F u n k t i o n e n Lineare Optimierung

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Harry Blau
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1 F u n k t i o n e n Lineare Optimierung Das Simplex-Verfahren läuft die Ecken des Polyeders ab, bis es an einer Optimallösung angekommen ist.

2 1. Einführung Während des 2. Weltkrieges und in den darauf folgenden Jahren ist eine Rechentechnik entstanden, die heute zu einem sehr wichtigen Hilfsmittel der Unternehmungsplanung geworden ist. Im Englischen nennt man sie: Operations Research = Verfahrensforschung, Planungsberechnung. Begründer war vor allem G.B. Dantzig, er nannte es 1949 Lineares Programmieren, da man schematisch mittels so genannter Programme, Lösungen von linearen Gleichungen und Ungleichungen sucht. Heute nennt man es lieber Lineare Optimierung, da man im Grunde die beste (optimus) aller möglichen Lösungen sucht. Ein Beispiel Die Frage Ein Betrieb stellt zwei verschiedene Produkte X und Y her. Für die Anfertigung von einem Stück X benötigt man 5 Std. und verbraucht Material im Wert von 6 CHF, wohingegen ein Stück Y Material im Wert von 0.60 CHF und eine Herstellungszeit von 6 Std. benötigt. Pro Tag können bis zu 4200 Arbeitsstunden von der Belegschaft geleistet werden. Der Finanzplan erlaubt es, täglich bis zu 1500 CHF Material einzukaufen. Aus technischen Gründen können von Y höchstens 575 Stück pro Tag produziert werden. Die Lagerkapazität erlaubt es nicht, dass die Gesamtproduktion von X und Y 800 Stück pro Tag überschreitet. Nun bringt das Produkt X pro Stück einen Gewinn von 8 CHF, Y hingegen nur 5 CHF. Welche Stückzahlen von X und Y soll der Fabrikant pro Tag herstellen lassen, damit sein Gewinn maximal wird? Die mathematische Beschreibung Bezeichnungen: Zielfunktion: x: Anzahl Stücke des Produktes X pro Tag y: Anzahl Stücke des Produktes Y pro Tag z: Gewinn in CHF z = 8x + 5y Nebenbedingungen (Einschränkungen): I x 0 II y 0 III y 575 (Produktbeschränkung von Y) IV x + y 800 (Lagerkapazität) V 5x + 6y 4200 (Zeitbeschränkung) VI 6x + 0.6y 1500 (Geldbeschränkung) Funktionen: Lineare Optimierung Seite 2 (November 11)

3 Die Lösung Funktionen: Lineare Optimierung Seite 3 (November 11)

4 2. Übungen Aufgabe 1: Durch die Nebenbedingungen: x 0, y 0, x + 2y 12, 3x + y 11, x 3, x + 2y 2 wird eine zulässige Menge beschrieben. Bestimme für die angegebene Zielfunktion z den optimalen Punkt, sodass dort z maximal wird. Wie gross ist das Maximum? a) z = x + 4y b) z = x + y c) z = 3x + y d) z = x 2y Aufgabe 2: Ein Automobilwerk stellt zwei Wagentypen A und B her. Vom Typ A können täglich maximal 600 Stück fertiggestellt werden, vom Typ B maximal 300 Stück, wegen Mangel an Personal jedoch nicht mehr als 750 Stück insgesamt. Der Reingewinn für einen Wagen vom Typ A beträgt durchschnittlich Fr , für einen Wagen vom Typ B Fr a) Wie viele Wagen werden täglich von jedem Typ produziert, wenn der Reingewinn maximal werden soll? Wie gross ist dieser Reingewinn? b) Wie ändert sich die Sachlage, wenn sich herausstellt, dass vom Typ B höchstens halb so viele Wagen verkauft werden können, wie vom Typ A? Wie gross ist nun der Reingewinn? Aufgabe 3: Ein Privatmann besitzt einen Gutschein einer Weinhandlung im Wert von 850 Franken. Er möchte Weisswein und Rotwein kaufen. Eine Flasche Weisswein kostet 11 Franken, eine Flasche Rotwein 14 Franken. Die Anzahl Flaschen einer Sorte soll höchstens um 25 von der Anzahl Flaschen der andern Sorte abweichen. Wie viele Flaschen jeder Sorte kauft er, a) wenn er insgesamt möglichst viele Flaschen erwerben will? b) wenn er möglichst viele Rotweinflaschen erwerben will? Aufgabe 4: Ein Montagewerk beschäftigt gelernte Arbeiter und Lehrlinge. Ein störungsfreier Ablauf erfordert, dass mindestens 120 Arbeitsplätze besetzt sind; andererseits sind maximal 150 Arbeitsplätze verfügbar. Mindestens ein Fünftel aller Stellen ist durch Lehrlinge zu besetzen; die Anzahl der Lehrlinge soll aber mindestens um 20 kleiner sein als die Anzahl gelernter Arbeiter. a) Wie viele Arbeiter kann das Werk maximal beschäftigen? b) Wie viele Lehrlinge kann das Werk maximal beschäftigen? c) Ein Arbeiter verdient 4500 Franken im Monat, ein Lehrling 1000 Franken. Wie viele Arbeiter und Lehrlinge wird die Firma einstellen, wenn die Lohnsumme möglichst klein sein soll? Aufgabe 5: Eine Papierfabrik stellt Papierrollen der Standardbreite 200 cm her. Es stehen zwei Maschinen zur Verfügung, die eine solche Rolle folgendermassen in kleinere Rollen zerschneiden: Maschine I: 1 Rolle à 70 cm, 2 Rollen à 50 cm, 1 Rolle à 30 cm Breite Maschine II: 1 Rolle à 50 cm, 5 Rollen à 30 cm Breite Ein Kunde bestellt 15 Rollen à 70 cm, 60 Rollen à 50 cm und 75 Rollen à 30 cm Breite. Wie viele Rollen der Standardbreite lässt man zerschneiden, wenn insgesamt möglichst wenig Rollen zerschnitten werden sollen? Funktionen: Lineare Optimierung Seite 4 (November 11)

5 Aufgabe 6: Eine Fabrik stellt ein Gerät in 2 Ausführungen her. Je nach Ausführung ist die Zusammensetzung der zur Herstellung verwendeten Materialien verschieden, wie die nachstehende Tabelle zeigt; diese gibt auch an, über welche Vorräte die Fabrik verfügt. Material Typ1 Typ2 Vorrat A B C D Wie viele Geräte müssen von jedem Typ hergestellt werden, damit die Gesamtzahl maximal wird? Aufgabe 7: Eine Mischung aus Nüssen und Rosinen soll als Studentenfutter verkauft werden. Die Mischung soll zu mindestens 50 % aus Rosinen und zu mindestens 30 % aus Nüssen bestehen. Der Kaufmann hat einen Vorrat von 10 kg Nüssen und 5 kg Rosinen. Üblicherweise verkauft er die Nüsse für 20 Fr. pro kg, die Rosinen für 8 Fr. pro kg. In welchem Verhältnis muss er Nüsse und Rosinen mischen, wenn er bei einem Verkaufspreis für 1 kg Studentenfutter von 12 Fr. maximalen Erlös aus dem Verkauf des gesamten Vorrates erzielen will? Wie gross ist dieser dann? Aufgabe 8: Eine Jugendgruppe beschliesst, Zelte einzukaufen. In einem Sonderangebot werden zwei verschiedene Sorten von Zelten für jeweils 10 und 15 Personen preiswert angeboten. Von den 10-Personenzelten sind noch 5 und von den 15-Personenzelten nur noch 4 vorrätig. Die Zelte für 10 Personen kosten 200 CHF je Stück und diejenigen für 15 Personen insgesamt 400 CHF je Stück. Die Jugendgruppe kann insgesamt höchstens 1800 CHF für die Zelte ausgeben. Wie viele 10- und 15-Personenzelte kann die Jugendgruppe kaufen, damit eine möglichst grosse Anzahl von Jugendlichen in den Zelten untergebracht werden kann? Aufgabe 9: Ein Hersteller produziert zwei Sortimente eines Artikels, der aus Teilen besteht, die geschnitten, zusammengebaut und fertiggestellt werden müssen. Der Unternehmer weiss, dass er so viele Artikel verkaufen kann, wie er produziert. Sortiment 1 benötigt 25 Minuten zum Zerschneiden, 60 Minuten zum Zusammenbau und 68 Minuten, um es verkaufsfertig zu machen. Es erzielt 30 CHF Gewinn. Für Sortiment 2 braucht man 75 Minuten zum Schneiden, 60 Minuten für den Zusammenbau und 34 Minuten, zur Fertigstellung. Dieses Sortiment erzielt einen Gewinn von 40 CHF. Es stehen nicht mehr als 450 Minuten zum, Zerschneiden, 480 Minuten zum Zusammenbau und 476 Minuten zum Fertigstellen pro Tag zur Verfügung. Nun stellt sich dem Unternehmer die Frage, wie viele Artikel von jedem Sortiment jeden Tag produziert werden müssen, um den Gewinn zu maximieren. Funktionen: Lineare Optimierung Seite 5 (November 11)

6 Aufgabe 10: Eine Tischlerei erhält einen Auftrag, für den unterschiedliche Holzplatten mit der folgenden Stückzahl zu verwenden sind: 10 Platten der Grösse A, 12 Platten der Grösse B, 8 Platten der Grösse C, 4 Platten der Grösse D. Die Tischlerei bezieht dazu aus einem Sägewerk zwei Holzplattentypen I und II, die auf vorgegebene Weise (Abbildung 1) zu zerschneiden sind. Der Preis einer Platte des Typs I beträgt 300 CHF und der einer Platte des Typs II 200 CHF. Aus Lager- und Verkaufsgründen sollten nicht mehr als 16 Platten der Grösse D und nicht mehr als 5 Platten der Grösse E gelagert werden. Es ist zu ermitteln, wie viele Platten I und II gekauft werden müssen, damit der Auftrag ausgeführt werden kann und der Gesamteinkaufspreis der Platten so gering wie möglich ausfällt. Funktionen: Lineare Optimierung Seite 6 (November 11)

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1.8 lineare Optimierung Inhaltsverzeichnis 1 Einführung des Begriffs lineare Optimierung 2 2 Das Planungspolygon 2 3 Die Optimierungsgerade 3 1 lineare Optimierung 02.04.2008 Theorie und Übungen 2 1 Einführung