Statistik. Finanzmathematik 1-15

Transkript

1 Prüfungsdauer: Hilfsmittel: 90 Minuten Taschenrechner (nicht grafikfähig und nicht programmierbar) und Formelsammlung Die Klausur besteht aus 14 Aufgaben im Pflichtteil, die alle bearbeitet werden müssen. Auf die Prüfungsordnung wurde hingewiesen. Aufgabe Nr. max. Punkte erreichte Punkte Summe Statistik Summe Mathematik 50 Summe Gesamt: 100 Statistik Finanzmathematik Zweitgutachter Bemerkungen Punkte:...Note:... Datum:... Unterschrift Prüfer:

2 Aufgaben Pflichtteil (alle müssen bearbeitet werden) Aufgabe 1: (5) Gegeben sind die Inflationsraten gegenüber dem jeweiligen Vorjahr aus acht aufeinander folgenden Jahren. Jahr t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 Inflation gegenüber Vorjahr in % 0,2% 1,3% 2,8% 2,7% 3,5% 4,0% 4,2% 3,0% Ermitteln Sie die durchschnittliche Inflationsrate in Prozent! 8 x geo = 1,02 1,013 1,028 1,027 1,035 1,04 1,042 1,03 Aufgabe 2: (8) Es liegen Ihnen die Gewichtsangaben (in Kg) von 60 Personen vor: = 1,0293 = 2,93% Erstellen Sie für diese Gewichtsangaben eine Häufigkeitstabelle. Diese Häufigkeitstabelle sollte die relative Häufigkeit und die absolute kumulierte Häufigkeit enthalten. 2-15

3 Aufgabe 3: (7) In einer Urne befinden sich 4 schwarze, 6 weiße und 2 rote Kugeln. a)(4) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei zufällig herausgegriffene Kugeln die gleiche Farbe haben? b)(3) Es werden acht Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Welches ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau drei der gezogenen Kugeln schwarz sind? a) Es geht weiß/weiß, schwarz/schwarz oder rot/rot = = = 1 3 b) Binomialverteilung b (3; 8; 4 12 ) = (8 3 ) ( 4 12 ) 3 ( 8 12 ) 5 = 0,2731 Aufgabe 4: (5) 3-15

4 Für die Mitarbeit in einem Komitee haben sich 14 Personen beworben, davon haben 5 bereits in dieser Art von Komitee mitgearbeitet, die übrigen 9 noch nicht. Es werden nun 5 Mitglieder per Losentscheid ausgewählt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 3 erfahrene Mitglieder in dem Komitee arbeiten werden? ( 5 P(A) = 3 ) (9 2 ) ( 14 = 0, ) 4-15

5 Aufgabe 5: (8) In einer Form werden Platten gefertigt, bei denen das Konstruktionsmaß der Länge X mit 3600 mm angegeben ist. Aus statistischen Langzeituntersuchungen ist bekannt, dass die Zufallsgröße X normalverteilt ist. Die Verteilungsparameter betragen x = 3600 mm und s = 10 mm a) (5) Wie groß ist der prozentuale Anteil der Platten, deren Länge X im Intervall 3600 x 3625 liegt? b) (3) Ein Toleranzintervall der Form 3600 d X d soll höchstens 5 % Ausschuss ergeben. Wie groß muss d gewählt werden? a) z = x i x s = = 2,5 s10 In Tabelle nachschauen: 0,9938 0,9938 0,5000 = 0,4938 b) Suchen von 0,9500 in der symmetrische Tabelle, daraus ergibt sich: z = 1,96 z = x i x s z s = x i x x i = x ± z s = 3600 ± 1,96 10 = 3600 ± 19,6 Aufgabe 6: (8) Man rechnet mit 5 % Schwarzfahrern auf einer bestimmten Buslinie. Wie viele Fahrgäste muss der Kontrolleur mindestens nach ihrem Fahrschein fragen, bis er mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 % mindestens einen Schwarzfahrer ertappt hat? P(X 1) 0,9 1 P(X = 0) 0,9 P(X = 0) 0,1 P(X = 0) 0,1 ( n 0 ) 0,050 0,95 n 0 0,1 0,95 n 0,1 5-15

6 ln(0,95 n ) ln(0,1) n ln(0,95) ln(0,1) n ln(0,1) ln(0,95) n 44,89 also n 45 Aufgabe 7: (6) Wie viele verschiedene zehnstellige Zahlen kann man aus 6 Fünfern und 4 Siebenern bilden? Aufgabe 8: (3) Was ist Marktforschung? Markforschung ist die Funktion, die den Konsumenten, Kunden und die Öffentlichkeit durch Informationen mit dem Anbieter verbindet. 6-15

7 Aufgaben Pflichtteil (alle müssen bearbeitet werden) Aufgabe 9: (10) Ein Industriebetrieb verarbeitet die Rohstoffe R1, R2, R3 und R4 zu den Zwischenprodukten Z1, Z2 und Z3. Aus diesen Zwischenprodukten werden zwei Endprodukte E1 und E2 hergestellt. Der folgende Graph (auch Gozintograph genannt) zeigt, wie viele Mengeneinheiten (ME) der Rohstoffe für eine ME eines Zwischenproduktes und wie viele ME der Zwischenprodukte für eine ME eines Endproduktes benötigt werden. a) (4) Berechnen Sie die Rohstoff/Zwischenproduktmatrix A, die Zwischen-/Endproduktmatrix B sowie die Rohstoff/Endproduktmatrix C. b) (6) Ein Kunde bestellt 20 ME von Endprodukt E1 und 30 ME von Endprodukt E2. Berechnen Sie die zur Abwicklung des Auftrages notwendigen Mengen an Rohstoffen und an Zwischenprodukten. a) 7-15

8 b) Aufgabe 10: (9) Untersuchen Sie für folgende Funktion f(x) auf Achsen- und Punktsymmetrie, Schnittpunkte mit der x- und y-achse und Extrempunkte. f(x) =

9 Definitionsmenge: D = R\{±2} Symmetrie: Punktsymmetrie: f(x) = f( x) f(x) = 8 8 f( x) = ( x) 2 4 = 8 Keine Punktsymmetrie Achsensymmetrie: f(x) = f( x) f(x) = 8 8 f( x) = ( x) 2 4 = 8 Achsensymmetrie ist vorhanden. Schnittpunkte mit den Achsen: x-achse: f(x) = 0 f(x) = 8 8 = 0 Keine Lösung, also auch keine Schnittpunkte y-achse: f(0) = y f(x) =

10 f(0) = = 2 N y (0 2) Extrempunkte: f (x) = 0 f(x) = 8 f (x) = 0 (x2 4) 8 2x () 2 = 16x () 2 16x = 0 x = 0 f (x) = 16 (x2 4) 2 16x 2() 2x () 4 = 16x x 2 () 3 = 48x2 64 () 3 = 48x () 3 f (x) = 48x () 3 f (0) = (0 2 4) 3 = = 1 Daraus folgt ein Hochpunkt f(0) = = 2 HP(0 2) 10-15

11 Aufgabe 11: (10) Im Monat benötigt ein Mensch mindestens 600 mg Vitamin B und 300 mg Vitamin H. Um diesen Bedarf durch Medikamente abzudecken, werden zwei verschiedene Sorten A und B angeboten: In einem Gramm der Sorte A sind 30 mg Vitamin B und 10 mg Vitamin H. In Sorte B sind 10 mg Vitamin B und 20 mg Vitamin H enthalten. Sorte A kostet 0,12 Sorte B 0,08. Wie viel Gramm jeder Sorte muss ein Mensch monatlich zu sich nehmen, um den Bedarf möglichst günstig abzudecken? Stellen Sie hierzu eine Zielfunktion und Nebenbedingungen auf. Lösen Sie das Problem mit dem graphischen Lösungverfahren. Setze: x = Menge Sorte A, y = Menge Sorte B. Aufgabe 12: (5) Eine 15 Euro teure Aktie steigt in einem Monat um 2%, im folgenden Monat fällt sie um 5%, im darauf folgenden Monat steigt sie erneut um 1%. Geben Sie an um wie viel Euro die Aktie insgesamt nach den 3 Monaten gestiegen oder gefallen ist! 11-15

12 15 1,02 0,95 1,01 = 14,68 0,32 Abnahme Aufgabe 13: (6) Gundula hat ein Konto mit einem Kapital von 1200 Euro, sie bekommt jedes Jahr 6% Zinsen. a) (3) Wie viel Geld ist nach einem Jahr auf ihrem Konto? b) (3) Sie möchte sich gerne den Plasmafernseher Ghina Multi Session Deluxe 2020 kaufen. Doch der Plasmafernseher kostet 1514,97 Euro. Angenommen sie legt nichts zu ihrem Konto dazu und wartet bis es durch die Zinsen so viel geworden ist das sie sich ihren Fernseher kaufen kann. Wie viele Jahre müsste sie warten? a) K n = K 0 q n = ,06 = 1272 Euro Nach einem Jahr wären 1272 Euro auf ihrem Konto. b) K n = K 0 q n q n = K n K 0 ln(q n ) = n = ln ( K n K ) 0 ln (q) = ln ( 1514, ) ln (1,06) Aufgabe 14: (10) = 4 Jahre Vor sechs Jahren plante das Ehepaar Berger, sich später ein Eigenheim zu kaufen. Ihr Bankguthaben betrug damals Euro. Seitdem haben Sie jedes Jahr Euro gespart, die sie am Jahresende auf ihr Konto eingezahlt haben. Bei allen Berechnungen ist ein Zinssatz von 5% zugrunde zu legen. a) (4) Wie viel haben die Bergers inzwischen angespart? b) (6) Bergers prüfen verschiedene Verkaufsangebote in ihrer Gegend. Haus A kostet sofort. Für Haus B sind sofort , nach zwei Jahren weitere und nach insgesamt vier Jahren noch einmal zu zahlen. Welches ist natürlich nur bezogen auf den Preis - das günstigste Angebot? a) Kn = , ,056 1 (1,05 1) = ,77 Euro.

13 Die Bergers haben ,77 angespart. b) Barwert Haus A: Barwert Haus B: /1, /1, ,02. Haus B ist mit einem Barwert von ,02 das günstigste

14 Anhang 14-15

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