Mathematik G20b / bla. Gleichungen I. Lineare Gleichungssysteme Lineares Optimieren

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1 Mathematik G20b / bla Gleichungen I Lineare Gleichungssysteme Lineares Optimieren 1

2 1. Lineare Gleichungssysteme 1.1 Gleichungen Eine Gleichung besteht aus zwei Termen mit einem Gleichheitszeichen dazwischen, also ist von der Form Term1 = Term2. Definitionsmenge: Die Menge aller Zahlen der Grundmenge (in der Regel ), die man anstelle der Variablen einsetzen kann, so dass definierte Zahlenwerte entstehen. 2x Beispiel: 5 1 D = \ { 4 }, x 4 Die Zahl 4 gehört nicht zur Definitionsmenge denn für x = 4 ist der Bruchterm nicht definiert, weil der Nenner des Bruches null wird. Lösungsmenge: Die Menge aller Zahlen aus der Definitionsmenge, die man anstelle der Variablen einsetzen kann, so dass die Gleichung erfüllt wird. 2x Beispiel: 5 1 L = { 8 }, denn nur für x = 8 stimmt die Gleichung. x 4 Gleichungen werden gelöst, indem man schrittweise durch geeignete Umformungen einfachere Gleichungen bildet, bis die Lösungsmenge ersichtlich ist. Äquivalenzumformung Die Umformung einer Gleichung, welche die Lösungsmenge nicht verändert, heisst Äquivalenzumformung. Äquivalenzumformungen sind: - Addition/Subtraktion eines Terms auf beiden Seiten der Gleichung und - Multiplikation/Division eines Terms, der nicht null ist, auf beiden Seiten. Keine Äquivalenzumformungen sind beispielsweise - Wurzel ziehen oder Quadrieren auf beiden Seiten einer Gleichung. - Multiplikation/Division mit null auf beiden Seiten der Gleichung. Übung: Bestimme die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen: Bruchgleichung: x x x 9x 9 x D =.. L = Quadratische Gleichungen 2x x x 12 D =.. L =.. Wurzelgleichungen x 3 5 D =.. L =.. 2

3 1.2 Gleichungen mit mehreren Unbekannten Tiere sind es, grosse, kleine, dreissig Köpfe, siebzig Beine. Teils sind s Kröten, teils auch Enten, wenn wir doch die Anzahl kennten! Es gibt Problemstellungen, die zu Gleichungen mit mehreren Unbekannten führen: x ist die Anzahl Enten y ist die Anzahl Kröten Die Angaben zu den Anzahl Köpfen und Beinen können als Gleichungen aufgeschrieben werden: = 30 (Köpfe) = 70 (Beine) Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit 2 Unbekannten und zwei Gleichungen. Gesucht werden Zahlen, die man für x und y einsetzen kann, so dass beide Gleichungen erfüllt werden. Berechne x und y: x =.. y =.. Es gibt eine Lösung, bestehend aus zwei Zahlen. Lösungsmenge ist: IL = { (..;..) } x Enten y Kröten 3

4 1.3 Lösungsverfahren Jedes der drei folgenden Lösungsverfahren hat das Ziel, eine Gleichung mit einer Unbekannten zu erhalten, die dann wie gewohnt gelöst werden kann. Wenn dann eine Unbekannte berechnet ist, kann man leicht auch die andere Unbekannte bestimmen. A) Das Einsetzungsverfahren: Löse eine Gleichung nach einer der Unbekannten auf und ersetze diese Unbekannte in der zweiten Gleichung durch den erhaltenen Term. x + y = 30 2x + 4y = 70 -y x = 30 y Einsetzen: 2(30 y) + 4y = y + 4y = 70-60, :2 y = 5 und x = x + 2y = 80 3x + y = y + 2 = 4x 14y - 12 = 6x 3. x - y = 65 2x + 2y = = 2x + 2y 12(y-2x)=x+2y x - 2y = 2x - 4 8y = 6-2x B) Das Gleichsetzungsverfahren: Löse beide Gleichungen nach der gleichen Unbekannten auf und setze die beiden erhaltenen Terme gleich. x + y = 30 -y 2x + 4y = 70-4y, :2 x = 30 y x = 35 2y Gleichsetzen: 30 y = 35-2y +2y, -30 y = 5 und x = x - y - 3 = 0 5x + y - 6 = x + 3y = 11 x - 2y = x - 6y = 21 10x + 9y = 21 4

5 C) Das Additionsverfahren: Vervielfache eine Gleichung (evtl. auch beide Gleichungen), so dass die Beträge der Faktoren vor einer Unbekannten mit unterschiedlichen Vorzeichen übereinstimmen. Addiere jetzt die beiden Gleichungen. x + y = 30 2x + 4y = 70 (-2) -2x - 2y = -60 2x + 4y = 70 Addieren: 2y = 10 y = 5 und x = x + 3y = 24 x - 3y = x + 9y = 14 7x + 3y = x + 3y = 6 3x - 2y = x + 4y = x - y = x + 3y = 5 x + 2y = x + 9y = -42 2x + 4y = -16 Übung: Beliebiges Verfahren 15. 8x + 6y = 6 2x - 9y = ,2x -0,5y = 10 0,8x +1,5y = x - 3y = 3 2x + y = x - 4y = x 5x + 4y = 8 + 2y x + 7y = x + 28 = 5y 20. 2x - 3y - 2 = 0 30x + 42y = x - 2y = 27,2 5x - 4y = 20, x - 2y = 11 4x +3y = y + 4x = 3 x + 3y = -7 5

6 1.4 Textaufgaben die auf ein lineares Gleichungssystem führen Aufgabe lesen und verstehen Unbekannte wählen Was ist gegeben? Was ist gesucht? Eventuell eine Skizze machen. Welche Zusammenhänge sind gegeben, welche Formeln gibt es? Genaue Angabe der Unbekannten (die Unbekannte ist eine Zahl!) Gleichung aufstellen Gleichung lösen Lösung prüfen Angaben im Text und bekannte Formeln verwenden. Welche Grösse wird gleichgesetzt? Äquivalenzumformungen verwenden. Lösungsmenge angeben. Erfüllen die gefundenen Lösungen die Angaben im Text der Aufgabe. Eventuell Einheiten kontrollieren. Lösung angeben Lösung wieder in Form eines Textes angeben (Antwort auf die Frage geben). 24. Räuber und Piraten nehmen an einem großen Gelage teil. Jeder der anwesenden Räuber isst vier Hühnchen und trinkt fünf Bier. Ein Pirat dagegen isst nur drei Hühnchen, kippt dafür aber sieben Bier. Zusammen werden bei dem grossen Mahl 65 Hühnchen verspeist und 117 Bier getrunken. Wie viele Piraten und wie viele Räuber beteiligen sich an diesem Essen. 25. Beim Besuch eines Bauernhofes entdeckt Tina ein Gehege, in dem sich Schweine und Hühner befinden. Tina zählt insgesamt 50 Köpfe und 116 Beine. Wie viele Hühner und Schweine sind es? 26. Ein Hotel verfügt über 135 Betten in 75 Ein- und Zweibettzimmern. Wie viele Einzel-, wie viele Doppelzimmer sind vorhanden? 27. Christa und Julia haben sich verabredet. Sie starten beide um 15 Uhr mit ihren Fahrrädern in ihren 14 km voneinander entfernten Heimatorten. Christa schafft in jeder Stunde 12, Julia 16 km. Wie weit von Christas Heimatort entfernt treffen sie sich? 28. Alex und Fred wohnen in den 42 km voneinander entfernten Orten Alexdorf und Fredwil. Die beiden haben sich verabredet und fahren mit dem Fahrrad einander entgegen. Alex fährt um 14 Uhr mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 18 km/h los. 10 Minuten später startet Fred in Fredwil. Er schafft 21 km pro Stunde. Wie weit von Alexdorf entfernt treffen sie sich? 29. Zwei Arbeiter verdienen zusammen in einer Woche (5 Tagen) Fr Wie viel erhält jeder pro Woche, wenn der eine in 10 Tagen Fr mehr verdient als der andere in 7 Tagen? 30. Ein Motorboot fährt innert 3 Stunden 48,27 km den Fluss abwärts, für den Rückweg benötigt es für dieselbe Distanz genau 5 Stunden. Welches ist die Geschwindigkeit des Bootes in ruhigem Wasser und wie gross ist die Strömungsgeschwindigkeit des Flusses? 31. Verlängert man bei einem Rechteck die Breite um 4 cm und verkürzt die Länge um 3 cm, so entsteht ein Quadrat, dessen Flächeninhalt um 21 cm² grösser ist als der Flächeninhalt des Rechtecks. Berechne die Rechteckseiten. 6

7 32. Zum Ausheben eines Grabens wird 3 Tage lang ein Bagger eingesetzt. Vom 4. bis zum 6. Tag kommt ein zweiter Bagger hinzu bis die gesamte Arbeit erledigt ist. Wären zunächst beide Bagger drei Tage lang gemeinsam eingesetzt worden, so hätte der zweite Bagger noch einen weiteren Tag allein arbeiten müssen, um die Arbeit abzuschließen. Wie lange hätte jeder Bagger allein benötigt? 33. Zum Abtransport eines Bauaushubs werden zwei Lastwagen eingesetzt. Zunächst fahren beide je dreimal, anschliessend müsste der erste Lastwagen noch dreimal oder der zweite Lastwagen noch viereinhalbmal beladen werden, um den Rest abzutransportieren. Wie oft hätte jeder Lastwagen allein fahren müssen? 34. Die Differenz zweier Zahlen beträgt 5. Subtrahierst du vom Neunfachen der größeren Zahl das Siebenfache der kleineren Zahl, so erhältst du 65. Wie heissen die beiden Zahlen? 1.5 Gleichungssysteme mit mehr als zwei Unbekannten 35. x + y = 7 y + z = 14 x + z = x + y + z = 1 x - y - z = 2 x + y - z = x + 8y + 14z = 178 7x + y + 4z = 74 4x + 7y + z = x + 2y = 15 y + 2z = 30 z + 2u = x + y + z + w = 8 x + y + 3z =17 x + y - 2w = x + 5y 2z = 5 x + 2y + 3z = 8 4x + 13y + 9z = 11 u + 2x = 60 y + z + 3w = Eine dreistellige natürliche Zahl hat die Quersumme 18. Vertauscht man die erste Ziffer mit der zweiten, so erhöht sich der Wert der Zahl um 180. Vertauscht man aber die zweite Ziffer mit der dritten, dann wird die Zahl nur um 18 grösser. Welche Zahl ist es? 42. Eine Bergbahn verlangt für Berg- und Talfahrt zusammen Fr. 6.-, die Bergfahrt alleine kostet Fr und die Talfahrt alleine Fr Am vergangenen Sonntag wurden insgesamt 680 zahlende Personen hinauf und 520 hinab transportiert. Dabei wurden für insgesamt Fr Billette verkauft. Wie viele Billette jeder Sorte wurden verkauft? 7

8 1.6 Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen Bestimme die Lösungsmengen der folgenden Gleichungssysteme 43. 2x + y = 4 x - y = x - 2y = 3-2x + 4y = x - 3y = 4-4x + 6y = -8 L =... L =... L = x + y = 8 2x - y = x + y = 4 x - z = 1 x - y = 4 L =... L =... Beantworte aufgrund der Resultate in den obigen Aufgaben folgende Fragen, indem du Aussagen machst, die allgemein für lineare Gleichungssysteme gelten sollen. A. Wann hat ein Gleichungssystem mit 2 Unbekannten keine Lösung? B. Wann hat ein Gleichungssystem mit mehr als 2 Unbekannten keine Lösung? C. Wann hat ein Gleichungssystem mehrere Lösungen? D. Wann hat ein lineares Gleichungssystem mit n Unbekannten genau 1 Lösung?... 8

9 1.7 Zur Unterhaltung Rätsel in Gedichtform weitere Aufgaben 5. In welchen Dreiecken ist ein Winkel gleich gross wie die Differenz der beiden andern? 6. Notiere ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten, welches folgende Lösungsmenge hat: L = {(12, 5 )} 7. Zahlenrätsel Die Ziffern 1 bis 7 sind so einzutragen, dass sie in jeder Zeile und jeder Spalte einmal vorkommen. Die kleinen Zahlen in den umrandeten Gebieten geben die Summe im jeweiligen Gebiet an. Innerhalb eines Gebiets können Ziffern mehrfach vorkommen. (NZZ vom ) 9

10 2 Lineare Optimierung 2.1 Ein Beispiel Die Burgdorfer Pfadi-Gruppe beschliesst, für einen grossen Ausflug Zelte einzukaufen. Im Sonderangebot stehen zwei Zelte: eines für 10 Personen und eines für 15 Personen. Von den 10-Personenzelten sind aber nur noch 5 Stück vorrätig. Die Zelte für 10 Personen kosten 100 Franken pro Stück und die für 15 Personen kosten 200 Franken pro Stück. Die Pfadfinder können insgesamt höchstens 900 Franken für die Zelte ausgeben und sie wollen höchstens doppelt so viele grosse Zelte wie kleine Zelte. Wie viele 10- und 15-Personenzelte können sie kaufen, damit eine möglichst große Anzahl von Leuten in den Zelten untergebracht werden kann? 10

11 2.2 Übungen zum Linearen Optimieren Fruchtsaft Aus Orangen- und Ananassaft sollen mindestens 12 Liter und höchstens 24 Liter eines neuen alkoholfreien Cocktails gemischt werden. Verwendet werden sollen mindestens 12 Liter Orangensaft, aber höchstens 5 Liter Ananassaft. Die Mischung schmeckt nur, wenn die Menge des Ananassaftes mindestens 1/7 und höchstens 1/3 des Orangensaftes beträgt. Wie viel Saft jeder Sorte muss genommen, wenn die Kosten für den Einkauf möglichst gering gehalten werden sollen? Der Orangensaft kostet 1,80 Fr. und der Ananassaft 4,50 Fr. je Liter. Fahrradreifen Eine Fabrik stellt zwei Sorten Fahrradreifen her. Pro Tag können insgesamt maximal 200 Reifen produziert werden. Vom Typ A dürfen nicht mehr als 150 Stück angefertigt werden. Vom Typ B sollten höchstens doppelt so viel wie vom Typ A produziert werden. Der Reingewinn beim Typ A beträgt Fr. 2.- pro Stück, beim Typ B Fr. 3.- pro Stück. Wie viele Reifen von jeder Sorte sollen produziert werden, wenn der Reingewinn möglichst gross sein soll? Teemischung Ein Teehändler will eine aus zwei Sorten bestehende Teemischung herstellen, die er zu einem Preis von 40 Fr. je Kilogramm verkaufen möchte. Zur Verfügung stehen 15 kg der ersten Sorte, die zu einem Preis von 48 Fr. je Kilogramm verkauft werden kann. Mindestens 6 kg dieser Sorte sind für die Mischung bestimmt. Von der zweiten Sorte sollen maximal 60% in der Mischung enthalten sein, von der er 12 kg auf Lager hat. Diese Sorte kann zum Kilogrammpreis von 36 Fr. verkauft werden. Wie ist zu mischen, damit beim Verkauf der Mischung sowie der Restmengen der beiden Sorten ein möglichst großer Gewinn erwirtschaftet wird? Autos Ein Automobilwerk stellt zwei Wagentypen A und B her. Vom Typ A können täglich maximal 600 Stück fertiggestellt werden, vom Typ B maximal 300 Stück, wegen Mangel an Personal jedoch nicht mehr als 750 Stück insgesamt. Der Reingewinn für einen Wagen vom Typ A beträgt durchschnittlich Fr , für einen Wagen vom Typ B Fr a) Wie viele Wagen werden täglich von jedem Typ produziert, wenn der Reingewinn maximal werden soll? Wie gross ist dieser Reingewinn? b) Wie ändert sich die Sachlage, wenn sich herausstellt, dass vom Typ B höchstens halb so viele Wagen verkauft werden können wie vom Typ A? Wie gross ist nun der Reingewinn? Zwei Zahlen Zwei Zahlen x und y sollen die folgenden 4 Bedingungen erfüllen: y + 6 3x 2y x 0 x + y 6 2y + x 16 Stelle die Lösungsmenge graphisch dar und beantworte durch ablesen aus der Zeichnung die folgenden Fragen: a) Welches ist für y der grösste mögliche Wert? b) Welches ist für x der kleinste mögliche Wert? 11

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