiel 1.: ( + ) = 6 Klammer aufl = 6; = 1 : 6 = Gleichungen.Grades (quadratische Gleichungen) 1.Fall: Typ = a Falls a > 0 ist, ergeben sich zwei Lösungen: vergessen) Falls a = 0 ist, eistiert nur eine Lösung = 0 Falls a < 0 ist, ist die Gleichung nicht lösbar. Beispiel 1.: a) 9 = 0 b) = 9 = ± 9 = ± = 9 besitzt keine Lösung = ± a (die Lösung a wird gerne.fall: Typ a + b = 0 Ausklammern von und dann Anwendung des Satzes vom Nullprodukt Beispiel 1.: = 0 Ausklammern von : ( ) = 0 mit SvNp folgt 1 = 0 und =..Fall: Typ a + b + c = 0 Hier steht uns eine Lösungsformel ( Mitternachtsformel ) zur Verfügung: Die Gleichung a ² + b + c = 0 besitzt die Lösungsformel b ± b² ac 1 = a, 6

7 Die Anzahl der Lösungen der quadratischen Gleichung hängt vom Ausdruck der Wurzel ab. Diesen Term nennt man auch Diskriminante. b² ac unter b ac > 0 : Die quadratische Gleichung besitzt zwei verschiedene Lösungen. b ac = 0 : Die quadratische Gleichung besitzt genau eine Lösung. b ac < 0 : Die quadratische Gleichung besitzt keine Lösung. Beispiel 1.5: a) + 1= 0 ergibt 1, ± ( ) ( 1) ± 1 = = ( ) mit 1 = 1 und = 0,5. b) Die Gleichung = 0 besitzt keine Lösung, da die Diskriminante b ac = = 19 < 0 ist und die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht eistiert. Hinweis: Alternativ zu der "abc-formel" gibt es auch die "pq-formel", die man ebenfalls verwenden könnte. In diesem Buch arbeiten wir aber nur mit der abc-formel. Gleichungen ab Grad Hier können folgende unterschiedliche Fälle auftreten: 1.Fall: Typ n a = b Hier können wir die Gleichung direkt nach auflösen. MERKE: Bei der Gleichung a > 0: 1, n = a muss man auf die Werte von n und a achten: n = ± a falls n gerade ist a < 0: Gleichung unlösbar, falls n gerade ist n = a falls n ungerade ist n = a falls n ungerade ist Beispiel 1.6: a) = 5 b) c) d) = 16 = 8 = = 7 = 8 = = 7 = = 8 = = ± ( Lösungen!) = 1 diese Gleichung ist nicht lösbar Die Lösung in Beispiel 1.6 b) darf nicht in der Form = 8 aufgeschrieben werden (auch wenn die meisten Taschenrechner bei dieser Eingabe die Zahl - als Ergebnis ausgeben)..fall: Typ a ( ) ( ) = 0 Hier können wir sofort den Satz vom Nullprodukt anwenden (ohne die Klammern aufzulösen!) Beispiel 1.7: a) ( 6) ( + 8) = 0 Lösung mit dem SvNp Gleichung I) 6 = 0 = Gleichung II) + 8 = 0 = 8 Lösungsmenge L = { ; -8} 7

8 b) ( ) ( ) 0, + 5 = 0 Lösung mit dem SvNp Gleichung I) Gleichung II) = = 0 = = ± = 5 = 5 Lösungsmenge L = { ± ; 5}.Fall: Typ a + b + c = 0 bzw. a + b + c = 0 Hier müssen wir oder ² oder ³ ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden. Beispiel 1.8: a) + = 0 ausklammern ( ) + = 0 Lösung mit SvNp Gleichung I): = 0 MNF 1± 1+ 1± 5 Gleichung II): + = 0 1, = = = 1 und = -1,5 Lösungsmenge L = {0 ; -1,5 ; 1} b) = Gleichung gleich Null setzen: ausklammern = 0 ( 1) = 0 Lösung mit SvNp c) Gleichung I): = 0 = 0 Gleichung II): 1= 0 = 1 Lösungsmenge L = {0 ; 1} ausklammern 9 = 0 ( 9) = 0 Lösung mit SvNp Gleichung I): = 0 = 0 Gleichung II): 9 = 0 = 9 = ± Lösungsmenge L = {0 ; ; - } Bei Gleichungen wie in Beispiel 1.8 b) passiert ab und zu folgender Umformungsfehler: = : = 1 Vergleicht man diese Lösung mit der Lösung aus dem Beispiel 1.8 b) fällt auf, dass = 1 zwar eine Lösung ist, aber die Lösung = 0 verloren gegangen ist. Dies liegt daran, dass die Gleichung durch dividiert wurde und diese Umformung für = 0 nicht zulässig ist. Merke: Wenn wir eine Gleichung durch einen Term dividieren, der die Variable enthält, können Lösungen verloren gehen. Deshalb darf man dies nicht machen!.fall: Typ a + b + c = 0 Dieser Gleichungstyp wird gelöst mit Hilfe der Substitution = u. Daraus ergibt sich die Gleichung au + bu + c = 0, die mit der a-b-c-formel gelöst wird. Danach müssen die erhaltenen Lösungen wieder rücksubstituiert werden. Beispiel 1.9: + = 0 Lösung mit Substitution Die substituierte Gleichung lautet = u u u + = 0 8

9 ± 9 8 ± 1 Mit der Lösungsformel folgt u1, = = und damit u1 = und u = 1 Mit Hilfe der Rücksubstitution müssen wir die Variable u wieder in umwandeln. Hierzu setzen wir die Lösungen von u wieder in die Gleichung = u ein: 1 u = = = ± } u = 1 = 1 = ± 1 Lösungsmenge L = {1; -1;, Wäre in Beispiel 1.9 eine Lösung u = (also negativ) gewesen, so hätte sich bei der Rücksubstitution keine Lösung für ergeben: u1 = = ist nicht lösbar. Damit wären zwei der maimal vier möglichen Lösungen weggefallen. Übungsaufgaben Aufgabe 1-1: Bestimme jeweils die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen: a) ( ) ( ) d) 9 = 0 b) + = 0 e) = 0 c) 1 ( 16) ( + + ) = 0 f) 8 = 0 5 = 6 Hinweis: Es kann vorkommen, dass zu Beginn eine Gleichung vorliegt, bei der die Variable im Nenner steht, wie zum Beispiel =. In diesem Fall muss zuerst die Gleichung mit dem Hauptnenner durchmultipliziert werden (dies wäre hier ). Danach können die Brüche gekürzt werden und es entsteht eine bruchfreie Gleichung, die wir gemäß den bisher gelernten Verfahren lösen können. Beispiel 1.10: 6 1 Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung 1 + = für 0 Durchmultiplizieren der Bruchgleichung mit dem Hauptnenner = = 1 Nach dem Kürzen entsteht die Gleichung: 6 + = 6 = 0 1± 1+ 1± 5 Lösung der quadratischen Gleichung: 1, = = 1 =, = Übungsaufgaben Aufgabe 1-: Löse die folgenden Gleichungen für a) = b) = 1 c) 1 + = 9

10 Musterlösungen (werden als pdf-dateien zur Verfügung gestellt) Aufgabe 1-1: a) ( ) ( ) 9 = 0 Lösung mit dem Satz vom Nullprodukt Gleichung I): = 0 = ± Gleichung II) 9 = 0 = ; L = {-,, } b) 0 auskl. = Gleichung I) ( ) = 0 Lösung mit dem Satz vom Nullprodukt = 0 = 0 Gleichung II) + ; : = 0 = 1,5 ; L = {0 ; 1,5} c) d) e) f) auskl. 8 = 0 ( 8) = 0 Lösung mit dem Satz vom Nullprodukt Gleichung I): = 0 MNF Gleichung II): ± + ± 6 8 = 0 1,= = = und = ; L = {0; ; -} + = 0 Substitution u = ± 9 8 ± 1 MNF u u + = 0 u1, = = u = und u = 1 Rücksubstitution: = = ± = 1 = ± 1 ; L = { ; 1;1; } 1 ( 16) ( + + ) = 0 Lösung mit dem Satz vom Nullprodukt Gleichung I): 16 = 0 = 16 = ± 16 = ± Gleichung II): 5 = = 0 MNF 1± 1 1 1± 0 1, = = = 0,5 ; L = {; -; -0,5} 5 6 = 0 Substitution u = 5 ± 5 1 ( 6) 5 ± 1 MNF u 5u 6 = 0 u1, = = u1 = 9 und Rücksubstitution: = 9 = ± u = = ist nicht lösbar L = {; -} 10