Aufgabensammlung Mathematik

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1 Gesundheits- und Tourismusmanagement GTM Sport- und Eventmanagement - SEM Aufgabensammlung Mathematik Dipl. Mathematiker (FH) Roland Geiger Rosenstr. 76 Aichtal [email protected] -46

2 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis... Allgemeine Regeln...4 Internet...5 Lösungen zu den Aufgaben...5 Internet...5 QR-Code...6 YouTube...6 Ausmultiplizieren von Ausdrücken...7 Bruchrechnen...9 Potenzgesetze... 6 Wurzelgesetze... 0 Binomische Formeln... 4 Logarithmen... 5 Polynomgleichungen... 8 Matrizenrechnung... 6 Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben Anwendungen zu der Matrizenrechnung Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben Inverse Matri Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben... 7 Determinanten... 7 Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben Lineare Gleichungssysteme... 9 Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben... Lineare Optimierung... 5 Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben... 9 Ableitungen... 5 Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben Kurvendiskussion Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben... 7 Prozentrechnung Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben... 8 Einfacher Zins Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben

3 Zinseszins... 9 Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben Rentenrechnung Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben Aufstellen von Funktionen... Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben

4 Allgemeine Regeln Keine Handys, Smartphones, Tablets, Notebooks, MP-Player, und sonstige elektronischen Geräte. (Sollten auch nicht auf dem Tisch liegen) Sollten Sie unbedingt kommunizieren müssen, so gehen Sie freiwillig aus dem Raum oder Sie bekommen von mir eine Pause zugeteilt, in der Sie in Ruhe Ihre Kommunikation durchführen können. 4-46

5 Internet Lösungen zu den Aufgaben Internet

6 QR-Code YouTube

7 Vorwissen für die Vorlesung Ausmultiplizieren von Ausdrücken Aufgabe : Multiplizieren Sie folgenden Ausdruck aus und fassen Sie zusammen. ( ) ( + ) ( ) ( + ) = + 6 = 6 Aufgabe : Multiplizieren Sie folgenden Ausdruck aus und fassen Sie zusammen. 5a(8a b) b(9a 5b) 5a(8a b) b(9a 5b) = 40a 55ab 9ab + 5b = 40a 64ab + 5b Aufgabe : Multiplizieren Sie folgenden Ausdruck aus und fassen Sie zusammen. ( 5a) (0a ) (a 7a) ( 5a) (0a ) (a 7a) = 50a + 60a a + 7a = 50a + 67a a Aufgabe 4: Klammern Sie so viel wie möglich aus. 45pq + 7p q 45pq + 7p q = 9pq(5 + pq) Aufgabe 5: Multiplizieren Sie folgenden Ausdruck aus und fassen Sie zusammen. ( ) ( 4) ( ) ( + ) 5( ) 7-46

8 ( ) ( 4) ( ) ( + ) 5( ) = ( + ) = 0 8 ( + ) = =

9 Bruchrechnen Aufgabe 6: Berechnen Sie folgenden Bruch in Dezimaldarstellung um = = = 9 5 Aufgabe 7: Vergleichen Sie die folgenden Brüche ihrer Größe nach und schreiben es als a<b, a>b oder a=b. ; 5 ; > 4 0 Aufgabe 8: Addieren Sie folgende Brüche und kürzen Sie wenn es geht = = = 9 8 Aufgabe 9: Subtrahieren Sie folgende Brüche und kürzen das Ergebnis, wenn es möglich ist. Schreiben Sie das Ergebnis als Bruch und als gemischten Bruch = 5 4 = = 7 4 = 4 4 Aufgabe 0: 9-46

10 Multiplizieren Sie folgende Brüche und kürzen das Ergebnis, wenn es möglich ist. ( 5 9 ) ( 5 9 ) = 5 9 = 5 Aufgabe : Dividieren Sie folgende Brüche und kürzen das Ergebnis, wenn es möglich ist. 4 : 4 4 : 4 = 4 : 4 = 4 4 = Aufgabe : Berechnen Sie das Ergebnis und kürzen so weit wie möglich. 4 + ( ) + 4 : ( ) + 4 : 7 5 = = = = = = 0-46

11 Aufgabe : Berechnen Sie folgende Aufgabe und Kürzen Sie möglich. ( ) : ( + ) ( ) : ( + ) = (8 ) : ( 4 + ) = 7 ( ) = 7 Aufgabe 4: Berechnen Sie folgende Aufgabe und kürzen Sie möglich. : 5 ( ) : 5 ( ) = 4 : 8 5 ( ) = = 5 7 ( ) = 5 = Aufgabe 5: 79 (00 ) 5 Berechnen Sie folgenden Doppelbruch und kürzen Sie möglich = 4 5 = 9 0 Aufgabe 6: Addieren Sie folgende Brüche und kürzen Sie wenn es geht = = = 9 8 Aufgabe 7: -46

12 Subtrahieren Sie folgende Brüche und kürzen das Ergebnis, wenn es möglich ist. Schreiben Sie das Ergebnis als Bruch und als gemischten Bruch = = = 5 8 = 7 8 Aufgabe 8: Multiplizieren Sie folgende Brüche und kürzen das Ergebnis, wenn es mögli ch ist. ( 7) 8 ( 8) 7 ( 7) 8 ( 8) 7 = Aufgabe 9: Dividieren Sie folgende Brüche und kürzen das Ergebnis, wenn es möglich ist : : 9 = 9 6 : 9 = = 9 = 87 Aufgabe 0: Berechnen Sie das Ergebnis und kürzen so weit wie möglich. 5 8 : : : : 7 = = = Aufgabe : = = 77 8 = 4 Berechnen Sie folgende Aufgabe und Kürzen Sie möglich. [6, + [ 0 (,: + 0,)]]

13 [6, + [ 0 (,: + 0,)]] 0 = [6, + [ 5 0 ( )]] 0 0 = [6, + [ 0 (6 )]] 0 = [ ] 0 = 0 0 = Aufgabe : Berechnen Sie folgende Aufgabe und kürzen Sie möglich. 9 : ( ) : ( ) = 9 : ( ) + 5 = 9 = 9 : = = = 5 5 = Aufgabe : Berechnen Sie folgenden Doppelbruch und kürzen Sie möglich : (76 ) = 5 6 = 5 Aufgabe 4: Berechnen Sie folgende Aufgabe und kürzen Sie möglich. ( 6 ) : ( 4 + ) ( 6 ) : ( 4 + ) = (8 7 6 ) : ( ) = ( ) : ( ) 6 8 = ( 9 6 ) : (4 8 ) = (9 6 ) ( 8 4 ) = ( ) ( 4 7 ) =

14 Aufgabe 5: Berechnen Sie folgende Aufgabe und kürzen Sie möglich : ( ) : ( ) = : (0 8 6 ) = : (0 6 6 ) = : ( 7 6 ) = (6 7 ) = =

15 Aufgabe 6: Berechnen Sie folgende Aufgabe und kürzen Sie möglich. [,75 0,5: ( 7 5 )],6 + 0,4 8 [,75 0,5: ( )],6 + 0,4 = [ : (4 )] = [ 4 4 : ( 6 )] = [ ] = = = = = 7 5 Aufgabe 7: Berechnen Sie folgende Aufgabe und kürzen Sie möglich = = = =

16 Potenzgesetze Aufgabe 8: Berechnen Sie folgenden Summenterm. a + b + c + b + c + b a + b + c + b + c + b = a + b + b + c + c = a + b ( + b) + c ( + c) Aufgabe 9: Vereinfachen Sie folgenden Term mit Hilfe der Potenzgesetze. 5 5 y 8 a 7 b 5 : y 5a 0 b y 8 a 7 b 5 : y 5a 0 b 6 = 55 y 8 a 7 b 5 5a0 b 6 y = 55 y 8 5a 0 b 6 a 7 b 5 y = 5 y 6 a b Aufgabe 0: Vereinfachen Sie folgenden Term mit Hilfe der Potenzgesetze. z n z m n z m = 5 5 y 8 a 0 7 b 6 5 z n z m n z m = zn+m n z m = zm z m = Aufgabe : Vereinfachen Sie folgenden Term mit Hilfe der Potenzgesetze. ( y a b ) : ( y a b ) ( y a b ) : ( y a b ) = ( y a b ) ( a b y ) 6-46

17 = ( 46 y 4 9a 4 4b 6) 7b 6 (8a6 6 8y ) = a6 4 b y 4 = a y Aufgabe : Vereinfachen Sie folgenden Term mit Hilfe der Potenzgesetze. ( 7a b c 4 n 8 5 y 7 z 7) ( a b c 4 n 6 6 y 7 z 8) ( 7a b c 4 n 8 5 y 7 z 7) ( a b c 4 n 6 6 y 7 z 8) = ( 7a b c 4 n 8 5 y 7 z 7) ( 66 y 7 z 8 n a b c 4) = ( 7a b c y 7 z 8 n 8 5 y 7 z 7 a b c 4) = ( n a b c y 7 7 z 8 7 ) = ( b z) n Aufgabe : Vereinfachen Sie folgenden Term mit Hilfe der Potenzgesetze. 5 y 6 4 y y 7 y 4 5 y 6 4 y y 7 y 4 = 4 y 5 (y + 7 y ) y 4 = y (y + 7 y ) 7-46

18 Aufgabe 4: Vereinfachen Sie folgenden Term mit Hilfe der Potenzgesetze. (r 6 r 5 ) r n 4 (r 6 r 5 ) r n 4 = r 6+n 4 r 5 n 4 = r n+ r n Aufgabe 5: Vereinfachen Sie folgenden Term mit Hilfe der Potenzgesetze y by y by 6 Aufgabe 6: = 79 6 y 9 6 b = 7 y b Vereinfachen Sie folgenden Term mit Hilfe der Potenzgesetze. y n+ y n + y n y n+ y n y n+ y n + y n y n+ y n = yn (y + y ) y n (y y = yn (y + y ) ) (y y ) Aufgabe 7: Vereinfachen Sie folgenden Term mit Hilfe der Potenzgesetze. 4 n+ 5 n n+4 4 n+ 5 n n+4 = ( 4) 5 ( ) 5 n+4 = n+4 = 4 6 n+4 = ( 4 ) 4 n+4 = n+ = + 4 n+ = 8 Aufgabe 8: Vereinfachen Sie folgenden Term mit Hilfe der Potenzgesetze. 8-46

19 ( 8a4 y 7a 5 b ) ( 9a 4yb ) ( a b ) ( 8a4 y 7a 5 b ) ( 9a 4yb ) ( a b ) = ( 8a4 y 7a 5 b ) ( 9a 4yb ) ( b a ) = 8 a 8 y 4 9 a b 6 7 a 0 b 4 y b a 4 = 6 a 8 y 4 6 a b 6 a 8 y 4 a 6 b 6 6 a 0 b 6 y b a 4 = a 0 b y b a 4 = a b 6 y 4 = a 8 by Aufgabe 9: Vereinfachen Sie folgenden Term mit Hilfe der Potenzgesetze. c 5 5d 7 6d 4 5c 5 c 5 5d 7 6d 4 5c 5 = c5 5 d 7 4 = d 9-46

20 Wurzelgesetze Aufgabe 40: Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck. 4 4 = 8 = Aufgabe 4: Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck. 9a b 9a b = 9a a b = ab a Aufgabe 4: Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck. a a + 5 ab a + a ab a a + 5 ab a + a ab = a a + 5 ab a + a a ab = 4a a + ab a Aufgabe 4: Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck. ab 6bc 4cd 8de ab 6bc 4cd 8de = abcd 48bcde = abcd bcde = 4abcd bcde = 48abcd bcde Aufgabe 44: 0-46

21 Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck. 45a: a 45a: a = 45a a Aufgabe 45: = 45a a = 5 9 = 5 Fassen Sie folgenden Ausdruck durch teilweises Wurzelziehen zusammen = = = 7 7 Aufgabe 46: Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck. 4 + ( ) 4 + ( ) 5 = = = 5 Aufgabe 47: Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck. 4 4 Aufgabe 48: = 8 = Multiplizieren Sie folgenden Ausdruck aus und vereinfachen sie ihn. Ziehen Sie, falls möglich, teilweise die Wurzel! Bestimmen Sie den Wurzelwert, wenn er eine Rationale Zahl ist! ( 6 + )( 6 4 ) ( 6 + )( 6 4 ) = = 8-46

22 Aufgabe 49: Fassen Sie folgenden Ausdruck durch teilweises Wurzelziehen zusammen = = = 5 5 Aufgabe 50: Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck. 5 a 5 a 5 = a Aufgabe 5: Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck. 5 y 7 5 y 7 = 4 y 6 y = y y Aufgabe 5: Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck. ( 5) + 5 (4 5) ( 5) + 5 (4 5) = = Aufgabe 5: Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck. 4 ( a 8 b 0 c 4 ) -46

23 a 8 4 b 9 4 c 4 4 = a c Aufgabe 54: Vereinfachen sie folgenden Ausdruck b c 5a 4b c 0ac b c 5a 4b c 0ac = b c 5a 6 4b c 0ac = b c b 5a 6c 0ac = 6bc 5a 6c 0ac = 6bc 50a c = 6bc 5a 6c = 0abc -46

24 Binomische Formeln Aufgabe 55: Bilden Sie aus dem folgenden Ausdruck eine Binomische Formel. 6 8t + t 6 8t + t = (4 t) Aufgabe 56: Berechnen Sie nach der dritten binomischen Formel. ( + )( ) ( + )( ) = 9 Aufgabe 57: Bilden Sie aus dem folgenden Ausdruck eine Binomische Formel. 5 5 = ( + 5)( 5) Aufgabe 58: Füllen Sie die Lücken aus. (d + ) = d + + f (d + f ) = d + df + f Aufgabe 59: Füllen Sie die Lücken aus. ( ) = d 4d + (d ) = d 4d

25 Logarithmen Aufgabe 60: Formen Sie folgende Gleichung in Logarithmusschreibweise um. = 6 = 6 log 6 = Aufgabe 6: Berechnen Sie mit dem Taschenrechner. log 4 8 log 4 8 = Aufgabe 6: ln (8) ln (4) =,5 Fassen Sie folgenden Ausdruck zusammen. log 0 () + log 0 () log 0 () + log 0 () = log 0 ( ) = log 0 (6) Aufgabe 6: Schreiben Sie folgenden Term als einzelne Terme. log (t) log (t) = log (t) + log () Aufgabe 64: Formen Sie den folgenden Ausdruck mit Logarithmengesetzen um. log (8) log (8) = log ( ) = log () Aufgabe 65: Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck. 5-46

26 log ( + y) log log ( + y) log log ( + y ) = log ( + y ) Aufgabe 66: Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck. log 4 ( ) + log 4 ( ) log 4 ( ) + log 4 ( ) = log 4 () + log 4 ( ) = log 4 () log 4 () = 0 Aufgabe 67: Formen Sie den folgenden Ausdruck mit Logarithmen-Gesetzen um. log (8) log (8) = log ( ) = log () Aufgabe 68: Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck. log (a) log (b) log (a) log (b) = log ( a b ) Aufgabe 69: Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck. log 0(4) + log 0 (6) log 0 ( ) 6-46

27 log 0(4) + log 0 (6) log 0 ( ) = log 0( ) + log 0 ( ) log 0 () + log 0 ( ) = log 0() + log 0 () + log 0 () log 0 () + 4 log 0 () = log 0 () Aufgabe 70: Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck. log 5 () + log 5( 4 ) log 5 ( ) log 5 () + log 5( 4 ) log 5 ( ) = log 5 () + 4 log 5() log 5 () = log 5 () Aufgabe 7: Wandeln Sie den folgenden Ausdruck mit Hilfe von Logarithmen-Gesetze in einzelne Logarithmen um. log a ( y z ) log a ( y z ) = loga ( y z ) = log a ( y ) log a (z 6) 6 = log a ( ) + log a ( ) + log a (y ) log a (z 6) = log a() + log a() + log a(y) 6 log a(z) 7-46

28 Polynomgleichungen Aufgabe 7: Bestimmen Sie zuerst die Definitionsmenge, im Anschluss lösen Sie diese Gleichung und geben die Lösungsmenge an. ( + 5) 4 = 8 (6 ) D = R ( + 5) 4 = 8 (6 ) = = = 6 Hier haben wir einen Widerspruch, deshalb ist die Lösungsmenge leer. L = { } Aufgabe 7: Bestimmen Sie zuerst die Definitionsmenge, im Anschluss lösen Sie diese Gleichung und geben die Lösungsmenge an. 8 5 = ( ) D = R 8 5 = ( ) 8 5 = = + 5 = 4 L = {4} Aufgabe 74: Bestimmen Sie Lösung der folgenden Gleichung. + + = =

29 , = b ± b 4ac a L = { } Aufgabe 75: = ± 4 Bestimmen Sie Lösung der folgenden Gleichung. + 4 = 0 = = + 4 = 0 ( + 4) = 0 = 0 = 4 L = { 4; 0} Aufgabe 76: Bestimmen Sie für folgende Gleichung die Definitionsmenge und die Lösungsmenge. + + = + + = D = R\{ ; } Hauptnenner: ( + )( ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( ) ( + ) ( + ) ( ) = ( ) HN ( + ) ( + ) ( ) ( ) = = + 4 = 0 ( + 4) = 0 = 0 = 4 L = {4; 0} Aufgabe 77: Bestimmen Sie für folgende Gleichung die Definitionsmenge und die Lösungsmenge. 4 =

30 4 = D = R\{ ; } ( ) ( + ) = ( )( + ) ( + ) Hauptnenner: ( + ) ( ) ( )( + ) ( + )( ) = ( )( + ) ( + ) HN ( )( + ) = ( + )( ) 0 = 0 L = R\{ ; } 0-46

31 Aufgabe 78: MATHEMATIK Bestimmen Sie für folgende Gleichung die Definitionsmenge und die Lösungsmenge. = 4 = 4 D = R\{} = ( ) Hauptnenner: ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = 4 = + 4 = : 4 HN = 4 L = { 4 } Aufgabe 79: Bestimmen Sie Lösungsmenge der folgenden Gleichung = 0 Es muss als erstes eine ganzzahlige Lösung gefunden werden. Dies geschieht durch einsetzen verschiedener -Werte in die Gleichung. = = 0 wahre Aussage ( ): ( ) = + 4 ( 9 ) + 7 ( + ) 4 (4 ) -46

32 + 4 = 0 = b ± b 4ac a = ± 4 Keine weiteren Lösungen mehr: = L = {} Aufgabe 80: Bestimmen Sie Lösungsmenge der folgenden Gleichung. + = 0 + = 0 Es muss als erstes eine ganzzahlige Lösung gefunden werden. Dies geschieht durch einsetzen verschiedener -Werte in die Gleichung. = + = 0 wahre Aussage ( + ): ( ) = ( ) ( + ) = 0 + ( + ) = b ± b 4ac a Weiteren Lösungen: = + 7 = 4 = 7 = L = { ; ; 4} Aufgabe 8: = ± ( ) 4 ( ) Bestimmen Sie Lösungsmenge der folgenden Gleichung = 0 = ± 7-46

33 Es muss als erstes eine ganzzahlige Lösung gefunden werden. Dies geschieht durch einsetzen verschiedener -Werte in die Gleichung. = = 0 wahre Aussage ( 6 + 8): ( ) = 4 ( 4 ) + 8 ( + 4 ) 4 = ( 4 + 8) = b ± b 4ac a Weiteren Lösungen: = + 6 = 4 = 6 = 4 L = { ; } Aufgabe 8: = ± ( ) 4 ( 4) = ± 6 4 Bestimmen Sie für folgende Gleichung die Definitionsmenge und die Lösungsmenge. + 6 = + 6 = + 6 = 0, = b ± b 4ac a = + 4 = 4 4 = 4 = 4 L = {; 4} Aufgabe 8: = ± ( ) 4 6 Bestimmen Sie Lösungsmenge der folgenden Gleichung. = ±

34 0 6 + = = D = R\{ ; 0; } Hauptnenner: ( )( + ) 0 ( )( + ) ( )( + ) 6 ( ) ( + ) = ( )( + ) ( )( + ) 0 ( )( + ) 6 ( ) = ( + ) 0( + ) 6 + = + 0( ) 6 + = = = = 60 = 0, = b ± b 4ac a + 9 = = 5 9 = = 4 L = { 4; 5} Aufgabe 84: = ± ( ) 4 ( 60) Bestimmen Sie Lösungsmenge der folgenden Gleichung. 4 4 = 8 4 = HN ± = 8 4 D = R\{0} Hauptnenner: = HN 4-46

35 6 = = 6 = 6 : = 8 = = L = { ; } 5-46

36 Matrizenrechnung Aufgabe 85: Multiplizieren Sie die Matri A mit dem Skalar A A* Aufgabe 86: Führen Sie folgende Matrizenaddition A+B durch. Überprüfen Sie bitte, ob die Addition überhaupt durchführbar ist. 0 A = ( 5) ; B = ( ) Eine Matrizenaddition ist auf jeden Fall durchführbar, wenn der Typ (Zeilen, Spalten) übereinstimmt. 0 A + B = ( 5)+( ) = ( 0 ) Aufgabe 87: Transponieren Sie die Matri A zu A T. 6 A = ( 8) 6 7 A = ( 6) Aufgabe 88: 6-46

37 Führen Sie folgende Matrizenaddition A+B durch. Überprüfen Sie bitte, ob die Additi on überhaupt durchführbar ist. 4 A = ( 4) ; B = ( ) 6 5 Eine Matrizenaddition ist auf jeden Fall durchführbar, wenn der Typ (Zeilen, Spalten) übereinstimmt A + B = ( 4) + ( ) = ( 6) Aufgabe 89: Führen Sie folgende Matrizenaddition A+B durch. Überprüfen Sie bitte, ob die Addition überhaupt durchführbar ist. A = ( ) ; B = ( 0 0 ) Die Addition A+B ist nicht erlaubt, da beiden nicht den gleichen Typ besitzen. A: Typ(,) B: Typ(,) 7-46

38 Aufgabe 90: Führen Sie folgende Matrizensubtraktion A-B durch. Überprüfen Sie bitte, ob die Subtraktion überhaupt durchführbar ist. 0 A = ( 5) ; B = ( ) Eine Matrizensubtraktion ist auf jeden Fall durchführbar, wenn der Typ (Zeilen, Spalten) übereinstimmt. 0 0 A B = ( 5) ( ) = ( 7) Aufgabe 9: Führen Sie folgende Matrizensubtraktion A-B durch. Überprüfen Sie bitte, ob die Subtraktion überhaupt durchführbar ist. 4 A = ( 4) ; B = ( ) 6 5 Eine Matrizensubtraktion ist auf jeden Fall durchführbar, wenn der Typ (Zeilen, Spalten) übereinstimmt. 4 0 A B = ( 4) ( ) = ( 4 ) Aufgabe 9: Führen Sie folgende Matrizenmultiplikation A B durch. Überprüfen Sie bitte, ob die Multiplikation überhaupt durchführbar ist. 5 0 A = ( 5 ) ; B = ( )

39 A B = ( 6 6) 8 4 Aufgabe 9: Führen Sie folgende Rechenoperation A mit Matrizen durch. Überprüfen Sie bitte, ob die Rechenoperation überhaupt durchführbar ist. 0 A = ( ) 4 0 A = ( ) A = A A = ( ) ( ) 4 4 Überprüfung der Bedingung: Kann nicht multipliziert werden. Aufgabe 94: Typ(,) Typ(,) Führen Sie folgende Rechenoperation A mit Matrizen durch. Überprüfen Sie bitte, ob die Rechenoperation überhaupt durchführbar ist. A = ( ) A = ( ) A = A A = ( ) ( ) 9-46

40 Überprüfung der Bedingung: Typ(,) Typ(,) Kann multipliziert werden Aufgabe 95: Führen Sie folgende Rechenoperationen (A B) C und A (B C) mit Matrizen durch. Überprüfen Sie bitte, ob die Rechenoperationen überhaupt durchführbar sind. A = ( 5 ) ; B = ( 6 ) ; C = ( ) Auch hier muss zuerst die Klammer berechnet werden. (A B) C = (( 5 ) ( )) ( 6 ) A (B C) = ( 5 ) (( 6 ) ( ))

41 Aufgabe 96: Es sind folgende Matrizen gegeben: A = ( ) ; B = (5 4 0 ) ; C = ( ) Berechnen Sie folgende Rechenoperationen: a) A B b) A C c) B C d) B A e) C A f) C B 4-46

42 Aufgabe 97: Es sind folgende Matrizen gegeben: A = ( ) ; B = ( 0 0 0) ; C = ( ) 0 0 Berechnen Sie folgende Rechenoperationen: 4-46

43 a) A B b) A C c) B C d) B A e) C A f) C B Geht nicht 4-46

44 Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben Aufgabe 98: Berechnen Sie die Matrizenprodukte AB, BA, A T A, AA T mit: Welche besondere Eigenschaft besitzen die Matrizen A T A und AA T? 44-46

45 5 7 A B 0 c Aufgabe 99: Gegeben seien die folgenden Matrizen: A B c d E F N Berechnen Sie die folgenden Summen bzw. Differenzen: a) A+F b) E A c) d+c d) B+A e) A+N f) F A g) A+E h) d c i) F+E j) A+B k) c d l) c B a) 4 0 b) c)

46 d) Addition nicht möglich e) 4 f) 0 5 g) 4 6 h) 7 i) 0 0 j) Addition nicht möglich k) 0 l) Sub. nicht mögl. Aufgabe 00: Bestimmen Sie alle -reihigen Matrizen vom Typ X = ( a b ), dessen Matrizenprodukt c d mit der Matri A = ( 0 ) sich kommutativ verhält (A X = X A) 46-46

47 47-46 MATHEMATIK

48 Anwendungen zu der Matrizenrechnung Aufgabe 0: Für die Produktion der Erzeugnisse E,E, E wird das Material M wie folgt benötigt: Erzeugnis Erzeugnis Erzeugnis Material 0 Es sollen im ersten Quartal folgende Mengen produziert werden: Erzeugnis Erzeugnis Erzeugnis Quartal Wie viel Material wird im ersten Quartal benötigt? A (, E ) A* B 0 B( E,) * 5 0 *8 *5 *6 6 Es werden also im ersten Quartal 6 Einheiten des Materials benötigt. Aufgabe 0: Für die Produktion der Erzeugnisse E, E, E werden die Materialien M, M, M, M4 wie folgt benötigt: Erzeugnis Erzeugnis Erzeugnis Material 0 Material Material 0 4 Material 4 Es sollen im ersten Quartal folgende Mengen produziert werden: Erzeugnis Erzeugnis Erzeugnis Quartal

49 Wie viel Material wird im ersten Quartal benötigt? 0 A(M,E) 0 T A * B 8 T B (E,) *8 *5 *6 6 8 *8 *5 *6 9 * *8 0 *5 4 * *8 *5 *6 69 Es werden somit im ersten Quartal folgende Einheiten der Materialien benötigt: 49-46

50 Aufgabe 0: Für die Produktion der Erzeugnisse E,E, E werden die Materialien M, M, M, M4 wie folgt benötigt: Erzeugnis Erzeugnis Erzeugnis Material 0 Material Material 0 4 Material 4 In den Quartalen des Jahres sollen folgende Mengen produziert werden: Erzeugnis Erzeugnis Erzeugnis Quartal Quartal Quartal 4 5 Quartal Wie viel Einheiten der 4 Materialien werden in den 4 Quartalen benötigt? A ( M, E ) A* B T * B T ( E, Q) Bei der Multiplikation zweier Matrizen wird jede Zeile der ersten Matri mir jeder Spalte der zweiten Matri multipliziert. Die Produkte werden addiert. Dabei geht man nach ff. Rechenschema vor:

51 0*8 *5 6 6 *8 *5 *6 9 *8 0*5 4*6 80 *8 *5 *6 69 usw. 0*0 *0 *0 80 *0 *0 *0 50 *0 0*0 4*0 00 *0 *0 *0 90 Es werden in den Quartal folgende Einheiten der Materialien benötigt: Aufgabe 04: Ein Unternehmen stellt aus den Rohstoffen R und R die Zwischenprodukte Z und Z und daraus die Endprodukte P, P und P her. Erstellen Sie folgende Matrizen. a) Die Rohstoff Zwischenprodukt-Matri b) Die Zwischenprodukt Endprodukt-Matri c) Die Rohstoff-Endprodukt-Matri d) Ein Kunde bestellt P, 45 P und 4 P. Zusätzlich benötigt er noch 98 Z und 4 Z. Wieviel Rohstoffe muss er bestellen um diesen Auftrag bearbeiten zu können? e) Wie groß sind seine gesamten Ausgaben für diese Rohstoffe, wenn er R für Euro und R für Euro einkaufen kann? 5-46

52 a) Rohstoff Zwischenprodukt-Matri: A R,Z = ( 6 4 ) b) Zwischenprodukt Endprodukt-Matri: B Z,E = ( 5 5 ) c) Rohstoff-Endprodukt-Matri: C R,E = A R,Z B Z,E = ( 6 4 ) (5 5 5 ) = ( 6 4 ) d) 5 C R,E D E,B = ( 6 4 ) ( 45) = ( ) = F R,B 4 A R,Z G Z,B = ( 6 4 ) ( 98 4 ) = ( ) = H R,B F R,B + H R,B = ( ) + ( ) = ( ) e) 5.6 = = Kosten = = Euro 5-46

53 Aufgabe 05: In einer Möbelfabrik werden aus Holz, Metall und Stoff Tische, Bänke und Stühle produziert, die einzeln bzw. als Sitzgruppen verkauft werden. Für einen Tisch werden Einheiten Holz und Einheiten Metall, für eine Bank 6 Einheiten Holz, Einheiten Metall und 5 Einheiten Stoff, für einen Stuhl Einheiten Holz, Einheit Metall und Einheiten Stoff benötigt. Eine Sitzgruppe A besteht aus einem Tisch und vier Stühlen, eine Sitzgruppe B aus einem Tisch, einer Bank und drei Stühlen. a) Geben Sie die Verflechtungsmatrizen für den Zusammenhang von Ausgangsmaterial und Einzelprodukten und für den Zusammenhang von Einzelprodukten und Sitzgruppen an und bestimmen Sie aus diesen durch Matrizenmultiplikation die Verflechtungsmatri für den Zusammenhang von Ausgangsmaterial und Sitzgruppen! b) Ein Kunde bestellt 40 Sitzgruppen A, 60 Sitzgruppen B und zusätzlich 0 Bänke. Ermitteln Sie unter Verwendung der Verflechtungsmatrizen aus a), welche Mengen der Ausgangsmaterialien benötigt werden! 5-46

54 Aufgabe 06: Es liegt ein zweistufiger Produktionsprozess vor, bei dem folgende Bedingungen vorliegen:. Stufe: Rohstoffe R, R, R, R4 >Halbfabrikate H, H, H. Stufe: Halbfabrikate H, H, H >Endprodukte E, E z. B. Für ME Endprodukt E wird benötigt: 4 ME H, ME H, 0 ME H Für ME Halbfabrikat H wird benötigt: ME R, 5 ME R, 0 ME R, 7 ME R4 Wie viel Rohstoffe sind nötig, um 000 ME E und 0000 ME E herzustellen? 54-46

55 Zur Herstellung von 000 ME E und 0000 ME E sind Rohstoffe in folgender Menge nötig: 0000 ME R, ME R, ME R, 9000 ME R

56 Aufgabe 07: Wie viel Rohstoffe R und R werden benötigt um 00 Endprodukte E und 50 Endprodukte E herzustellen? A R,Z B Z,E : A R,Z = ( ) 6 7 B Z,E = ( 5 4) C R,E = ( 8 ) D E,S = ( ) C R,E D E,S : 56-46

57 Man benötigt von R und von R. Aufgabe 08: In einem Unternehmen mit einem mehrstufigen Fertigungsablauf seien die festen Mengenbeziehungen zwischen Rohstoffen, Zwischen- und Endprodukten durch folgenden Graph gegeben: Es sollen 4 Mengeneinheiten (ME) von E und 7 ME von E produziert werden. Wie viel Rohstoffe sind nötig? A R,Z B Z,E : A R,Z = ( 4 ) B Z,E = ( ) 4 0 C R,E = ( ) D E,S = ( 4 7 ) C R,E D E,S : 57-46

58 Man benötigt 84 von R und 9 von R

59 Aufgabe 09: MATHEMATIK Zwei Produkte E und E werden mit Hilfe von 4 Baugruppen A, A, A und A4 hergestellt. Die Beziehungen werden durch den folgenden Graphen dargestellt: Ein Kunde bestellt 0 Stück von E und 40 Stück von E. Wie viele Baugruppen braucht er dazu? A B,E B E,S : A B,E = ( ) 0 8 B E,S = ( 0 40 ) Aufgabe 0: Zwei Produkte E und E werden mit Hilfe von 4 Baugruppen A, A, A und A4 hergestellt. Die Beziehungen werden durch den folgenden Graphen dargestellt: 59-46

60 Ein Kunde bestellt 0 Stück von E und 40 Stück von E. Wie viele Baugruppen braucht er dazu? A B,E B E,S : A B,E = ( ) 0 8 B E,S = ( 0 40 ) Man benötigt von A, 5.00 von A,.50 von A und von A

61 Aufgabe : MATHEMATIK Ein Betrieb fertigt zwei verschiedene Endprodukte P und P unter Verwendung von drei verschiedenen Rohstoffen R, R und R. Der folgende Graph gibt an, wie viele Mengeneinheiten (ME) Rohstoffe für die Produktion von jeweils ME Endprodukten benötigt werden. Die auf je ME bezogenen Rohstoffkosten in Euro werden durch den Vektor K = (5; 4; ) gegeben. Wie groß ist der Gesamtwert einer Bestellung von 6 ME P und ME P? T A R,P = ( 4); A P,R = ( 4 ); 5 B K,R = (5 4 T ); B R,K = ( 4) T A P,R B T R,K : C P,K = ( 85 0 ) T C K,P = (85 0) D P,M = ( 6 ) C T K,P D P,M : 6-46

62 Der Gesamtwert beträgt 70 Euro. Aufgabe : Ein Betrieb fertigt zwei verschiedene Endprodukte P und P unter Verwendung von drei verschiedenen Rohstoffen R, R und R. Der folgende Graph gibt an, wie viele Mengeneinheiten (ME) Rohstoffe für die Produktion von jeweils ME Endprodukten benötigt werden. Die auf je ME bezogenen Rohstoffkosten in Euro werden durch den Vektor K = (5; 4; ) gegeben. Wie groß ist der Gesamtwert einer Bestellung von 6 ME P und ME P? T A R,P = ( 4); A P,R = ( 4 ); 5 B K,R = (5 4 T ); B R,K = ( 4) T A P,R B T R,K :

63 C P,K = ( 85 0 ) T C K,P = (85 0) D P,M = ( 6 ) C T K,P D P,M : Der Gesamtwert beträgt 70 Euro. 6-46

64 Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben Aufgabe : Ein Betrieb fertigt zwei verschiedene Endprodukte P und P unter Verwendung von drei verschiedenen Rohstoffen R, R und R. Der folgende Graph gibt an, wie viele Mengeneinheiten (ME) Rohstoffe für die Produktion von jeweils ME Endprodukten benötigt werden. Die auf je ME bezogenen Rohstoffkosten in Euro werden durch den Vektor K = (5; 4; ) gegeben. Wie groß ist der Gesamtwert einer Bestellung von 6 ME P und ME P? T A R,P = ( 4); A P,R = ( 4 ); 5 B K,R = (5 4 T ); B R,K = ( 4) T A P,R B T R,K : C P,K = ( 85 0 ) T C K,P = (85 0) D P,M = ( 6 ) 64-46

65 C T K,P D P,M : Der Gesamtwert beträgt 70 Euro. Aufgabe 4: 65-46

66 Aufgabe 5: Gegeben ist ein Gozintograph mit vier Werkstoffen (A, B, C und D), drei Zwischenprodukten (E, F und G) sowie zwei Endprodukten (H und I). Die Zahlen unter den Buchstaben stellen den aktuellen Lagerbestand dar: Ermitteln Sie den Gesamtbedarf der Güterarten A, B, C und D. Rohstoff-Zwischenprodukt: A W,Z = ( ) B Z,E = ( ) A W,Z B Z,E = ( ) ( ) = ( ) = C W,E + ( ) = ( ) Güterart A: 66-46

67 6 + 0 = 6 Güterart B: + = 4 Güterart C: = 7 Güterart D: =

68 Inverse Matri Aufgabe 6: Berechnen sie die inverse Matri von: A Schritt : Erweiterung der Matri A um die passende Einheitsmatri: A E 0 0 Schritt : Zeilentransformationen ausgehend von (A E) hin zu (E A - ): 0 0 0,5Z Z 0 0 0,5 Z 0,5 0 Z ( ) Z 0 0,5 0, 5 0 0,5 0, 75 Ziel erreicht! 0 0,5 0, 5 Schritt : Herausziehen der Inversen A - aus (E A - ): 0,5 0, 75 A 0,5 0, 5 Schritt 4: Probe, ob A - * A (= A * A - ) = E Aufgabe 7: Berechnen Sie die inverse Matri von (ist hier zutreffend) 68-46

69 69-46 A 0 0 () mal 0,5 + () 0 0 () mal (- ) +() 0 0 () geteilt 0 0 () mal ( ) 0 0 Aufgabe 8: Bilden Sie von der Matri A die Inverse. 0 0 A 0 0 A Aufgabe 9: Berechnen Sie Inverse Matri zu A. A = ( )

70 Aufgabe 0: Berechnen Sie die inverse Matri. A = ( 4 ) A = ( 4 )

71 Aufgabe : Wie lautet die Inverse der Matri: A 4 6 A

72 Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben Aufgabe : Bestimmen Sie die Inverse zur folgenden Matri: A A 0,5 0,5 0,5 0,5 0, 5 0, 05 0, 05 0, 5 0,5 Aufgabe : Bestimmen Sie die inverse Matri A - zu A Verwenden Sie hierzu ein Verfahren Ihrer Wahl. 7-46

73 Determinanten Aufgabe 4: Berechnen Sie folgende Determinante. D = 4 D = = ( ) ( 4) = 6 = 6 4 Aufgabe 5: Berechnen Sie folgende Determinante. 8 4 D = D = = ( ) + ( 7) 4 ( ) ( 7) 4 = = Aufgabe 6: Berechnen Sie folgende Determinante. D = D = = ( ) 0 ( ) + 5 ( ) + ( ) 6 ( ) 0 ( ) 5 ( ) ( ) 6 = = Aufgabe 7: Berechnen Sie folgende Determinante. Erzeugen Sie hierfür an den grau markierten Stellen Nullen. Berechnen Sie folgende Determinante. 7-46

74 5 D = D = = ( ) ( ) = = 45 Aufgabe 8: Berechnen Sie folgende Determinante. Erzeugen Sie hierfür eine Zeile oder eine Spalte mit zwei Nullen. D = Geht nicht, da nicht quadratisch. Aufgabe 9: Berechnen Sie folgende Determinante. Erzeugen Sie hierfür eine Zeile oder eine Spalte mit zwei Nullen. 5 D = D = = ( 5) 4 5 ( 5) 4 = =

75 Aufgabe 0: MATHEMATIK Berechnen Sie folgende Determinante. Erzeugen Sie hierfür eine Zeile oder eine Spalte mit zwei Nullen. D = D = Aufgabe : 0 0 = = 0 0 Berechnen Sie folgende Determinante. Erzeugen Sie sich hierfür in einer beliebigen Zeile oder Spalte so viele Nullen wie möglich um Rechenarbeit zu sparen. 4 0 D = 4 0 D = In der vierten Spalte drei Nullen erzeugen. Dazu wird die dritte Zeile festgesetzt. Die dritte Zeile mal (-) und auf die erste Zeile addieren D = Die dritte Zeile mal () und auf die vierte Zeile addieren D = Unterdeterminanten bilden: Vierte Spalte festsetzen und jede einzelne Zeile streichen = Alle Unterdeterminanten mit dem Faktor Null werden Null und fallen weg

76 8 7 8 = = [( 8) ( ) 6 + ( 7) ( ) 4 + ( 8) ( ) ( 8) 8 ( ) ( 8) 6 4 ( 7)] = [ ] = 44 Aufgabe : Berechnen Sie folgende Determinante. Erzeugen Sie sich hierfür in einer beliebigen Zeile oder Spalte so viele Nullen wie möglich um Rechenarbeit zu sparen D = D = 7 5 In der ersten Spalte drei Nullen erzeugen. Dazu wird die zweite Zeile festgesetzt. Die zweite Zeile mal (-) und auf die erste Zeile addieren D = 7 5 Die zweite Zeile mal (-7) und auf die dritte Zeile addieren D = Die zweite Zeile mal () und auf die vierte Zeile addieren D = Unterdeterminanten bilden: Erste Spalte festsetzen und jede einzelne Zeile streichen. Unterdeterminanten mit dem Schnittpunktelement Null werden weggelassen. Siehe Aufgabe =

77 = ( )[0 ( ) ( 5) ( 4) ( ) ( 4) ( ) 0 ( ) ( 5) ] = ( )[ ] = 546 Aufgabe : MATHEMATIK Berechnen Sie folgende Determinante. Erzeugen Sie sich hierfür in einer beliebigen Zeile oder Spalte so viele Nullen wie möglich um Rechenarbeit zu sparen D = D = 5 4 In der zweiten Spalte drei Nullen erzeugen. Dazu wird die dritte Zeile festgesetzt. Die dritte Zeile mal () und auf die vierte Zeile addieren D = Die dritte Zeile mal (-6) und auf die zweite Zeile addieren D = Die dritte Zeile mal (-6) und auf die erste Zeile addieren D = Unterdeterminanten bilden: Zweite Spalte festsetzen und jede einzelne Zeile streichen. Unterdeterminanten mit dem Schnittpunktelement Null werden weggelassen. Siehe Aufgabe = [( 7) ( 0) ( ) + ( ) ( 8) 8 7 ( 0) ( 7) ( ) ( 8) ( ) = [ ] 77-46

78 = 0 Aufgabe 4: Berechnen Sie die folgenden Determinanten mit Hilfe von Sarrus. 8k+ Aufgabe 5: 78-46

79 Aufgabe 6: Vereinfachen Sie durch Addition eines Vielfachen einer Zeile oder Spalte so dass, möglichst eine oder zwei Nullen entstehen und berechnen dann: 79-46

80 Aufgabe 7: Erzeugen Sie an den markierten Stellen zwei Nullen durch Addition der Vielfachen zweier Zeilen oder Spalten und berechnen dann: 80-46

81 8-46 MATHEMATIK

82 Aufgabe 8: Vereinfachen Sie zuerst durch Ausklammern von Faktoren, erzeugen Sie dann zwei Nullen und berechnen den Wert der Determinante. 8-46

83 Aufgabe 9: Für welche Werte von k hat die Determinante den Wert 0? Aufgabe 40: Erzeugen Sie zuerst Nullen und berechnen dann durch Entwickeln: 8-46

84 84-46

85 85-46 Aufgabe 4: Berechnen Sie die Determinante der Matri 7 5 B 7 5 B () + (4) und an die (4) Spalte schreiben Zeile () mal (-)+(4) an die (4) Zeile schreiben nach Element a4 entwickeln 44) ( ) ( Aufgabe 4: Rechnen Sie die folgenden Aufgaben nach eigener Vorstellung.

86 Aufgabe 4: Berechnen Sie folgende Determinante nach dem Entwicklungssatz von Laplace

87 A = Aufgabe 44: Berechnen Sie folgende Determinante nach dem Entwicklungssatz von Laplace det(a) =

88 Aufgabe 45: Berechnen Sie folgende Determinante nach dem Entwicklungssatz von Laplace det(a) = 0 Aufgabe 46: Berechnen Sie folgende Determinante nach dem Entwicklungssatz von Laplace det(a) = Aufgabe 47: Berechnen Sie folgende Determinante: 88-46

89 89-46

90 Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben Aufgabe 48: Berechnen Sie folgende Determinante. Aufgabe 49: Für welche R ist die folgende Determinante Null? Aufgabe 50: 90-46

91 Berechnen Sie die Determinante der folgenden Matri. 7 0 ( ) Zweite Zeile festsetzen. Zweite Zeile mal (-) und auf die vierte Zeile addieren Dritte Spalte festsetzen und nach Laplace entwickeln. 7 = 0 5 Aufgabe 5: Berechnen Sie folgende Determinante. 7 = ( ) =

92 Lineare Gleichungssysteme Aufgabe 5: Berechnen Sie den Schnittpunkt der beiden Gleichungen nach dem Einsetzungsverfahren. 0-7y+4=0 und 6-5y=-. Schritt: Auslösen der beiden Gleichungen nach y: 0-7y+4= y= y= y=- -6-7y=-0-4 :(-7) -5y=-6- :(-5) y= Gleichsetzen von I und II und Auflösen der Gleichung nach : = = =- : =- 4. Einsetzen von in I y= (- )+ =- + =- = Angabe der Lösungsmenge L = { 4 ; } Aufgabe 5: Berechnen Sie die Schnittpunkte der beiden Gleichungen mit dem Gleichsetzungsverfahren. a) y=+ und y=

93 b) y=+8 und y=0,5+ c) 4+y=8 und 7-y= d) 8-4y=- und 4-y=8,5 a) y=+ und y=5+4 += =5-8= : =4 4+=+=4 L={4; 4} b) y=+8 und y=0,5+ +8=0, =0,5-6=-,5 :(-,5) ( 5 =- /5 L = { 5 ; 4 5 } c) = )+8= y=8 und 7-y= 4+y=8-4 y=-4+8 : y=-+9 7-y= -7 -y=-7+ (-) y=7- -+9= =7 =9 :

94 = =-4 +9= L = { 9 ; 7 9 } d) 8-4y=- und 4-y=8,5 8-4y=- -8-4y=-8- :(-4) y=+ ¾ 4-y=8,5-4 -y=-4+8,5 :(-) + ¾ =7- y=7-4,5 = ¾ -7-5=-5 :(-5) = + ¾ = ¾ L = {; 4 } Aufgabe 54: Berechne den Schnittpunkt der beiden Gleichungen nach dem Additionsverfahren. 6y=9-8 und 6-4y=. Schritt: Rechnung: 6y=9-8 :6 y= ½ - ½ 6-4y= -6-4y=-6+ :(-4) y=- ½ -. Gleichsetzen von I und II ½ - ½ = ½ - + ½ 94-46

95 ½ = ½ +0 ½ - ½ 0 ½=0. Angabe der Lösungsmenge L={} Aufgabe 55: MATHEMATIK Lösen Sie folgendes Lineare Gleichungssystem mit Hilfe des Additionsverfahrens 5 + y = 50 4 y = Beide Gleichungen addieren. In die erste Gleichung einsetzen. Aufgabe 56: 5 + y = 50 4 y = 9 = 6 : 9 = y = 50 5 y = 50 5 = = 5 : 5 y = L = {(7; 5)} Lösen Sie folgendes Lineare Gleichungssystem mit Hilfe des Einsetzungsve rfahren.,5 y = y = 4 Erste Gleichung nach y auflösen. In die zweite Gleichung einsetzen.,5 y = y = 4,5 y = 8,5 y = 8,5 ( ) y =, y = (,5 8 ) = ,5 84 =

96 ,5 = 5 :,5 = 0 Das Ergebnis in eine der Ausgangsgleichungen einsetzen: y =,5 8 =,5 0 8 = y = Aufgabe 57: L = {(0; )} Lösen Sie folgendes Lineare Gleichungssystem mit Hilfe des Gleichsetzungsverfahren. + 7y = y = 5 Beide Gleichungen nach auflösen. + 7y = y = 5 + 7y = 40 7y = 40 7y : = 40 7 y Gleichsetzen der beiden Gleichungen. + 6y = 5 6y = 5 6y 40 7 y = 5 6y + 6y 40 + y = 5 40 y = 55 : y = 5 Das Ergebnis in eine der Ausgangsgleichungen einsetzen: = 5 6y = 5 6 ( 5) =

97 L = {(5; 5)} 97-46

98 Aufgabe 58: Bestimme die Lösungsmenge des LGS mit Hilfe des Gauß'schen Algorithmus. I -y+z=-4 II -y+5z=7 III -5y+4,5z=-6,5 I -y+z=-4 II -y+5z=7 5 III -5y+4,5z=-6,5 I -y+z=-4 II -y+5z=7 III 6z=48 6z=48 :6 z= III in II : -y+5 =7-5 -y=-8 :(-) y=4 y=4 und z= in I - 4+ =-4 -+6=-4 +6 = Angabe der Lösungsmenge L={; 4; } Aufgabe 59: Bestimme die Lösungsmenge des LGS mit Hilfe des Gauß'schen Algorithmus. I -y+4z= II -y+z=5 III 6-4y+z=6 I -y+4z= (-) 98-46

99 II -y+z=5 (-) III 6-4y+z=6 I -y+4z= II 5y+z=- III -y-5z= I -y+4z= II 5y+z=- III -z=-46 -z=-46 :(-) z= III in II : 5y+=- - 5y=-5 :5 y=- y=- und z= in I -(-)+4 = -9 = : = Angabe der Lösungsmenge L={; -; } Aufgabe 60: Bestimme die Lösungsmenge des LGS mit Hilfe des Gauß'schen Algorithmus. I -y+z=4 II -y+4z = III -4y+5z=5 I -y+z=4 (-) II -y+4z = III -4y+5z=5 (-) I y+z=0 II -y+4z= + III -4y+5z=5 (-) 99-46

100 I y+z=0 II -y+4z= III y-z=- (-) III in I: y+=0 - y=- : y=- y=- und z= in II -(-)+4 = -9 = : = Angabe der Lösungsmenge L={; -; } Aufgabe 6: Lösen Sie folgendes Lineare Gleichungssystem mit einem Verfahren Ihrer Wahl. + y + 5z = y + z = 7 + y + 5z = + y + 5z = y + z = 7 + y + 5z = Die erste Gleichung mal (-) und auf die Zweite Gleichung addieren. + y + 5z = 8 y 9z = 9 + y + 5z = Die erste Gleichung und die zweite Gleichung addieren. + y + 5z = 8 y 9z = 9 + 4y + 0z = 0 Die zweite Gleichung mal (4) und die dritte Gleichung mal () + y + 5z = 8 y 9z = 9 6z = 6 Aus der dritten Gleichung ergibt sich: 00-46

101 6z = 6 z = Aus der zweiten Gleichung ergibt sich: y 9z = 9 y = 9 + 9z = = 0 y = 0 Aus der ersten Gleichung ergibt sich: + y + 5z = 8 = 8 y 5z = = = Aufgabe 6: L = {(; 0; )} Lösen Sie folgendes Lineare Gleichungssystem mit einem Verfahren Ihrer Wahl. 6y z = + 6y + 4z = 6 + 4y 8z = 6y z = + 6y + 4z = 6 + 4y 8z = Erste Gleichung mal (), die zweite Gleichung mal () und addieren. 6y z = 6y + z = y 8z = Erste Gleichung mal () und zur dritten Gleichung addieren. 6y z = 6y + z = 4 4y 4z = Die Zweite Gleichung mal (-4), die zweite Gleichung mal (6) und addieren. Aus der dritten Gleichung folgt: 6y z = 6y + z = 4 57z = 40 57z = 40 :

102 z =,5 Aus der zweiten Gleichung folgt: 6y + z = 4 z 6y = 4 z = 4,5 = 6 : 6 y = Aus der ersten Gleichung folgt: 6y z = = + 6y + z = + 6 ( ) +,5 = : ( ) = 6 L = {(6; ;,5)} 0-46

103 Aufgabe 6: Bestimmen Sie die Lösung dieser Gleichungssysteme mit Hilfe der Cramer'schen Regel. a) I: 4 - y + z = 5 II: - + y + 4z = 5 III: 5 - y + z = 6 b) I: - y + z = 0 II: + y - z = -6 III: - y - 4z = -5 c) I: + y + z = II: 7 + y - 7z = 9 III: 4 + y + z = d) I: y - z = 7 II: - y + z = - III: + y = - e) I: + 7y - z = II: 7 - y + 4z = -9 III: - y + z = -5 f) I: - 4y - 6z = 4 II: - - y + z = -6 III: 7 + 0y + 6z = 0 Lösungen: a) ( / - / 5) b) (0,7 / -, /,) c) unendlich viele Lösungen d)(-8 / / ) e) L = { } f) (6 / - / -) Aufgabe 64: Lösen Sie folgendes Lineare Gleichungssystem mit einem Verfahren Ihrer Wahl. + y + z = 4 + z = 6 y + 4z = 0-46

104 + y + z = 4 + z = 6 y + 4z = Erste Gleichung mal () und auf die zweite Gleichung addieren. + y + z = + 6y + 4z = y + 4z = Erste Gleichung mal (), die zweite Gleichung mal () und addieren. Die Zweite Gleichung mal (-7), die dritte mal (6) und addieren. Aus der dritten Gleichung folgt: + y + z = + 6y + 4z = + 8z = 5 8z = 5 : 8 z = 4 Aus der zweiten Gleichung folgt: 6y + 4z = 4z 6y = 4z = 4 4 = 6 y = Aus der ersten Gleichung folgt: + y + z = = y z = 4 = 4 = Aufgabe 65: L = {(; ; 4)} Lösen Sie folgendes Lineare Gleichungssystem mit einem Verfahren Ihrer Wahl. + y + z = 4 4y + z = 6 y +,5z = + y + z = 4 4y + z = 6 y +,5z = 04-46

105 Die erste Gleichung mal () und auf die zweite Gleichung addieren. + y + z = + y + 4z = y +,5z = Die erste Gleichung mal(), die dritte mal () und addieren. + y + z = + y + 4z = + 5y + 0z = 5 Die Zweite mal (-5), die dritte mal () und addieren. + y + z = + y + 4z = 0 = 8 MATHEMATIK In der letzten Zeile entsteht ein Wiederspruch, damit hat das LGS keine Lösung

106 Aufgabe 66: Lösen Sie folgendes Lineare Gleichungssystem mit einem Verfahren Ihrer Wahl. + y + z = 4 + z = 4 + y +,5z = 0,5 + y + z = 4 + z = 4 + y +,5z = 0,5 Die erste Gleichung mal () und auf die zweite addieren. + y + z = + 6y + 4z = 0 + y +,5z = 0,5 Die erste Gleichung mal (), die dritte mal () und addieren. + y + z = + 6y + 4z = 0 + 5y + 0z = 50 Die zweite Gleichung mal (-5), die dritte Gleichung mal (6) und addieren. + y + z = + 6y + 4z = 0 + = Eine Gleichung fällt weg, daher erhält man eine Parameterlösung. Wähle z = t Aus der zweiten Gleichung folgt: 6y + 4z = 0 4z 6y = 0 4z = 0 4 t : 6 y = 0 t Aus der ersten Gleichung folgt. + y + z = = y z = ( 0 t) t = 0 + t t = t 7 : ( ) = 7 t 06-46

107 Aufgabe 67: L = {( 7 t; 0 t; t)} Lösen Sie lineare Gleichungssysteme mit Hilfe des Gauß schen Algorithmus. a) 07-46

108 b) c) 08-46

109 d) 09-46

110 0-46

111 Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben MATHEMATIK Aufgabe 68: Lösen Sie das folgende Lineare Gleichungssystem mit Hilde der Cramer schen Regel Aufgabe 69: Lösen Sie folgendes Lineare Gleichungssystem mit einem Verfahren Ihrer Wahl y + 5z = 0 + y z = + y + 5z = y + 5z = 0 + y z = + y + 5z = 9 Die erste und die zweite Gleichung vertauschen. + y z = 5 + 5y + 5z = 0 + y + 5z = 9 Die erste Gleichung mal (5) und auf die zweite addieren. -46

112 + y z = + 0y = 0 + y + 5z = 9 Die erste Gleichung mal () und auf die dritte addieren. + y z = + 0y = 0 + y + z = 5 Die zweite Gleichung mal (), die dritte Gleichung mal (-0) und addieren. + y z = + 0y = 0 0z = 90 Aus der dritten Gleichung ergibt sich: 0z = 90 : ( 0) z = Aus der zweiten Gleichung ergibt sich: 0y = 0 : 0 y = Aus der ersten Gleichung ergibt sich: + y z = = y z + = + = = Aufgabe 70: L = {(; ; )} Lösen Sie folgendes Lineare Gleichungssystem mit einem Verfahren Ihrer Wahl. + y + z = y + 4z = + z = 8 + y + z = y + 4z = + z = 8 Die erste Gleichung mal (), die zweite Gleichung mal () und addieren. -46

113 + y + z = + 7y + z = 5 + z = 8 Die erste Gleichung und die dritte Gleichung addieren. + y + z = + 7y + z = 5 + y + z = MATHEMATIK Die zweite Gleichung mal (), die dritte Gleichung mal (-7) und addieren. + y + z = + 7y + z = 5 + 9z = 76 Aus der dritten Gleichung ergibt sich: 9z = 76 : 9 z = 4 Aus der zweiten Gleichung ergibt sich: 7y + z = 5 z 7y = 5 z = 5 4 7y = 7 : 7 y = Aus der ersten Gleichung ergibt sich: Aufgabe 7: + y + z = = y z = 4 = 4 : ( ) = L = {(; ; 4)} Lösen Sie folgendes Lineare Gleichungssystem mit einem Verfahren Ihrer Wahl. y + z = + 0y z = 5 + y + z = y + z = + 0y z = 5 + y + z = Die erste Gleichung und die zweite Gleichung tauschen. -46

114 + 0y z = 5 y + z = + y + z = Die erste Gleichung mal (-) und auf die zweite Gleichung addieren. + 0y z = 5 y + 8z = 8 + y + z = Die erste Gleichung und die zweite Gleichung addieren. + 0y z = 5 y + 8z = 8 + y z = Die zweite Gleichung mal (), die dritte Gleichung mal () und addieren. + 0y z = 5 y + 8z = z = 46 Aus der dritten Gleichung ergibt sich: 46z = 46 : 46 z = Aus der zweiten Gleichung ergibt sich: y + 8z = 8 8z y = 8 8z = 8 8 ( ) = 0 y = 0 Aus der ersten Gleichung ergibt sich: + 0y z = 5 = 5 0y + z = ( ) = = L = {(; 0; )} 4-46

115 Lineare Optimierung Aufgabe 7: Gegeben sei das LOP Z: Ma z= NB: 6 4 NNB:, Aufgabe 7: Gegeben ist das LOP Z: Min z=+4 NB: 4 6 NNB:, Aufgabe 74: Gegeben ist folgendes LOP Z: Ma z=+ NB: NNB:, Aufgabe 75: Z: Min z=+ NB: NNB:,

116 Aufgabe 76: Gegeben ist folgendes LOP Z: Ma z=+ NB: NNB:, Aufgabe 77: Gegeben ist folgendes LOP Z: Min z=+ NB: NNB:, Aufgabe 78: Gegeben ist folgendes LOP Z: Ma z=8+4 NB: Aufgabe 79: Gegeben ist folgendes LOP Z: Ma z=+ NB:

117 Aufgabe 80: Gegeben sie folgendes LOP Z: Ma z=4+ NB: 6 NNB:, 0 Aufgabe 8: Gegeben sie folgendes LOP Z: Ma z=4+ NB: 6 NNB:, 0 Aufgabe 8: Gegeben sie folgendes LOP Z: Ma z=-+ NB: 4 NNB:,

118 Aufgabe 8: Lösen Sie folgendes LOP. Aufgabe 84: 8-46

119 Ein Gärtner möchte einen 00 qm großen Garten mit Rosen und/oder Nelken bepflanzen. Er möchte ma. 70 Euro an Arbeits- und Materialkosten investieren und höchstens 60qm für Nelken reservieren. Folgende Tabelle enthält weitere Daten des Problems. Rosen Nelken Arbeits- und Materialkosten (in Euro/qm) 6 9 Gewinn Wie viele qm sollen mit jeder Sorte bepflanzt werden, damit ein maimaler Gewinn erzielt wird? : mit Rosen zu bepflanzende Fläche : mit Nelken zu bepflanzende Fläche Damit erhalten wir folgendes Modell Ma , 00 0 Z=+ 70 Zielfunktion umgeformt X Z Z P(0,60) Z=50 Aufgabe 85: Eine Jugendgruppe beschließt, Zelte einzukaufen. In einem Sonderangebot werden zwei verschiedene Sorten von Zelten für jeweils 0 und 5 Personen preiswert angeboten. Von den 0-Personenzelten sind noch 5 und von den 5-Personenzelten nur noch 4 vorrätig. Die Zelte für 0 Personen kosten 00 Euro je Stück und diejenigen für 5 Personen insgesamt 400 Euro je Stück. Die Jugendgruppe kann insgesamt höchstens 800 Euro für die Zelte ausgeben. Wie viele 0- und 5-Personenzelte kann die Jugendgruppe kaufen, damit eine möglichst große Anzahl von Jugendlichen in den Zelten untergebracht werden kann? 9-46

120 Diese Aufgabenstellung ist in zwei Teile unterteilt: Zunächst erfahren wir Bedingungen, die die Lösung beeinflussen, danach wird das Ziel bestimmt. Um die Lösung übersichtlicher zu gestalten ordnen wir zunächst den beiden Zelten Variablen zu, nämlich = 0-Personenzelte y = 5-Personenzelte Der nächste Schritt besteht in dem Umformen der Bedingungen in mathematische Formeln. Dadurch erhalten wir folgende Ungleichungen: >= 0 y >= 0 (da von beiden Zelten ja eine Anzahl größer null oder auch gar keines gekauft wird) <= 5 y <= 4 (da höchstens 5 bzw. 4 Zelte gekauft werden können) Außerdem wissen wir, dass der Jugendgruppe nur 800 Euro zur Verfügung stehen und dass die Zelte 00 Euro bzw. 400 Euro kosten. Daraus ergibt sich folgende Ungleichung: y<=800 Diese Bedingung formen wir zur besseren Handhabung in +y<=9 um. Um diese Voraussetzungen in ein Koordinatensystem einzufügen, werden sie zunächst in Gleichungen umgewandelt: =0 y=0 =5 y=4 +y=9 Graphische Lösung In einem Koordinatensystem sieht das dann folgendermaßen aus: Dadurch erhalten wir die hier gelb gefärbte, denn nur die Punkte dieses Bereiches erfüllen die Bedingungen. Von diesen zulässigen Lösungen muss nun das Wertepaar (/y) bestimmt werden, mit dem die Jugendgruppe die meisten Personen unterbringen kann. Dafür stellen wir zunächst die sog. Zielfunktion auf: 0-46

121 0*+5*y=Z (wobei Z die Menge der Personen ist) MATHEMATIK Durch Umstellen dieser Zielfunktion mit drei Variablen erhalten wir die Formel Z 0 y Z 5 Wählen von Z=60 die wir in das Koordinatensystem einfügen. Jetzt geben wir beliebige Werte für Z ein, bis eine Funktion nur noch einen Punkt mit der Menge der zulässigen Lösungen gemeinsam hat. Dieser Punkt kennzeichnet das Wertepaar, mit dem die meisten Personen untergebracht werden können (siehe roter Kreis). Das hier abzulesende Ergebnis P(5,) (5 Zehnpersonenzelte und Fünfzeh npersonenzelte) lässt sich auch rechnerisch überprüfen, indem man die Probe macht: 5*00 Euro+*400 Euro=800 Euro Aufgabe 86: Eine kleine Motoradfabrik baut und verkauft die beiden Typen Mofa und Lofa. Während die Produktionskosten für ein Mofa Euro betragen, belaufen sie sich bei der Lofa nur auf.000 Euro pro Stück. Insgesamt können pro Tag nicht mehr als Euro für die Produktion ausgegeben werden. Für die Fertigung der Mofas rechnet die Arbeitsvorbereitung mit einer Arbeitszeit von 0 Stunden, für die der Lofas setzt sie hingegen 60 Stunden an. Pro Tag stehen maimal 480 Arbeitsstunden zur Verfügung. Vom Mofa sollen pro Tag maimal Stück gefertigt werden. Marktanalysen zeigen, dass pro Tag mindestens 4 Lofas abgesetzt werden müssen und unbegrenzt Mofas abgesetzt werden können. Der Verkaufspreis der Lofas liegt bei Euro, der der Mofas bei Euro pro Stück. Wie viel Mofas und Lofas sollen täglich produziert werden, um das Umsatzmaimum zu erreichen? Wie groß ist dieser maimale Umsatz? -46

122 Aufgabe 87: Eine Tischlerei erhält einen Auftrag, für den unterschiedliche Holzplatten mit der folgenden Stückzahl zu verwenden sind: 0 Platten der Größe A, Platten der Größe B, 8 Platten der Größe C, 4 Platten der Größe D. Die Tischlerei bezieht dazu aus einem Sägewerk zwei Holzplattentypen I und II, die auf vorgegebene Weise (Abbildung ) zu zerschneiden sind. Abbildung : Zerlegung der Holzplattentypen. Der Preis einer Platte des Typs I beträgt 00 Euro und der einer Platte des Typs II 00 Euro. Aus Lager- und Verkaufsgründen sollten nicht mehr als 6 Platten der Größe D und nicht mehr als 5 Platten der Größe E gelagert werden. Es ist zu ermitteln, wie viel Platten I und II gekauft werden müssen, damit der Auftrag ausgeführt werden kann und der Gesamteinkaufspreis der Platten so gering wie möglich ausfällt. Das gegebene Problem ist dergestalt, dass wir es graphisch in der Ebene lösen können. Dazu werden zuerst kalkülmäßig die Zielfunktion und die Nebenbedingungen formuliert. Die Nebenbedingungen sind Ungleichungen. Die graphische Veranschaulichung der Nebenbedingungen ergibt Schnitte von Halbebenen, deren Ergebnis im vorliegenden Fall ein begrenztes Gebiet ist, der so genannte zulässige Bereich (Abbildung ). Der zulässige Bereich enthält alle Punkte der Ebene, deren Koordinaten die Nebenbedingungen erfüllen. Als Repräsentation der Zielfunktion wird eine -46

123 Optimierungsgerade eingeführt. Diese wird so lange parallel in Optimierungsrichtung verschoben (der Absolutwert der verschobenen Gerade muss kleiner werden, weil die Zielfunktion minimiert werden soll), bis die Optimierungsgerade eben noch den zulässigen Bereich tangiert. Dieser "letzte" Berührungspunkt der Optimierungsgerade mit dem zulässigen Bereich ist der optimale Punkt, seine Koordinaten sind die gesuchten Werte und y. Lineare Funktionen besitzen die Eigenschaft der Konveität. Daher können wir den Sachverhalt nutzen, dass der "letzte" gemeinsame Punkt der Optimierungsgerade mit dem zulässigen Bereich ein Eckpunkt ist. Es reicht demzufolge aus, die Gerade in alle Eckpunkte parallel zu verschieben und dabei den Absolutwert der Gerade, die Ordinate des Schnittpunktes mit der Ordinatenachse, zu betrachten (Abbildung ). Es bezeichne die Anzahl der einzukaufenden Platten des Typs I, es bezeichne y die Anzahl der einzukaufenden Platten des Typs II. Modellieren wir die im Aufgabentet angegebenen Aussagen in Formeln, entsteht das folgende Optimierungsproblem. Die zugehörige Zielfunktion lautet: G = y = Min! () Als Nebenbedingungen ergeben sich die Ungleichungen (A) + y 0 (B) + y (C) + y 8 (D) y 4 (D') y 6 (E) 5 (N), y 0,, y ganzzahlig Zur besseren graphischen Darstellbarkeit wird () und () umgeformt, es entsteht als Zielfunktion y = - /+G* Als Nebenbedingungen entstehen die Ungleichungen für ganze und y (A) y (B) y -0,5+ 6 (C) y (D) y (D') y 8 (E) (N), y

124 Durch den Eintrag in ein Koordinatensystem in der Ebene gelangen wir nun zum zulässigen Bereich durch den Schnitt der Halbebenen, die in (4) definiert sind (Abbildung ). Abbildung : Ermittlung des zulässigen Bereichs. Als Eckpunkte des zulässigen Bereiches ergeben sich die Koordinatentupel P =(5, 8), P=(5,.5), P=(, 8), P4=(, 6) und P5=(4, 4). Da an eine Lösung des Optimierungsproblems die Forderung der Ganzzahligkeit gestellt wird, werden die Eckpunkte mit nichtganzzahligen Koordinaten (im Beispiel P ) nicht weiter berücksichtigt. Zeichnen wir im Koordinatensystem eine Schar von Parallelen, die verschiedenen G * entsprechen, so dass jeweils die (ganzzahligen!) Eckpunkte des zulässigen Bereichs auf den Geraden liegen (Abbildung ), ergeben sich die Absolutwerte der Geraden mit G * = 5.5; G * = 9.5; G4 * = 9 und G5 * = 0. Betrachten wir aufgrund der Minimierung von G * die Optimierungsrichtung in Richtung der negativen y-achse, erkennen wir, dass G * den Minimalwert annimmt und gerade noch den zulässigen Bereich in dem Eckpunkt (, y) = (, 6) tangiert, wenn G * = G4 * = 9 gilt. 4-46

125 Abbildung : Suchen der Optimalstelle durch Minimierung. Also besitzt das lineare Optimierungsproblem folgende Es sind genau Platten des Typs I und 6 Platten des Typs II einzukaufen, der Einkaufswert beträgt G = 800 DM. Graphische Lösungen bieten sich bei zweidimensionalen Problemen aber auch an, wenn nur die Nebenbedingungen linear sind und die Zielfunktion beispielsweise quadratisch auftritt. Nicht unerwähnt bleiben soll das graphische Lösen dreidimensionaler linearer Optimierungsprobleme. Einfache räumliche Aufgaben unterstreichen die Kompleität der mathematischen Optimierung, schulen das Vorstellungsvermögen und sind in komplizierterer Form ein hervorragender Einstieg in vieldimensionale Problematiken, hinarbeitend auf die Simplemethode. 5-46

126 Aufgabe 88: Ein Viehzuchtbetrieb füttert Rinder mit zwei tiermehlfreien Futtersorten A und B (z.b. Rüben und Heu). Die Tagesrationen eines Rindes müssen die Nährstoffe, und im Umfang von mindestens 6, bzw. 4 g enthalten. Die Nährstoffgehalte in g pro kg und Preise in GE pro kg der beiden Sorten zeigt die folgende Tabelle: Sorte A Sorte B Tagesbedarf Nährstoff 6 Nährstoff 4 Nährstoff Preis in GE/kg 5 7 Wie viele kg von Sorte A bzw. B muss jede Tagesration enthalten, wenn sie unter Einhaltung der Nährstoffbedingungen die Kosten minimal sein sollten. Mit den Variablen : kg von Sorte A pro Tagesration : kg von Sorte B pro Tagesration lautet das Optimierungsproblem Min Z=5 +7 unter den Nebenbedingungen 4 4 4, 6 0 Umformung der Zielfunktion Z 5 7 Z Z 5 7 P(,), Z=4 GE Aufgabe 89: Ein Hersteller produziert zwei Sortimente eines Artikels, der aus Teilen besteht, die geschnitten, zusammengebaut und fertig gestellt werden müssen. 6-46

127 Der Unternehmer weiß, dass er so viele Artikel verkaufen kann, wie er produziert. Sortiment benötigt 5 Minuten zum Zerschneiden, 60 Minuten zum Zusammenbau und 68 Minuten, um es verkaufsfertig zu machen. Es erzielt 0 Euro Gewinn. Für Sortiment braucht man 75 Minuten zum Schneiden, 60 Minuten für den Zusammenbau und 4 Minuten, zur Fertigstellung. Dieses Sortiment erzielt einen Gewinn von 40 Euro. Es stehen nicht mehr als 450 Minuten zum, Zerschneiden, 480 Minuten zum Zusammenbau und 476 Minuten zum Fertigstellen pro Tag zur Verfügung. Nun stellt sich dem Unternehmer die Frage, wie viele Artikel von jedem Sortiment jeden Tag produziert werden müssen, um den Gewinn zu maimieren. Als erstes müssen wir wieder die Angaben in Ungleichungen umändern und Variablen verteilen. Es seien die Anzahl der Artikel aus Sortiment und y die Anzahl der Artikel aus Sortiment zwei. Die Werte für und y können nicht negativ sein, sondern nur Beträge größer oder gleich null annehmen: >= 0 y >= 0 Die Zuschneide-, Zusammenbau- und Fertigstellungszeiten führen zu folgenden Ungleichungen: 5+75y <= y <= y <= 476 Graphische +y<=8 +y<=8 +y<=4 In einer Grafik repräsentieren diese drei Ungleichungen die Flächen unterhalb den vorgegebenen Linien, während die ersten beiden Ungleichungen genau auf den Achsen liegen, und damit die Fläche abgrenzen: Das Problem besteht nun darin, Werte für und y zu finden, die alle Randbedingungen erfüllen und den Gewinn maimieren. Um dies zu erreichen müssen wir zunächst wieder die Zielfunktion aufstellen: 0*+40*y = Z Nun wird diese Funktion in eine Form umgeschrieben, die in ein Koordinatensystem eingetragen werden kann. y Man wählt z=0 Z Z

128 Jetzt gibt man wieder beliebige Werte für Z ein, bis eine der entstehenden Funktionen den möglichen Bereich nur noch in einem Punkt schneidet. Dieser Punkt kennzeichnet das Wertepaar, mit dem eine optimale Anzahl an Sortimenten hergestellt wird. Dieses Ergebnis ( / 5) lässt sich wieder mit der Probe überprüfen: *0 Euro+5*40 Euro=90 Euro. Der Unternehmer sollte also drei Artikel aus Sortiment und fünf Artikel aus Sortiment herstellen, um die Arbeitszeit optimal auszunutzen und den Gewinn dabei zu maimieren. 8-46

129 Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben Aufgabe 90: MATHEMATIK Ein Unternehmen gewinnt aus drei Rohstoffen (R, R, R) zwei Mineralien (M,M). Eine Tonne M wird aus 6 Tonnen R, 4 Tonnen R und 4 Tonnen R hergestellt; eine Tonne M ergibt sich aus Tonnen R, 4 Tonnen R und Tonnen R. Pro Woche stehen maimal 60 Tonnen R, 44 Tonnen R und 84 Tonnen R zur Verfügung. Eine Tonne M bzw. M wirft einen Gewinn von 00 bzw. 00 ab. a) Lösen Sie dieses Problem grafisch. (6,5) b) Was würde sich für das Optimum ergeben, wenn zusätzlich zu den obigen Voraussetzungen verlangt würde, dass von M mindestens 8 Tonnen erzeugt werden müssten? Das entsprechende lineare Optimierungsproblem lautet in Grundform: Ma Z = Z Z <60 4+4<44 4+<84,>=0 Grafische Lösung für a) 9-46

130 Der Grafik entnimmt man, dass der Optimalpunkt in dieser Aufgabe eindeutig der Schnittpunkt der zweiten und der dritten Nebenbedingungsgeraden ist. Diesen bestimmt man als Lösung des linearen Gleichungssystems: Hieraus ergibt sich die optimale Lösung * = ( *, *) = (6,5). D.h. es ist unter den beschriebenen Bedingungen gewinnmaimal 6 Tonnen des Minerals und 5 Tonnen des Minerals herzustellen. Der maimalegewinnbeträgt G* = 00[ /to] 6[to] + 00[ /to] 5[to] = 700,-. Die Rohstoffe R und R werden bei dieser Produktion vollständig verbraucht. (geometrisch: das Optimum ist der Schnittpunkt von NB und NB), während von Rohstoff noch Restkapazität verbleibt. Lösung für b) Die Nebenbedingungen widersprechen sich. Dies führt dazu, dass der zulässige Bereich leer ist. Aufgabe 9: Bestimmen Sie für folgendes LOP-Problem die minimale Lösung. Verwenden Sie hierzu die grafische Lösung. Zeichnen Sie dort die gefundene Lösung ein. Die -Werte und die -Werte brauchen Sie für die minimale Lösung nicht zu bestimmen. Z: Min NB: NNB:, 0 Die zweite Bedingung spielt für die Lösung keine Rolle. 0-46

131 Aufgabe 9: Eine Schulklasse mit 9 Schülern und 6 Begleitpersonen (mit Führerschein) möchte einen Ausflug machen. Um zu ihrem Ausflugsziel zu kommen, können sie Kleinbusse mit 8 Sitzplätzen bzw. Autos mit 5 Sitzplätzen mieten, die von den Begleitpersonen gefahren werden sollen. Die Busse kosten 50 am Tag, die Autos 0 am Tag. -46

132 Wie viele Busse bzw. Autos müssen die Schüler mieten, um möglichst preisgünstig den Ausflug machen zu können? Es können unter Umständen auch Sitzplätze frei bleiben. : Anzahl Busse y: Anzahl PKW Z: y Min NB: 8 + 5y 5 + y 6 NNB:, y 0 P( 4) Z = 80-46

133 Aufgabe 9: Bestimmen Sie die Lösung des LOP's mit der grafischen Lösungsvariante. Z: + min Nebenbedingungen: Nichtnegativitätsbedingungen:, 0 MATHEMATIK a) -46

134 4-46

135 Ableitungen Aufgabe 94: Ermitteln Sie von der Funktion f() die Ableitungen f'() und f''(). f () 8 5 f () ' f () ' f () " f () 6 Aufgabe 95: Ermitteln Sie von der Funktion f() die Ableitungen f'() und f''(). () (4 f 4 ) f () ' f () 4 4 ( 4) 4 4 " f () ( ) ( 5) Aufgabe 96: Ermitteln Sie von der Funktion f() die Ableitungen f'() und f''(). 4 () f 4 5 f() 4 4 ' f () 4( 4) ( ) 4 ( ) 5-46

136 ' 4 6 () f 5 " ) ( ) ( 4 5) ( 6) ( () f 4 6 " 80 () f Aufgabe 97: Ermitteln Sie von der Funktion f() die Ableitungen f'() und f''(). () f () f ' () f 5 " 9 () f Aufgabe 98: Ermitteln Sie von der Funktion f() die Ableitungen f'() und f''(). 4 8 () f 4 8 () f ' 4 8 () f 4 ' 4 4 () f " () f 4 7 " 6 9 () f Aufgabe 99: Ermitteln Sie von der Funktion f() die Ableitung f'(). ) )( ( f()

137 7-46 ) )( ( f() ) ( ' f ) ( 4 4 ' f () f 4 ' Aufgabe 00: Ermitteln Sie von der Funktion f() die Ableitung f'(). 8 4 f () 8 4 f () 4 8 () f ' 8 () f ' 4 4 () f ' () f ' Aufgabe 0: Ermitteln Sie von der Funktion f() die Ableitung f'(). 6) ( ) ( f () 6) ( ) ( f () ' 6 6 () f ' () f

138 ' f () 6 Aufgabe 0: Ermitteln Sie von der Funktion f() die Ableitung f'(). ( 4) () ( ) f ( 4) () ( ) f ' ( 4) f () ' f () ' 4 f () Aufgabe 0: Ermitteln Sie von der Funktion f() die Ableitung f'(). 4 f () 4 f () ' f () ' 4 f () () 4 ' f Dividieren: 4 f ()

139 4 f () f ' () 4 Aufgabe 04: Ermitteln Sie von der Funktion f() die Ableitung f'(). ( f () ( f () ' f () 6 7 ) 4 ' f () ' 4 f () ' f () 4 Dividieren: ( f () f () f () 6 7 ) f () ) 4 ' f () 4 ' f () Aufgabe 05: Ermitteln Sie von der Funktion f() die Ableitung f'(). f() ( 8) 9-46

140 f() ( ' f () ( Aufgabe 06: 8) 8) 6( 8) Ermitteln Sie von der Funktion f() die Ableitung f'(). f () ( ) f () ( f() ( ) ) ' f () ( ) ( ) Aufgabe 07: Ermitteln Sie von der Funktion f() die Ableitung f'(). f () ( 4) f () ( 4) f () ( 4) ' f () ( 4) ( 4) 40-46

141 Aufgabe 08: Ermitteln Sie von der Funktion f() die Ableitung f'(). f() e f() e ' f () e e e ( ) Aufgabe 09: Ermitteln Sie von der Funktion f() die Ableitungen f'() und f''(). f() = ln ( ) f() = ln ( ) f () = = = = f () = ( ) = = Aufgabe 0: Bestimmen Sie zwei Ableitungen zu folgender Funktion. f() = 4 f() = 4 f () = ( ) ( 4) ( ) = ( ) = ( ) f () = ( 6) ( ) ( 6 + 4) ( ) ( ) 4 = ( 6) ( ) ( 6 + 4) ( ) = ( ) = 0 ( ) 4-46

142 Aufgabe : Bestimmen Sie zwei Ableitungen zu folgender Funktion. f() = a + a Aufgabe : f() = a + a f () = ( + a ) ( a ) ( + a ) = + a + a ( + a ) = 4a ( + a ) = 4a ( + a ) f () = 4a ( + a ) ( + a ) ( + a ) 4 = 4a ( + a ) ( + a ) = 4a + a 4 ( + a ) = 4a a ( + a ) Bestimmen Sie zwei Ableitungen zu folgender Funktion. f() = 4 f() = 4 f () = 4 ( 6) 6 = 4 =

143 4 f () = 4 ( 6) (4 ) = 4 (4 ) 4 + = 4 (4 ) = (4 ) = (4 ) + 4 (4 ) (4 ) + = 4 (4 ) 4 + = 4 (4 ) = 4 (4 ) = (4 ) MATHEMATIK 4-46

144 Aufgabe : Bestimmen Sie zwei Ableitungen zu folgender Funktion. f() = e 4 e + Aufgabe 4: f() = e 4 e + f () = e (e + ) (e 4) e (e + ) = e + e e + 4e (e + ) = 6e (e + ) f () = 6e (e + ) 6e (e + ) e (e + ) 4 = 6e (e + ) 6e e (e + ) = 6e + 6e e (e + ) = 6e + 6e (e + ) Bestimmen Sie eine Ableitung zu folgender Funktion. e f() = + f() = e f () = e ( + ) e ( + ) = e e e ( + ) = e e ( + ) = e ( + ) ( + )

145 Aufgabe 5: Bestimmen Sie zwei Ableitungen zu folgender Funktion. f() = e Aufgabe 6: f() = e f () = e ( e ) 4 = e + e 4 = e + e = e ( ) f () = (e ( ) + e ( )) (e ( ) ) = (e e e ) (e e ) = ( e ) (e e ) = e 4e + 4 e = e ( + 4 4) = e ( + ) + Bestimmen Sie eine Ableitung zu folgender Funktion. f() = + ln () + ln () f() = f () = ( + ln())

146 Aufgabe 7: 4 ln () = 4 ln () = = 4 ln () Bestimmen Sie zwei Ableitungen zu folgender Funktion. f() = ln ( 6) Aufgabe 8: f() = ln ( 6) f () = 6 () = 6 f () = ( 6) ( 6) = 4 ( 6) = ( 6) Bestimmen Sie zwei Ableitungen zu folgender Funktion. f() = ln ( ( a)) f() = ln ( ( a) = ln ( a) f () = ( a) a f ( a) () = a f () = ( a) ( a) ( a) ( a) = a 4 + 4a a ( a) = + a a ( a) 46-46

147 Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben Aufgabe 9: Bestimmen Sie zwei Ableitungen zu folgender Funktion. f() = e t MATHEMATIK Aufgabe 0: f() = e t f () = e t + e t ( ) = e t e t = e t ( ) f () = e t ( ) + e t ( ) = e t + e t e t = e t ( ) Bestimmen Sie zwei Ableitungen zu folgender Funktion. f() = f() = f () = 6 ( + 8) ( + 8) = ( + 8) = 6 8 ( + 8) f () = 6 ( ) ( + 8) (8 ) ( + 8) ( + 8) 4 = 6 ( ) ( + 8) (8 ) ( + 8) = ( + 8) = 6 48 ( + 8) 47-46

148 48-46 = 4 ( + 8) Aufgabe : Ermitteln Sie von der Funktion f() die Ableitung f'(). ) )( ( f() ) )( ( f() ) ( ' f ) ( 4 4 ' f () f 4 '

149 Kurvendiskussion Aufgabe : Untersuchen Sie für folgende Funktion f() auf Achsen- und Punktsymmetrie, Schnittpunkte mit der - und y-achse und Etrempunkte. f() f() Achsensymmetrie f(-) f() f( ) ( ) f() ( ) keine Achsensymmetrie Punktsymmetrie f(-) f() f ( ) (( ) ( ) ) keine Punktsymmetrie Schnittpunkte mit der -Achse f () 0 0 / ( ) 8 ( ) 4 Der Ausdruck unter der Wurzel (Diskriminante) ist negativ, also gibt es keine Lösung. Schnittpunkte mit der y-achse

150 y y ) (0 y N Etremwerte 0 () f ' () f ' 0 : 4 f f Tiefpunkt 0 f " 4 7 TP Aufgabe : Untersuchen Sie für folgende Funktion f() auf Achsen- und Punktsymmetrie, Schnittpunkte mit der - und y-achse und Etrempunkte. 6 () f 6 () f Achsensymmetrie f() f(-) 6 ) ( 6 ) ( ) ( f 6 6

151 Achsensymmetrie Punktsymmetrie f(-) f() ( ) f ( ) 6 ( ) 6 6 keine Punktsymmetrie 6 Schnittpunkte mit der -Achse f () : N (0 0) Schnittpunkte mit der y-achse 0 0 y 0 6 y 0 N y (0 0) Etremwerte f ' () 0 f ' ( ) : ( 5)

152 0 f (0) f " () f " (0) HP (0 0) 5 Aufgabe 4: 5 0Hochpunkt Untersuchen Sie für folgende Funktion f() auf Achsen- und Punktsymmetrie, Schnittpunkte mit der - und y-achse und Etrempunkte. f() = f() = Definitionsmenge: + = 0 = D = R\{ } Symmetrie: Punktsymmetrie: Keine Punktsymmetrie f() = f( ) f() = f( ) = ( ) + 4( ) + 8 ( ) + f() f( ) = Achsensymmetrie: f() = f( ) 5-46

153 Keine Achsensymmetrie. f() = f( ) = ( ) + 4( ) ( ) + + f() f( ) MATHEMATIK Schnittpunkte mit den Achsen: f() = Achse: Keine Lösung. f() = = 0, = 4 ± a Deshalb keine Schnittpunkte mit der -Achse. y-achse: f(0) = y f(0) = N y (0 4) = 4 Etrempunkte: f () = 0 f() = f () = ( + 4) ( + ) ( ) ( + ) = ( + ) f () = + 4 ( + ) f () = ( + 4) ( + ) ( + 4) ( + ) ( + ) 4 = ( + )[( + 4) ( + ) ( + 4) ] ( + )

154 = ( + 4) ( + ) ( + 4) ( + ) f () = +8 ( + ) = ( + ) f () = + 4 ( + ) f () = = 0 ( + 4) = 0 = 0 = 4 Vorzeichenwechsel: = 0 f (0) = (0 + ) = 0 f ( ) = ( ) + 4 ( ) (( ) + ) VZW 0 + also folgt daraus ein Tiefpunkt. f (+) = + 4 ( + ) = 5 9 f(0) = TP(0 4) = = = 4 Vorzeichenwechsel: = 4 f ( 4) = ( 4) + 4 ( 4) (( 4) + ) = 0 f ( 5) = ( 5) + 4 ( 5) (( 5) + ) = 5 9 f ( ) = ( ) + 4 ( ) (( ) + ) VZW also folgt daraus ein Hochpunkt. f( 4) = ( 4) + 4 ( 4) + 8 ( 4) = = = 8 = 4

155 HP( 4 4) Aufgabe 5: Untersuchen Sie für folgende Funktion f() auf Achsen- und Punktsymmetrie, Schnittpunkte mit der - und y-achse und Etrempunkte. f() = e 4 f() = e 4 Definitionsmenge: D = R Symmetrie: Punktsymmetrie: f() = f( ) f( ) = (e ( ) 4) f( ) = e + 4 Keine Punktsymmetrie Achsensymmetrie: f() = f( ) f( ) = e ( ) 4 f( ) = e 4 Keine Achsensymmetrie Schnittpunkte mit den Achsen: -Achse: f() = 0 f() = e 4 e 4 = 0 e = 4 ln( )) = ln(4) = ln(4) N ( ln(4) 0) 55-46

156 N (ln ( 4 ) 0) y-achse: f(0) = y f() = e 4 f(0) = e 0 4 = N y (0 )) Etrempunkte: f () = 0 f() = e 4 f () = e f () = e e = 0 Wird nicht Null, also auch keine Etremwerte. Aufgabe 6: Untersuchen Sie für folgende Funktion f() auf Achsen- und Punktsymmetrie, Schnittpunkte mit der - und y-achse und Etrempunkte. f() = ln ( ) f() = ln ( ) Definitionsmenge: D = { < } Symmetrie: Punktsymmetrie: Keine Punktsymmetrie f() = f( ) f( ) = ln ( ( )) f( ) = ln( + ) Achsensymmetrie: 56-46

157 Keine Achsensymmetrie f() = f( ) f( ) = ln ( ( )) f() = ln ( + ) Schnittpunkte mit den Achsen: -Achse: f() = 0 f() = ln ( ) ln( ) = 0 e = e 0 = = N ( 0) y-achse: Etrempunkte: f(0) = y f() = ln ( ) f(0) = ln( 0) = ln () N y (0 ln () f () = 0 f() = ln ( ) f () = ( ) = = 0 Keine Lösung, also auch keine Etrempunkte. Aufgabe 7: Untersuchen Sie für folgende Funktion f() auf Achsen- und Punktsymmetrie, Schnittpunkte mit der - und y-achse und Etrempunkte. f ()

158 f () Achsensymmetrie 7 f(-) f() ( ) f(-) ( ) keine Achsensymmetrie 7 Punktsymmetrie f(-) f() f ( ) keine Punktsymmetrie Schnittpunkte mit der -Achse f () / (4) N 0 N Schnittpunkte mit der y-achse 0 y 0 N y y 58-46

159 Etremwerte f ' () 0 f ' () 0 ( ) f ( ) 4 ( ) f ( ) f " ( ) 0 Tiefpunkt TP

160 Aufgabe 8: Untersuchen Sie für folgende Funktion f() auf Achsen- und Punktsymmetrie, Schnittpunkte mit der - und y-achse und Etrempunkte. f () 4 f () 4 Achsensymmetrie ( ) f ( ) 4 f(-) f() ( ) keine Achsensymmetrie Punktsymmetrie f(-) f() ( ) f ( ) Punktsymmetrie ( ) Schnittpunkte mit der -Achse f () ( ) 0 Fallunterscheidung 0 N (0 0)

161 N ( 0) N ( 0) Schnittpunkte mit der y-achse 0 0 y N y (0 0) y 0 Etremwerte f ' () 0 ' f () : 4 f " () f () f " () TP( 4) Tiefpunkt ( ) f ( ) 4 f " ( ) 6 4 ( ) ( ) Hochpunkt HP( 4) Aufgabe 9: 6-46

162 Untersuchen Sie für folgende Funktion f() auf Achsen- und Punktsymmetrie, Schnittpunkte mit der - und y-achse und Etrempunkte. f() = 8 4 Definitionsmenge: D = R\{±} Symmetrie: Punktsymmetrie: Keine Punktsymmetrie f() = f( ) f() = f( ) = ( ) 4 = 8 4 Achsensymmetrie: Achsensymmetrie ist vorhanden. f() = f( ) f() = f( ) = ( ) 4 = 8 4 Schnittpunkte mit den Achsen: -Achse: f() = 0 f() = = 0 Keine Lösung, also auch keine Schnittpunkte 6-46

163 y-achse: f(0) = y f() = 8 4 f(0) = = N y (0 ) Etrempunkte: f () = 0 f() = 8 4 f () = 0 ( 4) 8 ( 4) = 6 ( 4) 6 = 0 = 0 f () = 6 ( 4) 6 ( 4) ( 4) 4 = ( 4) Daraus folgt ein Hochpunkt Aufgabe 0: = ( 4) = ( 4) f () = ( 4) f (0) = (0 4) = = f(0) = = HP(0 ) Untersuchen Sie für folgende Funktion f() auf Achsen- und Punktsymmetrie, Schnittpunkte mit der - und y-achse und Etrempunkte. f() = 8 + Definitionsmenge: D = R\{0} 6-46

164 Symmetrie: Punktsymmetrie: Keine Punktsymmetrie f() = f( ) f() = 8 + f( ) = (8 + + ) = 8 ( ) Achsensymmetrie: Keine Achsensymmetrie f() = f( ) f() = 8 + f() = 8 + ( ) = 8 + Schnittpunkte mit den Achsen: -Achse: f() = 0 f() = = 0 = N ( 0) y-achse: f(0) = y f() = 8 + Geht nicht, da Null durch die Definitionsmenge ausgeschlossen wurde. Etrempunkte: f () =

165 f () = 8 ( + ) 4 f() = 8 + = = 0 = 4 MATHEMATIK = = 8 4 f () = 8 4 f () = 8 ( ) ( 4) ( ) ( 4) 6 = 8 4 = 8 Daraus ergibt sich ein Tiefpunkt Aufgabe : = 8 f () = = f ( 4) = ( 4) 4 = 6 56 = 6 f() = 8 + f( 4) = ( 4) = 8 6 = TP( 4 ) Untersuchen Sie für folgende Funktion f() auf Achsen- und Punktsymmetrie, Schnittpunkte mit der - und y-achse, Etrempunkte und Wendepunkte. f() = Definitionsmenge: D = R Symmetrie: Punktsymmetrie: f() = f( ) f() =

166 Keine Punktsymmetrie f( ) = ( 4( ) ( ) + 4 ) = Achsensymmetrie: f() = f( ) Achsensymmetrie vorhanden f() = f() = 4( ) ( ) + 4 = Schnittpunkte mit den Achsen: -Achse: f() = 0 f() = = 0 = 0 N (0 0) y-achse: f(0) = y f() = f(0) = = 0 4 = 0 N y (0 0) Etrempunkte: f () = 0 f() = f () = 8 ( + 4) 4 ( + 4) = ( + 4) = ( + 4)

167 f () = = 0 = 0 ( + 4) f () = ( + 4) ( + 4) ( + 4) 4 = ( + 4) ( + 4) = ( + 4) = Daraus ergibt sich ein Tiefpunkt ( = + 4) ( + 4) f () = 4 ( + 4) f (0) = 4 0 (0 + 4) = 4 64 = TP(0 0) Wendepunkte: f () = 0 f () = 4 ( + 4) 4 = 0 = 4 = 4 / = ± 4 = 4 f() = f ( 4 4 ( ) = ) ( 4 ) + 4 = 6 6 = 67-46

168 WP ( 4 ) = 4 f() = f ( 4 4 ( ) = ) ( 4 ) + 4 = 6 6 = WP ( 4 ) Aufgabe : Untersuchen Sie für folgende Funktion f() auf Achsen- und Punktsymmetrie, Schnittpunkte mit der - und y-achse, Etrempunkte und Wendepunkte. f() = e Definitionsmenge: D = R Symmetrie: Punktsymmetrie: f() = f( ) f() = e Keine Punktsymmetrie f( ) = ( e ( ) ) = e+ + Achsensymmetrie: f() = f( ) 68-46

169 f() = e f( ) = e ( ) f( ) = e+ Keine Achsensymmetrie Schnittpunkte mit den Achsen: -Achse: f() = 0 f() = e e = 0 e = 4 e = 4 = ln (4) = ln(4) N ( ln(4) 0) y-achse: f(0) = y f() = e f(0) = e 0 = e N y (0 e ) Etrempunkte: f () = 0 f() = e f () = e ( ) = e 69-46

170 Wird nie Null, daher keine Etrempunkte e = 0 Wendepunkte: f () = 0 f () = e Wird nie Null, daher keine Wendepunkte Aufgabe : f () == e ( ) = e e = 0 Untersuchen Sie für folgende Funktion f() auf Achsen- und Punktsymmetrie, Schnittpunkte mit der - und y-achse und Etrempunkte. f() = ln ( ) Definitionsmenge: > 0 > > D = { > } Symmetrie: Punktsymmetrie: f() = f( ) f() = ln ( ) Keine Punktsymmetrie f( ) = (ln ( ( ) )) = ln ( ) 70-46

171 Achsensymmetrie: f() = f( ) f() = ln ( ) Keine Achsensymmetrie f( ) = ln ( ( ) ) = ln ( ) Schnittpunkte mit den Achsen: -Achse: f() = 0 f() = ln ( ) ln ( ) = 0 e = e0 = = = 4 N (4 0) y-achse: f(0) = y Null darf laut >Definitionsmenge nicht eingesetzt werden, deshalb gibt es keine Schnittpunkte mit der y-achse. Etrempunkte: f () = 0 f() = ln ( ) f () = = 7-46

172 = 0 Widerspruch, deshalb keine Etrempunkte. 7-46

173 Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben Aufgabe 4: MATHEMATIK Untersuchen Sie für folgende Funktion f() auf Definitionsmenge, Achsen- und Punktsymmetrie, Schnittpunkte mit der - und y-achse und Etrempunkte. f() = 4 Definitionsmenge: f() = 4 D = R\{} Symmetrie: Punktsymmetrie: Keine Punktsymmetrie f() = f( ) 4 f( ) = ( ) = 4 + f() f( ) Achsensymmetrie: Keine Achsensymmetrie f( ) = f() = f( ) 4 ( ) = 4 f() f( ) Schnittpunkte mit den Achsen: -Achse: f() = 0 4 = 0 Keine Schnittpunkte mit der -Achse 7-46

174 y-achse: f(0) = y f(0) = 4 0 = N y (0 ) Etrempunkte: Keine Etrempunkte Aufgabe 5: f () = 0 f() = 4 f 0 ( ) 4 4 () = ( ) = ( ) 4 = 0 Untersuchen Sie für folgende Funktion f() auf Achsen- und Punktsymmetrie, Schnittpunkte mit der - und y-achse, Etrempunkte und Wendepunkte. f() = 4 Definitionsmenge: Symmetrie: Punktsymmetrie: Es liegt eine Punktsymmetrie vor. f() = = 0 = 4 = ± D = R\{±} f() = f( ) f() = 4 f( ) = ( ) (( ) 4) = ( 4) f() = f( )

175 Achsensymmetrie: f() = f( ) Da Punktsymmetrie vorliegt, kann keine Achsensymmetrie vorliegen. Schnittpunkte mit den Achsen: -Achse: f() = 0 4 = 0 = 0 N (0 0) y-achse: Etrempunkte: Keine Lösung. Keine Etremwerte. f(0) = y = 0 N y (0 0) f () = 0 f() = 4 f () = ( 4) ( 4) = 8 4 ( 4) = 8 ( 4) 8 = 0 = 8 = 4 Wendepunkte: f () = 0 f () = + 4 ( 4) 75-46

176 f () = () ( 4) ( + 4) ( 4) ( 4) 4 = ( 4)[( 4) ( + 4) ] ( 4) 4 = ( 4) ( + 4) ( 4) = 4 ( 4) = ( 4) = 4 + ( 4) + = 0 ( + ) = 0 = 0 WP(0 0) 76-46

177 Prozentrechnung Aufgabe 6: In einem Großbetrieb sind 8400 Personen beschäftigt. Davon sind 9% unter 0 Jahre alt und 7% zwischen 0 und 45 Jahre alt. Der Rest ist älter als 45 Jahre. Wie viele Beschäftigte sind älter als 45 Jahre? 8400/00=84 Unter 0 Jahre: Zwischen 0 und 45 Jahre: Älter als 45 Jahre Aufgabe 7: 84*9 =.46 Personen 7*84 =.08 Personen 4*84 =.856 Personen Klara Kufsteiner kauft in der Buchhandlung Raupenheimer das umfassende Werk Alle illegalen Steuertricks in Deutschland zu 6,50 Euro (incl. MwSt.). Währende der Lektüre stellt sie fest, dass ihr der Buchhändler fälschlich erweise 6% MwSt. berechnet hat (richtig wären 7% gewesen). Daraufhin verlangt sie vom Buchhändler eine Richtigstellung. Welchen Betrag muss ihr der Buchhändler zurückgeben? Aufgabe 8: 8 Baumfäller roden in 0 Stunden einen Wald. Wie lange würde es bei Baumfällern dauern? 6,67 Stunden Aufgabe 9: Hans-Udo teilt jede Woche 90 Prospekte aus und bekommt dafür 8,08. a) Pia verteilt für dieselbe Firma in einem anderen Stadtteil 60 Prospekte. Was verdient sie? b) Paul verdient mit derselben Arbeit 8 in der Woche. Wie viele Prospekte trägt er aus? 77-46

178 Aufgabe 40: Auf drei automatischen Werkzeugmaschinen lassen sich 50 Metallhülsen in h 5 min herstellen. Wie viele Hülsen könnten in h 0 min hergestellt werden, wenn zwei Maschinen zusätzlich zum Einsatz kämen? Aufgabe 4: Einer Zeitungsmeldung ist zu entnehmen, dass Unternehmen A seinen Umsatz im Jahr 004 um 4% gegenüber dem Umsatz von 00, der 4, Mio. Euro betrug, steigern konnte. Unternehmen B hat 004 ein Ergebnis von, Mio. Euro Umsatz zu verzeichnen, was einem Minus von 5,% gegenüber 00 entspricht. Wie groß war der Umsatz (in Euro) von A im Jahr 004 bzw. der von B im Jahr 00? Das Unternehmen A konnte seinen Umsatz um 4% von 4, Mio. Euro steigern, das sind 4 P Euro Euro. 00 Der Umsatz U im Jahr 997 beträgt daher Euro Euro Euro. Einfacher ist es, den Jahresumsatz U direkt in einer Gleichung auszurechnen: 78-46

179 4 U Euro Euro Euro, Euro MATHEMATIK Gelegentlich findet man für diesen Aufgabentyp, bei dem nach der Summe aus Grund Aufgabe 4: Auf ein Produkt wird ein Preisnachlass von 8%, das sind 5,0 Euro, gegeben. Wie teuer war das Produkt ursprünglich? Mit p 8% und P 5,0Euro berechnet sich 00 G 5,0 Euro 90 Euro. 8 Der ursprüngliche Preis betrug somit 90 Euro. Aufgabe 4: In einem Entwicklungsland leben 7% aller 9,7 Mio. Einwohner unterhalb der Armutsgrenze. Wie viele Personen sind das? Mit G 9,7 Mio. und p 7% erhält man P 9, Mio. 7,89 Mio. Etwa 7, Mio. Einwohner leben unterhalb der Armutsgrenze. Aufgabe 44: Im Jahr 997 betrug die Gesamtbevölkerung Deutschlands 79, Millionen Menschen. Der Anteil der männlichen Personen lag bei 49, %. Davon waren 7, % zwischen 0 und 9 Jahre alt. Wie viele männliche Personen zwischen 0 und 9 Jahren lebten 997 in Deutschland? P P p 00 p 00 49, G G Aufgabe 45: 7,

180 Eine Firma hatte 995 einen Jahresumsatz von Euro. Der Umsatz hat sich nach folgendem Schaubild entwickelt Euro +4% +5% -% Wie viel Euro betrug der Umsatz im Jahr 0? P P P p 00 p 00 p 00 G G G Aufgabe 46: G G neu neu ,0 G neu ,80 Der Preis eines Computers wurde um 5% gesenkt. Er kostet jetzt 58. Um wie viel Euro wurde der Preis gesenkt G 58 G p G G Euro p 0,85 Aufgabe 47: Um genau 9,5 % ließ sich der Heizölverbrauch nach dem Einbau des neuen Heizkessels senken. Immerhin verbraucht die Familie Klein jetzt 456 Liter weniger als im Vorjahr. Wie viel Heizöl hat die Familie im vergangenen Jahr insgesamt verbraucht? G P p 9,5 Aufgabe 48: Herr Frege bekommt 775 Gehalt. Davon muss er 906 Lohnsteuer entrichten. Wie viel Prozent seines Gehaltes macht die Lohnsteuer aus? Lösung. 00 p P G Aufgabe 49: % 80-46

181 Ein Sparguthaben von 5 bringt in einem Jahr,70 Zinsen. Mit welchem Zinssatz wurde das Sparguthaben verzinst? 00 p P G 00,70 5,6% Aufgabe 50: Ein Kapital wird mit 5,5 % verzinst. Die Zinsen für ein Vierteljahr betragen 770. Berechne das Kapital G P Euro p 5,5 Aufgabe 5: Herr Meier gibt monatlich 5.- für sein Auto aus. Das sind 6,5% seines monatlichen Einkommens. Wie viel verdient er im Monat? 00 G P 5 p Aufgabe 5: 00 6,5.000Euro Der Verkaufspreis Laptops (Acer Aspire) beträgt einschließlich Umsatzsteuer 476,00 EUR (Bruttoverkaufspreis). Berechnen Sie die anteilige Mehrwertsteuer von 9% und den Nettoverkaufspreis. Nettoverkaufspreis EUR = 00% + MwSt. EUR = 9% = Bruttoverkaufspreis 476,00 EUR = 9 % Da Kaufleute nur mit Nettopreisen rechnen und die Mehrwertsteuer alleine den Endverbraucher trifft, beträgt der Bruttoverkaufspreis 9% und nicht 00%. Um die Mehrwertsteuer rauszurechnen, müssen wir durch 9% anstatt 00% teilen. MwSt = 476,00 9% 9% 8-46 = 76,00

182 Der Nettoverkaufspreis beträgt somit 476,00 EUR 76,00 EUR = 400,00 EUR. Aufgabe 5: Nach einer Preiserhöhung von 8% kostet eine Ware 94,50 EUR. Berechnen Sie die Preiserhöhung und den alten Preis. Man beachte den Begriff Nach einer. Hier erkennt man, dass die Preiserhöhung schon in dem Preis von 94,50 EUR enthalten ist. Somit gehen wir nicht von 00 sondern von 08 % (= 00 % + die Preiserhöhung von 8%) aus. Um nun die Preiserhöhung ausrechnen zu können müssen wir also die 94,50 EUR durch 08% und nicht durch 00% teilen. Preiserhöhung = 94,50 8% 08% = 7,00 Die Ware hat also vorher 94,50 7,00 EUR = 87,50 EUR gekostet. Aufgabe 54: Der Jahresumsatz fiel um 5% auf nun ,00 EUR. Berechnen Sie Umsatzminderung und den alten Umsatz. Hier erkennt man, dass in dem Jahresumsatz von ,00 EUR die Umsatzminderung von 5% bereits enthalten ist. Somit entsprechen die ,00 EUR nicht 00% sondern 95% (= 00% - Umsatzminderung von 5%). Um die Umsatzminderung zu berechnen, müssen wir also die ,00 EUR durch 95% und nicht durch 00% teilen. Umsatzminderung = % 95% = Der alte Umsatz betrug somit ,00 EUR ,00 EUR = ,00 EUR. 8-46

183 Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben Aufgabe 55: MATHEMATIK Die Zahl der Studierenden hat sich um 5% erhöht und beträgt jetzt.00. Wie hoch war sie vorher? G + = G 0 p + G 0 = G + p + =.00,5 =.000 Aufgabe 56: Sie investieren.000 Euro an der Börse und verlieren sofort 50% vom investierten Betrag. Aber glücklicherweise steigen Ihre Aktien einige Tage später wieder um 50% vom Restbetrag. Wie viele Euro besitzen sie jetzt?.000 0,5 = ,5 =.500 Euro Aufgabe 57: Verkauft man eine Ware mit 6% Verlust, so nimmt man 0 Euro weniger ein, als wenn man die Ware mit 4% Gewinn verkaufen würde. Berechnen Sie den Gewinn und Verlust. G 0,0G 0 G G p p G 0 p G 0 0,0 G 0, G 700 0,84G 0,4G G p G, Aufgabe 58: Aufgrund der gestiegenen Lohnkosten hat die Firma Gierig den Preis einer Ware innerhalb diesen Jahres zweimal erhöht: zuerst um 4%, danach um 5%. Wie hoch war der Preis zu Beginn des Jahres, wenn er jetzt auf 89,00 lautet? G + = G p

184 G = G+ p + = 89,00 = 780,00,05 G = G+ p + = 780,00 = 750,00,04 Aufgabe 59: Aus Konkurrenzgründen musste die Firma Gierig nun den Preis einer anderen Ware zweimal senken: zuerst um %, dann noch einmal um %. Wie hoch war der ursprüngliche Preis, wenn er jetzt noch 598,78 beträgt? G = G p G = G p = 598,78 = 6,00 0,98 G = G p = 6,00 = 6,47 0,98 Aufgabe 60: Eine Hose ist um 0% reduziert worden und kostet jetzt.- Euro. Wie teuer war sie vorher? Beachte: Um 0% reduziert bedeutet, die.- DM sind 80% vom Grundwert! Aufgabe 6: Herr Schulze kauft eine HiFi-Anlage, die 50 Euro kosten soll. Er erhält 7% Rabatt. Wie viel Euro muss er noch bezahlen? 48,60 Euro Aufgabe 6: Der Listenpreis eines Autos beträgt.95. Der Kunde bekommt den Wagen für.054. Um wie viel Prozent liegt dieser Preis unter dem Listenpreis? 84-46

185 Listenpreis: 95. Kaufpreis: 054. Gesucht wird der Prozentsatz: Der Kaufpreis liegt % unter dem Listenpreis 85-46

186 Einfacher Zins Aufgabe 6: Eine Studentin hat am ihrem Freund einen Betrag von GE 450,- geliehen. Der Freund verpflichtet sich, bei einfacher Verzinsung zu % pro anno die Schulden am..008 zurückzuzahlen. Welchen Betrag muss er zahlen? K n = K 0 ( + n i) = 450 ( + 00 ) = 589,50 Die bisherigen Beispiele hatten für die Laufzeit immer eine natürliche Zahl n zu Grunde gelegt; z.b. n =. Bei der einfachen Verzinsung darf die Laufzeit n jedoch auch eine beliebige positive reelle Zahl sein. Aufgabe 64: Bei einfacher Verzinsung zu 4 % p.a. steht nach zwei Jahren und drei Monaten ein Betrag von.80 GE zur Verfügung. Wie groß war das Anfangskapital, der so genannte Barwert? K n = K 0 ( + n i) Zwei Jahre und drei Monate sind + =,5 Jahre K 0 = Aufgabe 65: K n + n i =,80 +,5 0,04 =.000 Eine Bank gewährt,5 % einfache Vierteljahreszinsen. Ein Kapital von GE 000 soll 7 Tage angelegt werden. Wie hoch ist der Endbetrag nach 7 Tagen? p = Jahreszinsfuß = 4,5 = 0 7 = 0, Jahre 60 Endbetrag nach 7 Tagen: 86-46

187 K 0, = K 0 ( + 0, i) =.000 ( + 0, 0 00 ) =.00 Aufgabe 66: Eine Zahlungsverpflichtung besteht aus zwei Zahlungen: GE am.0. des Jahres GE am.0. des Jahres Wie hoch ist bei 4% einfacher Verzinsung p.a. der Wert der Zahlungsverpflichtung am 0.0. des Jahres, wenn der Bewertungsstichtag der a).0. des Jahres ist? b).0. des Jahres ist? c) 0.0. des Jahres ist? a) Zuerst zurückrechnen auf..: K 0 = Dann auf. zurückrechnen: ,9 + 0,04 =.95.45,9 b) zuerst auf.0 hochrechnen: K n = n i + 7 = ,9 0,04 K n = K 0 ( + n i) = ( + 7 0,04) =.0., Dann auf. zurückrechnen:.0., + 0 0,04 = ,45 c) Beide auf 0.0. zurückrechnen , = , ,87 =.95.58,88 0,04 Aufgabe 67: 400 werden 5 Monate zum Zinssatz i = 6% p. a. angelegt. K n = K 0 ( + n i) = 400 ( + 5 0,06) =

188 Aufgabe 68: Welchen Betrag muss man auf ein Sparbuch mit 4% Verzinsung einzahlen, wenn man in 9 Monaten 800 abheben will? K 0 = K n + n i = ,04 = 776,

189 Aufgabe 69: MATHEMATIK Ein Schuldner hat bei einfacher Verzinsung zu 4% p.a. folgende Zahlungsverpflichtung: 000 in sechs Monaten 000 in acht Monaten 000 e in vierzehn Monaten a) Durch welche sofortige Rückzahlung kann der Schuldner seine zukünftigen Schulden begleichen? (Bewertungsstichtag der Schulden ist der Zeitpunkt der sofortigen Zahlung.) b) Zu welchem Zeitpunkt reicht eine einmalige Rückzahlung in Höhe des Nennwertes aus, um sämtliche Schulden zu begleichen, wenn der Bewertungsstichtag der Zeitpunkt der sofortigen Zahlung ist? c) Durch welche einmalige Rückzahlung nach sechzehn Monaten können die Schulden beglichen werden? a) Durch welche sofortige Rückzahlung kann der Schuldner seine zukünftigen Schulden begleichen? (Bewertungsstichtag der Schulden ist der Zeitpunkt der sofortigen Zahlung.) Die sofortige Rückzahlung ist der Barwert aller Teilbeträge. d.h. mit einer sofortigen Zahlung von 5.794,69 hat der Schuldner seine zukünftigen Schulden beglichen. b) Zu welchem Zeitpunkt reicht eine einmalige Rückzahlung in Höhe des Nennwertes aus, um sämtliche Schulden zu begleichen, wenn der Bewertungsstichtag der Zeitpunkt der sofortigen Zahlung ist? 89-46

190 d.h. 9 Tage nach dem Zeitpunkt der sofortigen Zahlung können die Zahlungsverpflichtungen durch eine einmalige Rückzahlung in Höhe von abgelöst werden. c) Durch welche einmalige Rückzahlung nach sechzehn Monaten könne n die Schulden beglichen werden? Aufgabe 70: Für einen Privatkredit in Höhe von 000,00 zahlt Frau Bach jährlich 0,- Zinsen. Wie hoch ist der Prozentsatz? K n = K 0 ( + i) K n = K 0 + K 0 i i = K n K = = 0,055 5,5% K Aufgabe 7: Wie groß muss ein Kapital sein, wenn es bei der Spotbank jährlich.00,- Zinsen bringen soll? (% p.a.) K n = K 0 ( + i) K = K 0 ( + i) K 0 = 00 i =.00 0,0 =

191 Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben Aufgabe 7: MATHEMATIK Ein Betrag von EUR.00 war 8 Jahre lang bei einfacher Verzinsung angelegt und ist in diesem Zeitraum einschließlich der gezahlten Zinsen auf EUR 4.76 angewachsen. Wie hoch war der zugrundeliegende Zinssatz? K n = K 0 ( + n i) K n K 0 = + n i i = K n K 0 n Aufgabe 7: = = 0,06 = 6% 8 Herr Abelheimer hat Herrn Böness am..995 einen Betrag von EUR 650,-geliehen. Böness verpflichtet sich, den geliehenen Betrag mit 7% einfach zu verzinsen und ihn zusammen mit den bis dahin fällig gewordenen Zinsen am..004 zurückzuzahlen. Wie hoch ist der zurückzuzahlende Betrag? K n = K 0 ( + n i) = 650 ( + 0 0,07) =.05 Euro Aufgabe 74: Ein Betrag von EUR 00,-war zu 5% bei einfacher Verzinsung angelegt und ist, zusammen mit den angefallenen Zinsen, auf derzeit EUR 60 angewachsen. Wie viele Jahre war der Betrag angelegt? n = K n K = i K 0 0,05 00 = 7 Jahre Aufgabe 75: Ein Betrag von EUR 00 war 8 Jahre lang bei einfacher Verzinsung angelegt und ist in diesem Zeitraum einschließlich der gezahlten Zinsen auf EUR 476 angewachsen. Wie hoch war der zugrundeliegende Zinssatz? i = K n K = = 0,06 (6%) n K K = K 0 ( + i) 9-46

192 K 0 = 00 i Aufgabe 76: =.00 0,0 = Herr Meier überzieht sein Girokonto für 4 Tage um.000,00. Der Zinssatz für einen Überziehungskredit beträgt %. Wieviel Zinsen muss er dafür bezahlen? K n = K 0 ( + i) =.000 ( + 4 0,) =.009, 9, 60 Aufgabe 77: Eine Rechnung lautet auf den Betrag K0 = 790. Ein Geschäftsmann will sie durch einen Wechsel begleichen, der in Monaten fällig ist. Auf welchen Betrag muss er den Wechsel ausstellen, wenn 5% Diskontzinsen berechnet werden? K 0 = K n ( 0,05) 790 = Kn ( - / 0,05) = Kn 0,9875 Kn = 790/0,9875 = 800 Aufgabe 78: Welchen Betrag muss man auf ein Sparbuch mit 4% Verzinsung einzahlen, wenn man in 9 Monaten 800 abheben will? 800 = K0 ( + 9 / 0,04) = K0,0 K0 = 800/,0 = 776,

193 Zinseszins Aufgabe 79: Auf welchen Betrag ist ein Kapital von GE 5.00 bei nachschüssigen Zinseszinsen von 4% pro anno in sechs Jahren angewachsen? Aufgabe 80: Ein Kapital ist nach fünf Jahren bei nachschüssiger Verzinsung von 8% pro Jahr auf 4 69,8 angewachsen. Wie groß war das Startkapital? Das Startkapital wird berechnet, indem das Endkapital fünf Jahre abgezinst wird: Aufgabe 8: Ein Kapital von Mio. GE ist nach drei Jahren bei nachschüssiger Verzinsung auf GE angewachsen. Wie hoch war der jährliche Zinseszins? 9-46

194 Aufgabe 8: Welcher nachschüssige Zinssatz i' wäre nötig gewesen, damit ein Startkapital von 5.00 GE nach sechs Jahren auf 6.64,8 GE angewachsen ist? Aufgabe 8: Welcher nachschüssige Zinssatz i' wäre nötig gewesen, damit ein Startkapital von 5.00 GE nach sechs Jahren auf 6.64,8 GE angewachsen ist? Aufgabe 84: Für eine Immobilie liegen zwei Angebote vor: A bietet sofort und in Jahren; B bietet je in einem Jahr und in Jahren. Welches Angebot ist - bei einer Verzinsung von 5% - für den Verkäufer günstiger? Solche Aufgaben veranschaulicht man am besten durch einen Zeitstrahl: 94-46

195 Wir können beispielsweise alle Zahlungen auf das Ende des. Jahres aufzinsen: A: 0.000, =.5,50 B: 5.000, ,05 =.87,50 Angebot A ist also für den Verkäufer etwas günstiger. (Dasselbe Ergebnis hätten wir erhalten, wenn wir einen anderen Bezugszeitpunkt, z.b. den Anfang des. Jahres, gewählt hätten.) A: ,97=9.700 B: , ,97=8.66,5 Aufgabe 85: Ein Guthaben von 00 GE wird bei einem nominellen Jahreszins von 6% p.a. zu vierteljährlicher Verzinsung zum relativen Zins angelegt. Wie hoch ist das Guthaben nach drei Jahren? Aufgabe 86: Auf welchen Betrag wächst ein Kapital von 00 in 8 Jahren bei einer Verzinsung von i = 5%? Kn = 00,05 8 = 47,75 Aufgabe 87: Wie hoch war ein Kapital, wenn es in 5 Jahren bei einer Verzinsung von i = % auf 74 angewachsen ist? 74 = K0,0 5 K0 = 74/,0 5 = 640 Aufgabe 88: Jemand leiht sich 4000 aus und zahlt nach 4 Jahren 4500 zurück. Welchem Zinssatz entspricht das? 4500 = 4000 q 4 q = 4 (4500/4000),0, i % Aufgabe 89: 95-46

196 Wie lange dauert es, bis ein Kapital von 500 bei einer Verzinsung von 4,5% auf 000 anwächst? 000 = 500,045 n n = log(000/500)/log(,045) 6,5 Jahre Aufgabe 90: Anika A. will ihr Geld für ein Jahr anlegen und kann sich zwischen zwei Geldanlageformen entscheiden: a) einmalige jährliche Verzinsung mit 6%, b) zwölfmalige monatliche Verzinsung mit je 0,49%. Wofür soll sie sich entscheiden? 96-46

197 Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben Aufgabe 9: MATHEMATIK Bei wieviel Prozent jährlicher Verzinsung verdreifacht sich das eingesetzte Anlagebetrag in 0 Jahren, wenn eine Verzinsung mit Zinseszinsen unterstellt wird? K n = K 0 ( + p 00 ) n K 0 = K 0 ( + p 00 ) 0 = ( + p 00 ) = ( + p 00 ) = p 00 0 p = ( Aufgabe 9: : 0 : K 0 ) 00 =,6% In wie vielen Jahren verdreifacht sich ein Anlagebetrag bei 5,7% Jahreszins, wenn eine Verzinsung mit Zinseszinsen unterstellt wir? ln ( K n K 0 ) n = ln ( + Aufgabe 9: p = 00 ) ln ( K 0 K 0 ) ln ( + 5,7 00 ) == ln() ln ( + 5,7 00 ) = Jahre Welchen Barwert hat eine in genau Jahren erfolgende Zahlung von EUR bei einem unterstellten Zinssatz von 8% p.a. und jährlicher Verzinsung mit Zinseszinsen? K 0 = K n q n = 6000 =.57,0 Euro,08 Aufgabe 94: Ein Kaufmann rechnet damit, in genau einem Jahr durch den Verkauf von Immobilie A einen Betrag von Euro zu erlösen, und 97-46

198 in genau vier Jahren durch den Verkauf von Immobilie B einen Betrag von Euro zu erlösen. Gehen Sie davon aus, dass sich die Erwartungen des Kaufmanns genau erfüllen. Welchen Barwert hat die Gesamtheit dieser beiden Zahlungen, wenn der Berechnung ein Zinssatz von 4% p.a. zugrunde liegt, bei jährliche Verzinsung mit Zinseszinsen? Erste Zahlung auf das Jahr 0 (Barwert) zurückrechnen. K 0 = K n q n = 5.000,04 = 6.46,5 Euro Zweite Zahlung auf das Jahr 0 (Barwert) zurückrechnen. K 0 = K n q n = ,04 4 = ,7 Euro Barwert = 6.46, ,7 = ,87 Euro 98-46

199 Rentenrechnung Aufgabe 95: Am Ende eines jeden Jahres werden 500,00 Euro eingezahlt. Auf welchen Betrag sind die Einzahlungen angewachsen, wenn die letzte Rate am Ende des 5. Jahres geleistet wird und der Zinssatz % beträgt? Zunächst können mit der Zinseszinsformel die Beträge für jedes Jahr berechnet werden. K n p K 0 00 n Rentenrate Jahr Aufzinsungsfaktor Endwert 500. Jahr / n = 4,0 4 56, Jahr / n =,0 546, Jahr / n =,0 50, Jahr / n =,0 55, Jahr / n = 0,00 500,00 Summe 654,56 Die Summe der Einzahlungen zuzüglich der Zinseszinsen beträgt.654,56 Euro. Aufgabe 96: Es werden 6 Jahre lang am Ende jedes Jahres jeweils.400,00 Euro eingezahlt und mit % verzinst. Welcher Betrag ist nach 6 Jahren entstanden? q n p 00 n q , q,0 E n = R n q q 6,0 0, , 5 E6.400,0 0,0 Das Kapital ist auf 4876,48 Euro angewachsen. Aufgabe 97: 99-46

200 Am Anfang eines jeden Jahres werden 500,00 Euro eingezahlt. Auf welchen Betrag sind die Einzahlungen angewachsen, wenn die letzte Rate am Ende des 5. Jahres geleistet wird und der Zinssatz % beträgt? Zunächst können mit der Zinseszinsformel die Beträge für jedes Jahr berechnet werden. K p K 00 n 0 n Rentenrate Jahr Aufzinsungsfaktor Endwert 500. Jahr / n = 5, , Jahr / n = 4,0 4 56, Jahr / n =,0 546, Jahr / n =,0 50, Jahr / n =,0 55,00 Summe 74,0 Die Summe der Einzahlungen zuzüglich der Zinseszinsen beträgt.74,0 Euro. Aufgabe 98: Es werden 6 Jahre lang am Anfang jedes Jahres jeweils.400,00 Euro eingezahlt und mit % verzinst. Welcher Betrag ist nach 6 Jahren entstanden? q n p 00 n 6 6 q, q, 0 00 E v = r q n q q 6,0 0, , , 8 E6.400,0,0 0,0 Das Kapital ist auf 49.87,78 Euro angewachsen. Aufgabe 99: Welcher Betrag muss bei einer Verzinsung von % eingezahlt werden, damit für Jahre an jedem Jahresende eine Rente von 500 Euro ausgezahlt werden kann? 00-46

201 B = r n n q q n q q n p 00 n B.500,0,0 4.9, 0,0 Es muss ein Betrag von 4.9,0 Euro eingezahlt werden. Aufgabe 00: Welcher Betrag muss bei % Verzinsung eingezahlt werden, damit für Jahre an jedem Jahresanfang eine Rente von 500 Euro ausgezahlt werden kann? B v = R n q n q q q n p 00 n B =.500,0,0 5.78, 94,0 Es muss ein Betrag von 5.78,94 Euro eingezahlt werden. Aufgabe 0: Herr A. zahlt 5 Jahre lang am Ende jedes Jahres.000 ein (i = 4%). Von dem ersparten Geld will er 0 vorschüssige Jahresraten abheben, beginnend 5 Jahre nach der letzten Einzahlung. Wie hoch ist eine Rate? Wert 5 Jahre nach der letzten Einzahlung: Endwert (nachschüssig), aufgezinst durch 5 Jahre E B n v n 5 q,04 R ,60 q,04 0.0,6, ,76 Das ist der Barwert der neuen Rente (vorschüssig): 0-46

202 B v R n q n q B R q v (q ) q n q n.7,64 Aufgabe 0: Frau B. nimmt einen Kredit von 5000 mit einer Laufzeit von 0 Jahren auf, den sie in nachschüssigen Monatsraten zurückzahlen will (i = 8%). Wie hoch ist eine Rate? Den Aufzinsungsfaktor erhalten wir aus dem konformen Monatszinssatz: q = + i =,08 =,0064. Die Kreditsumme ist der Barwert, es sind 0 nachschüssige Raten zu zahlen: 5000 = R ( -, )/0,0064 R = 79,

203 Aufgabe 0: MATHEMATIK Herr Fröhlich zahlt 0 Jahre lang am Ende jeden Jahres.500 EUR auf ein Sparkonto. Wie viel Euro beträgt das Guthaben am Ende des 0. Jahres bei einer jährlichen Verzinsung von 6,5%? Aufgabe 04: Frau Sparsam zahlt 5 Jahre lang am Anfang jeden Jahres EUR auf ein Sonderkonto ein. Die jährliche Verzinsung beträgt 7%. Wie hoch ist das Guthaben am Ende des 5. Jahres? Aufgabe 05: Wie viel Jahre lang muss man am Anfang jeden Jahres 4.50 EUR auf ein Sparkonto einzahlen, bis am Ende des Jahres der letzten Einzahlung EUR Guthaben überschritten werden; Zinssatz 5,5%? Aufgabe 06: 0-46

204 Herr Kugler zahlt 0 Jahre lang am Ende jeden Jahres.800 EUR auf ein Sparkonto. Bis zum Ende des 4. Jahres beträgt der Zinssatz 6%, ab Beginn des 5. Jahres 6,5%. Wie viel Euro beträgt das Guthaben am Ende des 0. Jahres? Aufgabe 07: Herr Liebig will einmalig so viel Geld einzahlen, dass er davon 5 Jahre lang am Anfang jeden Jahres eine Rente von EUR beziehen kann. Welchen Betrag muss er bei einem Zinssatz von 6,75% anlegen? Aufgabe 08: Aus einer Erbschaft soll 0 Jahre lang eine nachschüssige Rente von EUR gezahlt werden. Der Erbe wünscht die sofortige Auszahlung seines Rentenanspruchs in einem Betrag. Wie viel Euro sind auszuzahlen, wenn mit 5,5% Jahreszinsen gerechnet wird? 04-46

205 Aufgabe 09: Frau Schöne zahlt am Jahresbeginn EUR ein. Sie will davon am Ende jeden Jahres eine Rente beziehen. Die erste Auszahlung soll am Ende des ersten Jahres erfolgen. Wie viel Euro beträgt die Rente bei 6% Jahreszinsen und einer Laufzeit von 0 Jahren? 05-46

206 Aufgabe 0: Herr Martin zahlt am Anfang eines Jahres EUR auf ein Konto ein und leistet i n den folgenden 5 Jahren am Jahresende jeweils eine Sonderzahlung von EUR. Wie viel Euro beträgt das Guthaben am Ende des 5. Jahres bei % Verzinsung? Aufgabe : Ein Barvermögen von EUR wird zu 6,5% verzinst. Es sollen am Anfang eines jeden Jahres.000 EUR abgehoben werden. Auf wieviel EUR sinkt das Vermögen bis zum Ende des 4. Jahres? Aufgabe : Eine vorschüssige Rente von.600 EUR pro Jahr läuft bei einer jährlichen Verzinsung von 5,5% Jahre lang. Wie hoch ist der Endwert der Rente? Aufgabe : Eine nachschüssige Jahresrente von EUR hat eine Laufzeit von 0 Jahren. Die jährliche Verzinsung beträgt 4,5%. Wie hoch ist der Barwert der Rente? 06-46

207 Aufgabe 4: Ein Vater will für das Studium seiner Tochter in 6 Jahren EUR zur Verfügu ng haben. Welchen Betrag muss er am Ende eines jeden Jahres auf ein Sparkonto einzahlen, wenn die Bank das Guthaben jährlich mit 5% verzinst? Aufgabe 5: Die Inhaberin einer Boutique hat am Ende eines Jahres auf ihrem Sparkonto ein Guthaben von.000 Euro. Vom Beginn des nächsten Jahres an zahlt sie über 8 Jahre jeweils am Jahresanfang.000 Euro dazu. Das Guthaben wird jährlich mit 5% verzinst. Wie hoch ist das Guthaben am Ende des letzten Einzahlungsjahres? Aufgabe 6: Eine vorschüssige Jahresrente von Euro hat bei einer jährlichen Verzinsung von 6% einen Barwert von 5.47 Euro. Wie lange wird die Rente ausbezahlt? 07-46

208 Aufgabe 7: Aus einem Stiftungskapital von Euro erhält ein Institut am Anfang eines jeden Jahres einen Betrag von Euro. Mit welchem Zinssatz wird das Kapital jährlich verzinst? 08-46

209 Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben Aufgabe 8: MATHEMATIK Ein Sparer zahlt über 0 Jahre jeweils am Ende des Jahres.500 Euro ein. Dabei bewegt sich der Zinssatz bei 7,5%. Anschließend bleibt das angesparte Kapital über 0 Jahre liegen. Dabei bekommt der Sparer in den ersten fünf Jahren 4% und in den zweiten fünf Jahren 6,5% Zinsen. Anschließend möchte der Sparer ein über 0 Jahre laufende Rente jeweils am Anfang des Jahres erhalten. Der Zinssatz beträgt in diesem Zeitraum 4%. Wie groß ist seine Rate die er erhält? E n = R ( qn q ) =.500 (,0750 ) =.0,6 Euro,075 K n = K 0 q n =.0,6 Euro,04 5 = 5.88,4 Euro K n = K 0 q n = 5.88,4 Euro,065 5 = 5.7,09 Euro B v = R q n (qn q ) R = B v q n (q ) q n Aufgabe 9: = 5.7,09,049 (,04 ),04 0 =.50,7 Euro Ein besonderer Sparvertrag sichert einem Sparer einen Zinserhöhung zu, wenn er Jahre lang fest anlegt. Er bekommt in den ersten Jahren % Zins, im. und 4. Jahr,5 % Zins, im 5. und 6. Jahr 4 % und im 7. Jahr 5 % Zins. a) (4) Berechnen Sie das so angesparte Vermögen. b) (6) Er möchte von dem ersparten Betrag eine jährliche nachschüssige Rente über 8 Jahre ausbezahlt bekommen bei einem konstanten Zinssatz von 7%. Wie hoch ist die jährliche Rate? a) K 7 = 0.000,0,05,04,05 =.906,58 Euro b) B n = R q n qn q R = B n q n (q ) q n Aufgabe 0: =.906,58,078 (,07 ), =.6,4 Euro

210 Vor sechs Jahren plante das Ehepaar Berger, sich später ein Eigenheim zu kaufen. Ihr Bankguthaben betrug damals Euro. Seitdem haben Sie jedes Jahr Euro gespart, die sie am Jahresende auf ihr Konto eingezahlt haben. Bei allen Berechnungen ist ein Zinssatz von 5% zugrunde zu legen. a) (6) Wie viel haben die Bergers inzwischen angespart? b) (6) Bergers prüfen verschiedene Verkaufsangebote in ihrer Gegend. Haus A kostet sofort. Für Haus B sind sofort , nach zwei Jahren weitere und nach insgesamt vier Jahren noch einmal zu zahlen. Welches ist natürlich nur bezogen auf den Preis - das günstigste Angebot? a) Kn = , ,056 (,05 ) Die Bergers haben 8.670,77 angespart. b) Barwert Haus A: Barwert Haus B: = 8 670,77 Euro /, /, ,0. Haus B ist mit einem Barwert von ,0 das günstigste. 0-46

211 Aufgabe : MATHEMATIK Ein Makler erhält auf das Angebot "Villa mit Seeblick gegen Höchstgebot zu verkaufen" folgende Angebote: A ,- in bar, ,- zahlbar nach 5 Jahren; B ,- in bar, im Abstand von jeweils Jahren zwei Raten von je 0.000,- i; C ,- in bar, im Abstand von jeweils Jahren drei Raten von je ,- i. Berechnen Sie das Höchstgebot, wenn eine durchschnittliche Verzinsung von p = 4,5% angenommen werden kann. Aufgabe : Die Eltern beschließen anlässlich der Geburt Ihrer Tochter, für ein späteres St udium einen jährlich gleichbleibenden Betrag auf ein Sparkonto einzuzahlen. Bei der Eröffnung des Sparkontos am Tag der Geburt, zahlt der Vater den Einmalbetrag von 5.000,00 ein. Zusätzlich verpflichten sich die Eltern, beginnend am folgenden. Geburtstag, bis zum 8.Geburtstag (einschließlich) an jedem Geburtstag den Betrag von 000,00 auf das Sparkonto einzuzahlen. a.) Berechnen Sie das Guthaben am 8. Geburtstag! (p =,75%) b.) Nach bestandener Fachhochschulreife erlernt die Tochter zunächst einen kaufmännischen Beruf, bevor Sie ein Studium an einer Fachhochschule aufnimmt. Berechnen Sie das Guthaben am. Geburtstag, wenn keine weiteren Einzahlungen erfolgen. (p=,75%). c.) Wie viel Jahre kann die Tochter jährlich vorschüssig den Betrag von 806,65 abheben, wenn das am. Geburtstag vorhandene Guthaben aufgebraucht wird? (p =,75%) -46

212 -46

213 Aufgabe : MATHEMATIK Eine Firma gewährt einem Angestellten einen Ratensparvertrag und zahlt ihm monatlich 00 auf ein Sonderkonto ein (nachschüssig). Die Bank gewährt einen Zinssatz von 4,5 % p. a., wenn das Geld mindestens 5 Jahre nicht abgehoben wird. Es wird monatlich verzinst. a) Wie hoch ist der Kontostand, nach 5 Jahren? b) Wie hoch ist der Kontostand, nach 5 bzw. 0 bzw. 5 Jahren, wenn der Angestellte anfänglich noch 000 einzahlt. c) Er will nach 0 Jahren angespart haben und denkt daher daran, die monatliche Sparrate durch einen Eigenanteil zu erhöhen. Wie viel müsste er monatlich zuschießen? d) Nach welcher Laufzeit hätte er auf seinem Konto, wenn er dieselbe Summe einbezahlt wie sein Arbeitgeber? a) E n b) n 60 q,0075 R 00.49, q 0,

214 c) = d) 4-46

215 Aufgabe 4: Ein besonderer Sparvertrag sichert einem Sparer einen Zinserhöhung zu, wenn er Jahre lang fest anlegt. Er bekommt in den ersten Jahren % Zins, im. und 4. Jahr,5 % Zins, im 5. und 6. Jahr 4 % und im 7. Jahr 5 % Zins. Berechne das so angesparte Vermögen. Welcher konstante mittlere Zinssatz hätte über 7 Jahre hinweg dieselbe End summe bewirkt? 5-46

216 Aufgabe 5: Wie lange muss man ein beliebiges Kapital mit p =,5 % verzinsen, bis es sich verdoppelt hat? 6-46

217 Aufgabe 6: Wie lange muss man ein 000 verzinsen mit (,5 %), damit man 000 erhält? 7-46

218 Aufgabe 7: 8-46

219 Eine Annuitätenschuld über Euro werde jährlich mit 8% verzinst und soll in 5 Jahren getilgt sein. Wie hoch sind die jährlichen Raten? R D q Aufgabe 8: n q ,08 n q 5, ,9 Euro n,08 Welche Rente bekomme ich durch 5 Jahre hindurch jährlich am Ende des Jahres, wenn ich heute gewinne und auf ein Konto lege, das mit 6% verzinst wird? Der Barwert ist und die Formel ergibt damit: B = 5 R, =,06,06 Aufgabe 9: 0000,06 (,06 Es besteht folgender Sparvertrag mit Ihrer Bank: 5 5 R n q n q q (,06 ) ) = R R = 059,6 Raten mit je Euro zahlbar beginnend am..78 jeweils jährlich 5 Raten mit je Euro zahlbar beginnend am..8 jeweils jährlich 4 Raten mit je Euro zahlbar beginnend am..89 jeweils jährlich Es sind folgende Zinssätze vereinbart: bis..8 0% p. a. vom..8 bis..89 9% p. a. ab..90 % p. a. Die eingezahlten Raten bleiben auf dem Sparkonto liegen und werden mit dem jeweiligen Zins weiterverzinst. Berechnen Sie den Wert den das Sparkonto am..994 besitzt. 9-46

220 E E E E v v v v n (q ), 8 4 R q 7.000, 5.487,,09, q 0, n 5 (q ),09 R q 8.000, ,68,09 q 0,09 n (q ),09 R q 0.000, , q 0, ,80 Euro, 6.546,97 Euro n (q ), R q 0.000, 7.097,, 4.70,0 Euro q 0, E 84.80, , , , ,95 Euro Aufgabe 0: , 7 Euro Ein Anfangskapital von Euro ist am..006 bereits vorhanden. Außerdem werde beginnende mit dem Jahre lang jeweils zum Jahresanfang Euro angelegt. Der Zinssatz beträgt 5% p. a. Über welches Endkapital verfügt man am Ende des 0. Jahres? E v , (,05 ) 5000, ,0 0,05 Aufgabe : Bundesschatzbriefe werden zu den unten stehenden Bedingungen angeboten. Verzinsung: Zinssatz. Jahr,75 %. Jahr 4,0 %. Jahr 4,5 % 4. Jahr 4,75 % 5. Jahr 5,0 % 6. Jahr 5,5 % 7. Jahr 5,5 % Zur selben Zeit werden für Sparbriefe der Sparkasse mit 7jähriger Laufzeit 4,65 % Zinsen gezahlt. Vergleiche die Anlageformen, wenn 5500 eingezahlt wurde. Welche Geldanlage bringt den höheren Ertrag? 0-46

221 -46 MATHEMATIK

222 Aufstellen von Funktionen Aufgabe : Gesucht wird eine Funktion 4. Grades, deren Graph achsensymmetrisch zur y-achse verläuft, die y-achse bei y = 0, 5 schneidet und die Punkte A(; 4,5) und B( ; ) enthält. Ansatz: f() = a 4 + b + c + d + e Achsensymmetrie zur y-achse (nur gerade Potenzen ): b = d = 0 Schnittpunkt mit der y-achse : (0; 0,5) : 0,5 = f(0) = e Damit haben wir schon: f() = a 4 + c 0,5 A: 4,5 = 6a + 4c 0,5, also c = 4a B: = 8a + 9c 0,5, also,5 = 8a 6a 9 =>,5 = 45a => a = 0, 5 => c = 4a = = Damit: f() = 0, ,5-46

223 Aufgabe : Gesucht ist eine ganzrationale Funktion. Grades, deren Graph im Ursprung ein Minimum und in A( ) ein Maimum hat. Ansatz: f() = a + b + c + d f () = a + b + c Folgende Bedingungen sind gegeben: f(0) = 0 f (0) = 0 f() = f () = 0 Aus der ersten Bedingung ergibt sich: f(0) = 0 f() = a + b + c + d a 0 + b 0 + c 0 + d = 0 d = 0-46

224 Damit ändert sich die allgemeine Grunddarstellung in: f() = a + b + c Die restlichen Bedingungen in diese Grundgleichung einsetzen: f () = a + b + c f (0) = 0 a 0 + b 0 + c = 0 c = 0 Damit ändert sich die allgemeine Grunddarstellung in: f() = a + b Die restlichen Bedingungen in diese Grundgleichung einsetzen: f() = f() = a + b a + b = 8a + 4b = f () = 0 f () = a + b a + b = 0 a + 4b = 0 Daraus ergeben sich zwei Gleichungen: 8a + 4b = a + 4b = 0 Die zweite Gleichung minus die erste Gleichung: 4a = a = 4 In die erste Gleichung einsetzen: 8a + 4b = 8 ( 4 ) + 4b = 4-46

225 + 4b = 4b = b = 4 Daraus ergibt sich folgende Funktion: f() = Aufgabe 4: Welche ganzrationale Funktion. Grades hat in A( 6) die Tangente y = 7 und in B( 0) einen Wendepunkt? Ansatz: f() = a + b + c + d f () = a + b + c f () = 6a + b Folgende Bedingungen sind gegeben: 5-46

226 f() = 6 f () = f() = 0 f () = 0 Aus der ersten Bedingung ergibt sich: f() = 6 f() = a + b + c + d a + b + c + d = 6 7a + 9b + c + d = 6 Aus der zweiten Bedingung ergibt sich: f () = f () = a + b + c a + b + c = 7a + 6b + c = Aus der dritten Bedingung ergibt sich: f() = 0 f() = a + b + c + d a + b + c + d = 0 a + b + c + d = 0 Aus der vierten Bedingung ergibt sich: f () = 0 f () = 6a + b 6a + b = 0 6a + b = 0 Daraus ergeben sich vier Gleichungen: 7a + 9b + c + d = 6 7a + 6b + c = a + b + c + d = 0 6a + b =

227 In der Matrischreibweise: ( ) Zeile tauschen: ( ) Die erste Zeile mal (-7) auf die zweite Zeile addieren: ( ) Die erste Zeile mal (-7) auf die dritte Zeile addieren: ( ) Die erste Zeile mal (-6) auf die vierte Zeile addieren: ( ) Die zweite Zeile mal (-8), die dritte mal () und beide addieren: ( ) Die zweite Zeile mal (-4), die vierte mal () und beide addieren: ( ) Die dritte Zeile mal (-), die vierte mal (6) und beide addieren: ( ) Aus der vierten Zeile folgt: 7-46

228 67d = 0 d = 0 Aus der dritten Zeile folgt: 6c 60d = 7 6c = 7 c = Aus der zweiten Gleichung folgt: b 6c 7d = b = + 6c b = + 6 b = 6 b = Aus der ersten Gleichung folgt: a + b + c + d = 0 a = b c = ( ) a = Daraus ergibt sich folgende Funktion: f() =

229 Aufgabe 5: Für die Bestimmung der Flugbahn einer Kugel beim Kugelstoßen steht aus Videoaufnahmen die untenstehend zu sehende Messreihe mit 6 Messpunkten zur Verfügung. i[m] yi[m],00 4,9 6,8 6,7 4,88,9 Bei Vernachlässigung des Luftwiderstands darf angenommen werden, dass die Kugel sich auf einer quadratischen Parabel bewegt, die durch folgende Gleichung beschrieben werden kann: y = a 0 + a i + a i Berechnen Sie die Parameter a0, a und a. Mit den gegebenen Zahlenwerten lautet das Gleichungssystem: a 0 =,00 a 0 + 4a + 6a = 4,9 a 0 + 8a + 64a = 6,8 a 0 + a + 44a = 6,7 a 0 + 6a + 56a = 4,88 a 0 + 0a + 400a =,9 Der Wert von a0 kann sofort aus der ersten Gleichung bestimmt werden: a 0 = 9-46

230 Dieser Wert wird in die anderen Gleichungen eingesetzt und damit ergibt sich ein neues Gleichungssystem. 4a + 6a =,9 8a + 64a = 4,8 a + 44a = 4,7 6a + 56a =,88 0a + 400a = 0,09 Da es sich hierbei um ein überbestimmtes LGS handelt, werden die fehlenden Werte aus den beiden ersten Gleichungen berechnet und mit den restlichen zwei Gleichungen überprüft. 4a + 6a =,9 8a + 64a = 4,8 () mal (-) plus () a =,48 a = 0,0465 In ()eingesetzt 4a =.9 6 ( 0,0465) a = 0,975 In die anderen noch nicht benutzten Gleichungen einsetzten und das Ergebnis bestätigen. Daraus ergibt sich folgende Funktion: f() = + 0,975 i 0,0465 i Aufgabe 6: Der Graph K einer ganzrationalen Funktion f vom Grad 4 ist achsensymmetrisch zur y- Achse und hat den Tiefpunkt T( ) und den Wendepunkt W( ). Bestimmen Sie f(). Ansatz: f() = a 4 + b + c + d + e f () = 4a + b + c + d f () = a + 6b + c Folgende Bedingungen sind gegeben: Achsensymmetrisch zur y-achse, also können nur gerade Hochzahlen vorkommen. Deshalb reduziert sich der Ansatz auf folgende Form: 0-46

231 f() = a 4 + c + e f () = 4a + c f () = a + c Folgende weitere Bedingungen sind gegeben: f( ) = f ( ) = 0 f() = f () = 0 Aus der letzten Bedingung ergibt sich: f () = 0 f () = a + c a + c = 0 a + c = 0 Aus der dritten Bedingung ergibt sich: f() = f() = a 4 + c + e a 4 + c + e = a + c + e = Aus der zweiten Bedingung ergibt sich: f ( ) = 0 f () = 4a + c 4a + c = 0 a + c = 0 Aus der ersten Bedingung ergibt sich: f( ) = f() = a 4 + c + e a 4 + c + e = 9a + c + e = -46

232 Daraus ergeben sich folgende Gleichungen: a + c = 0 a + c + e = a + c = 0 9a + c + e = Die erste und die dritte Gleichung sind gleich, also ergibt sich folgendes Gleichungssystem: a + c = 0 a + c + e = 9a + c + e = Die zweite minus die dritte: 8a c = 4 a + c = 0 Beide Gleichungen addieren: 4a = 4 a = Einsetzen: 8a c = 4 c = 4 + 8a c = c = c = 6 a + c + e = e = a c e = ( 6) e = 8 Daraus ergibt sich folgende Funktion: f() =

233 Aufgabe 7: Der Graph K einer Eponentialfunktion f mit f() = a e b enthält einen Hochpunkt H( ). Bestimmen Sie f(). Ansatz: f() = a e b f () = a e b + a b e b = a( + b)e b f () = a( + b)e b Folgende Bedingungen sind gegeben: f() = f () = 0 Aus der ersten Bedingung ergibt sich: f() = f() = a e b a e b = ae b = -46

234 Aus der zweiten Bedingung ergibt sich: f () = 0 f () = a( + b)e b a( + b )e b = 0 Daraus ergeben sich folgende Gleichungen: ae b = a( + b )e b = 0 Die erste Bedingung nach a auflösen: In die andere Gleichung einsetzen: ae b = a = = e b eb a = e b a( + b )e b = 0 e b ( + b )e b = 0 ( + b ) eb e b = 0 ( + b ) = 0 b = b = In die andere Gleichung einsetzen: a = e b a = e ( ) a = e a = e Daraus ergibt sich folgende Funktion: f() = e e 4-46

235 5-46 MATHEMATIK

236 Aufgabe 8: Suchen Sie für folgendes Schaubild eine passende Polynomfunktion f() vom Grad vier. Ansatz: f() = a 4 + b + c + d + e f () = 4a + b + c + d Folgende Bedingungen sind laut Schaubild gegeben: Die Funktion ist achsensymmetrisch und besitzt deshalb nur gerade Hochzahlen: f() = a 4 + c + e f () = 4a + c f(0) = f() = 0 f () = 0 Aus der ersten Bedingung ergibt sich: f(0) = f() = a 4 + c + e 6-46

237 a c 0 + e = e = Daraus ergibt sich: f() = a 4 + c + f () = 4a + c Aus der zweiten Bedingung ergibt sich: f() = 0 f() = a 4 + c + a 4 + c + = 0 6a + 4c + = 0 6a + 4c = Aus der dritten Bedingung ergibt sich: f () = 0 f () = 4a + c 4a + c = 0 a + 4c = 0 Daraus ergeben sich die beiden Gleichungen: a + 4c = 0 6a + 4c = Die erste Gleichung minus die zweite Gleichung: 6a = + a = 6 In die eine der beiden Gleichungen einsetzen: 6a + 4c = 4c = 6a 4c = 6 ( 6 ) 7-46

238 4c = 6 c = 6 4 c = Daraus ergibt sich folgende Funktion: Aufgabe 9: f() = Suchen Sie für folgendes Schaubild eine passende Polynomfunktion f() vom Grad drei. Ansatz: f() = a + b + c + d f () = a + b + c f () = 6a + b Folgende Bedingungen sind laut Schaubild gegeben: f(0) = 0 Daraus folgt sofort für die allgemeine Gleichung: 8-46

239 f() = a + b + c + d a 0 + b 0 + c 0 + d = 0 d = 0 Daraus folgt für den Ansatz: f() = a + b + c f () = a + b + c f () = 6a + b Weitere Bedingungen die durch das Schaubild gegeben sind: f() = f () = 0 f () = 0 Aus der ersten Bedingung ergibt sich: f() = f() = a + b + c a + b + c = 8a + 4b + c = Aus der zweiten Bedingung ergibt sich: f () = 0 f () = a + b + c a + b + c = 0 a + 4b + c = 0 Aus der dritten Bedingung ergibt sich: f () = 0 f () = 6a + b 6a + b = 0 a + b = 0 Daraus ergeben sich folgende Gleichungen: 8a + 4b + c = a + 4b + c =

240 a + b = 0 Aus der dritten Gleichung: In die zweite Gleichung einsetzen: a + b = 0 a = b a = b ( b) + 4b + c = 0 b + 4b + c = 0 c = b a und c in Abhängigkeit von b in die erste Gleichung einsetzen: 8a + 4b + c = 8 ( b) + 4b + ( b) = 6 b + 4b 4b = 6 b = b = 4 6 b = a berechnen: a = b a = ( ) a = 6 4 a = 4 c berechnen: c = ( ) c = 40-46

241 Daraus ergibt sich folgende Funktion: f() = a + b + c f() =

242 Wiederholungsaufgaben und alte Klausuraufgaben Aufgabe 40: Gesucht ist eine ganzrationale Funktion. Grades mit Hochpunkt H(0 ) und Wendepunkt W( - 4 ).) Die Bedingungen lauten: f(0) = f() = - 4 f '(0) = 0 f ''() = 0.) Bei vier Bedingungen setzt man eine Funktion.Grades an: f() = a + b + c + d Weiter gilt: f '() = a + b + c und f ''() = 6a + b.) Einsetzen der Bedingungen ergibt: f(0) = => d = f() = -4 => 8a + 4b + c + d = - 4 f '(0) = 0 => c = 0 f ''() = 0 => a + b = 0 4.) Die Lösung des linearen Gleichungssystems lautet: a = ; b = - 6; c = 0; d =. Der Funktionsterm lautet daher f() = ) Überprüfen der hinreichenden Bedingungen: f ''(0) = - < 0 => es liegt tatsächlich ein Hochpunkt vor! f '''() = 6 => es liegt ein Wendepunkt vor. Die oben gefundene Lösung ist folglich korrekt. 4-46

243 Aufgabe 4: Bestimmen Sie die ganz-rationale Funktion. Grades f(), auf deren Graph die gegebenen vier Punkte liegen: P(/4); Q(/0); R(9/76); S(0 0) Ansatz: f() = a + b + c + d Aus den vier Punkten ergeben sich vier Gleichungen f() = 4 f() = 0 f(9) = 76 f(0) = 0 Aus der letzten Bedingung ergibt sich: f(0) = 0 f() = a + b + c + d a 0 + b 0 + c 0 + d = 0 d =

244 Damit ändert sich die allgemeine Grunddarstellung in: f() = a + b + c Die restlichen Bedingungen in diese Grundgleichung einsetzen: f() = 4 f() = a + b + c a + b + c = 4 a + b + c = 4 f() = 0 f() = a + b + c a + b + c = 0 7a + 9b + c = 0 f(9) = 76 f() = a + b + c a 9 + b 9 + c 9 = 76 79a + 8b + 9c = 76 Daraus ergeben sich drei Gleichungen: a + b + c = 4 7a + 9b + c = 0 79a + 8b + 9c = 76 In Matrischreibweise: 4 ( 7 9 0) Die erste Zeile mal (-7) und auf die zweite addieren: 4 ( ) Die erste Zeile mal (-79) und auf die dritte addieren: 4 ( )

245 Die zweite Zeile mal (-6) und auf die dritte Zeile addieren: 4 ( ) Aus der dritten Zeile ergibt sich: 44c = 688 c = In die zweite Zeile eingesetzt: 8b 4c = 98 8b = c 8b = b = b = b = 8b = b = ( 8) b = = 5 7 Aus der ersten Gleichung ergibt sich: a + b + c = 4 a = 4 b c a = 4 ( 5 7 ) = = Daraus ergibt sich folgende Funktion: f() =

246 46-46