Aufgabensammlung Mathematik

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1 International Fashion Retail - IFR Aufgabensammlung Mathematik Dipl. Mathematiker (FH) Roland Geiger Rosenstr Aichtal cs.geiger@t-online.de -5

2 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis... Allgemeine Regeln...4 Internet...5 Lösungen zu den Aufgaben...5 QR-Code...6 YouTube...6 Ausmultiplizieren von Ausdrücken...7 Bruchrechnen...8 Potenzgesetze... Wurzelgesetze... 4 Binomische Formeln... 6 Logarithmen... 7 Polynomgleichungen... 9 Zahlendarstellungen, Maßeinheiten und Mengen... Überschlagsrechnungen... 6 Matrizenrechnung... 8 Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben... 3 Anwendungen zu der Matrizenrechnung... 3 Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben Inverse Matrix Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben... 4 Determinanten... 4 Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben Lineare Gleichungssysteme Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben Lineare Optimierung (grafische Lösung) Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben Lineare Optimierung (rechnerische Lösung)... 6 Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben Lineare Optimierung (Pivot-Tabelle) Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben Ableitungen Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben Kurvendiskussion

3 Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben Prozentrechnung Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben Extremwertaufgaben Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben... 9 Aufstellen von Funktionen... 9 Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben Koordinatensysteme für die graphische Lösung

4 Allgemeine Regeln Keine Handys, Smartphones, Tablets, Notebooks, MP3-Player, und sonstige elektronischen Geräte. (Sollten auch nicht auf dem Tisch liegen) Sollten Sie unbedingt kommunizieren müssen, so gehen Sie freiwillig aus dem Raum oder Sie bekommen von mir eine Pause zugeteilt, in der Sie in Ruhe Ihre Kommunikation durchführen können. 4-5

5 Internet Lösungen zu den Aufgaben 5-5

6 QR-Code YouTube 6-5

7 Vorwissen für die Vorlesung Ausmultiplizieren von Ausdrücken Multiplizieren Sie folgenden Ausdruck aus und fassen Sie zusammen. ( x ) (x + 3) 3 Multiplizieren Sie folgenden Ausdruck aus und fassen Sie zusammen. 5a(8a b) b(9a 5b) Multiplizieren Sie folgenden Ausdruck aus und fassen Sie zusammen. ( 5a) (0a x) (3a 7ax) Klammern Sie so viel wie möglich aus. 45pq + 7p q Multiplizieren Sie folgenden Ausdruck aus und fassen Sie zusammen. ( x) (3x 4) (x ) (x + 3) 5x( x) 7-5

8 Bruchrechnen Berechnen Sie folgenden Bruch in Dezimaldarstellung um Vergleichen Sie die folgenden Brüche ihrer Größe nach und schreiben es als a<b, a>b oder a=b. ; 5 Addieren Sie folgende Brüche und kürzen Sie wenn es geht Subtrahieren Sie folgende Brüche und kürzen das Ergebnis, wenn es möglich ist. Schreiben Sie das Ergebnis als Bruch und als gemischten Bruch Multiplizieren Sie folgende Brüche und kürzen das Ergebnis, wenn es möglich ist. ( 5 9 ) 3 Dividieren Sie folgende Brüche und kürzen das Ergebnis, wenn es möglich ist. 3 4 : 4 Berechnen Sie das Ergebnis und kürzen so weit wie möglich ( 3 ) + 4 :

9 Berechnen Sie folgende Aufgabe und Kürzen Sie möglich. ( 3 3 ) : ( ) Berechnen Sie folgende Aufgabe und kürzen Sie möglich. 3 : 3 5 ( ) Berechnen Sie folgenden Doppelbruch und kürzen Sie möglich Addieren Sie folgende Brüche und kürzen Sie wenn es geht Subtrahieren Sie folgende Brüche und kürzen das Ergebnis, wenn es möglich ist. Schreiben Sie das Ergebnis als Bruch und als gemischten Bruch Multiplizieren Sie folgende Brüche und kürzen das Ergebnis, wenn es möglich ist. ( 7) 8 ( 8) 7 Dividieren Sie folgende Brüche und kürzen das Ergebnis, wenn es möglich ist : 9 9-5

10 Berechnen Sie das Ergebnis und kürzen so weit wie möglich. 5 8 : : 3 7 Berechnen Sie folgende Aufgabe und Kürzen Sie möglich. [6, + [ 0 (,: + 0,)]] 0 5 Berechnen Sie folgende Aufgabe und kürzen Sie möglich. 9 : ( ) Berechnen Sie folgenden Doppelbruch und kürzen Sie möglich Berechnen Sie folgende Aufgabe und kürzen Sie möglich. ( 3 6 ) : ( ) Berechnen Sie folgende Aufgabe und kürzen Sie möglich : ( ) 0-5

11 Berechnen Sie folgende Aufgabe und kürzen Sie möglich. [,75 0,5: ( 7 5 )],6 + 0,4 8 Berechnen Sie folgende Aufgabe und kürzen Sie möglich

12 Potenzgesetze Berechnen Sie folgenden Summenterm. a + b 3 + c 3 + b + c + b Vereinfachen Sie folgenden Term mit Hilfe der Potenzgesetze. 5x 5 y 8 a 7 b 5 : x 3 y 35a 0 b 6 Vereinfachen Sie folgenden Term mit Hilfe der Potenzgesetze. z n z m n z m Vereinfachen Sie folgenden Term mit Hilfe der Potenzgesetze. ( x3 y 3a b 3) : ( x 3 y a 3b ) Vereinfachen Sie folgenden Term mit Hilfe der Potenzgesetze. ( 7a b 3 c 4 n 8x 5 y 7 z 7) ( a b c 4 n 6x 6 y 7 z 8) Vereinfachen Sie folgenden Term mit Hilfe der Potenzgesetze. x 5 y 6 x 4 y x 6 y 7 x 3 y 4-5

13 Vereinfachen Sie folgenden Term mit Hilfe der Potenzgesetze. (r 6 r 5 ) r n 4 Vereinfachen Sie folgenden Term mit Hilfe der Potenzgesetze. 5x 9 5y 9 5x 6 5by 6 Vereinfachen Sie folgenden Term mit Hilfe der Potenzgesetze. y 3n+ y 3n + y 3n y n+ y n Vereinfachen Sie folgenden Term mit Hilfe der Potenzgesetze. x 4 x n+ x x5 xn x n+4 Vereinfachen Sie folgenden Term mit Hilfe der Potenzgesetze. ( 8a4 y 7a 5 b ) ( 9a x 3 4yb ) ( a x 3 b 3) Vereinfachen Sie folgenden Term mit Hilfe der Potenzgesetze. c 5 5d 7 36d 4 5c 5 3-5

14 Wurzelgesetze Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck. 3 4 Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck. 9a 3 b Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck. a a + 5 ab 3 a + a 3 ab Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck. 3ab 6bc 4cd 8de Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck. 45ax: a Fassen Sie folgenden Ausdruck durch teilweises Wurzelziehen zusammen Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck ( 3) 4 + ( 3 ) Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck

15 Multiplizieren Sie folgenden Ausdruck aus und vereinfachen sie ihn. Ziehen Sie, falls möglich, teilweise die Wurzel! Bestimmen Sie den Wurzelwert, wenn er eine Rationale Zahl ist! ( )( 6 4 3) Fassen Sie folgenden Ausdruck durch teilweises Wurzelziehen zusammen Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck. 3 5 a Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck. x 5 y 7 Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck. ( 5) (4 5) Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck. 4 ( a 8 b 0 c 4 ) Vereinfachen sie folgenden Ausdruck b c 5a 4b c 30ac 5-5

16 Binomische Formeln Bilden Sie aus dem folgenden Ausdruck eine Binomische Formel. 6 8t + t Berechnen Sie nach der dritten binomischen Formel. (x + 3)(x 3) Bilden Sie aus dem folgenden Ausdruck eine Binomische Formel. x 5 Füllen Sie die Lücken aus. (d + ) = d + + f Füllen Sie die Lücken aus. ( ) = d 4d + 6-5

17 Logarithmen Formen Sie folgende Gleichung in Logarithmusschreibweise um. x = 6 Berechnen Sie mit dem Taschenrechner. log 4 8 Fassen Sie folgenden Ausdruck zusammen. log 0 () + log 0 (3) Schreiben Sie folgenden Term als einzelne Terme. log 3 (tx) Formen Sie den folgenden Ausdruck mit Logarithmengesetzen um. log (8) Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck. log 3 (x + y) log 3 x Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck. log 4 (x ) + log 4 ( x ) Formen Sie den folgenden Ausdruck mit Logarithmen-Gesetzen um. log (8) 7-5

18 Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck. log (a) log (b) Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck. log 0(4) + 3 log 0 (6) log 0 (3 ) Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck. log 5 (x) + log 5(x 4 ) log 5 (x ) Wandeln Sie den folgenden Ausdruck mit Hilfe von Logarithmen-Gesetze in einzelne Logarithmen um. log a ( x y z ) 3 8-5

19 Polynomgleichungen Bestimmen Sie zuerst die Definitionsmenge, im Anschluss lösen Sie diese Gleichung und geben die Lösungsmenge an. 3(x + 5) 4 = 8 (6 3x) Bestimmen Sie zuerst die Definitionsmenge, im Anschluss lösen Sie diese Gleichung und geben die Lösungsmenge an. 3 8 x 5 = ( x) Bestimmen Sie Lösung der folgenden Gleichung. x + x + = 0 Bestimmen Sie Lösung der folgenden Gleichung. x + 4x = 0 Bestimmen Sie für folgende Gleichung die Definitionsmenge und die Lösungsmenge. x + x x x + = x x Bestimmen Sie für folgende Gleichung die Definitionsmenge und die Lösungsmenge. x x 4 = x + x + 4x

20 Bestimmen Sie für folgende Gleichung die Definitionsmenge und die Lösungsmenge. x = 4 x Bestimmen Sie Lösungsmenge der folgenden Gleichung. 3x 3 0x + 7x = 0 Bestimmen Sie Lösungsmenge der folgenden Gleichung. x 3 x x + = 0 Bestimmen Sie Lösungsmenge der folgenden Gleichung. x 3 6x + 8 = 0 Bestimmen Sie für folgende Gleichung die Definitionsmenge und die Lösungsmenge. x + 6 = x Bestimmen Sie Lösungsmenge der folgenden Gleichung. 30 x 6 x + = 3 x Bestimmen Sie Lösungsmenge der folgenden Gleichung. 4 x x 4 = 8 x 3x 4 0-5

21 Zahlendarstellungen, Maßeinheiten und Mengen MATHEMATIK Gegeben ist folgendes Mengendiagramm: Bestimmen Sie: a) A B b) B\A C c) C\A d) B C e) A B C f) (A B) (B C) Gegeben ist folgendes Mengendiagramm: Bestimmen Sie: a) A B C b) A \ B ; A C c) ( B C ) \ A d) ( A B ) \ C e) ( A B ) ( B C ) f) ( A B C ) \ ( A B C ). -5

22 (a) 8m = dm = cm (b) 730 cm = dm = m (c) dm = cm = mm (d) 7 cm = dm = m (e) m = km = dm (a),45 km = m = dm (b) m = km (c),56 km = m (d) 900 cm = m = km (e) 0,8 m = cm = mm (a) 600 mm = cm = dm (b) 4500 m = dm = km (c) 38 dm = cm = m (d) km = 7000 m = dm (e) 0,98 m = cm = dm (a) 0,68 km = m = dm (b) 50 m = km (c) 0,3 km = m = cm (d) 0,06 m = cm = mm (e) 0,008 km = m = dm = cm -5

23 (a) 98 cm = dm cm (b) 6 cm = dm cm (c) 050 m = km m (d) 340 m = km m (e) 36 mm = cm mm (f) 60 mm = cm mm (g) 68 cm = m cm (h) 408 cm = m cm Verwandeln Sie in m², dm², cm² 6 m² = dm² = cm² 5 m² = dm² = cm² m² = 750 dm² = cm² m² = dm² = 5000 cm² 3 m² 50 dm² = dm² = cm² Verwandeln Sie in m², dm², cm² cm² = dm² = m² cm² = dm² = m² cm² = 500 dm² = m² cm² = 300 dm² = m² cm² = dm² = 7,5 m² Verwandeln Sie in m², dm², cm² 7 ha = a = m² 8,5 ha = a = m² km² = ha = a km² = ha = 6500 a km² = 97,5 ha = a 34,07 a = m² 3-5

24 Verwandeln Sie in m², dm², cm² 750 a = ha 975 ha = km² = 3, ha 33 ha = km² 437 m² = a Wandeln Sie bitte in die angegebenen Einheiten um. a) 6,360 t = t kg = kg b) 76 t 48 kg = kg = t c) 04,456 kg = t = t kg g d) 3 t 76 kg = kg = t e) 6,087 t = t kg = kg Schreiben Sie in wissenschaftlicher Schreibweise. Schreiben Sie in wissenschaftlicher Schreibweise. 4-5

25 Schreiben Sie in wissenschaftlicher Schreibweise. Berechnen Sie. 5-5

26 Überschlagsrechnungen Ein Tourist steht neben dieser Statue. Schätzen Sie die Höhe der Statue einschließlich des Sockels. Die Abbildung zeigt Algen auf einer Fläche von mm² in vergrößerter Darstellung. Schätzen Sie ab, wie viele Algen sich auf cm² befinden. 6-5

27 Ein Auto steht auf einem Sockel mit kreisförmiger Grundfläche. Welchen Umfang hat der Sockel ungefähr? Führen Sie eine Überschlagsrechnung für folgende Aufgaben durch. a) b) c) d) e) f) Kontrollieren Sie mit einer Überschlagsrechnung, ob das Ergebnis stimmen kann. a) =744 b) =8078 c) =

28 Matrizenrechnung Multiplizieren Sie die Matrix A mit dem Skalar A Führen Sie folgende Matrizenaddition A+B durch. Überprüfen Sie bitte, ob die Addition überhaupt durchführbar ist. 0 A = ( 5) ; B = ( ) Transponieren Sie die Matrix A zu A T. 3 6 A = ( 3 8) 6 7 Führen Sie folgende Matrizenaddition A+B durch. Überprüfen Sie bitte, ob die Addition überhaupt durchführbar ist. 4 A = ( 4) ; B = ( 3 ) 6 5 Führen Sie folgende Matrizenaddition A+B durch. Überprüfen Sie bitte, ob die Addition überhaupt durchführbar ist. A = ( ) ; B = ( 0 0 ) 8-5

29 Führen Sie folgende Matrizensubtraktion A-B durch. Überprüfen Sie bitte, ob die Subtraktion überhaupt durchführbar ist. 0 A = ( 5) ; B = ( ) Führen Sie folgende Matrizensubtraktion A-B durch. Überprüfen Sie bitte, ob die Subtraktion überhaupt durchführbar ist. 4 A = ( 4) ; B = ( 3 ) 6 5 Führen Sie folgende Matrizenmultiplikation A B durch. Überprüfen Sie bitte, ob die Multiplikation überhaupt durchführbar ist A = ( 5 ) ; B = ( 3) Führen Sie folgende Rechenoperation A mit Matrizen durch. Überprüfen Sie bitte, ob die Rechenoperation überhaupt durchführbar ist. 0 A = ( 3) 4 Führen Sie folgende Rechenoperation A mit Matrizen durch. Überprüfen Sie bitte, ob die Rechenoperation überhaupt durchführbar ist. 3 A = ( 3 ) 3 Führen Sie folgende Rechenoperationen (A B) C und A (B C) mit Matrizen durch. Überprüfen Sie bitte, ob die Rechenoperationen überhaupt durchführbar sind. A = ( 5 ) ; B = ( 6 ) ; C = ( 3 3 ) 9-5

30 Es sind folgende Matrizen gegeben: A = ( 3 ) ; B = (5 4 0 ) ; C = ( 3 ) Berechnen Sie folgende Rechenoperationen: a) A B b) A C c) B C d) B A e) C A f) C B Es sind folgende Matrizen gegeben: A = ( 3 ) ; B = (5 4 0 ) ; C = ( 3 ) Berechnen Sie folgende Rechenoperationen: a) A B b) A C c) B C d) B A e) C A f) C B 30-5

31 Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben MATHEMATIK Berechnen Sie die Matrizenprodukte AB, BA, A T A, AA T mit: Welche besondere Eigenschaft besitzen die Matrizen A T A und AA T? Gegeben seien die folgenden Matrizen: A B 3 c d E F N Berechnen Sie die folgenden Summen bzw. Differenzen: a) A+F b) E A c) d+c d) B+A e) A+N f) F A g) A+E h) d c i) F+E j) A+B k) 3c d l) c B Bestimmen Sie alle -reihigen Matrizen vom Typ X = ( a b ), dessen Matrizenprodukt c d mit der Matrix A = ( 0 ) sich kommutativ verhält (A X = X A) 3-5

32 Anwendungen zu der Matrizenrechnung Für die Produktion der Erzeugnisse E,E, E3 wird das Material M wie folgt benötigt: Erzeugnis Erzeugnis Erzeugnis 3 Material 0 3 Es sollen im ersten Quartal folgende Mengen produziert werden: Erzeugnis Erzeugnis Erzeugnis 3 Quartal Wie viel Material wird im ersten Quartal benötigt? Für die Produktion der Erzeugnisse E, E, E3 werden die Materialien M, M, M3, M4 wie folgt benötigt: Erzeugnis Erzeugnis Erzeugnis 3 Material 0 3 Material Material Material 4 3 Es sollen im ersten Quartal folgende Mengen produziert werden: Erzeugnis Erzeugnis Erzeugnis 3 Quartal Wie viel Material wird im ersten Quartal benötigt? 3-5

33 Für die Produktion der Erzeugnisse E,E, E3 werden die Materialien M, M, M3, M4 wie folgt benötigt: Erzeugnis Erzeugnis Erzeugnis 3 Material 0 3 Material Material Material 4 3 In den Quartalen des Jahres sollen folgende Mengen produziert werden: Erzeugnis Erzeugnis Erzeugnis 3 Quartal Quartal Quartal Quartal Wie viel Einheiten der 4 Materialien werden in den 4 Quartalen benötigt? Ein Unternehmen stellt aus den Rohstoffen R und R die Zwischenprodukte Z und Z und daraus die Endprodukte P, P und P3 her. Erstellen Sie folgende Matrizen. a) Die Rohstoff Zwischenprodukt-Matrix b) Die Zwischenprodukt Endprodukt-Matrix c) Die Rohstoff-Endprodukt-Matrix d) Ein Kunde bestellt 3 P, 345 P und 34 P3. Zusätzlich benötigt er noch 98 Z und 4 Z. Wieviel Rohstoffe muss er bestellen um diesen Auftrag bearbeiten zu können? e) Wie groß sind seine gesamten Ausgaben für diese Rohstoffe, wenn er R für 3 Euro und R für Euro einkaufen kann? 33-5

34 In einer Möbelfabrik werden aus Holz, Metall und Stoff Tische, Bänke und Stühle produziert, die einzeln bzw. als Sitzgruppen verkauft werden. Für einen Tisch werden Einheiten Holz und 3 Einheiten Metall, für eine Bank 6 Einheiten Holz, Einheiten Metall und 5 Einheiten Stoff, für einen Stuhl Einheiten Holz, Einheit Metall und Einheiten Stoff benötigt. Eine Sitzgruppe A besteht aus einem Tisch und vier Stühlen, eine Sitzgruppe B aus einem Tisch, einer Bank und drei Stühlen. a) Geben Sie die Verflechtungsmatrizen für den Zusammenhang von Ausgangsmaterial und Einzelprodukten und für den Zusammenhang von Einzelprodukten und Sitzgruppen an und bestimmen Sie aus diesen durch Matrizenmultiplikation die Verflechtungsmatrix für den Zusammenhang von Ausgangsmaterial und Sitzgruppen! b) Ein Kunde bestellt 40 Sitzgruppen A, 60 Sitzgruppen B und zusätzlich 0 Bänke. Ermitteln Sie unter Verwendung der Verflechtungsmatrizen aus a), welche Mengen der Ausgangsmaterialien benötigt werden! Es liegt ein zweistufiger Produktionsprozess vor, bei dem folgende Bedingungen v orliegen:. Stufe: Rohstoffe R, R, R3, R4 >Halbfabrikate H, H, H3. Stufe: Halbfabrikate H, H, H3 >Endprodukte E, E z. B. Für ME Endprodukt E wird benötigt: 4 ME H, ME H, 0 ME H3 Für ME Halbfabrikat H wird benötigt: 3 ME R, 5 ME R, 0 ME R3, 7 ME R4 Wie viel Rohstoffe sind nötig, um 000 ME E und 0000 ME E herzustellen? 34-5

35 Wie viel Rohstoffe R und R werden benötigt um 00 Endprodukte E und 50 Endprodukte E herzustellen? In einem Unternehmen mit einem mehrstufigen Fertigungsablauf seien die festen Mengenbeziehungen zwischen Rohstoffen, Zwischen- und Endprodukten durch folgenden Graph gegeben: Es sollen 4 Mengeneinheiten (ME) von E und 7 ME von E produziert werden. Wie viel Rohstoffe sind nötig? 35-5

36 Zwei Produkte E und E werden mit Hilfe von 4 Baugruppen A, A, A3 und A4 hergestellt. Die Beziehungen werden durch den folgenden Graphen dargestellt: Ein Kunde bestellt 30 Stück von E und 40 Stück von E. Wie viele Baugruppen braucht er dazu? Zwei Produkte E und E werden mit Hilfe von 4 Baugruppen A, A, A3 und A4 hergestellt. Die Beziehungen werden durch den folgenden Graphen dargestellt: Ein Kunde bestellt 30 Stück von E und 40 Stück von E. Wie viele Baugruppen braucht er dazu? 36-5

37 Ein Betrieb fertigt zwei verschiedene Endprodukte P und P unter Verwendung von drei verschiedenen Rohstoffen R, R und R3. Der folgende Graph gibt an, wie viele Mengeneinheiten (ME) Rohstoffe für die Produktion von jeweils ME Endprodukten benötigt werden. Die auf je ME bezogenen Rohstoffkosten in Euro werden durch den Vektor K = (5; 34; 3) gegeben. Wie groß ist der Gesamtwert einer Bestellung von 6 ME P und 3 ME P? Ein Betrieb fertigt zwei verschiedene Endprodukte P und P unter Verwendung von drei verschiedenen Rohstoffen R, R und R3. Der folgende Graph gibt an, wie viele Mengeneinheiten (ME) Rohstoffe für die Produktion von jeweils ME Endprodukten benötigt werden. Die auf je ME bezogenen Rohstoffkosten in Euro werden durch den Vektor K = (5; 34; 3) gegeben. Wie groß ist der Gesamtwert einer Bestellung von 6 ME P und 3 ME P? 37-5

38 Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben Ein Betrieb fertigt zwei verschiedene Endprodukte P und P unter Verwendung von drei verschiedenen Rohstoffen R, R und R3. Der folgende Graph gibt an, wie viele Mengeneinheiten (ME) Rohstoffe für die Produktion von jeweils ME Endprodukten benötigt werden. Die auf je ME bezogenen Rohstoffkosten in Euro werden durch den Vektor K = (5; 34; 3) gegeben. Wie groß ist der Gesamtwert einer Bestellung von 6 ME P und 3 ME P? 38-5

39 Gegeben ist ein Gozintograph mit vier Werkstoffen (A, B, C und D), drei Zwischenprodukten (E, F und G) sowie zwei Endprodukten (H und I). Die Zahlen unter den Buchstaben stellen den aktuellen Lagerbestand dar: Ermitteln Sie den Gesamtbedarf der Güterarten A, B, C und D. 39-5

40 Inverse Matrix Berechnen sie die inverse Matrix von: A 3 Berechnen Sie die inverse Matrix von A Bilden Sie von der Matrix A die Inverse. A Berechnen Sie Inverse Matrix zu A. 3 5 A = ( 4 5) Berechnen Sie die inverse Matrix. 3 3 A = ( 4 ) Wie lautet die Inverse der Matrix: A

41 4-5 Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben Bestimmen Sie die Inverse zur folgenden Matrix: 3 A Bestimmen Sie die inverse Matrix A - zu A Verwenden Sie hierzu ein Verfahren Ihrer Wahl.

42 Determinanten Berechnen Sie folgende Determinante. D = Berechnen Sie folgende Determinante D = Berechnen Sie folgende Determinante. D = Berechnen Sie folgende Determinante. Erzeugen Sie hierfür an den grau markierten Stellen Nullen. Berechnen Sie folgende Determinante. 3 5 D = Berechnen Sie folgende Determinante. Erzeugen Sie hierfür eine Zeile oder eine Spalte mit zwei Nullen. D = Berechnen Sie folgende Determinante. Erzeugen Sie hierfür eine Zeile oder eine Spalte mit zwei Nullen. 3 5 D =

43 Berechnen Sie folgende Determinante. Erzeugen Sie hierfür eine Zeile oder eine Spalte mit zwei Nullen. D = Berechnen Sie folgende Determinante. Erzeugen Sie sich hierfür in einer beliebigen Zeile oder Spalte so viele Nullen wie möglich um Rechenarbeit zu sparen D = 3 3 Berechnen Sie folgende Determinante. Erzeugen Sie sich hierfür in einer beliebigen Zeile oder Spalte so viele Nullen wie möglich um Rechenarbeit zu sparen D = Berechnen Sie folgende Determinante. Erzeugen Sie sich hierfür in einer beliebigen Zeile oder Spalte so viele Nullen wie möglich um Rechenarbeit zu sparen D = Berechnen Sie die folgenden Determinanten mit Hilfe von Sarrus. 43-5

44 Vereinfachen Sie durch Addition eines Vielfachen einer Zeile oder Spalte so dass, möglichst eine oder zwei Nullen entstehen und berechnen dann: Erzeugen Sie an den markierten Stellen zwei Nullen durch Addition der Vielfachen zweier Zeilen oder Spalten und berechnen dann: 44-5

45 Vereinfachen Sie zuerst durch Ausklammern von Faktoren, erzeugen Sie dann zwei Nullen und berechnen den Wert der Determinante. Für welche Werte von k hat die Determinante den Wert 0? Erzeugen Sie zuerst Nullen und berechnen dann durch Entwickeln: 45-5

46 Berechnen Sie die Determinante der Matrix 3 B 5 7 Rechnen Sie die folgenden Aufgaben nach eigener Vorstellung. Berechnen Sie folgende Determinante nach dem Entwicklungssatz von Laplace A = Berechnen Sie folgende Determinante nach dem Entwicklungssatz von Laplace det(a) =

47 Berechnen Sie folgende Determinante nach dem Entwicklungssatz von Laplace det(a) = 0 Berechnen Sie folgende Determinante nach dem Entwicklungssatz von Laplace det(a) = Berechnen Sie folgende Determinante: 47-5

48 Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben Berechnen Sie folgende Determinante. Für welche x R ist die folgende Determinante Null? Berechnen Sie die Determinante der folgenden Matrix ( ) Berechnen Sie folgende Determinante. 48-5

49 Lineare Gleichungssysteme Berechnen Sie den Schnittpunkt der beiden Gleichungen nach dem Einsetzungsverfahren. 0x-7y+4=0 und 6x-5y=- Berechnen Sie die Schnittpunkte der beiden Gleichungen mit dem Gleichsetzungsverfahren. a) y=3x+ und y=5x+4 b) y=3x+8 und y=0,5x+ c) 4x+y=8 und 7x-y=3 d) 8x-4y=-3 und 4x-y=8,5 Berechne den Schnittpunkt der beiden Gleichungen nach dem Additionsverfahren. 6y=9x-8 und 6x-4y= Lösen Sie folgendes Lineare Gleichungssystem mit Hilfe des Additionsverfahrens 5x + 3y = 50 4x 3y = 3 Lösen Sie folgendes Lineare Gleichungssystem mit Hilfe des Einsetzungsve rfahren.,5x y = 8 5x + 3y = 4 Lösen Sie folgendes Lineare Gleichungssystem mit Hilfe des Gleichsetzungsverfahren. 3x + 7y = 40 x + 6y =

50 Bestimme die Lösungsmenge des LGS mit Hilfe des Gauß'schen Algorithmus. I x-3y+z=-4 II -y+5z=7 III -5y+4,5z=-6,5 Bestimme die Lösungsmenge des LGS mit Hilfe des Gauß'schen Algorithmus. I 3x-y+4z= II x-y+z=5 III 6x-4y+3z=6 Bestimme die Lösungsmenge des LGS mit Hilfe des Gauß'schen Algorithmus. I x-y+z=4 II 3x-y+4z = III x-4y+5z=5 Lösen Sie folgendes Lineare Gleichungssystem mit einem Verfahren Ihrer Wahl. 3x + y + 5z = 8 6x + y + z = 7 3x + y + 5z = Lösen Sie folgendes Lineare Gleichungssystem mit einem Verfahren Ihrer Wahl. x 6y z = 3x + 6y + 4z = 6x + 4y 8z = 50-5

51 Bestimmen Sie die Lösung dieser Gleichungssysteme mit Hilfe der Cramer'schen Regel. a) I: 4x - y + z = 5 II: -x + 3y + 4z = 5 III: 5x - y + 3z = 6 b) I: x - 3y + z = 0 II: x + y - z = -6 III: 3x - y - 4z = -5 c) I: x + y + z = II: 7x + y - 7z = 9 III: 4x + y + z = 3 d) I: 3y - z = 7 II: x - 3y + z = - III: 3x + y = - e) I: x + 7y - z = 3 II: 7x - 3y + 4z = -9 III: 3x - y + z = -5 f) I: 3x - 4y - 6z = 4 II: -x - y + 3z = -6 III: 7x + 0y + 6z = 0 Lösen Sie folgendes Lineare Gleichungssystem mit einem Verfahren Ihrer Wahl. x + 3y + z = 3 4x + z = 6 3x y + 4z = Lösen Sie folgendes Lineare Gleichungssystem mit einem Verfahren Ihrer Wahl. x + 3y + z = 3 4x 4y + z = 6 3x y + 3,5z = 5-5

52 Lösen Sie folgendes Lineare Gleichungssystem mit einem Verfahren Ihrer Wahl. x + 3y + z = 3 4x + z = 4 3x + 3y + 3,5z = 0,5 Lösen Sie lineare Gleichungssysteme mit Hilfe des Gauß schen Algorithmus. 5-5

53 Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben MATHEMATIK Lösen Sie das folgende Lineare Gleichungssystem mit Hilde der Cramer schen Regel. 3x 5x 4x x 3x 3x x x x Lösen Sie folgendes Lineare Gleichungssystem mit einem Verfahren Ihrer Wahl. 5x + 5y + 5z = 30 x + y z = x + y + 5z = 9 Lösen Sie folgendes Lineare Gleichungssystem mit einem Verfahren Ihrer Wahl. x + 3y + z = 3 3x y + 4z = x + z = 8 Lösen Sie folgendes Lineare Gleichungssystem mit einem Verfahren Ihrer Wahl. x y + z = x + 0y 3z = 5 x + y + z =

54 Lineare Optimierung (grafische Lösung) Gegeben sei das LOP Z: Max z=.000x+3.000x NB: x x x 6 x 4x NNB:,x 0 x 6 36 Gegeben ist das LOP Z: Min z=3x+4x NB: x 4x 6x NNB:,x 0 x 5x 4x x Gegeben ist folgendes LOP Z: Max z=x+3x NB: x x x x 6 x x 4x 4 NNB:,x 0 x 6 36 Z: Min z=x+3x NB: x x x x 6 x x 4x NNB:,x 0 x 54-5

55 Gegeben ist folgendes LOP Z: Max z=x+3x NB: x x x x 6 x x 4x 4 NNB:,x 0 x 6 36 Gegeben ist folgendes LOP Z: Min z=x+3x NB: x x x x 6 x x 4x 4 NNB:,x 0 x 6 36 Gegeben ist folgendes LOP Z: Max z=8x+4x NB: 3x 4x 5x 5x 4x x Gegeben ist folgendes LOP Z: Max z=x+3x NB: 6x 6x 4x 30 x 6x

56 Gegeben sie folgendes LOP Z: Max z=4x+x NB: x x x x x x 6 NNB:,x 0 x 3 Gegeben sie folgendes LOP Z: Max z=4x+x NB: x x x x 6 x x NNB:,x 0 x 3 Gegeben sie folgendes LOP Z: Max z=-3x+x x x 3 NB: x x 4 x x 3 NNB:,x 0 x 56-5

57 Lösen Sie folgendes LOP. Ein Gärtner möchte einen 00 qm großen Garten mit Rosen und/oder Nelken bepflanzen. Er möchte max. 70 Euro an Arbeits- und Materialkosten investieren und höchstens 60qm für Nelken reservieren. Folgende Tabelle enthält weitere Daten des Problems. Rosen Nelken Arbeits- und Materialkosten (in Euro/qm) 6 9 Gewinn Wie viele qm sollen mit jeder Sorte bepflanzt werden, damit ein maximaler Gewinn erzielt wird? Eine Jugendgruppe beschließt, Zelte einzukaufen. In einem Sonderangebot werden zwei verschiedene Sorten von Zelten für jeweils 0 und 5 Personen preiswert angeboten. Von den 0-Personenzelten sind noch 5 und von den 5-Personenzelten nur noch 4 vorrätig. Die Zelte für 0 Personen kosten 00 Euro je Stück und diejenigen für 5 Personen insgesamt 400 Euro je Stück. Die Jugendgruppe kann insgesamt höchstens 800 Euro für die Zelte ausgeben. Wie viele 0- und 5-Personenzelte kann die Jugendgruppe kaufen, damit eine möglichst große Anzahl von Jugendlichen in den Zelten untergebracht werden kann? 57-5

58 Eine kleine Motoradfabrik baut und verkauft die beiden Typen Mofa und Lofa. Während die Produktionskosten für ein Mofa Euro betragen, belaufen sie sich bei der Lofa nur auf Euro pro Stück. Insgesamt können pro Tag nicht mehr als Euro für die Produktion ausgegeben werden. Für die Fertigung der Mofas rechnet die Arbeitsvorbereitung mit einer Arbeitszeit von 30 Stunden, für die der Lofas setzt sie hingegen 60 Stunden an. Pro Tag stehen maximal 480 Arbeitsstunden zur Verfügung. Vom Mofa sollen pro Tag maximal 3 Stück gefertigt werden. Marktanalysen zeigen, dass pro Tag mindestens 4 Lofas abgesetzt werden müssen und unbegrenzt Mofas abgesetzt werden können. Der Verkaufspreis der Lofas liegt bei Euro, der der Mofas bei Euro pro Stück. Wie viel Mofas und Lofas sollen täglich produziert werden, um das Umsatzmaximum zu erreichen? Wie groß ist dieser maximale Umsatz? Eine Tischlerei erhält einen Auftrag, für den unterschiedliche Holzplatten mit der folgenden Stückzahl zu verwenden sind: 0 Platten der Größe A, Platten der Größe B, 8 Platten der Größe C, 4 Platten der Größe D. Die Tischlerei bezieht dazu aus einem Sägewerk zwei Holzplattentypen I und II, die auf vorgegebene Weise (Abbildung ) zu zerschneiden sind. Abbildung : Zerlegung der Holzplattentypen. Der Preis einer Platte des Typs I beträgt 300 Euro und der einer Platte des Typs II 00 Euro. Aus Lager- und Verkaufsgründen sollten nicht mehr als 6 Platten der Größe D und nicht mehr als 5 Platten der Größe E gelagert werden. Es ist zu ermitteln, wie viel Platten I und II gekauft werden müssen, damit der Auftrag ausgeführt werden kann und der Gesamteinkaufspreis der Platten so gering wie möglich ausfällt. 58-5

59 Ein Viehzuchtbetrieb füttert Rinder mit zwei tiermehlfreien Futtersorten A und B (z.b. Rüben und Heu). Die Tagesrationen eines Rindes müssen die Nährstoffe, und 3 im Umfang von mindestens 6, bzw. 4 g enthalten. Die Nährstoffgehalte in g pro kg und Preise in GE pro kg der beiden Sorten zeigt die folgende Tabelle: Sorte A Sorte B Tagesbedarf Nährstoff 6 Nährstoff 4 Nährstoff Preis in GE/kg 5 7 Wie viele kg von Sorte A bzw. B muss jede Tagesration enthalten, wenn sie unter Einhaltung der Nährstoffbedingungen die Kosten minimal sein sollten. Ein Hersteller produziert zwei Sortimente eines Artikels, der aus Teilen besteht, die geschnitten, zusammengebaut und fertig gestellt werden müssen. Der Unternehmer weiß, dass er so viele Artikel verkaufen kann, wie er produziert. Sortiment benötigt 5 Minuten zum Zerschneiden, 60 Minuten zum Zusammenbau und 68 Minuten, um es verkaufsfertig zu machen. Es erzielt 30 Euro Gewinn. Für Sortiment braucht man 75 Minuten zum Schneiden, 60 Minuten für den Zusammenbau und 34 Minuten, zur Fertigstellung. Dieses Sortiment erzielt einen Gewinn von 40 Euro. Es stehen nicht mehr als 450 Minuten zum, Zerschneiden, 480 Minuten zum Zusammenbau und 476 Minuten zum Fertigstellen pro Tag zur Verfügung. Nun stellt sich dem Unternehmer die Frage, wie viele Artikel von jedem Sortiment jeden Tag produziert werden müssen, um den Gewinn zu maximieren. 59-5

60 Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben Ein Unternehmen gewinnt aus drei Rohstoffen (R, R, R3) zwei Mineralien (M,M). Eine Tonne M wird aus 6 Tonnen R, 4 Tonnen R und 4 Tonnen R3 hergestellt; eine Tonne M ergibt sich aus 3 Tonnen R, 4 Tonnen R und Tonnen R3. Pro Woche stehen maximal 60 Tonnen R, 44 Tonnen R und 84 Tonnen R3 zur Verfügung. Eine Tonne M bzw. M wirft einen Gewinn von 00 bzw. 300 ab. a) Lösen Sie dieses Problem grafisch. (6,5) b) Was würde sich für das Optimum ergeben, wenn zusätzlich zu den obigen Voraussetzungen verlangt würde, dass von M mindestens 8 Tonnen erzeugt werden müssten? Bestimmen Sie für folgendes LOP-Problem die minimale Lösung. Verwenden Sie hierzu die grafische Lösung. Zeichnen Sie dort die gefundene Lösung ein. Die x -Werte und die x-werte brauchen Sie für die minimale Lösung nicht zu bestimmen. Z: x x Min NB: x + 6x 0 x x 3x 6x 9 4x + 5x 6 NNB: x, x 0 Eine Schulklasse mit 9 Schülern und 6 Begleitpersonen (mit Führerschein) möchte einen Ausflug machen. Um zu ihrem Ausflugsziel zu kommen, können sie Kleinbusse mit 8 Sitzplätzen bzw. Autos mit 5 Sitzplätzen mieten, die von den Begleitpersonen gefahren werden sollen. Die Busse kosten 50 am Tag, die Autos 0 am Tag. Wie viele Busse bzw. Autos müssen die Schüler mieten, um möglichst preisgünstig den Ausflug machen zu können? 60-5

61 Bestimmen Sie die Lösung des LOP's mit der grafischen Lösungsvariante. Z: x + x min Nebenbedingungen: x + x 0 x 6 x 5 5x + 5x 5 Nichtnegativitätsbedingungen: x, x 0 6-5

62 Lineare Optimierung (rechnerische Lösung) Lösen Sie folgendes LOP-Problem mit dem Simplex-Algorithmus. Z: Max Z=3x+x NB: x x x x x 40 NNB:,x 0 x Lösen Sie folgendes LOP-Problem mit dem Simplex-Algorithmus. Z: Max Z=x+3x NB: x x x 3x x x 0 NNB:,x 0 x 5 36 Gegeben sei das LOP Z: Max z=.000x+3.000x NB: x x x 6 x 4x NNB:,x 0 x 6 36 Eine Jugendgruppe beschließt, Zelte einzukaufen. In einem Sonderangebot werden zwei verschiedene Sorten von Zelten für jeweils 0 und 5 Personen preiswert angeboten. Von den 0-Personenzelten sind noch 5 und von den 5-Personenzelten nur noch 4 vorrätig. Die Zelte für 0 Personen kosten 00 Euro je Stück und diejenigen für 5 Personen insgesamt 400 Euro je Stück. Die Jugendgruppe kann insgesamt höchstens 800 Euro für die Zelte ausgeben. Wie viele 0- und 5-Personenzelte kann die Jugendgruppe kaufen, damit eine möglichst große Anzahl von Jugendlichen in den Zelten untergebracht werden kann? 6-5

63 Lösen Sie folgende Aufgaben auf die rechnerische Variante. 63-5

64 Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben Bestimmen Sie die Lösung des LOP's mit dem Simplex-Algorithmus in rechnerischen Form. Z: 3x + x max Nebenbedingungen: x + x x + x 7 x 6 x 5 Nichtnegativitätsbedingungen: x, x 0 Berechnen Sie die optimale Lösung folgendes Optimierungsproblem mit der rechnerischen Lösungsvariante nach Simplex (nicht in Tabellenform). Z: 3x + 4x max NB: x + x 70 x + 3x 80 5x + 3x 300 NNB: x ; x

65 Lineare Optimierung (Pivot-Tabelle) Ein Lackierbetrieb soll Stühle lackieren. Es sollen zwei verschiedene Farbversionen (hell und dunkel) hergestellt werden. Insgesamt stehen 0 Stühle zur Verfügung. Von der hellen Version können höchstens Stühle hergestellt werden. Für die helle Version werden Arbeitsstunden benötigt, für die dunkle Version dagegen nur Arbeitsstunde. Insgesamt stehen 30 Arbeitsstunden zur Verfügung. Beim anschließenden Verkauf bringt ein Stuhl der dunklen Version 75.00, ein Stuhl der hellen Version Gewinn. Gesucht ist ein gewinnmaximierendes Produktionsprogramm. Lösen Sie das Modell nach der Simplexmethode. Ein Betrieb stellt ein Produkt nach drei verschiedenen Verfahren A, B, C her. Die folgende Tabelle zeigt die erforderlichen Einsatzmengen pro Produkteinheit für die einzelnen Verfahren und die maximal verfügbaren Einsatzmengen: Die Gewinne bei der Produktion durch die Verfahren A, B und C betragen 0, 5 bzw. 5. Es soll ein gewinnmaximierendes Produktionsprogramm aufgestellt werden. Lösen Sie das Modell nach der Simplexmethode. (rechnerische Simplexmethode) Eine Unternehmung produziere zwei Produkte,P und P. Dazu sei ein einziger Produktionsfaktor verwendet, dessen verfügbare Menge 0 ME beträgt. Zur Herstellung einer Einheit des Produktes P bzw. P werden ME bzw. ME des Produktionsfaktors benötigt. Von den beiden Produkten sollen insgesamt mindestens ME hergestellt werden Der Gewinn pro ME des Produkts P bzw. P beträgt 3 GE bzw. GE. Gesucht ist das Produktionsprogramm mit maximalem Gewinn. Lösen Sie das Problem nach der Simplexmethode. 65-5

66 Ein Betrieb stellt zwei Artikel A und A auf den Maschinengattungen M und M her. Außerdem müssen gelernte Montagekräfte eingesetzt werden. Die vorhandenen Informationen sind in der nachfolgenden Tabelle zusammengefasst: Gesucht ist ein gewinnmaximierendes Produktionsprogramm.. Stellen Sie das entsprechende Modell dar.. Lösen Sie das Problem nach der Simplexmethode. Bestimmen Sie die Lösung des LOP's mit der a) grafischen Lösungsvariante b) mit dem Simplex-Algorithmus in Pivot-Tabellenform Z: x + x max Nebenbedingungen: x + x x 6 x 5 Nichtnegativitätsbedingungen: x, x

67 Bestimmen Sie die Lösung des LOP's mit der a) grafischen Lösungsvariante b) mit dem Simplex-Algorithmus in Pivot-Tabellenform Z: x + x max Nebenbedingungen: x + x 0,5x x 0 Nichtnegativitätsbedingungen: x, x 0 Bestimmen Sie die Lösung des LOP's mit dem Simplex-Algorithmus in Pivot-Tabellenform Z: 3x + x max Nebenbedingungen: x + x x + x 7 x 6 x 5 Nichtnegativitätsbedingungen: x, x 0 Eine Firma stelle verschiedene Produkte her. Es stehen 3 Maschinen A, B, C zur Verfügung. Maschine A hat eine maximale monatliche Laufzeit (Kapazität) von 70 Stunden, Maschine B von 50 Stunden und Maschine C von 80 Stunden. Eine Mengeneinheit (ME) von Produkt liefert einen Deckungsbeitrag von 300 Euro, eine ME von Produkt dagegen 500 Euro. Fertigt man ME von Produkt, benötigt man dafür zunächst Stunde die Maschine A und danach Stunde die Maschine B. ME von Produkt belegt nacheinander Stunden Maschine A, Stunde Maschine B und 3 Stunden Maschine C. Die Firma möchte den Deckungsbeitrag maximieren: Eventuelle Fixkosten sind unabhängig von der Produktionsmenge und können daher einfach am Ende der Berechnung vom Gesamtdeckungsbeitrag abgezogen werden, um den Gewinn zu erhalten. 67-5

68 Eine Bergwerksgesellschaft besitzt zwei verschiedene Gruben (bzw. Minen), in denen bestimmte Erzarten gefördert werden. Die Gruben befinden sich in verschiedenen Landesteilen und verfügen über unterschiedliche Kapazitäten. Nach dem Brechen werden bei Erz drei Klassen unterschieden, grob- mittel- und feinkörniges Erz. Nach jeder Erzart besteht eine gewisse Nachfrage. Die Bergwerksgesellschaft konzentriert sich darauf, einem Hüttenwerk mindestens t grob-, 8t mittel- und 4t feinkörniges Erz zu liefern. Die Betriebskosten für die Gruben sind 00 GE (Geldeinheiten) pro Tag bei Grube und 60 GE bei Grube. In der Grube werden dabei pro Tag 6t grob-, t mittel- und 4t feinkörniges Erz gefördert, während die zweite Grube eine tägliche Leistung von t grob-, t mittel- und t feinkörnigem Erz hat. Wie viele Tage sollte jede der Gruben pro Woche befahren werden, um die Aufträge der Firma auf wirtschaftliche Weise zu erfüllen? Lösen Sie dieses Problem mit einem Verfahren Ihrer Wahl. Ein Betrieb kann sein Produkt nach zwei Verfahren aus Grundstoffen A und B [t] sowie Energie W [kwh] herstellen. Für t des Produktes wird benötigt:. Verfahren. Verfahren verfügbar A 4 0 B W 3 Die Gesamtproduktion soll maximiert werden. Lösen Sie dieses Problem mit dem Simplexalgorithmus in Pivot-Tabellenform Bestimmen Sie die Lösung des LOP's mit dem Simplex-Algorithmus in Pivot-Tabellenform Zielfunktion: Z: x + x + x 3 + x 4 + x 5 max Nebenbedingungen: x + x 3 + x 4 + x 5 4 x + x + x 3 + x 5 6 x + x + x 4 + x 5 8 Nichtnegativitätsbedingungen: x, x, x 3, x 4, x

69 Lösen Sie folgendes Problem mit dem Simplex-Algorithmus in Pivot-Tabellenform. Zielfunktion: Z: x + x max Nebenbedingungen: x + x 8 3x + x x + x 0 Nichtnegativitätsbedingungen: x, x 0 Lösen Sie folgendes Problem mit dem Simplex-Algorithmus in Pivot-Tabellenform. Zielfunktion: Z: x 4x max Nebenbedingungen: x + x 3 x + x Nichtnegativitätsbedingungen: x, x, x 3 0 Lösen Sie folgendes Problem mit dem Simplex-Algorithmus in Pivot-Tabellenform. Zielfunktion: Z: x + 3x max Nebenbedingungen: x 6 x + x 4 x + x 6 x + 4x 36 Nichtnegativitätsbedingungen: x, x

70 Ein Lackierbetrieb soll Stühle lackieren. Es sollen zwei verschiedene Farbversionen (hell und dunkel) hergestellt werden. Insgesamt stehen 0 Stühle zur Verfügung. Von der hellen Version können höchstens Stühle hergestellt werden. Für die helle Version werden Arbeitsstunden benötigt, für die dunkle Version dagegen nur Arbeitsstunde. Insgesamt stehen 30 Arbeitsstunden zur Verfügung. Beim anschließenden Verkauf bringt ein Stuhl der dunklen Version 75.00, ein Stuhl der hellen Version Gewinn. Gesucht ist ein gewinnmaximierendes Produktionsprogramm. Lösen Sie das Modell nach der Simplexmethode. Ein Betrieb stellt ein Produkt nach drei verschiedenen Verfahren A, B, C her. Die folgende Tabelle zeigt die erforderlichen Einsatzmengen pro Produkteinheit für die einzelnen Verfahren und die maximal verfügbaren Einsatzmengen: Die Gewinne bei der Produktion durch die Verfahren A, B und C betragen 0, 5 bzw. 5. Es soll ein gewinnmaximierendes Produktionsprogramm aufgestellt werden. Lösen Sie das Modell nach der Simplexmethode. (rechnerische Simplexmethode) Eine Unternehmung produziere zwei Produkte,P und P. Dazu sei ein einziger Produktionsfaktor verwendet, dessen verfügbare Menge 0 ME beträgt. Zur Herstellung einer Einheit des Produktes P bzw. P werden ME bzw. ME des Produktionsfaktors benötigt. Von den beiden Produkten sollen insgesamt mindestens ME hergestellt werden Der Gewinn pro ME des Produkts P bzw. P beträgt 3 GE bzw. GE. Gesucht ist das Produktionsprogramm mit maximalem Gewinn. Lösen Sie das Problem nach der Simplexmethode. 70-5

71 Ein Betrieb stellt zwei Artikel A und A auf den Maschinengattungen M und M her. Außerdem müssen gelernte Montagekräfte eingesetzt werden. Die vorhandenen Informationen sind in der nachfolgenden Tabelle zusammengefasst: Gesucht ist ein gewinnmaximierendes Produktionsprogramm.. Stellen Sie das entsprechende Modell dar.. Lösen Sie das Problem nach der Simplexmethode. Bestimmen Sie die Lösung des LOP's mit der a) grafischen Lösungsvariante b) mit dem Simplex-Algorithmus in Pivot-Tabellenform Z: x + x max Nebenbedingungen: x + x x 6 x 5 Nichtnegativitätsbedingungen: x, x 0 7-5

72 Bestimmen Sie die Lösung des LOP's mit der a) grafischen Lösungsvariante b) mit dem Simplex-Algorithmus in Pivot-Tabellenform Z: x + x max Nebenbedingungen: x + x 0,5x x 0 Nichtnegativitätsbedingungen: x, x 0 Bestimmen Sie die Lösung des LOP's mit dem Simplex-Algorithmus in Pivot-Tabellenform Z: 3x + x max Nebenbedingungen: x + x x + x 7 x 6 x 5 Nichtnegativitätsbedingungen: x, x 0 Eine Firma stelle verschiedene Produkte her. Es stehen 3 Maschinen A, B, C zur Verfügung. Maschine A hat eine maximale monatliche Laufzeit (Kapazität) von 70 Stunden, Maschine B von 50 Stunden und Maschine C von 80 Stunden. Eine Mengeneinheit (ME) von Produkt liefert einen Deckungsbeitrag von 300 Euro, eine ME von Produkt dagegen 500 Euro. Fertigt man ME von Produkt, benötigt man dafür zunächst Stunde die Maschine A und danach Stunde die Maschine B. ME von Produkt belegt nacheinander Stunden Maschine A, Stunde Maschine B und 3 Stunden Maschine C. Die Firma möchte den Deckungsbeitrag maximieren: Eventuelle Fixkosten sind unabhängig von der Produktionsmenge und können daher einfach am Ende der Berechnung vom Gesamtdeckungsbeitrag abgezogen werden, um den Gewinn zu erhalten. 7-5

73 Eine Bergwerksgesellschaft besitzt zwei verschiedene Gruben (bzw. Minen), in denen bestimmte Erzarten gefördert werden. Die Gruben befinden sich in verschiedenen Landesteilen und verfügen über unterschiedliche Kapazitäten. Nach dem Brechen werden bei Erz drei Klassen unterschieden, grob- mittel- und feinkörniges Erz. Nach jeder Erzart besteht eine gewisse Nachfrage. Die Bergwerksgesellschaft konzentriert sich darauf, einem Hüttenwerk mindestens t grob-, 8t mittel- und 4t feinkörniges Erz zu liefern. Die Betriebskosten für die Gruben sind 00 GE (Geldeinheiten) pro Tag bei Grube und 60 GE bei Grube. In der Grube werden dabei pro Tag 6t grob-, t mittel- und 4t feinkörniges Erz gefördert, während die zweite Grube eine tägliche Leistung von t grob-, t mittel- und t feinkörnigem Erz hat. Wie viele Tage sollte jede der Gruben pro Woche befahren werden, um die Aufträge der Firma auf wirtschaftliche Weise zu erfüllen? Lösen Sie dieses Problem mit einem Verfahren Ihrer Wahl. Ein Betrieb kann sein Produkt nach zwei Verfahren aus Grundstoffen A und B [t] sowie Energie W [kwh] herstellen. Für t des Produktes wird benötigt:. Verfahren. Verfahren verfügbar A 4 0 B W 3 Die Gesamtproduktion soll maximiert werden. Lösen Sie dieses Problem mit dem Simplexalgorithmus in Pivot-Tabellenform Bestimmen Sie die Lösung des LOP's mit dem Simplex-Algorithmus in Pivot-Tabellenform Zielfunktion: Z: x + x + x 3 + x 4 + x 5 max Nebenbedingungen: x + x 3 + x 4 + x 5 4 x + x + x 3 + x 5 6 x + x + x 4 + x 5 8 Nichtnegativitätsbedingungen: x, x, x 3, x 4, x

74 Lösen Sie folgendes Problem mit dem Simplex-Algorithmus in Pivot-Tabellenform. Zielfunktion: Z: x + x max Nebenbedingungen: x + x 8 3x + x x + x 0 Nichtnegativitätsbedingungen: x, x 0 Lösen Sie folgendes Problem mit dem Simplex-Algorithmus in Pivot-Tabellenform. Zielfunktion: Z: x 4x max Nebenbedingungen: x + x 3 x + x Nichtnegativitätsbedingungen: x, x, x 3 0 Lösen Sie folgendes Problem mit dem Simplex-Algorithmus in Pivot-Tabellenform. Zielfunktion: Z: x + 3x max Nebenbedingungen: x 6 x + x 4 x + x 6 x + 4x 36 Nichtnegativitätsbedingungen: x, x

75 Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben MATHEMATIK Der Waschzuber KG stellt Handtücher, Badetücher und Duschhandtücher her. Für die Herstellung werden drei Maschinen (A, B und C) benötigt. Die Bearbeitungszeit für ein Handtuch beträgt Minuten auf Maschine A, 6 Minuten auf Maschine B und Minute auf Maschine C. Die Bearbeitungszeit für ein Badetuch beträgt Minuten auf Maschine A, 8 Minuten auf Maschine B und Minuten auf Maschine C. Die Bearbeitungszeit eines Duschhandtuches beträgt Minute auf Maschine A, Minuten auf Maschine B und Minute auf Maschine C. Pro Woche kann Maschine A maximal 400 Minuten betrieben werden, Maschine B 4400 Minuten und Maschine C 000 Minuten. Ein Handtuch wird für Euro, ein Badetuch für 5 Euro und ein Duschhandtuch für 5 Euro verkauft. Wie viele Hand-/Bade-/Duschhandtücher müssen produziert werden, damit der Umsatz maximal wird? Lösung dieses Optimierungsproblem mit dem Simplexalgorithmus in Pivot-Tabellenform. Ein Landwirt besitzt einen Stall für 0 Kühe und 0 ha Land. Pro Jahr kann er 400 Arbeitsstunden (Ah) aufwenden. Um eine Kuh zu unterhalten benötigt er pro Jahr 0,5 ha Land, sowie 00 Ah. Der Anbau von ha Weizen erfordert 00 Ah. Durch eine Kuh erzielt er im Jahr 350,- und ha Weizen bringt ihm im gleichen Zeitraum60,- Gewinn. In diesem Zusammenhang soll die Frage beantwortet werden, mit wie vielen Kühen und wie viel ha Weizen sein Gewinn maximal wird? Ermitteln Sie die Lösung anhand des Simplex-Algorithmus in Pivot-Darstellung. 75-5

76 Ableitungen Ermitteln Sie von der Funktion f(x) die Ableitungen f'(x) und f''(x). 3 x f (x) 8 x 3 5 Ermitteln Sie von der Funktion f(x) die Ableitungen f'(x) und f''(x). (x) (4x f 4 ) Ermitteln Sie von der Funktion f(x) die Ableitungen f'(x) und f''(x). 4 (x) x x f 4 x Ermitteln Sie von der Funktion f(x) die Ableitungen f'(x) und f''(x). f (x) 3 x Ermitteln Sie von der Funktion f(x) die Ableitungen f'(x) und f''(x). f (x) 8 x 3 4 x Ermitteln Sie von der Funktion f(x) die Ableitung f'(x). f(x) ( x x 3)(x 3 x) Ermitteln Sie von der Funktion f(x) die Ableitung f'(x). f (x) x 3 x

77 Ermitteln Sie von der Funktion f(x) die Ableitung f'(x). (x 3) f (x) (3x 6) Ermitteln Sie von der Funktion f(x) die Ableitung f'(x). (x 4x) (x) (x 3) f Ermitteln Sie von der Funktion f(x) die Ableitung f'(x). 4x 3 3x f (x) x Ermitteln Sie von der Funktion f(x) die Ableitung f'(x). (x f (x) 3 6x 7x 3) 4x Ermitteln Sie von der Funktion f(x) die Ableitung f'(x). f(x) (x 8) 3 Ermitteln Sie von der Funktion f(x) die Ableitung f'(x). f (x) (x 3 3) Ermitteln Sie von der Funktion f(x) die Ableitung f'(x). f (x) (x 4) 77-5

78 Ermitteln Sie von der Funktion f(x) die Ableitung f'(x). f(x) x 3 e x Ermitteln Sie von der Funktion f(x) die Ableitungen f'(x) und f''(x). f(x) = ln (x ) Bestimmen Sie zwei Ableitungen zu folgender Funktion. f(x) = x 4 x 3 Bestimmen Sie zwei Ableitungen zu folgender Funktion. f(x) = x a x + a Bestimmen Sie zwei Ableitungen zu folgender Funktion. f(x) = 4 3x 78-5

79 Bestimmen Sie zwei Ableitungen zu folgender Funktion. f(x) = ex 4 e x + Bestimmen Sie eine Ableitung zu folgender Funktion. e x f(x) = x + Bestimmen Sie zwei Ableitungen zu folgender Funktion. f(x) = ex x Bestimmen Sie eine Ableitung zu folgender Funktion. f(x) = + ln (x) x Bestimmen Sie zwei Ableitungen zu folgender Funktion. f(x) = ln (x 6) Bestimmen Sie zwei Ableitungen zu folgender Funktion. f(x) = ln (x (x a)) 79-5

80 Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben Bestimmen Sie zwei Ableitungen zu folgender Funktion. f(x) = x e t x Bestimmen Sie zwei Ableitungen zu folgender Funktion. x f(x) = 6 x + 8 Ermitteln Sie von der Funktion f(x) die Ableitung f'(x). f(x) ( x x 3)(x 3 x) 80-5

81 Kurvendiskussion Untersuchen Sie für folgende Funktion f(x) auf Achsen- und Punktsymmetrie, Schnittpunkte mit der x- und y-achse und Extrempunkte. f(x) x x Untersuchen Sie für folgende Funktion f(x) auf Achsen- und Punktsymmetrie, Schnittpunkte mit der x- und y-achse und Extrempunkte. f (x) x 6 x Untersuchen Sie für folgende Funktion f(x) auf Achsen- und Punktsymmetrie, Schnittpunkte mit der x- und y-achse und Extrempunkte. f(x) = x + 4x + 8 x + Untersuchen Sie für folgende Funktion f(x) auf Achsen- und Punktsymmetrie, Schnittpunkte mit der x- und y-achse und Extrempunkte. f(x) = e x 4 Untersuchen Sie für folgende Funktion f(x) auf Achsen- und Punktsymmetrie, Schnittpunkte mit der x- und y-achse und Extrempunkte. f(x) = ln ( x) Untersuchen Sie für folgende Funktion f(x) auf Achsen- und Punktsymmetrie, Schnittpunkte mit der x- und y-achse und Extrempunkte. f (x) x x 7 8-5

82 Untersuchen Sie für folgende Funktion f(x) auf Achsen- und Punktsymmetrie, Schnittpunkte mit der x- und y-achse und Extrempunkte. 3 x f (x) 4 3x Untersuchen Sie für folgende Funktion f(x) auf Achsen- und Punktsymmetrie, Schnittpunkte mit der x- und y-achse und Extrempunkte. f(x) = 8 x 4 Untersuchen Sie für folgende Funktion f(x) auf Achsen- und Punktsymmetrie, Schnittpunkte mit der x- und y-achse und Extrempunkte. f(x) = 8 x + x Untersuchen Sie für folgende Funktion f(x) auf Achsen- und Punktsymmetrie, Schnittpunkte mit der x- und y-achse, Extrempunkte und Wendepunkte. f(x) = 4x x + 4 Untersuchen Sie für folgende Funktion f(x) auf Achsen- und Punktsymmetrie, Schnittpunkte mit der x- und y-achse, Extrempunkte und Wendepunkte. f(x) = e x Untersuchen Sie für folgende Funktion f(x) auf Achsen- und Punktsymmetrie, Schnittpunkte mit der x- und y-achse und Extrempunkte. f(x) = ln ( x ) 8-5

83 Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben MATHEMATIK Untersuchen Sie für folgende Funktion f(x) auf Definitionsmenge, Achse n- und Punktsymmetrie, Schnittpunkte mit der x- und y-achse und Extrempunkte. f(x) = 4 x Untersuchen Sie für folgende Funktion f(x) auf Achsen- und Punktsymmetrie, Schnittpunkte mit der x- und y-achse, Extrempunkte und Wendepunkte. f(x) = x x

84 Prozentrechnung In einem Großbetrieb sind 8400 Personen beschäftigt. Davon sind 9% unter 30 Jahre alt und 37% zwischen 30 und 45 Jahre alt. Der Rest ist älter als 45 Jahre. Wie viele Beschäftigte sind älter als 45 Jahre? Klara Kufsteiner kauft in der Buchhandlung Raupenheimer das umfassende Werk Alle illegalen Steuertricks in Deutschland zu 36,50 Euro (incl. MwSt.). Währende der Lektüre stellt sie fest, dass ihr der Buchhändler fälschlicherweise 6% MwSt. berechnet hat (richtig wären 7% gewesen). Daraufhin verlangt sie vom Buchhändler eine Richtigstellung. Welchen Betrag muss ihr der Buchhändler zurückgeben? 8 Baumfäller roden in 0 Stunden einen Wald. Wie lange würde es bei Baumfällern dauern? Hans-Udo teilt jede Woche 390 Prospekte aus und bekommt dafür 8,08. a) Pia verteilt für dieselbe Firma in einem anderen Stadtteil 360 Prospekte. Was verdient sie? b) Paul verdient mit derselben Arbeit 8 in der Woche. Wie viele Prospekte trägt er aus? Auf drei automatischen Werkzeugmaschinen lassen sich 50 Metallhülsen in h 5 min herstellen. Wie viele Hülsen könnten in h 30 min hergestellt werden, wenn zwei Maschinen zusätzlich zum Einsatz kämen? Einer Zeitungsmeldung ist zu entnehmen, dass Unternehmen A seinen Umsatz im Jahr 004 um 4% gegenüber dem Umsatz von 003, der 4,3 Mio. Euro betrug, steigern konnte. Unternehmen B hat 004 ein Ergebnis von 3, Mio. Euro Umsatz zu verzeichnen, was einem Minus von 5,% gegenüber 003 entspricht. Wie groß war der Umsatz (in Euro) von A im Jahr 004 bzw. der von B im Jahr 003? 84-5

85 Auf ein Produkt wird ein Preisnachlass von 8%, das sind 5,0 Euro, gegeben. Wie teuer war das Produkt ursprünglich? In einem Entwicklungsland leben 37% aller 9,7 Mio. Einwohner unterhalb der Armutsgrenze. Wie viele Personen sind das? Im Jahr 997 betrug die Gesamtbevölkerung Deutschlands 79,3 Millionen Menschen. Der Anteil der männlichen Personen lag bei 49, %. Davon waren 7,3 % zwischen 0 und 9 Jahre alt. Wie viele männliche Personen zwischen 0 und 9 Jahren lebten 997 in Deutschland? Eine Firma hatte 995 einen Jahresumsatz von Euro. Der Umsatz hat sich nach folgendem Schaubild entwickelt Euro +4% +5% -3% Wie viel Euro betrug der Umsatz im Jahr 0? Der Preis eines Computers wurde um 5% gesenkt. Er kostet jetzt 58. Um wie viel Euro wurde der Preis gesenkt Um genau 9,5 % ließ sich der Heizölverbrauch nach dem Einbau des neuen Heizkessels senken. Immerhin verbraucht die Familie Klein jetzt 456 Liter weniger als im Vorjahr. Wie viel Heizöl hat die Familie im vergangenen Jahr insgesamt verbraucht? Herr Frege bekommt 3775 Gehalt. Davon muss er 906 Lohnsteuer entrichten. Wie viel Prozent seines Gehaltes macht die Lohnsteuer aus? Ein Sparguthaben von 35 bringt in einem Jahr,70 Zinsen. Mit welchem Zinssatz wurde das Sparguthaben verzinst? 85-5

86 Ein Kapital wird mit 5,5 % verzinst. Die Zinsen für ein Vierteljahr betragen 770. Berechne das Kapital. Herr Meier gibt monatlich 5.- für sein Auto aus. Das sind 6,5% seines monatlichen Einkommens. Wie viel verdient er im Monat? Der Verkaufspreis Laptops (Acer Aspire) beträgt einschließlich Umsatzsteuer 476,00 EUR (Bruttoverkaufspreis). Berechnen Sie die anteilige Mehrwertsteuer von 9% und den Nettoverkaufspreis. Nach einer Preiserhöhung von 8% kostet eine Ware 94,50 EUR. Berechnen Sie die Preiserhöhung und den alten Preis. Der Jahresumsatz fiel um 5% auf nun ,00 EUR. Berechnen Sie Umsatzminderung und den alten Umsatz. 86-5

87 Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben MATHEMATIK Die Zahl der Studierenden hat sich um 5% erhöht und beträgt jetzt.300. Wie hoch war sie vorher? Sie investieren.000 Euro an der Börse und verlieren sofort 50% vom inv estierten Betrag. Aber glücklicherweise steigen Ihre Aktien einige Tage später wieder um 50% vom Restbetrag. Wie viele Euro besitzen sie jetzt? Verkauft man eine Ware mit 6% Verlust, so nimmt man 0 Euro weniger ein, als wenn man die Ware mit 4% Gewinn verkaufen würde. Berechnen Sie den Gewinn und Verlust. Aufgrund der gestiegenen Lohnkosten hat die Firma Gierig den Preis einer Ware innerhalb diesen Jahres zweimal erhöht: zuerst um 4%, danach um 5%. Wie hoch war der Preis zu Beginn des Jahres, wenn er jetzt auf 89,00 lautet? Aus Konkurrenzgründen musste die Firma Gierig nun den Preis einer anderen Ware zweimal senken: zuerst um %, dann noch einmal um %. Wie hoch war der ursprüngliche Preis, wenn er jetzt noch 598,78 beträgt? Eine Hose ist um 0% reduziert worden und kostet jetzt 3.- Euro. Wie teuer war sie vorher? Herr Schulze kauft eine HiFi-Anlage, die 50 Euro kosten soll. Er erhält 7% Rabatt. Wie viel Euro muss er noch bezahlen? Der Listenpreis eines Autos beträgt Der Kunde bekommt den Wagen für.054. Um wie viel Prozent liegt dieser Preis unter dem Listenpreis? 87-5

88 Extremwertaufgaben Eine Figur besteht aus einem Zylinder mit der Höhe 30 cm und einem darauf aufgesetzten Kegel mit der Dachkantenlänge 90 cm. Wie muss die Gesamthöhe bzw. der Radius gewählt werden, damit das Volumen dieser Figur maximal wird? Ein Prisma mit quadratischer Grundfläche ohne Deckel und einer Oberfläche von O = 000 cm 3 soll so konstruiert werden, dass es ein maximales Volumen besitzt. Gegeben sei die Gerade g(x) = x + 4. Ein Rechteck soll so konstruiert werden, dass zwei Seiten auf den Koordinatenachsen liegen und der diesen Seiten gegenüberliegende Eckpunkt auf der Geraden liegt. Bestimmen Sie die Maße eines solchen Rechtecks, damit dieses eine maximale Fläche hat. Für den Eckpunkt sollen nur positive x-werte verwendet werden. Gegeben sei die folgende Funktion f(x) = x3 + x. Im ersten Quadraten soll dieser Funktion ein Dreieck einbeschrieben werden. Für die Eckpunkte des Dreiecks sind folgende Eigenschaften bekannt: Der Ursprung ist eine Ecke des Dreiecks. Ein Punkt befindet sich auf der positiven x-achse. Der dritte Punkt befindet sich auf dem Graphen der Funktion, senkrecht über dem Punkt, der sich auf der x-achse befindet. Es soll ein Punkt auf der Kurve gefunden werden (mit u>0), der im Dreieck eine maximale Fläche erzeugt. Welcher Punkt auf der Parabel f(x) hat den kürzesten Abstand vom Punkt P(6 0)? Der x-wert des gesuchten Punktes soll x>0 sein. p: f(x) = 0,5x 88-5

89 Dem Flächenstück, das die Parabel p mit der x-achse einschließt ist ein Rechteck so einzubeschreiben, dass es bei Rotation a) um die x-achse b) um die y-achse den Zylinder mit maximalem Volumen erzeugt. Bestimmen Sie die Seitenlängen dieses Rechtecks. Die Parabel lautet. p: f(x) = 0 x Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x4 3x + 9, f besitzt die Nullstellen x = 3 und x = + 3. Der Graph zu f ist unten abgebildet. Ein Dreieck mit den Punkten A( 3 0) und B(+ 3 0) hat seinen dritten Punkt auf dem Graphen von f über dem Intervall [ 3; + 3]. Ermitteln Sie den x-wert des fehlenden Punktes, bei dem der Flächeninhalt des Dreiecks seinen größten Wert annimmt. Berechnen Sie auch diesen maximalen Flächeninhalt. 89-5

90 90-5

91 Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben MATHEMATIK P(u v) sei ein beliebiger Punkt auf der Parabel mit der Gleichung f(x) = x + mit x. Bestimmen Sie den Punkt P so, dass das Dreieck ABP mir A(- 0) und B(u 0) den größtmöglichen Flächeninhalt besitzt. Wie groß ist dieser maximale Flächeninhalt? 9-5

92 Aufstellen von Funktionen Gesucht wird eine Funktion 4. Grades, deren Graph achsensymmetrisch zur y-achse verläuft, die y-achse bei y = 0, 5 schneidet und die Punkte A(; 4,5) und B( 3; 3) enthält. Gesucht ist eine ganzrationale Funktion 3. Grades, deren Graph im Ursprung ein Minimum und in A( ) ein Maximum hat. Welche ganzrationale Funktion 3. Grades hat in A(3 6) die Tangente y = x 7 und in B( 0) einen Wendepunkt? Für die Bestimmung der Flugbahn einer Kugel beim Kugelstoßen steht aus Videoaufnahmen die untenstehend zu sehende Messreihe mit 6 Messpunkten zur Verfügung. xi[m] yi[m],00 4,93 6,38 6,37 4,88,9 Bei Vernachlässigung des Luftwiderstands darf angenommen werden, dass die Kugel sich auf einer quadratischen Parabel bewegt, die durch folgende Gleichung beschrieben werden kann: y = a 0 + a x i + a x i Berechnen Sie die Parameter a0, a und a. Der Graph K einer ganzrationalen Funktion f vom Grad 4 ist achsensymmetrisch zur y- Achse und hat den Tiefpunkt T( 3 ) und den Wendepunkt W( 3). Bestimmen Sie f(x). Der Graph K einer Exponentialfunktion f mit f(x) = ax e bx enthält einen Hochpunkt H( ). Bestimmen Sie f(x). 9-5

93 Suchen Sie für folgendes Schaubild eine passende Polynomfunktion f(x) vom Grad vier. Suchen Sie für folgendes Schaubild eine passende Polynomfunktion f(x) vom Grad drei. 93-5