Aufgabensammlung Mathematik

Transkript

1 Gesundheits- und Tourismusmanagement - GTM Aufgabensammlung Mathematik Dipl. Mathematiker (FH) Roland Geiger Rosenstr Aichtal cs.geiger@t-online.de -83

2 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis... Allgemeine Regeln...4 Internet...5 Lösungen zu den Aufgaben...5 Internet...5 QR-Code...6 YouTube...6 Ausmultiplizieren von Ausdrücken...7 Bruchrechnen...8 Potenzgesetze... Wurzelgesetze... 4 Binomische Formeln... 6 Logarithmen... 7 Polynomgleichungen... 9 Matrizenrechnung... Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben... 4 Anwendungen zu der Matrizenrechnung... 5 Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben... 3 Inverse Matrix Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben Determinanten Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben... 4 Lineare Gleichungssysteme... 4 Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben Lineare Optimierung Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben Ableitungen Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben Kurvendiskussion Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben... 6 Prozentrechnung Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben Einfacher Zins Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben

3 Zinseszins Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben... 7 Rentenrechnung Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben Aufstellen von Funktionen... 8 Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben

4 Allgemeine Regeln Keine Handys, Smartphones, Tablets, Notebooks, MP3-Player, und sonstige elektronischen Geräte. (Sollten auch nicht auf dem Tisch liegen) Sollten Sie unbedingt kommunizieren müssen, so gehen Sie freiwillig aus dem Raum oder Sie bekommen von mir eine Pause zugeteilt, in der Sie in Ruhe Ihre Kommunikation durchführen können. 4-83

5 Internet Lösungen zu den Aufgaben Internet

6 QR-Code YouTube

7 Vorwissen für die Vorlesung Ausmultiplizieren von Ausdrücken Aufgabe : Multiplizieren Sie folgenden Ausdruck aus und fassen Sie zusammen. ( x ) (x + 3) 3 Aufgabe : Multiplizieren Sie folgenden Ausdruck aus und fassen Sie zusammen. 5a(8a b) b(9a 5b) Aufgabe 3: Multiplizieren Sie folgenden Ausdruck aus und fassen Sie zusammen. ( 5a) (0a x) (3a 7ax) Aufgabe 4: Klammern Sie so viel wie möglich aus. 45pq + 7p q Aufgabe 5: Multiplizieren Sie folgenden Ausdruck aus und fassen Sie zusammen. ( x) (3x 4) (x ) (x + 3) 5x( x) 7-83

8 Bruchrechnen Aufgabe 6: Berechnen Sie folgenden Bruch in Dezimaldarstellung um Aufgabe 7: Vergleichen Sie die folgenden Brüche ihrer Größe nach und schreiben es als a<b, a>b oder a=b. ; 5 Aufgabe 8: Addieren Sie folgende Brüche und kürzen Sie wenn es geht Aufgabe 9: Subtrahieren Sie folgende Brüche und kürzen das Ergebnis, wenn es möglich ist. Schreiben Sie das Ergebnis als Bruch und als gemischten Bruch Aufgabe 0: Multiplizieren Sie folgende Brüche und kürzen das Ergebnis, wenn es möglich ist. ( 5 9 ) 3 Aufgabe : Dividieren Sie folgende Brüche und kürzen das Ergebnis, wenn es möglich ist. 3 4 : 4 Aufgabe : Berechnen Sie das Ergebnis und kürzen so weit wie möglich ( 3 ) + 4 :

9 Aufgabe 3: Berechnen Sie folgende Aufgabe und Kürzen Sie möglich. ( 3 3 ) : ( ) Aufgabe 4: Berechnen Sie folgende Aufgabe und kürzen Sie möglich. 3 : 3 5 ( ) Aufgabe 5: Berechnen Sie folgenden Doppelbruch und kürzen Sie möglich Aufgabe 6: Addieren Sie folgende Brüche und kürzen Sie wenn es geht Aufgabe 7: Subtrahieren Sie folgende Brüche und kürzen das Ergebnis, wenn es möglich ist. Schreiben Sie das Ergebnis als Bruch und als gemischten Bruch Aufgabe 8: Multiplizieren Sie folgende Brüche und kürzen das Ergebnis, wenn es möglich ist. ( 7) 8 ( 8) 7 Aufgabe 9: Dividieren Sie folgende Brüche und kürzen das Ergebnis, wenn es möglich ist :

10 Aufgabe 0: Berechnen Sie das Ergebnis und kürzen so weit wie möglich. 5 8 : : 3 7 Aufgabe : Berechnen Sie folgende Aufgabe und Kürzen Sie möglich. [6, + [ 0 (,: + 0,)]] 0 5 Aufgabe : Berechnen Sie folgende Aufgabe und kürzen Sie möglich. 9 : ( ) Aufgabe 3: Berechnen Sie folgenden Doppelbruch und kürzen Sie möglich Aufgabe 4: Berechnen Sie folgende Aufgabe und kürzen Sie möglich. ( 3 6 ) : ( ) Aufgabe 5: Berechnen Sie folgende Aufgabe und kürzen Sie möglich : ( ) 0-83

11 Aufgabe 6: Berechnen Sie folgende Aufgabe und kürzen Sie möglich. [,75 0,5: ( 7 5 )],6 + 0,4 8 Aufgabe 7: Berechnen Sie folgende Aufgabe und kürzen Sie möglich

12 Potenzgesetze Aufgabe 8: Berechnen Sie folgenden Summenterm. a + b 3 + c 3 + b + c + b Aufgabe 9: Vereinfachen Sie folgenden Term mit Hilfe der Potenzgesetze. 5x 5 y 8 a 7 b 5 : x 3 y 35a 0 b 6 Aufgabe 30: Vereinfachen Sie folgenden Term mit Hilfe der Potenzgesetze. z n z m n z m Aufgabe 3: Vereinfachen Sie folgenden Term mit Hilfe der Potenzgesetze. ( x3 y 3a b 3) : ( x 3 y a 3b ) Aufgabe 3: Vereinfachen Sie folgenden Term mit Hilfe der Potenzgesetze. ( 7a b 3 c 4 n 8x 5 y 7 z 7) ( a b c 4 n 6x 6 y 7 z 8) Aufgabe 33: Vereinfachen Sie folgenden Term mit Hilfe der Potenzgesetze. x 5 y 6 x 4 y x 6 y 7 x 3 y 4-83

13 Aufgabe 34: Vereinfachen Sie folgenden Term mit Hilfe der Potenzgesetze. (r 6 r 5 ) r n 4 Aufgabe 35: Vereinfachen Sie folgenden Term mit Hilfe der Potenzgesetze. 5x 9 5y 9 5x 6 5by 6 Aufgabe 36: Vereinfachen Sie folgenden Term mit Hilfe der Potenzgesetze. y 3n+ y 3n + y 3n y n+ y n Aufgabe 37: Vereinfachen Sie folgenden Term mit Hilfe der Potenzgesetze. x 4 x n+ x x5 xn x n+4 Aufgabe 38: Vereinfachen Sie folgenden Term mit Hilfe der Potenzgesetze. ( 8a4 y 7a 5 b ) ( 9a x 3 4yb ) ( a x 3 b 3) Aufgabe 39: Vereinfachen Sie folgenden Term mit Hilfe der Potenzgesetze. c 5 5d 7 36d 4 5c

14 Wurzelgesetze Aufgabe 40: Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck. 3 4 Aufgabe 4: Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck. 9a 3 b Aufgabe 4: Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck. a a + 5 ab 3 a + a 3 ab Aufgabe 43: Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck. 3ab 6bc 4cd 8de Aufgabe 44: Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck. 45ax: a Aufgabe 45: Fassen Sie folgenden Ausdruck durch teilweises Wurzelziehen zusammen Aufgabe 46: Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck ( 3) 4 + ( 3 ) Aufgabe 47: Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck

15 Aufgabe 48: MATHEMATIK Multiplizieren Sie folgenden Ausdruck aus und vereinfachen sie ihn. Ziehen Sie, falls möglich, teilweise die Wurzel! Bestimmen Sie den Wurzelwert, wenn er eine Rationale Zahl ist! ( )( 6 4 3) Aufgabe 49: Fassen Sie folgenden Ausdruck durch teilweises Wurzelziehen zusammen Aufgabe 50: Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck. 3 5 a Aufgabe 5: Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck. x 5 y 7 Aufgabe 5: Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck. ( 5) (4 5) Aufgabe 53: Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck. 4 ( a 8 b 0 c 4 ) Aufgabe 54: Vereinfachen sie folgenden Ausdruck b c 5a 4b c 30ac 5-83

16 Binomische Formeln Aufgabe 55: Bilden Sie aus dem folgenden Ausdruck eine Binomische Formel. 6 8t + t Aufgabe 56: Berechnen Sie nach der dritten binomischen Formel. (x + 3)(x 3) Aufgabe 57: Bilden Sie aus dem folgenden Ausdruck eine Binomische Formel. x 5 Aufgabe 58: Füllen Sie die Lücken aus. (d + ) = d + + f Aufgabe 59: Füllen Sie die Lücken aus. ( ) = d 4d

17 Logarithmen Aufgabe 60: Formen Sie folgende Gleichung in Logarithmusschreibweise um. x = 6 Aufgabe 6: Berechnen Sie mit dem Taschenrechner. log 4 8 Aufgabe 6: Fassen Sie folgenden Ausdruck zusammen. log 0 () + log 0 (3) Aufgabe 63: Schreiben Sie folgenden Term als einzelne Terme. log 3 (tx) Aufgabe 64: Formen Sie den folgenden Ausdruck mit Logarithmengesetzen um. log (8) Aufgabe 65: Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck. log 3 (x + y) log 3 x Aufgabe 66: Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck. log 4 (x ) + log 4 ( x ) Aufgabe 67: Formen Sie den folgenden Ausdruck mit Logarithmen-Gesetzen um. log (8) 7-83

18 Aufgabe 68: Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck. log (a) log (b) Aufgabe 69: Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck. log 0(4) + 3 log 0 (6) log 0 (3 ) Aufgabe 70: Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck. log 5 (x) + log 5(x 4 ) log 5 (x ) Aufgabe 7: Wandeln Sie den folgenden Ausdruck mit Hilfe von Logarithmen-Gesetze in einzelne Logarithmen um. log a ( x y z )

19 Polynomgleichungen Aufgabe 7: Bestimmen Sie zuerst die Definitionsmenge, im Anschluss lösen Sie diese Gleichung und geben die Lösungsmenge an. 3(x + 5) 4 = 8 (6 3x) Aufgabe 73: Bestimmen Sie zuerst die Definitionsmenge, im Anschluss lösen Sie diese Gleichung und geben die Lösungsmenge an. 3 8 x 5 = ( x) Aufgabe 74: Bestimmen Sie Lösung der folgenden Gleichung. x + x + = 0 Aufgabe 75: Bestimmen Sie Lösung der folgenden Gleichung. x + 4x = 0 Aufgabe 76: Bestimmen Sie für folgende Gleichung die Definitionsmenge und die Lösungsmenge. x + x x x + = x x Aufgabe 77: Bestimmen Sie für folgende Gleichung die Definitionsmenge und die Lösungsmenge. x x 4 = x + x + 4x

20 Aufgabe 78: Bestimmen Sie für folgende Gleichung die Definitionsmenge und die Lösungsmenge. x = 4 x Aufgabe 79: Bestimmen Sie Lösungsmenge der folgenden Gleichung. 3x 3 0x + 7x = 0 Aufgabe 80: Bestimmen Sie Lösungsmenge der folgenden Gleichung. x 3 x x + = 0 Aufgabe 8: Bestimmen Sie Lösungsmenge der folgenden Gleichung. x 3 6x + 8 = 0 Aufgabe 8: Bestimmen Sie für folgende Gleichung die Definitionsmenge und die Lösungsmenge. x + 6 = x Aufgabe 83: Bestimmen Sie Lösungsmenge der folgenden Gleichung. 30 x 6 x + = 3 x Aufgabe 84: Bestimmen Sie Lösungsmenge der folgenden Gleichung. 4 x x 4 = 8 x 3x

21 Matrizenrechnung Aufgabe 85: Multiplizieren Sie die Matrix A mit dem Skalar A Aufgabe 86: Führen Sie folgende Matrizenaddition A+B durch. Überprüfen Sie bitte, ob die Addition überhaupt durchführbar ist. 0 A = ( 5) ; B = ( ) Aufgabe 87: Transponieren Sie die Matrix A zu A T. 3 6 A = ( 3 8) 6 7 Aufgabe 88: Führen Sie folgende Matrizenaddition A+B durch. Überprüfen Sie bitte, ob die Ad dition überhaupt durchführbar ist. 4 A = ( 4) ; B = ( 3 ) 6 5 Aufgabe 89: Führen Sie folgende Matrizenaddition A+B durch. Überprüfen Sie bitte, ob die Addition überhaupt durchführbar ist. A = ( ) ; B = ( 0 0 ) -83

22 Aufgabe 90: Führen Sie folgende Matrizensubtraktion A-B durch. Überprüfen Sie bitte, ob die Subtraktion überhaupt durchführbar ist. 0 A = ( 5) ; B = ( ) Aufgabe 9: Führen Sie folgende Matrizensubtraktion A-B durch. Überprüfen Sie bitte, ob die Subtraktion überhaupt durchführbar ist. 4 A = ( 4) ; B = ( 3 ) 6 5 Aufgabe 9: Führen Sie folgende Matrizenmultiplikation A B durch. Überprüfen Sie bitte, ob die Multiplikation überhaupt durchführbar ist A = ( 5 ) ; B = ( 3) Aufgabe 93: Führen Sie folgende Rechenoperation A mit Matrizen durch. Überprüfen Sie bitte, ob die Rechenoperation überhaupt durchführbar ist. 0 A = ( 3) 4 Aufgabe 94: Führen Sie folgende Rechenoperation A mit Matrizen durch. Überprüfen Sie bitte, ob die Rechenoperation überhaupt durchführbar ist. 3 A = ( 3 ) 3 Aufgabe 95: Führen Sie folgende Rechenoperationen (A B) C und A (B C) mit Matrizen durch. Überprüfen Sie bitte, ob die Rechenoperationen überhaupt durchführbar sind. A = ( 5 ) ; B = ( 6 ) ; C = ( 3 3 ) -83

23 Aufgabe 96: Es sind folgende Matrizen gegeben: A = ( 3 ) ; B = (5 4 0 ) ; C = ( 3 ) Berechnen Sie folgende Rechenoperationen: a) A B b) A C c) B C d) B A e) C A f) C B Aufgabe 97: Es sind folgende Matrizen gegeben: A = ( 3 ) ; B = (5 4 0 ) ; C = ( 3 ) Berechnen Sie folgende Rechenoperationen: a) A B b) A C c) B C d) B A e) C A f) C B 3-83

24 Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben Aufgabe 98: Berechnen Sie die Matrizenprodukte AB, BA, A T A, AA T mit: Welche besondere Eigenschaft besitzen die Matrizen A T A und AA T? Aufgabe 99: Gegeben seien die folgenden Matrizen: A B 3 c d E F N Berechnen Sie die folgenden Summen bzw. Differenzen: a) A+F b) E A c) d+c d) B+A e) A+N f) F A g) A+E h) d c i) F+E j) A+B k) 3c d l) c B Aufgabe 00: Bestimmen Sie alle -reihigen Matrizen vom Typ X = ( a b ), dessen Matrizenprodukt c d mit der Matrix A = ( 0 ) sich kommutativ verhält (A X = X A) 4-83

25 Anwendungen zu der Matrizenrechnung Aufgabe 0: Für die Produktion der Erzeugnisse E,E, E3 wird das Material M wie folgt benötigt: Erzeugnis Erzeugnis Erzeugnis 3 Material 0 3 Es sollen im ersten Quartal folgende Mengen produziert werden: Erzeugnis Erzeugnis Erzeugnis 3 Quartal Wie viel Material wird im ersten Quartal benötigt? Aufgabe 0: Für die Produktion der Erzeugnisse E, E, E3 werden die Materialien M, M, M3, M 4 wie folgt benötigt: Erzeugnis Erzeugnis Erzeugnis 3 Material 0 3 Material Material Material 4 3 Es sollen im ersten Quartal folgende Mengen produziert werden: Erzeugnis Erzeugnis Erzeugnis 3 Quartal Wie viel Material wird im ersten Quartal benötigt? 5-83

26 Aufgabe 03: Für die Produktion der Erzeugnisse E,E, E3 werden die Materialien M, M, M3, M4 wie folgt benötigt: Erzeugnis Erzeugnis Erzeugnis 3 Material 0 3 Material Material Material 4 3 In den Quartalen des Jahres sollen folgende Mengen produziert werden: Erzeugnis Erzeugnis Erzeugnis 3 Quartal Quartal Quartal Quartal Wie viel Einheiten der 4 Materialien werden in den 4 Quartalen benötigt? Aufgabe 04: Ein Unternehmen stellt aus den Rohstoffen R und R die Zwischenprodukte Z und Z und daraus die Endprodukte P, P und P3 her. Erstellen Sie folgende Matrizen. a) Die Rohstoff Zwischenprodukt-Matrix b) Die Zwischenprodukt Endprodukt-Matrix c) Die Rohstoff-Endprodukt-Matrix d) Ein Kunde bestellt 3 P, 345 P und 34 P3. Zusätzlich benötigt er noch 98 Z und 4 Z. Wieviel Rohstoffe muss er bestellen um diesen Auftrag bearbeiten zu können? e) Wie groß sind seine gesamten Ausgaben für diese Rohstoffe, wenn er R für 3 Euro und R für Euro einkaufen kann? 6-83

27 Aufgabe 05: In einer Möbelfabrik werden aus Holz, Metall und Stoff Tische, Bänke und Stühle produziert, die einzeln bzw. als Sitzgruppen verkauft werden. Für einen Tisch werden Einheiten Holz und 3 Einheiten Metall, für eine Bank 6 Einheiten Holz, Einheiten Metall und 5 Einheiten Stoff, für einen Stuhl Einheiten Holz, Einheit Metall und Einheiten Stoff benötigt. Eine Sitzgruppe A besteht aus einem Tisch und vier Stühlen, eine Sitzgruppe B aus einem Tisch, einer Bank und drei Stühlen. a) Geben Sie die Verflechtungsmatrizen für den Zusammenhang von Ausgangsmaterial und Einzelprodukten und für den Zusammenhang von Einzelprodukten und Sitzgruppen an und bestimmen Sie aus diesen durch Matrizenmultiplikation die Verflechtungsmatrix für den Zusammenhang von Ausgangsmaterial und Sitzgruppen! b) Ein Kunde bestellt 40 Sitzgruppen A, 60 Sitzgruppen B und zusätzlich 0 Bänke. Ermitteln Sie unter Verwendung der Verflechtungsmatrizen aus a), welche Mengen der Ausgangsmaterialien benötigt werden! Aufgabe 06: Es liegt ein zweistufiger Produktionsprozess vor, bei dem folgende Bedingungen vorliegen:. Stufe: Rohstoffe R, R, R3, R4 >Halbfabrikate H, H, H3. Stufe: Halbfabrikate H, H, H3 >Endprodukte E, E z. B. Für ME Endprodukt E wird benötigt: 4 ME H, ME H, 0 ME H3 Für ME Halbfabrikat H wird benötigt: 3 ME R, 5 ME R, 0 ME R3, 7 ME R4 Wie viel Rohstoffe sind nötig, um 000 ME E und 0000 ME E herzustellen? 7-83

28 Aufgabe 07: Wie viel Rohstoffe R und R werden benötigt um 00 Endprodukte E und 50 Endprodukte E herzustellen? Aufgabe 08: In einem Unternehmen mit einem mehrstufigen Fertigungsablauf seien die festen Mengenbeziehungen zwischen Rohstoffen, Zwischen- und Endprodukten durch folgenden Graph gegeben: Es sollen 4 Mengeneinheiten (ME) von E und 7 ME von E produziert werden. Wie viel Rohstoffe sind nötig? 8-83

29 Aufgabe 09: MATHEMATIK Zwei Produkte E und E werden mit Hilfe von 4 Baugruppen A, A, A3 und A4 hergestellt. Die Beziehungen werden durch den folgenden Graphen dargestellt: Ein Kunde bestellt 30 Stück von E und 40 Stück von E. Wie viele Baugruppen braucht er dazu? Aufgabe 0: Zwei Produkte E und E werden mit Hilfe von 4 Baugruppen A, A, A3 und A4 hergestellt. Die Beziehungen werden durch den folgenden Graphen dargestellt: Ein Kunde bestellt 30 Stück von E und 40 Stück von E. Wie viele Baugruppen braucht er dazu? 9-83

30 Aufgabe : Ein Betrieb fertigt zwei verschiedene Endprodukte P und P unter Verwendung von drei verschiedenen Rohstoffen R, R und R3. Der folgende Graph gibt an, wie viele Mengeneinheiten (ME) Rohstoffe für die Produktion von jeweils ME Endprodukten benötigt werden. Die auf je ME bezogenen Rohstoffkosten in Euro werden durch den Vektor K = (5; 34; 3) gegeben. Wie groß ist der Gesamtwert einer Bestellung von 6 ME P und 3 ME P? Aufgabe : Ein Betrieb fertigt zwei verschiedene Endprodukte P und P unter Verwendung von drei verschiedenen Rohstoffen R, R und R3. Der folgende Graph gibt an, wie viele Mengeneinheiten (ME) Rohstoffe für die Produktion von jeweils ME Endprodukten benötigt werden. Die auf je ME bezogenen Rohstoffkosten in Euro werden durch den Vektor K = (5; 34; 3) gegeben. Wie groß ist der Gesamtwert einer Bestellung von 6 ME P und 3 ME P? 30-83

31 Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben Aufgabe 3: MATHEMATIK Ein Betrieb fertigt zwei verschiedene Endprodukte P und P unter Verwendung von drei verschiedenen Rohstoffen R, R und R3. Der folgende Graph gibt an, wie viele Mengeneinheiten (ME) Rohstoffe für die Produktion von jeweils ME Endprodukten benötigt werden. Die auf je ME bezogenen Rohstoffkosten in Euro werden durch den Vektor K = (5; 34; 3) gegeben. Wie groß ist der Gesamtwert einer Bestellung von 6 ME P und 3 ME P? Aufgabe 4: 3-83

32 Aufgabe 5: Gegeben ist ein Gozintograph mit vier Werkstoffen (A, B, C und D), drei Zwischenprodukten (E, F und G) sowie zwei Endprodukten (H und I). Die Zahlen unter den Buchstaben stellen den aktuellen Lagerbestand dar: Ermitteln Sie den Gesamtbedarf der Güterarten A, B, C und D. 3-83

33 Inverse Matrix Aufgabe 6: Berechnen sie die inverse Matrix von: A 3 Aufgabe 7: Berechnen Sie die inverse Matrix von A Aufgabe 8: Bilden Sie von der Matrix A die Inverse. A Aufgabe 9: Berechnen Sie Inverse Matrix zu A. 3 5 A = ( 4 5) Aufgabe 0: Berechnen Sie die inverse Matrix. 3 3 A = ( 4 ) Aufgabe : Wie lautet die Inverse der Matrix: A

34 34-83 Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben Aufgabe : Bestimmen Sie die Inverse zur folgenden Matrix: 3 A Aufgabe 3: Bestimmen Sie die inverse Matrix A - zu A Verwenden Sie hierzu ein Verfahren Ihrer Wahl.

35 Determinanten Aufgabe 4: Berechnen Sie folgende Determinante. D = Aufgabe 5: Berechnen Sie folgende Determinante D = Aufgabe 6: Berechnen Sie folgende Determinante. D = Aufgabe 7: Berechnen Sie folgende Determinante. Erzeugen Sie hierfür an den grau markierten Stellen Nullen. Berechnen Sie folgende Determinante. 3 5 D = Aufgabe 8: Berechnen Sie folgende Determinante. Erzeugen Sie hierfür eine Zeile oder eine Spalte mit zwei Nullen. D = Aufgabe 9: Berechnen Sie folgende Determinante. Erzeugen Sie hierfür eine Zeile oder eine Spalte mit zwei Nullen. 3 5 D =

36 Aufgabe 30: Berechnen Sie folgende Determinante. Erzeugen Sie hierfür eine Zeile oder eine Spalte mit zwei Nullen. D = Aufgabe 3: Berechnen Sie folgende Determinante. Erzeugen Sie sich hierfür in einer beliebigen Zeile oder Spalte so viele Nullen wie möglich um Rechenarbeit zu sparen D = 3 3 Aufgabe 3: Berechnen Sie folgende Determinante. Erzeugen Sie sich hierfür in einer beliebigen Zeile oder Spalte so viele Nullen wie möglich um Rechenarbeit zu sparen D = Aufgabe 33: Berechnen Sie folgende Determinante. Erzeugen Sie sich hierfür in einer beliebigen Zeile oder Spalte so viele Nullen wie möglich um Rechenarbeit zu sparen D = Aufgabe 34: Berechnen Sie die folgenden Determinanten mit Hilfe von Sarrus

37 Aufgabe 35: Aufgabe 36: Vereinfachen Sie durch Addition eines Vielfachen einer Zeile oder Spalte so dass, möglichst eine oder zwei Nullen entstehen und berechnen dann: Aufgabe 37: Erzeugen Sie an den markierten Stellen zwei Nullen durch Addition der Vielfachen zweier Zeilen oder Spalten und berechnen dann: 37-83

38 Aufgabe 38: Vereinfachen Sie zuerst durch Ausklammern von Faktoren, erzeugen Sie dann zwei Nullen und berechnen den Wert der Determinante. Aufgabe 39: Für welche Werte von k hat die Determinante den Wert 0? Aufgabe 40: Erzeugen Sie zuerst Nullen und berechnen dann durch Entwickeln: 38-83

39 Aufgabe 4: Berechnen Sie die Determinante der Matrix 3 B 5 7 Aufgabe 4: Rechnen Sie die folgenden Aufgaben nach eigener Vorstellung. Aufgabe 43: Berechnen Sie folgende Determinante nach dem Entwicklungssatz von Laplace A = Aufgabe 44: Berechnen Sie folgende Determinante nach dem Entwicklungssatz von Laplace det(a) =

40 Aufgabe 45: Berechnen Sie folgende Determinante nach dem Entwicklungssatz von Laplace det(a) = 0 Aufgabe 46: Berechnen Sie folgende Determinante nach dem Entwicklungssatz von Laplace det(a) = Aufgabe 47: Berechnen Sie folgende Determinante: 40-83

41 Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben Aufgabe 48: Berechnen Sie folgende Determinante. MATHEMATIK Aufgabe 49: Für welche x R ist die folgende Determinante Null? Aufgabe 50: Berechnen Sie die Determinante der folgenden Matrix ( ) Aufgabe 5: Berechnen Sie folgende Determinante. 4-83

42 Lineare Gleichungssysteme Aufgabe 5: Berechnen Sie den Schnittpunkt der beiden Gleichungen nach dem Einsetzungsverfahren. 0x-7y+4=0 und 6x-5y=- Aufgabe 53: Berechnen Sie die Schnittpunkte der beiden Gleichungen mit dem Gleichsetzungsverfahren. a) y=3x+ und y=5x+4 b) y=3x+8 und y=0,5x+ c) 4x+y=8 und 7x-y=3 d) 8x-4y=-3 und 4x-y=8,5 Aufgabe 54: Berechne den Schnittpunkt der beiden Gleichungen nach dem Additionsverfahren. 6y=9x-8 und 6x-4y= Aufgabe 55: Lösen Sie folgendes Lineare Gleichungssystem mit Hilfe des Additionsverfahrens 5x + 3y = 50 4x 3y = 3 Aufgabe 56: Lösen Sie folgendes Lineare Gleichungssystem mit Hilfe des Einsetzungsve rfahren.,5x y = 8 5x + 3y = 4 Aufgabe 57: Lösen Sie folgendes Lineare Gleichungssystem mit Hilfe des Gleichsetzungsverfahren. 3x + 7y = 40 x + 6y =

43 Aufgabe 58: Bestimme die Lösungsmenge des LGS mit Hilfe des Gauß'schen Algorithmus. I x-3y+z=-4 II -y+5z=7 III -5y+4,5z=-6,5 Aufgabe 59: Bestimme die Lösungsmenge des LGS mit Hilfe des Gauß'schen Algorithmus. I 3x-y+4z= II x-y+z=5 III 6x-4y+3z=6 Aufgabe 60: Bestimme die Lösungsmenge des LGS mit Hilfe des Gauß'schen Algorithmus. I x-y+z=4 II 3x-y+4z = III x-4y+5z=5 Aufgabe 6: Lösen Sie folgendes Lineare Gleichungssystem mit einem Verfahren Ihrer Wahl. 3x + y + 5z = 8 6x + y + z = 7 3x + y + 5z = Aufgabe 6: Lösen Sie folgendes Lineare Gleichungssystem mit einem Verfahren Ihrer Wahl. x 6y z = 3x + 6y + 4z = 6x + 4y 8z = 43-83

44 Aufgabe 63: Bestimmen Sie die Lösung dieser Gleichungssysteme mit Hilfe der Cramer'schen Regel. a) I: 4x - y + z = 5 II: -x + 3y + 4z = 5 III: 5x - y + 3z = 6 b) I: x - 3y + z = 0 II: x + y - z = -6 III: 3x - y - 4z = -5 c) I: x + y + z = II: 7x + y - 7z = 9 III: 4x + y + z = 3 d) I: 3y - z = 7 II: x - 3y + z = - III: 3x + y = - e) I: x + 7y - z = 3 II: 7x - 3y + 4z = -9 III: 3x - y + z = -5 f) I: 3x - 4y - 6z = 4 II: -x - y + 3z = -6 III: 7x + 0y + 6z = 0 Aufgabe 64: Lösen Sie folgendes Lineare Gleichungssystem mit einem Verfahren Ihrer Wahl. x + 3y + z = 3 4x + z = 6 3x y + 4z = Aufgabe 65: Lösen Sie folgendes Lineare Gleichungssystem mit einem Verfahren Ihrer Wahl. x + 3y + z = 3 4x 4y + z = 6 3x y + 3,5z = 44-83

45 Aufgabe 66: MATHEMATIK Lösen Sie folgendes Lineare Gleichungssystem mit einem Verfahren Ihrer Wahl. x + 3y + z = 3 4x + z = 4 3x + 3y + 3,5z = 0,5 Aufgabe 67: Lösen Sie lineare Gleichungssysteme mit Hilfe des Gauß schen Algorithmus

46 Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben Aufgabe 68: Lösen Sie das folgende Lineare Gleichungssystem mit Hilde der Cramer schen Regel. 3x 5x 4x x 3x 3x x x x Aufgabe 69: Lösen Sie folgendes Lineare Gleichungssystem mit einem Verfahren Ihrer Wahl. 5x + 5y + 5z = 30 x + y z = x + y + 5z = 9 Aufgabe 70: Lösen Sie folgendes Lineare Gleichungssystem mit einem Verfahren Ihrer Wahl. x + 3y + z = 3 3x y + 4z = x + z = 8 Aufgabe 7: Lösen Sie folgendes Lineare Gleichungssystem mit einem Verfahren Ihrer Wahl. x y + z = x + 0y 3z = 5 x + y + z =

47 Lineare Optimierung Aufgabe 7: Gegeben sei das LOP Z: Max z=.000x+3.000x NB: x x x 6 x 4x NNB:,x 0 x 6 36 Aufgabe 73: Gegeben ist das LOP Z: Min z=3x+4x NB: x 4x 6x NNB:,x 0 x 5x 4x x Aufgabe 74: Gegeben ist folgendes LOP Z: Max z=x+3x NB: x x x x 6 x x 4x 4 NNB:,x 0 x 6 36 Aufgabe 75: Z: Min z=x+3x NB: x x x x 6 x x 4x 4 NNB:,x 0 x

48 Aufgabe 76: Gegeben ist folgendes LOP Z: Max z=x+3x NB: x x x x 6 x x 4x 4 NNB:,x 0 x 6 36 Aufgabe 77: Gegeben ist folgendes LOP Z: Min z=x+3x NB: x x x x 6 x x 4x 4 NNB:,x 0 x 6 36 Aufgabe 78: Gegeben ist folgendes LOP Z: Max z=8x+4x NB: 3x 4x 5x 5x 4x x Aufgabe 79: Gegeben ist folgendes LOP Z: Max z=x+3x NB: 6x 6x 4x 30 x 6x

49 Aufgabe 80: Gegeben sie folgendes LOP Z: Max z=4x+x NB: x x x x x x 6 NNB:,x 0 x 3 Aufgabe 8: Gegeben sie folgendes LOP Z: Max z=4x+x NB: x x x x 6 x x NNB:,x 0 x 3 Aufgabe 8: Gegeben sie folgendes LOP Z: Max z=-3x+x x x 3 NB: x x 4 x x 3 NNB:,x 0 x 49-83

50 Aufgabe 83: Lösen Sie folgendes LOP. Aufgabe 84: Ein Gärtner möchte einen 00 qm großen Garten mit Rosen und/oder Nelken bepflanzen. Er möchte max. 70 Euro an Arbeits- und Materialkosten investieren und höchstens 60qm für Nelken reservieren. Folgende Tabelle enthält weitere Daten des Problems. Rosen Nelken Arbeits- und Materialkosten (in Euro/qm) 6 9 Gewinn Wie viele qm sollen mit jeder Sorte bepflanzt werden, damit ein maximaler Gewinn erzielt wird? Aufgabe 85: Eine Jugendgruppe beschließt, Zelte einzukaufen. In einem Sonderangebot werden zwei verschiedene Sorten von Zelten für jeweils 0 und 5 Personen preiswert angeboten. Von den 0-Personenzelten sind noch 5 und von den 5-Personenzelten nur noch 4 vorrätig. Die Zelte für 0 Personen kosten 00 Euro je Stück und diejenigen für 5 Personen insgesamt 400 Euro je Stück. Die Jugendgruppe kann insgesamt höchstens 800 Euro für die Zelte ausgeben. Wie viele 0- und 5-Personenzelte kann die Jugendgruppe kaufen, damit eine möglichst große Anzahl von Jugendlichen in den Zelten untergebracht werden kann? 50-83

51 Aufgabe 86: MATHEMATIK Eine kleine Motoradfabrik baut und verkauft die beiden Typen Mofa und Lofa. Während die Produktionskosten für ein Mofa Euro betragen, belaufen sie sich bei der Lofa nur auf Euro pro Stück. Insgesamt können pro Tag nicht mehr als Euro für die Produktion ausgegeben werden. Für die Fertigung der Mofas rechnet die Arbeitsvorbereitung mit einer Arbeitszeit von 30 Stunden, für die der Lofas setzt sie hingegen 60 Stunden an. Pro Tag stehen maximal 480 Arbeitsstunden zur Verfügung. Vom Mofa sollen pro Tag maximal 3 Stück gefertigt werden. Marktanalysen zeigen, dass pro Tag mindestens 4 Lofas abgesetzt werden müssen und unbegrenzt Mofas abgesetzt werden können. Der Verkaufspreis der Lofas liegt bei Euro, der der Mofas bei Euro pro Stück. Wie viel Mofas und Lofas sollen täglich produziert werden, um das Umsatzmaximum zu erreichen? Wie groß ist dieser maximale Umsatz? Aufgabe 87: Eine Tischlerei erhält einen Auftrag, für den unterschiedliche Holzplatten mit der folgenden Stückzahl zu verwenden sind: 0 Platten der Größe A, Platten der Größe B, 8 Platten der Größe C, 4 Platten der Größe D. Die Tischlerei bezieht dazu aus einem Sägewerk zwei Holzplattentypen I und II, die auf vorgegebene Weise (Abbildung ) zu zerschneiden sind. Abbildung : Zerlegung der Holzplattentypen. Der Preis einer Platte des Typs I beträgt 300 Euro und der einer Platte des Typs II 00 Euro. Aus Lager- und Verkaufsgründen sollten nicht mehr als 6 Platten der Größe D und nicht mehr als 5 Platten der Größe E gelagert werden. Es ist zu ermitteln, wie viel Platten I und II gekauft werden müssen, damit der Auftrag ausgeführt werden kann und der Gesamteinkaufspreis der Platten so gering wie möglich ausfällt. 5-83

52 Aufgabe 88: Ein Viehzuchtbetrieb füttert Rinder mit zwei tiermehlfreien Futtersorten A und B (z.b. Rüben und Heu). Die Tagesrationen eines Rindes müssen die Nährstoffe, und 3 im Umfang von mindestens 6, bzw. 4 g enthalten. Die Nährstoffgehalte in g pro kg und Preise in GE pro kg der beiden Sorten zeigt die folgende Tabelle: Sorte A Sorte B Tagesbedarf Nährstoff 6 Nährstoff 4 Nährstoff Preis in GE/kg 5 7 Wie viele kg von Sorte A bzw. B muss jede Tagesration enthalten, wenn sie unter Einhaltung der Nährstoffbedingungen die Kosten minimal sein sollten. Aufgabe 89: Ein Hersteller produziert zwei Sortimente eines Artikels, der aus Teilen besteht, die geschnitten, zusammengebaut und fertig gestellt werden müssen. Der Unternehmer weiß, dass er so viele Artikel verkaufen kann, wie er produziert. Sortiment benötigt 5 Minuten zum Zerschneiden, 60 Minuten zum Zusammenbau und 68 Minuten, um es verkaufsfertig zu machen. Es erzielt 30 Euro Gewinn. Für Sortiment braucht man 75 Minuten zum Schneiden, 60 Minuten für den Zusammenbau und 34 Minuten, zur Fertigstellung. Dieses Sortiment erzielt einen Gewinn von 40 Euro. Es stehen nicht mehr als 450 Minuten zum, Zerschneiden, 480 Minuten zum Zusammenbau und 476 Minuten zum Fertigstellen pro Tag zur Verfügung. Nun stellt sich dem Unternehmer die Frage, wie viele Artikel von jedem Sortiment jeden Tag produziert werden müssen, um den Gewinn zu maximieren. 5-83

53 Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben Aufgabe 90: MATHEMATIK Ein Unternehmen gewinnt aus drei Rohstoffen (R, R, R3) zwei Mineralien (M,M). Eine Tonne M wird aus 6 Tonnen R, 4 Tonnen R und 4 Tonnen R3 hergestellt; eine Tonne M ergibt sich aus 3 Tonnen R, 4 Tonnen R und Tonnen R3. Pro Woche stehen maximal 60 Tonnen R, 44 Tonnen R und 84 Tonnen R3 zur Verfügung. Eine Tonne M bzw. M wirft einen Gewinn von 00 bzw. 300 ab. a) Lösen Sie dieses Problem grafisch. (6,5) b) Was würde sich für das Optimum ergeben, wenn zusätzlich zu den obigen Voraussetzungen verlangt würde, dass von M mindestens 8 Tonnen erzeugt werden müssten? Aufgabe 9: Bestimmen Sie für folgendes LOP-Problem die minimale Lösung. Verwenden Sie hierzu die grafische Lösung. Zeichnen Sie dort die gefundene Lösung ein. Die x -Werte und die x-werte brauchen Sie für die minimale Lösung nicht zu bestimmen. Z: x x Min NB: x + 6x 0 x x 3x 6x 9 4x + 5x 6 NNB: x, x 0 Aufgabe 9: Eine Schulklasse mit 9 Schülern und 6 Begleitpersonen (mit Führerschein) möchte einen Ausflug machen. Um zu ihrem Ausflugsziel zu kommen, können sie Kleinbusse mit 8 Sitzplätzen bzw. Autos mit 5 Sitzplätzen mieten, die von den Begleitpersonen gefahren werden sollen. Die Busse kosten 50 am Tag, die Autos 0 am Tag. Wie viele Busse bzw. Autos müssen die Schüler mieten, um möglichst preisgünstig den Ausflug machen zu können? 53-83

54 Aufgabe 93: Bestimmen Sie die Lösung des LOP's mit der grafischen Lösungsvariante. Z: x + x min Nebenbedingungen: x + x 0 x 6 x 5 5x + 5x 5 Nichtnegativitätsbedingungen: x, x

55 Ableitungen Aufgabe 94: Ermitteln Sie von der Funktion f(x) die Ableitungen f'(x) und f''(x). 3 x f (x) 8 x 3 5 Aufgabe 95: Ermitteln Sie von der Funktion f(x) die Ableitungen f'(x) und f''(x). (x) (4x f 4 ) Aufgabe 96: Ermitteln Sie von der Funktion f(x) die Ableitungen f'(x) und f''(x). 4 (x) x x f 4 x Aufgabe 97: Ermitteln Sie von der Funktion f(x) die Ableitungen f'(x) und f''(x). f (x) 3 x Aufgabe 98: Ermitteln Sie von der Funktion f(x) die Ableitungen f'(x) und f''(x). f (x) 8 x 3 4 x Aufgabe 99: Ermitteln Sie von der Funktion f(x) die Ableitung f'(x). f(x) ( x x 3)(x 3 x) Aufgabe 00: Ermitteln Sie von der Funktion f(x) die Ableitung f'(x). f (x) x 3 x

56 Aufgabe 0: Ermitteln Sie von der Funktion f(x) die Ableitung f'(x). (x 3) f (x) (3x 6) Aufgabe 0: Ermitteln Sie von der Funktion f(x) die Ableitung f'(x). (x 4x) (x) (x 3) f Aufgabe 03: Ermitteln Sie von der Funktion f(x) die Ableitung f'(x). 4x 3 3x f (x) x Aufgabe 04: Ermitteln Sie von der Funktion f(x) die Ableitung f'(x). (x f (x) Aufgabe 05: 3 6x 7x 3) 4x Ermitteln Sie von der Funktion f(x) die Ableitung f'(x). f(x) (x 8) 3 Aufgabe 06: Ermitteln Sie von der Funktion f(x) die Ableitung f'(x). f (x) (x 3 3) Aufgabe 07: Ermitteln Sie von der Funktion f(x) die Ableitung f'(x). f (x) (x 4) 56-83

57 Aufgabe 08: Ermitteln Sie von der Funktion f(x) die Ableitung f'(x). f(x) x 3 e x Aufgabe 09: Ermitteln Sie von der Funktion f(x) die Ableitungen f'(x) und f''(x). f(x) = ln (x ) Aufgabe 0: Bestimmen Sie zwei Ableitungen zu folgender Funktion. f(x) = x 4 x 3 Aufgabe : Bestimmen Sie zwei Ableitungen zu folgender Funktion. f(x) = x a x + a Aufgabe : Bestimmen Sie zwei Ableitungen zu folgender Funktion. f(x) = 4 3x 57-83

58 Aufgabe 3: Bestimmen Sie zwei Ableitungen zu folgender Funktion. f(x) = ex 4 e x + Aufgabe 4: Bestimmen Sie eine Ableitung zu folgender Funktion. e x f(x) = x + Aufgabe 5: Bestimmen Sie zwei Ableitungen zu folgender Funktion. f(x) = ex x Aufgabe 6: Bestimmen Sie eine Ableitung zu folgender Funktion. f(x) = + ln (x) x Aufgabe 7: Bestimmen Sie zwei Ableitungen zu folgender Funktion. f(x) = ln (x 6) Aufgabe 8: Bestimmen Sie zwei Ableitungen zu folgender Funktion. f(x) = ln (x (x a)) 58-83

59 Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben Aufgabe 9: Bestimmen Sie zwei Ableitungen zu folgender Funktion. f(x) = x e t x MATHEMATIK Aufgabe 0: Bestimmen Sie zwei Ableitungen zu folgender Funktion. x f(x) = 6 x + 8 Aufgabe : Ermitteln Sie von der Funktion f(x) die Ableitung f'(x). f(x) ( x x 3)(x 3 x) 59-83

60 Kurvendiskussion Aufgabe : Untersuchen Sie für folgende Funktion f(x) auf Achsen- und Punktsymmetrie, Schnittpunkte mit der x- und y-achse und Extrempunkte. f(x) x x Aufgabe 3: Untersuchen Sie für folgende Funktion f(x) auf Achsen- und Punktsymmetrie, Schnittpunkte mit der x- und y-achse und Extrempunkte. f (x) x x 6 Aufgabe 4: Untersuchen Sie für folgende Funktion f(x) auf Achsen- und Punktsymmetrie, Schnittpunkte mit der x- und y-achse und Extrempunkte. f(x) = x + 4x + 8 x + Aufgabe 5: Untersuchen Sie für folgende Funktion f(x) auf Achsen- und Punktsymmetrie, Schnittpunkte mit der x- und y-achse und Extrempunkte. f(x) = e x 4 Aufgabe 6: Untersuchen Sie für folgende Funktion f(x) auf Achsen- und Punktsymmetrie, Schnittpunkte mit der x- und y-achse und Extrempunkte. f(x) = ln ( x) Aufgabe 7: Untersuchen Sie für folgende Funktion f(x) auf Achsen- und Punktsymmetrie, Schnittpunkte mit der x- und y-achse und Extrempunkte. f (x) x x

61 Aufgabe 8: Untersuchen Sie für folgende Funktion f(x) auf Achsen- und Punktsymmetrie, Schnittpunkte mit der x- und y-achse und Extrempunkte. 3 x f (x) 4 3x Aufgabe 9: Untersuchen Sie für folgende Funktion f(x) auf Achsen- und Punktsymmetrie, Schnittpunkte mit der x- und y-achse und Extrempunkte. f(x) = 8 x 4 Aufgabe 30: Untersuchen Sie für folgende Funktion f(x) auf Achsen- und Punktsymmetrie, Schnittpunkte mit der x- und y-achse und Extrempunkte. f(x) = 8 x + x Aufgabe 3: Untersuchen Sie für folgende Funktion f(x) auf Achsen- und Punktsymmetrie, Schnittpunkte mit der x- und y-achse, Extrempunkte und Wendepunkte. f(x) = 4x x + 4 Aufgabe 3: Untersuchen Sie für folgende Funktion f(x) auf Achsen- und Punktsymmetrie, Schnittpunkte mit der x- und y-achse, Extrempunkte und Wendepunkte. f(x) = e x Aufgabe 33: Untersuchen Sie für folgende Funktion f(x) auf Achsen- und Punktsymmetrie, Schnittpunkte mit der x- und y-achse und Extrempunkte. f(x) = ln ( x ) 6-83

62 Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben Aufgabe 34: Untersuchen Sie für folgende Funktion f(x) auf Definitionsmenge, Achsen- und Punktsymmetrie, Schnittpunkte mit der x- und y-achse und Extrempunkte. f(x) = 4 x Aufgabe 35: Untersuchen Sie für folgende Funktion f(x) auf Achsen- und Punktsymmetrie, Schnittpunkte mit der x- und y-achse, Extrempunkte und Wendepunkte. f(x) = x x

63 Prozentrechnung Aufgabe 36: In einem Großbetrieb sind 8400 Personen beschäftigt. Davon sind 9% unter 30 Jahre alt und 37% zwischen 30 und 45 Jahre alt. Der Rest ist älter als 45 Jahre. Wie viele Beschäftigte sind älter als 45 Jahre? Aufgabe 37: Klara Kufsteiner kauft in der Buchhandlung Raupenheimer das umfassende Werk Alle illegalen Steuertricks in Deutschland zu 36,50 Euro (incl. MwSt.). Währende der Lektüre stellt sie fest, dass ihr der Buchhändler fälschlich erweise 6% MwSt. berechnet hat (richtig wären 7% gewesen). Daraufhin verlangt sie vom Buchhändler eine Richtigstellung. Welchen Betrag muss ihr der Buchhändler zurückgeben? Aufgabe 38: 8 Baumfäller roden in 0 Stunden einen Wald. Wie lange würde es bei Baumfällern dauern? Aufgabe 39: Hans-Udo teilt jede Woche 390 Prospekte aus und bekommt dafür 8,08. a) Pia verteilt für dieselbe Firma in einem anderen Stadtteil 360 Prospekte. Was verdient sie? b) Paul verdient mit derselben Arbeit 8 in der Woche. Wie viele Prospekte trägt er aus? Aufgabe 40: Auf drei automatischen Werkzeugmaschinen lassen sich 50 Metallhülsen in h 5 min herstellen. Wie viele Hülsen könnten in h 30 min hergestellt werden, wenn zwei Maschinen zusätzlich zum Einsatz kämen? Aufgabe 4: Einer Zeitungsmeldung ist zu entnehmen, dass Unternehmen A seinen Umsatz im Jahr 004 um 4% gegenüber dem Umsatz von 003, der 4,3 Mio. Euro betrug, steigern konnte. Unternehmen B hat 004 ein Ergebnis von 3, Mio. Euro Umsatz zu verzeichnen, was einem Minus von 5,% gegenüber 003 entspricht. Wie groß war der Umsatz (in Euro) von A im Jahr 004 bzw. der von B im Jahr 003? 63-83

64 Aufgabe 4: Auf ein Produkt wird ein Preisnachlass von 8%, das sind 5,0 Euro, gegeben. Wie teuer war das Produkt ursprünglich? Aufgabe 43: In einem Entwicklungsland leben 37% aller 9,7 Mio. Einwohner unterhalb der Armutsgrenze. Wie viele Personen sind das? Aufgabe 44: Im Jahr 997 betrug die Gesamtbevölkerung Deutschlands 79,3 Millionen Menschen. Der Anteil der männlichen Personen lag bei 49, %. Davon waren 7,3 % zwischen 0 und 9 Jahre alt. Wie viele männliche Personen zwischen 0 und 9 Jahren lebten 997 in Deutschland? Aufgabe 45: Eine Firma hatte 995 einen Jahresumsatz von Euro. Der Umsatz hat sich nach folgendem Schaubild entwickelt Euro +4% +5% -3% Wie viel Euro betrug der Umsatz im Jahr 0? Aufgabe 46: Der Preis eines Computers wurde um 5% gesenkt. Er kostet jetzt 58. Um wie viel Euro wurde der Preis gesenkt Aufgabe 47: Um genau 9,5 % ließ sich der Heizölverbrauch nach dem Einbau des neuen Heizkessels senken. Immerhin verbraucht die Familie Klein jetzt 456 Liter weniger als im Vorjahr. Wie viel Heizöl hat die Familie im vergangenen Jahr insgesamt verbraucht? Aufgabe 48: Herr Frege bekommt 3775 Gehalt. Davon muss er 906 Lohnsteuer entrichten. Wie viel Prozent seines Gehaltes macht die Lohnsteuer aus? Aufgabe 49: Ein Sparguthaben von 35 bringt in einem Jahr,70 Zinsen. Mit welchem Zinssatz wurde das Sparguthaben verzinst? 64-83

65 Aufgabe 50: Ein Kapital wird mit 5,5 % verzinst. Die Zinsen für ein Vierteljahr betragen 770. Berechne das Kapital. Aufgabe 5: Herr Meier gibt monatlich 5.- für sein Auto aus. Das sind 6,5% seines monatlichen Einkommens. Wie viel verdient er im Monat? Aufgabe 5: Der Verkaufspreis Laptops (Acer Aspire) beträgt einschließlich Umsatzsteuer 476,00 EUR (Bruttoverkaufspreis). Berechnen Sie die anteilige Mehrwertsteuer von 9% und den Nettoverkaufspreis. Aufgabe 53: Nach einer Preiserhöhung von 8% kostet eine Ware 94,50 EUR. Berechnen Sie die Preiserhöhung und den alten Preis. Aufgabe 54: Der Jahresumsatz fiel um 5% auf nun ,00 EUR. Berechnen Sie Umsatzminderung und den alten Umsatz

66 Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben Aufgabe 55: Die Zahl der Studierenden hat sich um 5% erhöht und beträgt jetzt.300. Wie hoch war sie vorher? Aufgabe 56: Sie investieren.000 Euro an der Börse und verlieren sofort 50% vom investierten Betrag. Aber glücklicherweise steigen Ihre Aktien einige Tage später wieder um 50% vom Restbetrag. Wie viele Euro besitzen sie jetzt? Aufgabe 57: Verkauft man eine Ware mit 6% Verlust, so nimmt man 0 Euro weniger ein, als wenn man die Ware mit 4% Gewinn verkaufen würde. Berechnen Sie den Gewinn und Verlust. Aufgabe 58: Aufgrund der gestiegenen Lohnkosten hat die Firma Gierig den Preis einer Ware innerhalb diesen Jahres zweimal erhöht: zuerst um 4%, danach um 5%. Wie hoch war der Preis zu Beginn des Jahres, wenn er jetzt auf 89,00 lautet? Aufgabe 59: Aus Konkurrenzgründen musste die Firma Gierig nun den Preis einer anderen Ware zweimal senken: zuerst um %, dann noch einmal um %. Wie hoch war der ursprüngliche Preis, wenn er jetzt noch 598,78 beträgt? Aufgabe 60: Eine Hose ist um 0% reduziert worden und kostet jetzt 3.- Euro. Wie teuer war sie vorher? Aufgabe 6: Herr Schulze kauft eine HiFi-Anlage, die 50 Euro kosten soll. Er erhält 7% Rabatt. Wie viel Euro muss er noch bezahlen? Aufgabe 6: Der Listenpreis eines Autos beträgt Der Kunde bekommt den Wagen für.054. Um wie viel Prozent liegt dieser Preis unter dem Listenpreis? 66-83

67 Einfacher Zins Aufgabe 63: Eine Studentin hat am ihrem Freund einen Betrag von GE 450,- geliehen. Der Freund verpflichtet sich, bei einfacher Verzinsung zu % pro anno die Schulden am zurückzuzahlen. Welchen Betrag muss er zahlen? Aufgabe 64: Bei einfacher Verzinsung zu 4 % p.a. steht nach zwei Jahren und drei Monaten ein Betrag von.80 GE zur Verfügung. Wie groß war das Anfangskapital, der so genannte Barwert? Aufgabe 65: Eine Bank gewährt,5 % einfache Vierteljahreszinsen. Ein Kapital von GE 000 soll 7 Tage angelegt werden. Wie hoch ist der Endbetrag nach 7 Tagen? Aufgabe 66: Eine Zahlungsverpflichtung besteht aus zwei Zahlungen: GE am des Jahres GE am 3.0. des Jahres Wie hoch ist bei 4% einfacher Verzinsung p.a. der Wert der Zahlungsverpflichtung am 0.0. des Jahres, wenn der Bewertungsstichtag der a) des Jahres ist? b) 3.0. des Jahres ist? c) 0.0. des Jahres ist? Aufgabe 67: 400 werden 5 Monate zum Zinssatz i = 6% p. a. angelegt. Aufgabe 68: Welchen Betrag muss man auf ein Sparbuch mit 4% Verzinsung einzahlen, wenn man in 9 Monaten 800 abheben will? 67-83

68 Aufgabe 69: Ein Schuldner hat bei einfacher Verzinsung zu 4% p.a. folgende Zahlungsverpflichtung: 000 in sechs Monaten 000 in acht Monaten e in vierzehn Monaten a) Durch welche sofortige Rückzahlung kann der Schuldner seine zukünftigen Schulden begleichen? (Bewertungsstichtag der Schulden ist der Zeitpunkt der sofortigen Zahlung.) b) Zu welchem Zeitpunkt reicht eine einmalige Rückzahlung in Höhe des Nennwertes aus, um sämtliche Schulden zu begleichen, wenn der Bewertungsstichtag der Zeitpunkt der sofortigen Zahlung ist? c) Durch welche einmalige Rückzahlung nach sechzehn Monaten können die Schulden beglichen werden? Aufgabe 70: Für einen Privatkredit in Höhe von 000,00 zahlt Frau Bach jährlich 0,- Zinsen. Wie hoch ist der Prozentsatz? Aufgabe 7: Wie groß muss ein Kapital sein, wenn es bei der Spotbank jährlich.00,- Zinsen bringen soll? (3% p.a.) 68-83

69 Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben Aufgabe 7: MATHEMATIK Ein Betrag von EUR 3.00 war 8 Jahre lang bei einfacher Verzinsung angelegt und ist in diesem Zeitraum einschließlich der gezahlten Zinsen auf EUR angewachsen. Wie hoch war der zugrundeliegende Zinssatz? Aufgabe 73: Herr Abelheimer hat Herrn Böness am..995 einen Betrag von EUR 650,-geliehen. Böness verpflichtet sich, den geliehenen Betrag mit 7% einfach zu verzinsen und ihn zusammen mit den bis dahin fällig gewordenen Zinsen am zurückzuzahlen. Wie hoch ist der zurückzuzahlende Betrag? Aufgabe 74: Ein Betrag von EUR 00,-war zu 5% bei einfacher Verzinsung angelegt und ist, zusammen mit den angefallenen Zinsen, auf derzeit EUR 60 angewachsen. Wie viele Jahre war der Betrag angelegt? Aufgabe 75: Ein Betrag von EUR 300 war 8 Jahre lang bei einfacher Verzinsung angelegt und ist in diesem Zeitraum einschließlich der gezahlten Zinsen auf EUR 4736 angewachsen. Wie hoch war der zugrundeliegende Zinssatz? Aufgabe 76: Herr Meier überzieht sein Girokonto für 4 Tage um.000,00. Der Zinssatz für einen Überziehungskredit beträgt %. Wieviel Zinsen muss er dafür bezahlen? Aufgabe 77: Eine Rechnung lautet auf den Betrag K0 = 790. Ein Geschäftsmann will sie durch einen Wechsel begleichen, der in 3 Monaten fällig ist. Auf welchen Betrag muss er den Wechsel ausstellen, wenn 5% Diskontzinsen berechnet werden? Aufgabe 78: Welchen Betrag muss man auf ein Sparbuch mit 4% Verzinsung einzahlen, wenn man in 9 Monaten 800 abheben will? 69-83

70 Zinseszins Aufgabe 79: Auf welchen Betrag ist ein Kapital von GE 5.00 bei nachschüssigen Zinseszinsen von 4% pro anno in sechs Jahren angewachsen? Aufgabe 80: Ein Kapital ist nach fünf Jahren bei nachschüssiger Verzinsung von 8% pro Jahr auf 4 693,8 angewachsen. Wie groß war das Startkapital? Das Startkapital wird berechnet, indem das Endkapital fünf Jahre abgezinst wird: Aufgabe 8: Ein Kapital von Mio. GE ist nach drei Jahren bei nachschüssiger Verzinsung auf GE angewachsen. Wie hoch war der jährliche Zinseszins? Aufgabe 8: Welcher nachschüssige Zinssatz i' wäre nötig gewesen, damit ein Startkapital von 5.00 GE nach sechs Jahren auf 6.643,8 GE angewachsen ist? Aufgabe 83: Welcher nachschüssige Zinssatz i' wäre nötig gewesen, damit ein Startkapital von 5.00 GE nach sechs Jahren auf 6.643,8 GE angewachsen ist? Aufgabe 84: Für eine Immobilie liegen zwei Angebote vor: A bietet sofort und in 3 Jahren; B bietet je in einem Jahr und in Jahren. Welches Angebot ist - bei einer Verzinsung von 5% - für den Verkäufer günstiger? Aufgabe 85: Ein Guthaben von 00 GE wird bei einem nominellen Jahreszins von 6% p.a. zu vierteljährlicher Verzinsung zum relativen Zins angelegt. Wie hoch ist das Guthaben nach drei Jahren? Aufgabe 86: Auf welchen Betrag wächst ein Kapital von 00 in 8 Jahren bei einer Verzinsung von i = 5%? 70-83

71 Aufgabe 87: Wie hoch war ein Kapital, wenn es in 5 Jahren bei einer Verzinsung von i = 3% auf 74 angewachsen ist? Aufgabe 88: Jemand leiht sich 4000 aus und zahlt nach 4 Jahren 4500 zurück. Welchem Zinssatz entspricht das? Aufgabe 89: Wie lange dauert es, bis ein Kapital von 500 bei einer Verzinsung von 4,5% auf 000 anwächst? Aufgabe 90: Anika A. will ihr Geld für ein Jahr anlegen und kann sich zwischen zwei Geldanlageformen entscheiden: a) einmalige jährliche Verzinsung mit 6%, b) zwölfmalige monatliche Verzinsung mit je 0,49%. Wofür soll sie sich entscheiden? 7-83

72 Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben Aufgabe 9: Bei wieviel Prozent jährlicher Verzinsung verdreifacht sich das eingesetzte Anlagebetrag in 0 Jahren, wenn eine Verzinsung mit Zinseszinsen unterstellt wird? Aufgabe 9: In wie vielen Jahren verdreifacht sich ein Anlagebetrag bei 5,37% Jahreszins, wenn eine Verzinsung mit Zinseszinsen unterstellt wir? Aufgabe 93: Welchen Barwert hat eine in genau Jahren erfolgende Zahlung von EUR bei einem unterstellten Zinssatz von 8% p.a. und jährlicher Verzinsung mit Zinseszinsen? Aufgabe 94: Ein Kaufmann rechnet damit, in genau einem Jahr durch den Verkauf von Immobilie A einen Betrag von Euro zu erlösen, und in genau vier Jahren durch den Verkauf von Immobilie B einen Betrag von Euro zu erlösen. Gehen Sie davon aus, dass sich die Erwartungen des Kaufmanns genau erfüllen. Welchen Barwert hat die Gesamtheit dieser beiden Zahlungen, wenn der Berechnung ein Zinssatz von 4% p.a. zugrunde liegt, bei jährliche Verzinsung mit Zinseszinsen? 7-83

73 Rentenrechnung Aufgabe 95: Am Ende eines jeden Jahres werden 500,00 Euro eingezahlt. Auf welchen Betrag sind die Einzahlungen angewachsen, wenn die letzte Rate am Ende des 5. Jahres geleistet wird und der Zinssatz 3% beträgt? Aufgabe 96: Es werden 6 Jahre lang am Ende jedes Jahres jeweils.400,00 Euro eingezahlt und mit 3% verzinst. Welcher Betrag ist nach 6 Jahren entstanden? Aufgabe 97: Am Anfang eines jeden Jahres werden 500,00 Euro eingezahlt. Auf welchen Betrag sind die Einzahlungen angewachsen, wenn die letzte Rate am Ende des 5. Jahres geleistet wird und der Zinssatz 3% beträgt? Aufgabe 98: Es werden 6 Jahre lang am Anfang jedes Jahres jeweils.400,00 Euro eingezahlt und mit 3% verzinst. Welcher Betrag ist nach 6 Jahren entstanden? Aufgabe 99: 73-83

74 Welcher Betrag muss bei einer Verzinsung von 3% eingezahlt werden, damit für Jahre an jedem Jahresende eine Rente von 500 Euro ausgezahlt werden kann? Aufgabe 300: Welcher Betrag muss bei 3% Verzinsung eingezahlt werden, damit für Jahre an jedem Jahresanfang eine Rente von 500 Euro ausgezahlt werden kann? Aufgabe 30: Herr A. zahlt 5 Jahre lang am Ende jedes Jahres.000 ein (i = 4%). Von dem ersparten Geld will er 0 vorschüssige Jahresraten abheben, beginnend 5 Jahre nach der letzten Einzahlung. Wie hoch ist eine Rate? Aufgabe 30: Frau B. nimmt einen Kredit von 5000 mit einer Laufzeit von 0 Jahren auf, den sie in nachschüssigen Monatsraten zurückzahlen will (i = 8%). Wie hoch ist eine Rate? 74-83

75 Aufgabe 303: MATHEMATIK Herr Fröhlich zahlt 0 Jahre lang am Ende jeden Jahres EUR auf ein Sparkonto. Wie viel Euro beträgt das Guthaben am Ende des 0. Jahres bei einer jährlichen Verzinsung von 6,5%? Aufgabe 304: Frau Sparsam zahlt 5 Jahre lang am Anfang jeden Jahres EUR auf ein Sonderkonto ein. Die jährliche Verzinsung beträgt 7%. Wie hoch ist das Guthaben am Ende des 5. Jahres? Aufgabe 305: Wie viel Jahre lang muss man am Anfang jeden Jahres 4.50 EUR auf ein Sparkonto einzahlen, bis am Ende des Jahres der letzten Einzahlung EUR Guthaben überschritten werden; Zinssatz 5,5%? Aufgabe 306: Herr Kugler zahlt 0 Jahre lang am Ende jeden Jahres EUR auf ein Sparkonto. Bis zum Ende des 4. Jahres beträgt der Zinssatz 6%, ab Beginn des 5. Jahres 6,5%. Wie viel Euro beträgt das Guthaben am Ende des 0. Jahres? Aufgabe 307: Herr Liebig will einmalig so viel Geld einzahlen, dass er davon 5 Jahre lang am Anfang jeden Jahres eine Rente von EUR beziehen kann. Welchen Betrag muss er bei einem Zinssatz von 6,75% anlegen? Aufgabe 308: Aus einer Erbschaft soll 0 Jahre lang eine nachschüssige Rente von EUR gezahlt werden. Der Erbe wünscht die sofortige Auszahlung seines Rentenanspruchs in einem Betrag. Wie viel Euro sind auszuzahlen, wenn mit 5,5% Jahreszinsen gerechnet wird? Aufgabe 309: Frau Schöne zahlt am Jahresbeginn EUR ein. Sie will davon am Ende jeden Jahres eine Rente beziehen. Die erste Auszahlung soll am Ende des ersten Jahres erfolgen. Wie viel Euro beträgt die Rente bei 6% Jahreszinsen und einer Laufzeit von 0 Jahren? 75-83

76 Aufgabe 30: Herr Martin zahlt am Anfang eines Jahres EUR auf ein Konto ein und leistet i n den folgenden 5 Jahren am Jahresende jeweils eine Sonderzahlung von EUR. Wie viel Euro beträgt das Guthaben am Ende des 5. Jahres bei 3% Verzinsung? Aufgabe 3: Ein Barvermögen von EUR wird zu 6,5% verzinst. Es sollen am Anfang eines jeden Jahres EUR abgehoben werden. Auf wieviel EUR sinkt das Vermögen bis zum Ende des 4. Jahres? Aufgabe 3: Eine vorschüssige Rente von EUR pro Jahr läuft bei einer jährlichen Verzinsung von 5,5% Jahre lang. Wie hoch ist der Endwert der Rente? Aufgabe 33: Eine nachschüssige Jahresrente von EUR hat eine Laufzeit von 0 Jahren. Die jährliche Verzinsung beträgt 4,5%. Wie hoch ist der Barwert der Rente? Aufgabe 34: Ein Vater will für das Studium seiner Tochter in 6 Jahren EUR zur Verfügu ng haben. Welchen Betrag muss er am Ende eines jeden Jahres auf ein Sparkonto einzahlen, wenn die Bank das Guthaben jährlich mit 5% verzinst? Aufgabe 35: Die Inhaberin einer Boutique hat am Ende eines Jahres auf ihrem Sparkonto ein Guthaben von.000 Euro. Vom Beginn des nächsten Jahres an zahlt sie über 8 Jahre jeweils am Jahresanfang.000 Euro dazu. Das Guthaben wird jährlich mit 5% verzinst. Wie hoch ist das Guthaben am Ende des letzten Einzahlungsjahres? Aufgabe 36: Eine vorschüssige Jahresrente von Euro hat bei einer jährlichen Verzinsung von 6% einen Barwert von Euro. Wie lange wird die Rente ausbezahlt? Aufgabe 37: Aus einem Stiftungskapital von Euro erhält ein Institut am Anfang eines jeden Jahres einen Betrag von Euro. Mit welchem Zinssatz wird das Kapital jährlich verzinst? 76-83

77 Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben Aufgabe 38: MATHEMATIK Ein Sparer zahlt über 0 Jahre jeweils am Ende des Jahres.500 Euro ein. Dabei bewegt sich der Zinssatz bei 7,5%. Anschließend bleibt das angesparte Kapital über 0 Jahre liegen. Dabei bekommt der Sparer in den ersten fünf Jahren 4% und in den zweiten fünf Jahren 6,5% Zinsen. Anschließend möchte der Sparer ein über 0 Jahre laufende Rente jeweils am Anfang des Jahres erhalten. Der Zinssatz beträgt in diesem Zeitraum 4%. Wie groß ist seine Rate die er erhält? Aufgabe 39: Ein besonderer Sparvertrag sichert einem Sparer einen Zinserhöhung zu, wenn er Jahre lang fest anlegt. Er bekommt in den ersten Jahren 3 % Zins, im 3. und 4. Jahr 3,5 % Zins, im 5. und 6. Jahr 4 % und im 7. Jahr 5 % Zins. a) (4) Berechnen Sie das so angesparte Vermögen. b) (6) Er möchte von dem ersparten Betrag eine jährliche nachschüssige Rente über 8 Jahre ausbezahlt bekommen bei einem konstanten Zinssatz von 7%. Wie hoch ist die jährliche Rate? Aufgabe 30: Vor sechs Jahren plante das Ehepaar Berger, sich später ein Eigenheim zu kaufen. Ihr Bankguthaben betrug damals Euro. Seitdem haben Sie jedes Jahr Euro gespart, die sie am Jahresende auf ihr Konto eingezahlt haben. Bei allen Berechnungen ist ein Zinssatz von 5% zugrunde zu legen. a) (6) Wie viel haben die Bergers inzwischen angespart? b) (6) Bergers prüfen verschiedene Verkaufsangebote in ihrer Gegend. Haus A kostet sofort. Für Haus B sind sofort , nach zwei Jahren weitere und nach insgesamt vier Jahren noch einmal zu zahlen. Welches ist natürlich nur bezogen auf den Preis - das günstigste Angebot? 77-83

78 Aufgabe 3: Ein Makler erhält auf das Angebot "Villa mit Seeblick gegen Höchstgebot zu verkaufen" folgende Angebote: A ,- in bar, ,- zahlbar nach 5 Jahren; B ,- in bar, im Abstand von jeweils 3 Jahren zwei Raten von je 0.000,- i; C ,- in bar, im Abstand von jeweils Jahren drei Raten von je ,- i. Berechnen Sie das Höchstgebot, wenn eine durchschnittliche Verzinsung von p = 4,5% angenommen werden kann. Aufgabe 3: Die Eltern beschließen anlässlich der Geburt Ihrer Tochter, für ein späteres St udium einen jährlich gleichbleibenden Betrag auf ein Sparkonto einzuzahlen. Bei der Eröffnung des Sparkontos am Tag der Geburt, zahlt der Vater den Einmalbetrag von 5.000,00 ein. Zusätzlich verpflichten sich die Eltern, beginnend am folgenden. Geburtstag, bis zum 8.Geburtstag (einschließlich) an jedem Geburtstag den Betrag von 000,00 auf das Sparkonto einzuzahlen. a.) Berechnen Sie das Guthaben am 8. Geburtstag! (p = 3,75%) b.) Nach bestandener Fachhochschulreife erlernt die Tochter zunächst einen kaufmännischen Beruf, bevor Sie ein Studium an einer Fachhochschule aufnimmt. Berechnen Sie das Guthaben am. Geburtstag, wenn keine weiteren Einzahlungen erfolgen. (p= 3,75%). c.) Wie viel Jahre kann die Tochter jährlich vorschüssig den Betrag von 806,65 abheben, wenn das am. Geburtstag vorhandene Guthaben aufgebraucht wird? (p = 3,75%) 78-83

79 Aufgabe 33: MATHEMATIK Eine Firma gewährt einem Angestellten einen Ratensparvertrag und zahlt ihm monatlich 00 auf ein Sonderkonto ein (nachschüssig). Die Bank gewährt einen Zinssatz von 4,5 % p. a., wenn das Geld mindestens 5 Jahre nicht abgehoben wird. Es wird monatlich verzinst. a) Wie hoch ist der Kontostand, nach 5 Jahren? b) Wie hoch ist der Kontostand, nach 5 bzw. 0 bzw. 5 Jahren, wenn der Angestellte anfänglich noch 3000 einzahlt. c) Er will nach 0 Jahren angespart haben und denkt daher daran, die monatliche Sparrate durch einen Eigenanteil zu erhöhen. Wie viel müsste er monatlich zuschießen? d) Nach welcher Laufzeit hätte er auf seinem Konto, wenn er dieselbe Summe einbezahlt wie sein Arbeitgeber? Aufgabe 34: Ein besonderer Sparvertrag sichert einem Sparer einen Zinserhöhung zu, wenn er Jahre lang fest anlegt. Er bekommt in den ersten Jahren 3 % Zins, im 3. und 4. Jahr 3,5 % Zins, im 5. und 6. Jahr 4 % und im 7. Jahr 5 % Zins. Berechne das so angesparte Vermögen. Welcher konstante mittlere Zinssatz hätte über 7 Jahre hinweg dieselbe End summe bewirkt? Aufgabe 35: Wie lange muss man ein beliebiges Kapital mit p =,5 % verzinsen, bis es sich verdoppelt hat? Aufgabe 36: Wie lange muss man ein 000 verzinsen mit (,5 %), damit man 3000 erhält? Aufgabe 37: Eine Annuitätenschuld über Euro werde jährlich mit 8% verzinst und soll in 5 Jahren getilgt sein. Wie hoch sind die jährlichen Raten? Aufgabe 38: Welche Rente bekomme ich durch 5 Jahre hindurch jährlich am Ende des Jahres, wenn ich heute gewinne und auf ein Konto lege, das mit 6% verzinst wird? 79-83

80 Aufgabe 39: Es besteht folgender Sparvertrag mit Ihrer Bank: 3 Raten mit je Euro zahlbar beginnend am..78 jeweils jährlich 5 Raten mit je Euro zahlbar beginnend am..8 jeweils jährlich 4 Raten mit je Euro zahlbar beginnend am..89 jeweils jährlich Es sind folgende Zinssätze vereinbart: bis % p. a. vom..8 bis % p. a. ab..90 % p. a. Die eingezahlten Raten bleiben auf dem Sparkonto liegen und werden mit dem jeweiligen Zins weiterverzinst. Berechnen Sie den Wert den das Sparkonto am..994 besitzt. Aufgabe 330: Ein Anfangskapital von Euro ist am..006 bereits vorhanden. Außerdem werde beginnende mit dem Jahre lang jeweils zum Jahresanfang Euro angelegt. Der Zinssatz beträgt 5% p. a. Über welches Endkapital verfügt man am Ende des 0. Jahres? Aufgabe 33: Bundesschatzbriefe werden zu den unten stehenden Bedingungen angeboten. Verzinsung: Zinssatz. Jahr 3,75 %. Jahr 4,0 % 3. Jahr 4,5 % 4. Jahr 4,75 % 5. Jahr 5,0 % 6. Jahr 5,5 % 7. Jahr 5,5 % Zur selben Zeit werden für Sparbriefe der Sparkasse mit 7jähriger Laufzeit 4,65 % Zinsen gezahlt. Vergleiche die Anlageformen, wenn 5500 eingezahlt wurde. Welche Geldanlage bringt den höheren Ertrag? 80-83

81 Aufstellen von Funktionen Aufgabe 33: Gesucht wird eine Funktion 4. Grades, deren Graph achsensymmetrisch zur y-achse verläuft, die y-achse bei y = 0, 5 schneidet und die Punkte A(; 4,5) und B( 3; 3) enthält. Aufgabe 333: Gesucht ist eine ganzrationale Funktion 3. Grades, deren Graph im Ursprung ein Minimum und in A( ) ein Maximum hat. Aufgabe 334: Welche ganzrationale Funktion 3. Grades hat in A(3 6) die Tangente y = x 7 und in B( 0) einen Wendepunkt? Aufgabe 335: Für die Bestimmung der Flugbahn einer Kugel beim Kugelstoßen steht aus Videoaufnahmen die untenstehend zu sehende Messreihe mit 6 Messpunkten zur Verfügung. xi[m] yi[m],00 4,93 6,38 6,37 4,88,9 Bei Vernachlässigung des Luftwiderstands darf angenommen werden, dass die Kugel sich auf einer quadratischen Parabel bewegt, die durch folgende Gleichung beschrieben werden kann: y = a 0 + a x i + a x i Berechnen Sie die Parameter a0, a und a. Aufgabe 336: Der Graph K einer ganzrationalen Funktion f vom Grad 4 ist achsensymmetrisch zur y- Achse und hat den Tiefpunkt T( 3 ) und den Wendepunkt W( 3). Bestimmen Sie f(x). Aufgabe 337: Der Graph K einer Exponentialfunktion f mit f(x) = ax e bx enthält einen Hochpunkt H( ). Bestimmen Sie f(x). 8-83

82 Aufgabe 338: Suchen Sie für folgendes Schaubild eine passende Polynomfunktion f(x) vom Grad vier. Aufgabe 339: Suchen Sie für folgendes Schaubild eine passende Polynomfunktion f(x) vom Grad drei. 8-83