Begleitbuch für Mathematik für die Prüfung zur Fachhochschulreife 2019 Baden-Württemberg - Berufskolleg. Analysis
|
|
- Cornelius Lange
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Begleitbuch für Mathematik für die Prüfung zur Fachhochschulreife 019 Baden-Württemberg - Berufskolleg Analysis Dipl.-Math. Alexander Schwarz Im Weinberg Cleebronn aschwarz@mathe-aufgaben.com Homepage: Wichtiger Hinweis: Ich bitte den Eigentümer dieses Buches, weder das gesamte Buch noch Teilauszüge daraus zu kopieren, einzuscannen oder auf andere Art und Weise zu vervielfältigen, um es an andere weiterzugeben. Der Preis dieser Unterlagen steht in keinem Verhältnis zu dem Zeitaufwand, den ich dafür investiert habe und für den Inhalt, den man bekommt. Ich bitte um Fairness und danke dafür Alexander Schwarz
2 1 Vorwort Zunächst einmal bedanke ich mich bei euch für das Vertrauen, das ihr mir mit dem Kauf dieses Buches für die Prüfung in Mathematik entgegengebracht habt! Der darin enthaltene Stoff der Analysis ist auf den Inhalt der Fachhochschulreifeprüfung 019 von Baden-Württemberg abgestimmt. Ich habe mir zum Ziel gesetzt, alle Themen so verständlich wie möglich darzustellen und auf fachchinesisch zu verzichten (gemäß Albert Einstein: Alles sollte so einfach wie möglich gemacht werden, aber nicht einfacher ). In jedem Kapitel werden die wesentlichen Inhalte zu jedem Thema ausführlich beschrieben. Die Beispielrechnungen und Schaubilder dienen dazu, die Beschreibungen noch konkreter zu erläutern. Wichtige Formeln oder Rechenverfahren sind in dem Buch mit einem fetten Rahmen dargestellt. Außerdem solltet ihr euch im Vorfeld der Abschlussprüfung bzw. einer Klausur mit der "Merkhilfe" (kurze Formelsammlung) vertraut machen, die ihr im Wahlteil verwenden dürft. Die Merkhilfe findet ihr auf Seite iii in diesem Buch. VORSICHT FALLE: Nach meiner Erfahrung hilft es Schülern, wenn man nicht nur darstellt, wie etwas gemacht wird, sondern auch, welche Fehler auftreten können. Ich habe daher typische Fehler und Irrtümer dargestellt, die Schüler aufgrund meiner langjährigen Erfahrung immer wieder machen. Wer diese "Fettnäpfchen" kennt, kann ihnen besser ausweichen. Um zu prüfen, ob ihr den Stoff auch verstanden habt, finden sich in den ersten 15 Kapiteln über 140 Übungsaufgaben. Durch die neue Prüfungsordnung seit 018 könnt ihr die alten Prüfungsaufgaben bis 017 nicht zur Prüfungsvorbereitung nutzen. Daher habe ich in den Kapiteln 16 und 17 viele Musterprüfungsaufgaben zusammengestellt, mit denen ihr euch auf eure Prüfung vorbereiten könnt. Die Original-Prüfungsaufgaben von 018 findet ihr als kostenfreien Download auf meiner Homepage unter dem Menüpunkt Aufgaben -> Fachhochschulreife. Die Musterlösungen aller Übungsaufgaben aus dem Buch werden als pdf-dateien über einen geschlossenen Download-Bereich auf meiner Homepage zur Verfügung gestellt. Ihr habt als Besteller des Buches die Zugangsdaten zu diesem Bereich von mir per Mail erhalten. Hinweis zu den Übungsaufgaben: Alle Aufgaben, bei denen ihr einen Taschenrechner und die Merkhilfe verwenden dürft, habe ich durch die Kennung (WTR, MH) ergänzt. Die restlichen Aufgaben sollte ohne Hilfsmittel gelöst werden. Anregungen und konstruktive Kritik zu diesem Buch werden von mir gerne entgegengenommen und bei der nächsten Aktualisierung berücksichtigt. Weitere Informationen zur Fachhochschulreifeprüfung findet ihr auf Viel Erfolg bei der Bearbeitung dieses Buches und alles Gute für eure Prüfung! Alexander Schwarz
3 Prüfungsablauf Die Prüfungszeit beträgt 00 Minuten. Insgesamt können 90 Punkte erreicht werden. In der kompletten schriftlichen Prüfung ist nur das Themengebiet Analysis relevant (also die Themen, die in diesem Buch behandelt werden) Im Teil 1 (Pflichtteilaufgaben) dürfen keine Hilfsmittel benutzt werden. In den Teilen 4 (Wahlteilaufgaben) dürfen die Merkhilfe sowie ein wissenschaftlicher Taschenrechner verwendet werden. Teil 1: (Pflichtteil) SchülerIn erhält einen Aufgabensatz aus ca. 6 Aufgaben und muss alle bearbeiten. Es können maximal 30 Punkte erreicht werden Teil - 4: (Wahlteil) SchülerIn wählt aus drei Wahlteilaufgaben zwei Wahlteilaufgaben aus, die zu bearbeiten sind. Pro Wahlteilaufgabe können 30 Punkte, also maximal 60 Punkte erreicht werden.
4 Merkhilfe (bitte die Anmerkung zu Beginn beachten!) 3
5 4
6 5
7 6
8 7
9 8
10 9
11 10
12 Einführung in die Funktionen 11 1 Einführung in die Funktionen Beim Thema "Analysis" stehen Funktionen im Mittelpunkt. Bereits in der Mittelstufe habt ihr euch beim Thema Geraden und Parabeln bereits mit Funktionen beschäftigt. Aber keine Sorge: Ihr braucht nun nicht in alten Unterrichtsaufschrieben stöbern. Geraden und Parabeln werden wir in den Kapiteln und 3 ausführlich wiederholen. Außerdem werdet ihr in diesem Buch noch andere Funktionen kennen lernen: Polynomfunktionen (Ganzrationale Funktionen) Exponentialfunktionen (e-funktionen) Trigonometrische Funktionen (Sinus- und Kosinusfunktionen) Zunächst schauen wir uns aber mal an, was man unter einer "Funktion" überhaupt versteht. 1.1 Funktionsbegriff, Definitionsmenge, Wertemenge Eine Funktion können wir uns wie eine Maschine vorstellen, in die wir eine Zahl als x- Wert oben reinstecken und die Maschine daraus genau eine Zahl als y-wert produziert (nicht mehrere!). Die Zahlenmenge der x-werte, die wir in die Maschine reinstecken wollen, nennen wir die Definitionsmenge der Funktion. Die Zahlenmenge der y-werte, die wir als "Ergebnisse der Maschine" erhalten, wenn wir alle möglichen x-werte der Definitionsmenge reinstecken, nennen wir die Wertemenge der Funktion. Eine Funktion f ist eine eindeutige Zuordnung, die jeder Zahl x aus einer Definitionsmenge D genau eine Zahl y = f(x) aus der Wertemenge W zuordnet. Die Mathematik hat eine spezielle Fachsprache, daher ist es wichtig, dass ihr euch bestimmte Begriffe merkt und diese auch insbesondere bei Prüfungen richtig benutzt. Einige Bezeichnungen, die im Zusammenhang mit Funktionen wichtig sind:
13 Einführung in die Funktionen 1 x Variable der Funktion; der x-wert wird häufig auch Stelle genannt f(x) Funktionswert von x (Funktionswert an der Stelle x); in der Mittelstufe habt ihr anstatt f(x) den Buchstaben "y" geschrieben; nun solltet ihr aber die Schreibweise "f(x)" benutzen; lediglich bei Geradengleichungen (siehe Kapitel ) schreibt man auch in der Oberstufe häufig "y" anstatt f(x). D Definitionsmenge = Menge aller x-werte, die in f eingesetzt werden dürfen Um Zahlenmengen anzugeben (zum Beispiel zur Angabe der Definitionsmenge oder Wertemenge) kann man Intervalle verwenden. Um zu unterscheiden, ob die Randzahl eines Intervalls noch zur Zahlenmenge dazugehört oder nicht, werden in der Mathematik zwei Sorten von eckigen Klammern verwendet. Zeigt eine eckige Klammer nach außen, gehört die Randzahl nicht mehr zum Intervall dazu; zeigt die eckige Klammer nach innen, gehört die Randzahl zum Intervall zu. [1;4] : 1 x 4 alle Zahlen von 1 bis 4 einschließlich der Zahlen 1 und 4 [1;4[ : 1 x 4 alle Zahlen von 1 bis 4 einschließlich 1 aber ohne 4 ]1;4] : 1 x 4 alle Zahlen von 1 bis 4 einschließlich 4 aber ohne 1 ]1;4[ : 1 x 4 alle Zahlen von 1 bis 4 ohne 1 und ohne 4 [1; [ : x 1 alle Zahlen von 1 bis unendlich einschließlich der Zahl 1 Außerdem gibt es noch Abkürzungen für bestimmte Zahlenmengen R : Menge aller reellen Zahlen (alle Zahlen auf dem Zahlenstrahl) Z : Menge aller ganzen Zahlen, also Z = {...-3, -, -1, 0, 1,, 3,...} N : Menge aller natürlichen Zahlen, also N = {0,1,, 3,...} Damit ihr zu einer Funktion das zugehörige Schaubild zeichnen könnt, benötigt ihr ein Koordinatensystem mit einer x-achse (waagrecht) und einer y-achse (senkrecht). Die einzelnen Punkte im Koordinatensystem werden durch zwei Koordinaten angegeben. Die Koordinatenachsen schneiden sich im Ursprung O(0/0). Beispiel 1.1: a) P(/3) ist der Punkt mit dem x-wert und dem y-wert 3 (also vom Ursprung aus zwei nach rechts und 3 nach oben). b) Ein Punkt Q(x/0) liegt immer auf der x-achse, da der y-wert Null ist. c) Ein Punkt R(0/y) liegt immer auf der y-achse, da der x-wert Null ist. Quadranten/Felder im Koordinatensystem Die Koordinatenachsen teilen die Ebene in 4 Felder auf, die gemäß der Abbildung durchnummeriert sind:
14 Einführung in die Funktionen 13 Eine Funktion kann man in unterschiedlicher Form darstellen: als Funktionsterm: f(x) x x als Wertetabelle: x y Die x-werte sind in der Wertetabelle beliebig vorgegeben. Die y-werte erhält man durch Einsetzen der x-werte in die Funktionsgleichung. Beispiel für x = -1: f( 1) ( 1) ( 1) 1 1 Beispiel für x = 1: f(1) Der in der Prüfung zugelassene Taschenrechner kann nach Eingabe einer Funktionsgleichung eine Wertetabelle anzeigen. Wie dies bei dem jeweiligen Taschenrechnermodell funktioniert, sollte aus dem Unterricht bekannt sein (oder in der Bedienungsanleitung nachgelesen werden). als Schaubild Bedeutung der Kurzschreibweise f(-1) = 1.) Für den x-wert x = -1 erhält man durch Einsetzen in f(x) den Funktionswert..) Der Punkt A(-1/) liegt auf dem Schaubild von f; A( 1/) Kf 3.) Die Funktion f nimmt an der Stelle x = -1 den y-wert an. Kommen wir nochmals auf die Begriffe Definitionsmenge und Wertemenge zurück, die weiter oben bereits schon erwähnt wurden. Die Definitionsmenge einer Funktion f(x) umfasst die Menge aller Zahlen, die man für die Variable x einsetzen darf.
15 Einführung in die Funktionen 14 Beispiel 1.: Wir betrachten die Funktion f(x) 0,5x 4 Wir dürfen in die Funktion alle reellen Zahlen für die Variable x einsetzen, z.b. f(0) 0,5 0 4 oder f(1) 0, ,5 oder f( ) 0,5 ( ) 4 Die Funktion f(x) besitzt die Definitionsmenge D = R. Die Wertemenge einer Funktion f(x) umfasst die Menge aller Zahlen, die als Funktionswerte (y-werte) angenommen werden können. Um die Wertemenge einer konkreten Funktion zu bestimmen, benötigt man das Schaubild der Funktion. Linkes Schaubild: Die Parabel f(x) x 1besitzt als tiefsten Punkt den Scheitelpunkt S(0/1). Die y-werte aller Parabelpunkte sind größer oder gleich 1. Wertemenge W [1; [ Mittleres Schaubild: Die Gerade g(x) x ist unendlich lang (das heißt Definitionsmenge D = R) und kann alle y-werte annehmen. Wertemenge W = R Rechtes Schaubild: Die Gerade g(x) x beginnt bei x = -1 und endet bei x = (das heißt Definitionsmenge D = [-1;]. Der kleinste y-wert ist 1 und der größte y-wert ist 4. Wertemenge W = [1;4]. Am mittleren und rechten Schaubild erkennen wir, dass die Wertemenge einer Funktion davon abhängig ist, welche Definitionsmenge für die Funktion gewählt wird. Nicht jede Kurve in einem Koordinatensystem stellt das Schaubild einer Funktion dar. Eine Funktion liegt nur vor, wenn jedem x-wert genau ein y-wert zugeordnet werden kann. Falls bei einer Kurve mehrere Punkte "übereinander liegen", liegt keine Funktion vor. Ihr könnt dies so kontrollieren: Eine Kurve ist nur dann das Schaubild einer Funktion, wenn jede senkrechte Gerade maximal einmal die Kurve schneidet.
16 Einführung in die Funktionen 15 Beispiel 1.3: Die beiden Schaubilder stellen keine Funktion dar. Beim linken Schaubild (einer liegenden Parabel ) werden einem x-wert zwei y-werte zugeordnet (zum Beispiel besitzt der x-wert 4 die y-werte und -). Beim rechten Schaubild (einer senkrechten Gerade) werden dem x-wert unendlich viele y-werte zugeordnet. Eine Funktion kann natürlich nicht nur abstrakt, sondern auch in konkreten Anwendungen vorkommen. Das heißt, dass sowohl der x-wert als auch der Funktionswert f(x) eine Bedeutung erhalten. Größe, die die Variable x beschreibt Zeit in Stunden Höhe in Meter über Meereshöhe Zeit in Jahren Größe, die die Funktion f(x) beschreibt Temperatur an einem bestimmten Ort in C zum Zeitpunkt x Luftdruck in Hektopascal x Meter über Meereshöhe Anzahl Bevölkerung eines bestimmten Landes Übungsaufgaben Aufgabe 1-1: Formuliere mithilfe der mathematischen Kurzschreibweise: a) An der Stelle 4 hat die Funktion f den Funktionswert 6. b) Durch die Funktion f wird dem x-wert die Zahl -4 zugeordnet. c) Der Punkt P(1/3) liegt auf dem Schaubild von f. d) K f schneidet die x-achse in x = 3. Aufgabe 1-: Begründe, weshalb die Wertetabelle nicht zu einer Funktion gehören kann. x y Aufgabe 1-3: Prüfe, welche der Abbildungen das Schaubild einer Funktion f(x) darstellen. Gib von der Abbildung, die eine Funktion darstellt, die Wertemenge an.
17 Lineare Funktionen (Geradengleichungen) 16 Lineare Funktionen (Geradengleichungen) Bei Aufgaben rund um lineare Funktionen benötigt ihr als wichtiges Werkzeug Methoden zum Lösen von Gleichungen. Wir werden uns daher zunächst in Kapitel.1 mit dem Lösen von linearen Gleichungen beschäftigen, bevor wir uns dann im Kapitel. um die linearen Funktionen selbst kümmern..1 Lösen von linearen Gleichungen Das Lösen von linearen Gleichungen habt ihr bereits in der Mittelstufe gelernt. Daher sollte euch die folgende Lösungsmethode bekannt vorkommen: Zunächst lösen wir alle Klammern auf, die in der Gleichung auftreten. Danach sortieren wir mit +/- Rechnungen alle Ausdrücke mit der Variablen x auf die linke Seite der Gleichung und alle Zahlen ohne x auf die rechte Seite der Gleichung. Zum Schluss dividieren wir die Gleichung durch die Zahl, die an x anmultipliziert ist. Beispiel.1: a) 3 (x ) x 6 Klammer aufl. 6; x 3x 6 x 6 x 1 : x 6 b) (x 1) (x ) (x 4) (x 7) x x x x 4x 7x 8 x ; ; 11x 10x 30 x 3 Übungsaufgaben Aufgabe -1: Löse die folgenden Gleichungen: a) 0x 3(5x 7) (3 x) b) 5x (8 9x) 1. Geraden zeichnen Eine Funktion, deren Schaubild eine Gerade darstellt, bezeichnen wir als lineare Funktion. Die Funktionsgleichung y 3x stellt zum Beispiel eine Gerade in einem Koordinatensystem dar und ist daher eine lineare Funktion. Hinweis: Bei linearen Funktionen verzichtet man häufig auf die Schreibweise f(x) =... sondern schreibt stattdessen y =... Die obige Funktion (Geradengleichung) wird daher meist als y = 3x- dargestellt, ist aber genau dasselbe wie f(x) = 3x-. In diesem Buch werde ich bei den Übungsaufgaben beide Schreibweisen verwenden, damit man sich daran gewöhnt. Um mit Geradengleichungen arbeiten zu können, müssen wir wissen, welche Bedeutung die Zahlen besitzen, die in einer Geradengleichung vorkommen. Jede lineare Funktion (Geradengleichung) besitzt die Bauart f(x) m x c c = Schnitthöhe der Gerade auf der y-achse = y-achsenabschnitt m = Steigung der Gerade
18 Lineare Funktionen (Geradengleichungen) 17 Beispiel.3: a) Die Gerade y x 4 besitzt die Steigung m = - und den y-achsenabschnitt c = 4. b) Die Gerade y 5 0,5x besitzt die Steigung m = -0,5 und den y-achsenabschnitt c = 5. (Vorsicht: Hier sind die beiden Terme in der Reihenfolge vertauscht) c) Die Gerade y x besitzt die Steigung m = 1 und den y-achsenabschnitt c = 0. (wegen y x 1 x 0) d) Die Gerade y 6 besitzt die Steigung m = 0 und den y-achsenabschnitt c = 6. (wegen y 6 0 x 6) Ist eine Gerade in ein Koordinatensystem bereits eingezeichnet, können wir die Steigung dieser Gerade anschaulich anhand des Steigungsdreiecks bestimmen. Hierzu wählen wir zwei beliebige Punkte auf der Geraden und verbinden sie gemäß der folgenden Abbildung durch eine waagrechte und senkrechte Strecke. senkrechte Strecke Steigung der Gerade = waagrechte Strecke Läuft die Gerade "aufwärts" wie die Gerade h, 3 ist die Steigung positiv: m 4 Läuft die Gerade "abwärts" wie die Gerade g, 1 ist die Steigung negativ: m 1 1 Verläuft eine Gerade waagrecht (parallel zur x-achse), so besitzt diese die Steigung m = 0. Der y-achsenabschnitt der Gerade g ist c = -1, da die Gerade g die y-achse im Punkt P(0/-1) schneidet. Gleichung von g: y x 1 Der y-achsenabschnitt der Gerade h ist c = 1, da die Gerade h die y-achse im Punkt R(0/1) 3 schneidet. Gleichung von h: y x 1 4 Hinweis: Eine senkrechte Gerade (parallel zur y-achse) ist gemäß Beispiel 1.3 keine Funktion. Sie hätte eine unendlich große Steigung, weshalb eine senkrechte Gerade nicht durch den Term y m x c dargestellt werden kann. Die senkrechte Gerade in Beispiel 1.3 hat die Geradengleichung x =. Zeichnen einer Geraden anhand einer gegebenen Geradengleichung y mx c 1.Schritt: Markiere im Koordinatensystem den Punkt (0/c) auf der y-achse..schritt: Falls die Steigung m keine Bruchzahl ist, schreibe sie als Bruchzahl um. 3,5 5 (z.b. aus m = 3 wird m oder aus m =,5 wird m ) Schritt Gehe vom Punkt (0/c) auf der y-achse mit dem Nenner der Steigungszahl nach rechts und mit dem Zähler nach oben (bei positiver Steigung) oder nach unten (bei negativer Steigung) und markiere den Zielpunkt. 4.Schritt: Verbinde die beiden Punkte zu einer Geraden
19 Lineare Funktionen (Geradengleichungen) 18 Beispiel.4: Zeichne die Geraden g: y x 1und h: 3 1 y x in ein Koordinatensystem ein. Gerade g: Es ist c = -1, also ist Schnittpunkt mit der y-achse B(0/-1) Da m ist, vom Punkt B aus ein Steigungsdreieck einzeichnen (3 nach rechts und 3 nach unten) und den Endpunkt D markieren. Anschließend B und D verbinden. Gerade h: Es ist c = 0,5, also ist Schnittpunkt mit der y-achse A(0/0,5) Da m ist, vom Punkt A aus ein Steigungsdreieck einzeichnen (1 nach rechts und 1 nach oben) und den Endpunkt C markieren. Anschließend A und C verbinden. Übungsaufgaben Aufgabe -: Zeichne die Geraden g und h in ein Koordinatensystem ein: 3 3 a) g: y x ; h: y (x 1) b) g: y x 3 ; h: y x 5.3 Punktprobe und Schnittpunkte Die in diesem Unterkapitel dargestellten Berechnungsmethoden gelten auch für alle anderen Funktionstypen (wie zum Beispiel Quadratische Funktionen oder Exponentialfunktionen)..3.1 Punktprobe Mit Hilfe einer Punktprobe können wir rechnerisch prüfen, ob ein gegebener Punkt auf dem Schaubild einer Funktion liegt. Hierzu setzt man die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein. Entsteht hierbei eine wahre Aussage, liegt der Punkt auf dem Schaubild. Ergibt sich eine falsche Aussage, liegt der Punkt nicht auf dem Schaubild. Beispiel.5:
20 Lineare Funktionen (Geradengleichungen) 19 Gegeben ist die lineare Funktion y x 1. 7 Prüfung, ob der Punkt P(7/3) auf dem Schaubild von f liegt: Einsetzen von x = 7 und y= 3 in den Funktionsterm: Es entsteht eine wahre Aussage, somit liegt der Punkt P auf dem Schaubild der Gerade. Prüfung, ob der Punkt R(-7/0) auf dem Schaubild von f liegt: Einsetzen von x = -7 und y= 0 in den Funktionsterm: 0 ( 7) Es entsteht eine falsche Aussage, somit liegt der Punkt R nicht auf dem Schaubild der Gerade. Ist von einem Punkt nur eine Koordinate gegeben und soll der Punkt auf dem Schaubild einer gegebenen Funktion liegen, wird bekannte Koordinate des Punktes in den Funktionsterm eingesetzt und die unbekannte Koordinate berechnet. Beispiel.6: a) Der Punkt P(4/y) liegt auf der Geraden y 3x 1. Bestimme den y-wert von P. Der y-wert von P lautet y also P(4/11) b) Der Punkt Q(x/5) liegt auf der Geraden y x 3. Bestimme den x-wert von Q. Einsetzen des y-wertes in die Gerade: 5 x 3 x 8 x 4 also Q(4/5).3. Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenachsen Schnittpunkt mit der y-achse: Ein Punkt auf der y-achse hat immer den x-wert 0, also die Gestalt M(0/y), Um den Schnittpunkt zu berechnen, setzt man einfach für die Variable x die Zahl 0 ein und berechnet den y-wert. Schnittpunkt mit der x-achse / Nullstelle Ein Schnittpunkt mit der x-achse hat immer die y-koordinate 0, also die Gestalt N(x/0). Um den Schnittpunkt zu berechnen, setzt man für die Variable y (bzw. für den Term f(x)) die Zahl 0 ein und löst die Gleichung nach x auf (gemäß den Regeln aus Kapitel.1) Unter einer Nullstelle versteht man den x-wert des Schnittpunktes mit der x-achse. Ist nur nach einer Nullstelle gefragt, genügt es, den x-wert hinzuschreiben und nicht die Punktkoordinaten. Beispiel.7: Berechne die Schnittpunkte des Schaubildes von y 3x 6 mit den Koordinatenachsen. Schnittpunkt mit der y-achse: Setze x = 0: y M(0/ 6) Schnittpunkt mit der x-achse: Setze y = 0: 0 3x 6 3x 6 x Der Schnittpunkt mit der x-achse lautet N(/0). Die Nullstelle ist x =..3.3 Schnittpunkt von zwei Geraden Mit den folgenden Schritten kann man den Schnittpunkt zweier Geraden berechnen.
21 Lineare Funktionen (Geradengleichungen) 0 Hierzu müssen die Gleichungen der linearen Funktionen vorliegen. 1.Schritt: Funktionsgleichungen gleichsetzen und die entstehende Gleichung nach x auflösen. Damit erhalten wir die Schnittstelle (x-wert des Schnittpunktes)..Schritt: Die berechnete Schnittstelle aus dem 1.Schritt in eine der beiden Funktionsgleichungen einsetzen, um den y-wert des Schnittpunktes zu berechnen. Beispiel.8: Berechne den Schnittpunkt der beiden Geraden g: y x 1und h: y x 4. 1.Schritt: Gleichsetzen der Funktionen: x 1 x 4 3x 3 x 1 Die Schnittstelle der beiden Geraden ist bei x = 1..Schritt: Einsetzen von x = 1 in die Gleichung von g: y 1 1 Der Schnittpunkt der Geraden hat die Koordinaten S(1/). ( )
Begleitbuch für Mathematik für die Prüfung zur Fachhochschulreife 2018 Baden-Württemberg - Berufskolleg. Analysis
Begleitbuch für Mathematik für die Prüfung zur Fachhochschulreife 018 Baden-Württemberg - Berufskolleg Analysis Dipl.-Math. Alexander Schwarz Im Weinberg 9 7489 Cleebronn E-Mail: aschwarz@mathe-aufgaben.com
MehrBegleitbuch für Mathematik Oberstufe für die Abiturprüfungen 2019 und 2020 Baden-Württemberg - allgemeine Gymnasien. Teilgebiet Analysis
Begleitbuch für Mathematik Oberstufe für die Abiturprüfungen 019 und 00 Baden-Württemberg - allgemeine Gymnasien Teilgebiet Analysis Dipl.-Math. Alexander Schwarz Im Weinberg 9 7489 Cleebronn E-Mail: aschwarz@mathe-aufgaben.com
MehrBegleitbuch für Mathematik Oberstufe für die Abiturprüfung 2019 Baden-Württemberg - berufliche Gymnasien. Teilgebiet Analysis
Begleitbuch für Mathematik Oberstufe für die Abiturprüfung 09 Baden-Württemberg - berufliche Gymnasien Teilgebiet Analysis Dipl.-Math. Alexander Schwarz Im Weinberg 9 7489 Cleebronn E-Mail: aschwarz@mathe-aufgaben.com
MehrBegleitbuch für Mathematik Oberstufe für die Abiturprüfung 2018 Baden-Württemberg - allg. Gymnasium. Teilgebiet Analysis
Begleitbuch für Mathematik Oberstufe für die Abiturprüfung 18 Baden-Württemberg - allg. Gymnasium Teilgebiet Analysis Dipl.-Math. Alexander Schwarz E-Mail: aschwarz@mathe-aufgaben.com Homepage: www.mathe-aufgaben.com
MehrBegleitbuch für Mathematik Oberstufe für die Abiturprüfungen 2019 und 2020 Baden-Württemberg - allgemeine Gymnasien
Begleitbuch für Mathematik Oberstufe für die Abiturprüfungen 019 und 00 Baden-Württemberg - allgemeine Gymnasien Aufgabensammlung Pflicht-/Wahlteil Analysis, Stochastik, Analytische Geometrie Dipl.-Math.
MehrBegleitbuch für Mathematik Oberstufe für die Abiturprüfung 2019 Baden-Württemberg - berufliche Gymnasien. Beschreibung von Prozessen durch Matrizen
Begleitbuch für Mathematik Oberstufe für die Abiturprüfung 209 Baden-Württemberg - berufliche Gymnasien Beschreibung von Prozessen durch Matrizen Dipl.-Math. Alexander Schwarz Im Weinberg 9 7489 Cleebronn
MehrWas ist eine Funktion?
Lerndomino zum Thema Funktionsbegriff Kopiereen Sie die Seite (damit Sie einen Kontrollbogen haben), schneiden Sie aus der Kopie die "Dominosteine" zeilenweise aus, mischen Sie die "Dominosteine" und verteilen
MehrThemenerläuterung. Die wichtigsten benötigten Formeln 1. Der Umgang mit der Mitternachtsformel
Themenerläuterung In diesem Kapitel wirst du mit linearen Funktionen (=Gerade) und quadratischen Funktionen (=Parabel) konfrontiert. Du musst wissen, wie man eine Geradengleichung durch zwei vorgegebene
MehrBeide Geraden haben die Steigung 2, also sind sie parallel zueinander.
Themenerläuterung In diesem Kapitel wirst du mit linearen Funktionen (=Gerade) und quadratischen Funktionen (=Parabel) konfrontiert. Du musst wissen, wie man eine Geradengleichung durch zwei vorgegebene
MehrLineare Funktionen. Das rechtwinklige (kartesische) Koordinatensystem. Funktionen
Das rechtwinklige (kartesische) Koordinatensystem Funktionen Funktion: Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung. Jedem x D wird genau eine reelle Zahl zugeordnet. Schreibweise: Funktion: f: x f (x)
MehrBegleitbuch für Mathematik Oberstufe für die Abiturprüfungen 2019 und 2020 Baden-Württemberg - allgemeine Gymnasien. Teilgebiet Analytische Geometrie
Begleitbuch für Mathematik Oberstufe für die Abiturprüfungen 2019 und 2020 Baden-Württemberg - allgemeine Gymnasien Teilgebiet Analytische Geometrie Dipl.-Math. Alexander Schwarz Im Weinberg 9 74389 Cleebronn
MehrThemenerläuterung. Die wichtigsten benötigten Formeln
Themenerläuterung In diesem Kapitel wirst du mit linearen Funktionen (=Gerade) und quadratischen Funktionen (=Parabel) konfrontiert. Du musst wissen, wie man eine Geradengleichung durch zwei vorgegebene
MehrBegleitbuch für Mathematik Oberstufe für die Abiturprüfungen 2018 Baden-Württemberg - allg. Gymnasium. Teilgebiet Analytische Geometrie
Begleitbuch für Mathematik Oberstufe für die Abiturprüfungen 08 Baden-Württemberg - allg. Gymnasium Teilgebiet Analytische Geometrie Dipl.-Math. Alexander Schwarz Im Weinberg 9 7489 Cleebronn E-Mail: aschwarz@mathe-aufgaben.com
MehrMerksatz Begriff der Funktion
Der Begriff Funktion Um uns klar zu machen, was eine Funktion (lateinisch functio) ist, betrachten wir uns die Gegenüberstellung nachfolgender Situationen. Die Temperatur eines Gewässers wird in verschiedenen
MehrBegleitbuch für Mathematik Oberstufe für die Abiturprüfungen 2017 und 2018 Baden-Württemberg - allg. Gymnasium. Teilgebiet Analysis
Begleitbuch für Mathematik Oberstufe für die Abiturprüfungen 017 und 018 Baden-Württemberg - allg. Gymnasium Teilgebiet Analysis Dipl.-Math. Aleander Schwarz Im Weinberg 9 789 Cleebronn E-Mail: aschwarz@mathe-aufgaben.com
MehrLineare Funktion Eigenschaften von linearen Funktionen Übungen Bearbeite zu jeder der gegebenen Funktionen die Fragen:
Lineare Funktion Eigenschaften von linearen Funktionen Übungen - 3 2.0 Bearbeite zu jeder der gegebenen Funktionen die Fragen: steigt oder fällt der Graph der Funktion? schneidet der Graph die y-achse
MehrLineare Funktionen. Die lineare Funktion
1 Die lineare Funktion Für alle m, t, aus der Zahlenmenge Q heißt die Funktion f: x m x + t lineare Funktion. Die Definitionsmenge ist Q (oder je nach Zusammenhang ein Teil davon). Der Graph der linearen
MehrBegleitbuch für Mathematik Klasse für die Abiturprüfungen ab 2017 Baden-Württemberg - berufliche Gymnasien. Teilgebiet Analysis
Begleitbuch für Mathematik Klasse 11-1 für die Abiturprüfungen ab 017 Baden-Württemberg - berufliche Gymnasien Teilgebiet Analysis Dipl.-Math. Alexander Schwarz Im Weinberg 9 7489 Cleebronn E-Mail: aschwarz@mathe-aufgaben.com
Mehrm und schneidet die y-achse im Punkt P(0/3).
Aufgabe (Pflichtbereich 999) Eine Parabel hat die Gleichung y x 6x, 75. Bestimme rechnerisch die Koordinaten ihres Scheitelpunktes. Berechne die Entfernung des Scheitelpunktes vom Ursprung des Koordinatensystems.
MehrUnterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Geraden & Parabeln - Was mache ich, wenn?
Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form Auszug aus: - Was mache ich, wenn? Das komplette Material finden Sie hier: School-Scout.de Inhalt Seite Vorwort 5 Spickzettel 6-7 MindMap Geraden
MehrSkript für die Oberstufe und das Abitur 2016 Baden-Württemberg - allg. Gymnasium. Analytische Geometrie Pflicht- und Wahlteilaufgaben
Skript für die Oberstufe und das Abitur 2016 Baden-Württemberg - allg. Gymnasium Analytische Geometrie Pflicht- und Wahlteilaufgaben Dipl.-Math. Alexander Schwarz Im Weinberg 9 74389 Cleebronn E-Mail:
MehrTechnische Oberschule Stuttgart. Aufgabensammlung zur Aufnahmeprüfung Mathematik 2015
Aufgabensammlung zur Aufnahmeprüfung Mathematik 05 Aufgabe Lösen Sie die folgenden Gleichungen möglichst geschickt. a) (x 3) (3 + x) = 0 b) x 36 = 0 5 c) x 5x 0 + = 4 d) ( x 6) (3x + 8) = 0 Aufgabe Bestimmen
MehrFunktionsbegriff Einführende Beispiele und Erklärungen Grundwissen. Beispiele zu den wichtigen Funktionsarten des Mathematikunterrichts
Funktionsbegriff Einführende Beispiele und Erklärungen Grundwissen Funktionen Beispiele zu den wichtigen Funktionsarten des Mathematikunterrichts Ein Lesetext Informationen - Überblick Datei Nr. 800 Stand:
MehrInhalt: Die vorliegenden Folienvorlagen enthalten folgende Elemente:
Inhalt:. Punkte im Koordinatensstem....................................... Funktionen und ihre Schaubilder..................................... Punktprobe und Koordinaten berechnen...............................
MehrThemenerläuterung. Die wichtigsten benötigten Formeln 1. Der Umgang mit der Mitternachtsformel
Themenerläuterung In diesem Kapitel wirst du mit linearen Funktionen (=Gerade) und quadratischen Funktionen (=Parabel) konfrontiert. Du musst wissen, wie man eine Geradengleichung durch zwei vorgegebene
MehrMathematik Realschule Klasse 1 Baden-Württemberg zur Vorbereitung der Mittleren Reife 19 und Unterrichtsbegleitung im 1. Schuljahr enthält alle Prüfungsaufgaben von 8-18 E-Mail: aschwarz@mathe-aufgaben.com
MehrThema. Lineare Funktionen. Mathematik. Lineare Funktionen. Lernlandkarte. Datei: LB-Mathe _LinFktn_03.doc.
Thema 1 Mathematik Lineare Funktionen Lernlandkarte Lineare Funktionen Thema: Lineare Funktionen LE 1.1: 15 min Seite 1 Ich kann beschreiben, was man unter einer Funktion versteht. Ich kann die drei Darstellungsformen
MehrInhalt: Die vorliegenden Folienvorlagen enthalten folgende Elemente:
Inhalt: Punkte im Koordinatensstem Funktionen und ihre Schaubilder Punktprobe und Koordinaten berechnen Proportionale Funktionen 5 Steigung und Steigungsdreieck 6 Die Funktion = m + b 7 Funktionsgleichungen
MehrZusatzmaterialien Funktionen von R. Brinkmann
Zusatzmaterialien Funktionen von R. Brinkmann http://brinkmann-du.de 6..0 Ausführliche Lösungen Kapitel. U U Finden Sie weitere Beispiele für solche Abhängigkeiten. Die Leistung eines Verbrennungsmotors
MehrWiederholung Quadratische Funktionen (Parabeln)
SEITE 1 VON 7 Wiederholung Quadratische Funktionen (Parabeln) VON HEINZ BÖER 1. Regeln a) Funktionsvorschriften Normalform f(x) = a x² + b x + c Normalparabel: f(x) = x 2 Graf der Normalparabel Die einfachste
Mehrund schneidet die -Achse im Punkt 0 3. Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von und. Lösung: 4 1;2 4
7 Aufgaben im Dokument Aufgabe P5/2010 Die nach unten geöffnete Parabel hat die Gleichung 5. Zeichnen Sie die Parabel in ein Koordinatensystem. Die Gerade hat die Steigung und schneidet die -Achse im Punkt
MehrWas ist eine Funktion?
Lerndomino zum Thema Funktionsbegriff Kopiereen Sie die Seite (damit Sie einen Kontrollbogen haben), schneiden Sie aus der Kopie die "Dominosteine" zeilenweise aus, mischen Sie die "Dominosteine" und verteilen
Mehr7 Aufgaben im Dokument. Aufgabe P5/2010
Aufgabe P5/2010 7 Aufgaben im Dokument Die nach unten geöffnete Parabel hat die Gleichung 5. Zeichnen Sie die Parabel in ein Koordinatensystem. Die Gerade hat die Steigung und schneidet die -Achse im Punkt
MehrEinführung. Ablesen von einander zugeordneten Werten
Einführung Zusammenhänge zwischen Größen wie Temperatur, Geschwindigkeit, Lautstärke, Fahrstrecke, Preis, Einkommen, Steuer etc. werden mit beschrieben. Eine Zuordnung f, die jedem x A genau ein y B zuweist,
MehrLösungen zum Arbeitsblatt: y = mx + b Alles klar???
I. Zeichnen von Funktionen a) Wertetabelle x -4-3 - -1 0 1 3 4 y =,5x -10-7,5-5 -,5 0,5 5 7,5 10 y = - x,7 1,3 0,7 0-0,7-1,3 - -,7 3 y = x 1,5-9,5-7,5-5,5-3,5-1,5 0,5,5 4,5 6,5 y = - 1 x + 4 3,5 3,5 1,5
MehrEinführungsbeispiel Kostenfunktion
Einführungsbeispiel Kostenfunktion Sie bauen eine Fabrik für Luxusautos auf und steigern die Produktion jeden Monat um 1000 Stück. Dabei messen Sie die jeweiligen Kosten und stellen sie grafisch dar. Die
MehrThema 1: Geraden zeichnen Punkte berechnen. Ein Lese- und Übungsheft. 7 Seiten Einführung und Theorie. 22 Seiten Aufgaben mit Lösungen
Geradengleichungen Thema : Geraden zeichnen Punkte berechnen Ein Lese- und Übungsheft 7 Seiten Einführung und Theorie Seiten Aufgaben mit Lösungen Datei Nr. 000 Stand. Februar 09 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR
Mehr1.2 Berechne den Inhalt der Fläche, die das Schaubild von mit 5P der -Achse einschließt.
Diese Aufgaben sind zu bearbeiten. Sie können nicht abgewählt werden. Aufgabe A1 1. Gegeben ist die Funktion mit 2 3; 1.1 Eine der folgenden Abbildung zeigt das Schaubild. 6P Untersuche für jede der Abbildungen,
MehrÜbungsklausur zur Eignungsprüfung Mathematik E1
Übungsklausur zur Eignungsprüfung Mathematik E1 Bearbeitungshinweise Bearbeitungszeit: 90 Minuten Verbotene Hilfsmittel: Handy, Formelsammlung Erlaubte Hilfsmittel: Taschenrechner, schülereigene Wörterbücher
MehrM I N I S T E R I U M F Ü R K U L T U S, J U G E N D U N D S P O R T. Berufsoberschule (BOS) SO/TO/WO. 2 2x
Mathematik (43) Musteraufgabe Gruppe I: Analysis ohne Hilfsmittel ab 07 Seite /3 Gegeben ist die Funktion f mit 4 3 f(x) x x 3x 4x ; xir. 6 Bestimmen Sie den Bereich, in dem das Schaubild von f rechtsgekrümmt
MehrAnalysis. Lineare Funktionen. allg. Gymnasien: ab Klasse 10 berufl. Gymnasien: ab Klasse 11 Berufskolleg
www.mathe-aufgaen.com Analysis allg. Gymnasien: a Klasse 0 erufl. Gymnasien: a Klasse Berufskolleg Hilfsmittel: wissenschaftlicher Taschenrechner Alexander Schwarz www.mathe-aufgaen.com April 08 www.mathe-aufgaen.com
MehrMathematik Realschule Klasse 10 Baden-Württemberg zur Vorbereitung der Mittleren Reife 018 und Unterrichtsbegleitung im 10. Schuljahr enthält alle Prüfungsaufgaben von 007-017 E-Mail: aschwarz@mathe-aufgaben.com
MehrMathematik 9. Quadratische Funktionen
Mathematik 9 Funktionen Eine Zuordnung f, die jedem x einer Menge D (Definitionsmenge) genau ein Element y = f(x) einer Menge Z (Zielmenge) zuordnet, heißt Funktion. Dabei heißt y = f(x) Funktionswert
MehrRegel Die Steigung einer Funktion kann rechnerisch ermittelt werden, wenn mindestens zwei Punkte gegeben sind.
Funktionen Station 1 Bestimmung der Steigung einer Geraden durch zwei Punkte Die Steigung einer Funktion kann rechnerisch ermittelt werden, wenn mindestens zwei Punkte gegeben sind. m = f(x 2 ) f(x 1 )
MehrPflichtteilaufgaben zu Funktionenkompetenz. Baden-Württemberg
Pflichtteilaufgaben zu Funktionenkompetenz Baden-Württemberg Hilfsmittel: keine allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com September 016 1 Übungsaufgaben: Ü1: Die Abbildung zeigt
MehrTipps und Tricks für die Abschlussprüfung
Tipps und Tricks für die Abschlussprüfung Rechentipps und Lösungsstrategien mit Beispielen zu allen Prüfungsthemen Mathematik Baden-Württemberg Mathematik-Verlag Vorwort: Sehr geehrte Schülerinnen und
MehrLineare Funktionen. 6. Zeichne die zu den Funktionen gehörenden Graphen in ein Koordinatensystem und berechne ihren gemeinsamen Schnittpunkt.
FrauOelschlägel Mathematik8 Lineare Funktionen Ü Datum 1. Die Punkte A 0 4 und liegen auf der Geraden h. und Q8,5,5 B10 0 liegen auf der Geraden g, die Punkte P 0,5 11 Bestimme durch Rechnung die Funktionsgleichungen
Mehrf. y = 0,2x g. y = 1,5x + 5 h. y = 4 6x i. y = 4 + 5,5x j. y = 0,5x + 3,5
11. Lineare Funktionen Übungsaufgaben: 11.1 Zeichne jeweils den Graphen der zugehörigen Geraden a. y = 0,5x 0,25 b. y = 0,1x + 2 c. y = 2x 2 d. 2x + 4y 5 = 0 e. y = x f. y = 0,2x g. y = 1,5x + 5 h. y =
MehrKapitel 8: Funktionen
In der Mathematik ist eine Funktion eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge (Funktionsargument, unabhängige Variable, x-wert) genau ein Element der anderen Menge (Funktionswert,
MehrSkript für die Oberstufe und das Abitur 2016 Baden-Württemberg - allg. Gymnasium. Analysis Aufgabensammlung
Skript für die Oberstufe und das Abitur 016 Baden-Württemberg - allg. Gymnasium Analysis Aufgabensammlung Dipl.-Math. Aleander Schwarz Im Weinberg 9 789 Cleebronn E-Mail: aschwarz@mathe-aufgaben.com Homepage:
MehrLineare Funktionen Arbeitsblatt 1
Lineare Funktionen Arbeitsblatt 1 Eine Funktion mit der Gleichung y = m x + b heißt lineare Funktion. Ihr Graph ist eine Gerade mit der Steigung m. Die Gerade schneidet die y-achse im Punkt P(0 b). Man
Mehr, 1,52,251,75, 1,5 4, 1,52
Lösung A1 Detaillierte Lösung: Lösungsschritte: 1. An der Parabelgleichung ist ersichtlich, dass es sich um eine nach oben geöffnete Normalparabel handelt, die in positiver -Richtung verschoben ist und
MehrLineare Funktion. Wolfgang Kippels 3. November Inhaltsverzeichnis
Lineare Funktion Wolfgang Kippels. November 0 Inhaltsverzeichnis Grundlegende Zusammenhänge. Aufbau der Linearen Funktion......................... Nullstellenbestimmung............................. Schnittpunktbestimmung............................
MehrAbschlussprûfung Berufskolleg. (Fachhochschulreife) Prüfungsaufgaben aus Baden-Württemberg. Analysis 2 Ganzrationale Funktionen.
Abschlussprûfung Berufskolleg (Fachhochschulreife) Prüfungsaufgaben aus Baden-Württemberg Analysis 2 Ganzrationale Funktionen zusammen mit Exponentialfunktionen Jahrgänge 2009 bis 2016 Text Nr. 74302 Stand
MehrLineare Funktion. Wolfgang Kippels 21. März 2011
Lineare Funktion Wolfgang Kippels. März 0 Inhaltsverzeichnis Grundlegende Zusammenhänge. Aufbau der Linearen Funktion......................... Nullstellenbestimmung............................. Schnittpunktbestimmung............................
MehrBestimme dazu die Nullstellen, Scheitelpunkt und Schnittpunkt mit der y-achse und ergänze evtl. einige Punkte durch eine Wertetabelle.
Klasse Art Schwierigkeit Mathematisches Schema Nr. 9 Üben xx Quadratische Funktion 1 Skizziere den Graphen der durch y = 0,5 x 2 + x - 4 gegebenen quadratischen Funktion. Bestimme dazu die Nullstellen,
Mehrgebrochene Zahl gekürzt mit 9 sind erweitert mit 8 sind
Vorbereitungsaufgaben Mathematik. Bruchrechnung.. Grundlagen: gebrochene Zahl gemeiner Bruch Zähler Nenner Dezimalbruch Ganze, Zehntel Hundertstel Tausendstel Kürzen: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl
MehrQuadratische Funktion
Quadratische Funktion Wolfgang Kippels 6. Oktober 018 Inhaltsverzeichnis 1 Vorwort Zusammenstellung der Grundlagen 3.1 Nullstellen................................... 3. Scheitelpunkt.................................
Mehrf : x y = mx + t Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade, welche die y-achse im Punkt S schneidet. = m 2 x 2 m x 1
III. Funktionen und Gleichungen ================================================================== 3.1. Lineare Funktionen Eine Funktion mit der Zuordnungvorschrift f : x y = mx + t und m, t R heißt lineare
MehrLineare Optimierung Lehrbuch mit Aufgaben und Lösungen
Lineare Optimierung Lehrbuch mit Aufgaben und Lösungen Dipl.-Math. Alexander Schwarz E-Mail: aschwarz@mathe-aufgaben.com Homepage: www.mathe-aufgaben.com Wichtiger Hinweis: Ich bitte den Eigentümer dieser
MehrPflichtteilaufgaben zu Elemente der Kurvendiskussion. Baden-Württemberg
Pflichtteilaufgaben zu Elemente der Kurvendiskussion Baden-Württemberg Hilfsmittel: keine allgemeinbildende Gymnasien Aleander Schwarz www.mathe-aufgaben.com September 6 Übungsaufgaben: Ü: Gegeben ist
Mehr1.2 Weisen Sie rechnerisch nach, dass das Schaubild der Funktion mit 4P! bei 1 einen Sattelpunkt aufweist.
Aufgabe A1 1.1 Erläutere anhand einer Skizze, ob das Integral 3P größer, kleiner oder gleich Null ist. 1.2 Für eine Funktion gilt: (1) 0 für 2 und 1 (2) 23 (3) 13 (4) 2 (5) 1 6 Welche Aussagen lassen sich
MehrAbiturprüfung Mathematik 2005 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis Gruppe I, Aufgabe A
Abiturprüfung Mathematik (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis Gruppe I, Aufgabe A Für jedes a > ist eine Funktion f a definiert durch fa (x) = x (x a) mit x R a Das Schaubild von f
MehrFunktionen in der Mathematik
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 05.0.008 Funktionen in der Mathematik Bei der mathematischen Betrachtung natürlicher, technischer oder auch alltäglicher Vorgänge hängt der Wert einer Größe oft
Mehry x oder y 3x. Nenne eine Gleichung einer Parabel, die den Scheitelpunkt im Ursprung hat und nach oben geöffnet ist.
Parabeln Magische Wand Parabeln Magische Wand 10.1 10. 10.3 10.4 10.5 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 30.1 30. 30.3 30.4 30.5 50.1 50. 50.3 50.4 50.5 70.1 70. 70.3 70.4 70.5 100.1 100. 100.3 100.4 100.5 10.1 10.1 10.1
Mehr1. Selbsttest Heron-Verfahren Gleichungen
1. Selbsttest 1.1. Heron-Verfahren Mit dem Heron-Verfahren soll ein Näherungswert für 15 gefunden werden. Führe die ersten drei Schritte des Heron- Verfahrens durch. Gib dann unter Verwendung der Werte
MehrSchwerpunktaufgaben zur Vorbereitung auf die Leistungsfeststellung
Schwerpunktaufgaben zur Vorbereitung auf die Leistungsfeststellung 1. Lösen Sie folgendes Gleichungssystem mit Hilfe des Gauß-Verfahrens. Überprüfen Sie Ihr Ergebnis mit dem Taschenrechner. ganzzahlig
MehrMATHE KLASSE 11. Funktionen Extremwerte lineare Funktionen WOLFGANG STILLER
MATHE KLASSE Funktionen Etremwerte lineare Funktionen FUNKTION Def.: Funktionen sind eindeutige Zuordnungen. (Mathe eine Menge X [Definitionsbereich] wird einer Menge Y [Wertebereich] zugeordnet. Jedem
MehrAbiturprüfung Mathematik 2007 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1
Abiturprüfung Mathematik 007 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe. (8 Punkte) Das Schaubild einer Polynomfunktion. Grades geht durch den Punkt S(0/) und hat den 3 Wendepunkt
MehrFunktionen. 1. Einführung René Descartes Cartesius (Frankreich, )
Mathematik bla Funktionen 1. Einführung 167 René Descartes Cartesius (Frankreich, 1596-1650)...führt das kartesische Koordinatensystem ein. Er beschreibt einen Punkt als ein Paar von reellen Zahlen und
MehrQuadratische Funktionen Arbeitsblatt 1
Quadratische Funktionen Arbeitsblatt 1 Spezielle quadratische Funktion Die Funktionsgleichung einer speziellen quadratischen Funktion hat die Form y = 3 x 2. Der dazugehörige Graph heißt Parabel. Bei einer
MehrIn diesem Arbeitsblatt behandeln wir die Grundlagen linearer Funktionen.
In diesem Arbeitsblatt behandeln wir die Grundlagen linearer Funktionen. Zwei mögliche Schreibweisen einer linearen Funktion lauten f ( x) = k x + d y = k x + d Die Bedeutung von k und d wird unten ausgeführt.
Mehr- G1 - Grundlagen der Mathematik - Bruchrechnen - MSS Böblingen. Einstiegsaufgaben: Merke: a) Addieren von Brüchen. b) Subtrahieren von Brüchen.
MSS Böblingen - Bruchrechnen - - G - Einstiegsaufgaben: a a a) + = 6x 4x a + a b) = 6x x a a c) = 6x 4x a a d) : = 6x 4x e) 7 = Merke: a) Addieren von Brüchen b) Subtrahieren von Brüchen c) Multiplizieren
MehrFunktionen. x : Variable von f oder Argument f x : Funktionswert, Wert der Funktion f an der Stelle x D f. : Definitionsmenge(Urbildmenge)
Funktionen Eine Funktion oder Abbildung ist eine Beziehung zwischen zwei nicht leere Mengen D f und Z, die jedem Element x aus einer Menge D f genau ein Element y aus anderer Menge Z zuordnet. f : D f
MehrBeispielaufgabe zum Format der Komplexaufgaben im MSA Mathematik ab 2017
Anlage Beispielaufgabe zum Format der Komplexaufgaben im MSA Mathematik ab 07 Format der Komplexaufgaben und Wahlverfahren ab 07 Im Teil B (Komplexaufgaben) werden den Schülerinnen und Schülern vier Aufgaben
Mehrd) Die Parabel verläuft symmetrisch zur Achse durch die Punkte ( 1 0,5) und (2 5,5).
Dokument mit 26 Aufgaben Aufgabe A Der Wasserstrahl eines Springbrunnens hat eine Höhe von 6 und eine Weite von 6. Martin hat Lust unter dem Wasserstrahl durchzulaufen. a) Wähle ein geeigneters Koordinatensystem
MehrSymmetrie zum Ursprung
Symmetrie zum Ursprung Um was geht es? Betrachten wir das Schaubild einer ganzrationalen Funktion mit ungeradem Grad, z.b.: f : R R x f x = 2 15 x3 23 15 x Wertetabelle x f(x) -3 1,0-2 2,0-1 1,4 0 0 1-1,4
MehrÜbungsaufgaben zu linearen Gleichungen und Funktionen117
Übungsaufgaben zu linearen Gleichungen und Funktionen117 Anmerkung: Die Funktionsgraphen sollen den Zusammenhang nur noch einmal veranschaulichen. Sie sind zur Lösung der Aufgabe nicht erforderlich. Die
MehrSkript Analysis. sehr einfach. Erstellt: Von:
Skript Analysis sehr einfach Erstellt: 2017 Von: www.mathe-in-smarties.de Inhaltsverzeichnis Vorwort... 2 1. Funktionen... 3 2. Geraden... 6 3. Parabeln... 9 4. Quadratische Gleichungen... 11 5. Ableitungen...
MehrGeraden. Somit scheiden die Gerade im Punkt N(-b/m; 0) die x-achse.
Geraden Eine Gerade wird durch eine Gleichung der Form y = mÿx + b bzw. f(x) = mÿx + b beschrieben. Die Schreibweise f(x) = wird teils erst in der Oberstufe verwendet. b ist der y- Achsenabschnitt, d.h.
MehrErfolg im Mathe-Abi 2014
Gruber I Neumann Erfolg im Mathe-Abi 2014 Schleswig-Holstein Übungsbuch Prüfungsaufgaben mit Tipps und Lösungen Inhaltsverzeichnis 1. Aufgabensatz... 7 2. Aufgabensatz... 12 3. Aufgabensatz... 17 4. Aufgabensatz...
Mehr9 Funktionen und ihre Graphen
57 9 Funktionen und ihre Graphen Funktionsbegriff Eine Funktion ordnet jedem Element aus einer Menge D f genau ein Element aus einer Menge W f zu. mit = f(), D f Die Menge aller Funktionswerte nennt man
MehrR. Brinkmann Seite
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 9..8 Linearen Funktion Aus der Sekundarstufe I sind Ihnen die Graphen linearer Funktionen als Geraden bekannt und deren Funktionsgleichungen als Geradengleichungen.
MehrFunktion Abbildung genau ein und nur ein
Definition des Begriffs Funktion In der Mathematik ist eine Funktion (lateinisch functio) oder Abbildung eine Beziehung (Relation) zwischen zwei Mengen, die jedem Element der Definitionsmenge (Funktionsargument,
MehrPARABELN. 10. Klasse
PARABELN 0. Klasse Jens Möller Owingen Tel. 0755-9 HUjmoellerowingen@aol.comU INHALTSVERZEICHNIS NORMALPARABEL PARABELN MIT FORMFAKTOR VERSCHIEBUNG IN Y-RICHTUNG VERSCHIEBUNG IN X-RICHTUNG 5 ALLGEMEINE
MehrBegleitbuch für Mathematik Oberstufe für die Abiturprüfung 2018 Baden-Württemberg - allg. Gymnasium. Teilgebiet Stochastik
Begleitbuch für Mathematik Oberstufe für die Abiturprüfung 2018 Baden-Württemberg - allg. Gymnasium Teilgebiet Stochastik Dipl.-Math. Alexander Schwarz E-Mail: aschwarz@mathe-aufgaben.com Homepage: www.mathe-aufgaben.com
Mehrunabhängigen Variablen Eine Funktion dient der Beschreibung von Zusammenhängen zwischen mehreren verschiedenen Faktoren.
Funktionsbegriff 2.1 2 Funktionen mit einer unabhängigen Variablen 2.1 Funktionsbegriff Eine Funktion dient der Beschreibung von Zusammenhängen zwischen mehreren verschiedenen Faktoren. In den Wirtschaftswissenschaften
MehrAufgabe W2a/2005 Eine Parabel hat die Gleichung 4 1. Durch den Scheitelpunkt der Parabel und durch den Punkt %6 5 geht die Gerade. Berechnen Sie die G
Dokument mit 10 Aufgaben Aufgabe W3a/2003 Die Normalparabel hat die Gleichung 4 6. Die Normalparabel ist nach unten geöffnet und hat den Scheitel 0 6. Durch die Schnittpunkte beider Parabeln verläuft die
MehrMathematik Nachhilfe: Aufgaben zu linearen Funktionen, Teil 2
Mathematik Nachhilfe Blog Mathe so einfach wie möglich erklärt Mathematik Nachhilfe: Aufgaben zu linearen Funktionen, Teil 2 Veröffentlicht am 3. September 2016 Neuigkeiten aus dem Mathe Unterricht Tim
MehrPflichtteil Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analytische Geometrie 1...
Pflichtteil... Wahlteil Analysis... 7 Wahlteil Analysis... Wahlteil Analysis... Wahlteil Analytische Geometrie... 9 Wahlteil Analytische Geometrie... 008 Pflichtteil Lösungen zur Prüfung 008: Pflichtteil
MehrAbiturprüfung Mathematik 006 Baden-Württemberg (ohne CAS) Haupttermin Pflichtteil - Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die Ableitung der Funktion f mit f(x) sin(4x ). Aufgabe : ( VP) Geben Sie eine Stammfunktion
MehrGleichsetzungsverfahren
Funktion Eine Funktion ist eine Zuordnung, bei der zu jeder Größe eines ersten Bereichs (Ein gabegröße) genau eine Größe eines zweiten Bereichs (Ausgabegröße) gehört. Eine Funktion wird durch eine Funktionsvorschrift
MehrDemo: Mathe-CD. Prüfungsaufgaben Mündliches Abitur. Analysis. Teilbereich 1: Ganzrationale Funktionen 1. März 2002
Prüfungsaufgaben Mündliches Abitur Analysis Teilbereich : Ganzrationale Funktionen Hier nur Aufgaben als Demo Datei Nr. 9 März 00 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK Vorwort Die in dieser Reihe von
MehrAnalytische Geometrie
Analytische Geometrie Übungsaufgaben Lineare Gleichungssysteme Oberstufe Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com Oktober 05 Pflichtteilaufgaben (ohne GTR) Aufgabe : Löse die folgenden linearen Gleichungssysteme:
MehrLineare Funktionen. Klasse 8 Aufgabenblatt für Lineare Funktionen Datum: Donnerstag,
Lineare Funktionen Aufgabe 1: Welche der folgenden Abbildungen stellen eine Funktion dar? Welche Abbildungen stellen eine lineare Funktion dar? Ermittle für die linearen Funktionen eine Funktionsgleichung.
Mehrt = 1 x- und y-werte sind direkt proportional zueinander mit dem Prortionalitätsfaktor m = y. x
Lineare Funktionen und lineare Gleichungen ================================================================== Lineare Funktionen Eine Funktion f : x y = mx + t, D = D max, mit zwei Zahlen m und t heißt
Mehr