Abiturprüfung Mathematik, Grundkurs

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1 Seite 1 von 8 Abiturrüfung 2009 Mathematik, Grundkurs Aufgabenstellung Die folgende Tabelle zeigt die Häufigkeit der Blutgruen in Deutschland in Prozent. Blutgrue A 0 B AB Rh Rh Quelle: Wikiedia.org/wiki/Blutgruen Die Universitätsklinik einer deutschen Großstadt ruft zur Blutsende auf. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass (1) von 90 Sendern höchstens einer die Blutgrue A Rh besitzt, (2) von 100 Sendern mindestens 5 die Blutgrue AB besitzen. (8 Punkte) b) Ermitteln Sie die Anzahl der Sender, die benötigt werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % mindestens einmal die seltene Blutgrue AB Rh zu erhalten. (8 Punkte) c) Nach Angaben der Deutschen Diabetes-Union beträgt der Anteil der Diabetiker an der Bevölkerung etwa 8 %. Bei der Blutsende werden alle Sender mit einem Schnelltest auf Diabetes untersucht. Dabei werden an Diabetes Erkrankte mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % erkannt, während 2 % als Diabetiker eingestuft werden, obwohl sie nicht erkrankt sind. Stellen Sie den Sachverhalt in einem Baumdiagramm oder einer Vierfeldertabelle dar. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: E 1 : Das Testergebnis lautet kein Diabetiker. E 2 : Ein als Diabetiker eingestufter Sender ist in Wirklichkeit nicht erkrankt. (12 Punkte)

2 Seite 2 von 8 d) Im Monat Dezember erhalten die Sender außer der Aufwandsentschädigung auch ein kleines Päckchen mit Süßigkeiten des lokalen Süßwarenfabrikanten. Besonders begehrt sind die Chamagnertrüffel, die aber wegen ihres Preises nicht in jedem Päckchen vorhanden sind. Ermitteln Sie, wie groß der Anteil an Päckchen mit Chamagnertrüffeln sein muss, damit mit mindestens 90-rozentiger Wahrscheinlichkeit in mindestens einem von zwanzig Päckchen diese Trüffel gefunden werden. (10 Punkte) e) Für eine Langzeitstudie benötigt man 100 Personen mit der Blutgrue 0. Bestimmen Sie die Anzahl der Personen, die man mindestens auf ihre Blutgrue untersuchen müsste, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % diese 100 Personen zu finden. (12 Punkte) Für eine binomialverteilte Zufallsgröße X mit Standardabweichung σ> 3 gilt näherungsweise: P( μ 1,64σ X μ + 1,64 σ) 0,90 P( μ 1,96σ X μ + 1,96 σ) 0,95 P( μ 2,58σ X μ + 2,58 σ) 0,99 PX ( μ + 1,28 σ) 0,90 PX ( μ + 1,64 σ) 0,95 PX ( μ + 2,33 σ) 0,99

3 Seite 3 von 8 Zugelassene Hilfsmittel: Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit) Mathematische Formelsammlung Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Muttersrachliches Wörterbuch für Studierende, deren Muttersrache nicht Deutsch ist Tabelle 1: σ-regeln für Binomialverteilungen Eine mit den Parametern n und binomialverteilte Zufallsgröße X hat den Erwartungswert μ = n und die Standardabweichung σ= n (1 ). Wenn die LAPLACE-Bedingung σ> 3 erfüllt ist, gelten die σ-regeln: P( μ σ< X <μ +σ) 0,683 P( μ 1,64σ< X <μ + 1,64 σ) 0,90 P( μ 2σ< X <μ + 2 σ) 0,954 P( μ 1,96σ< X <μ + 1,96 σ) 0,95 P( μ 3σ< X <μ + 3 σ) 0,997 P( μ 2,58σ< X <μ + 2,58 σ) 0,99

4 Seite 4 von 8 Tabelle 2: Kumulierte Binomialverteilung für n = 10 und n = 20 n n Fnk ( ; ; ) = Bn ; ; Bnk ; ; = k 0 n 0 k ( ) ( ) ( ) ( ) n k 0,02 0,05 0,1 0,2 0,25 0,3 0,5 n 0 0,8171 0,5987 0,3487 0,1074 0,0563 0,0282 0, ,9838 0,9139 0,7361 0,3758 0,2440 0,1493 0, ,9991 0,9885 0,9298 0,6778 0,5256 0,3828 0, ,9990 0,9872 0,8791 0,7759 0,6496 0, ,9999 0,9984 0,9672 0,9219 0,8497 0, ,9999 0,9936 0,9803 0,9527 0, ,9991 0,9965 0,9894 0, ,9999 0,9996 0,9984 0, ,9999 0, Nicht aufgeführte Werte sind (auf 4 Dez.) 1, , ,6676 0,3585 0,1216 0,0115 0,0032 0,0008 0, ,9401 0,7358 0,3917 0,0692 0,0243 0,0076 0, ,9929 0,9245 0,6769 0,2061 0,0913 0,0355 0, ,9994 0,9841 0,8670 0,4114 0,2252 0,1071 0, ,9974 0,9568 0,6296 0,4148 0,2375 0, ,9997 0,9887 0,8042 0,6172 0,4164 0, ,9976 0,9133 0,7858 0,6080 0, ,9996 0,9679 0,8982 0,7723 0, ,9999 0,9900 0,9591 0,8867 0, ,9974 0,9861 0,9520 0, ,9994 0,9961 0,9829 0, ,9999 0,9991 0,9949 0, ,9998 0,9987 0, ,9997 0, , , , Nicht aufgeführte Werte sind (auf 4 Dez.) 1, , n 0,98 0,95 0,9 0,8 0,75 0,7 0,5 k n Bei grau unterlegtem Eingang, d. h. 0,5, gilt: Fnk ( ; ; ) = 1 abgelesener Wert n k

5 Seite 5 von 8 Tabelle 3: Kumulierte Binomialverteilung für n = 50 n n Fnk ( ; ; ) = Bn ; ; Bnk ; ; = k 0 n 0 k ( ) ( ) ( ) ( ) n k 0,02 0,05 0,1 0,2 0,25 0,3 0,4 0,5 n 0 0,3642 0,0769 0,0052 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0, ,7358 0,2794 0,0338 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0, ,9216 0,5405 0,1117 0,0013 0,0001 0,0000 0,0000 0, ,9822 0,7604 0,2503 0,0057 0,0005 0,0000 0,0000 0, ,9968 0,8964 0,4312 0,0185 0,0021 0,0002 0,0000 0, ,9995 0,9622 0,6161 0,0480 0,0070 0,0007 0,0000 0, ,9999 0,9882 0,7702 0,1034 0,0194 0,0025 0,0000 0, ,9968 0,8779 0,1904 0,0453 0,0073 0,0001 0, ,9992 0,9421 0,3073 0,0916 0,0183 0,0002 0, ,9998 0,9755 0,4437 0,1637 0,0402 0,0008 0, ,9906 0,5836 0,2622 0,0789 0,0022 0, ,9968 0,7107 0,3816 0,1390 0,0057 0, ,9990 0,8139 0,5110 0,2229 0,0133 0, ,9997 0,8894 0,6370 0,3279 0,0280 0, ,9999 0,9393 0,7481 0,4468 0,0540 0, ,9692 0,8369 0,5692 0,0955 0, ,9856 0,9017 0,6839 0,1561 0, ,9937 0,9449 0,7822 0,2369 0, ,9975 0,9713 0,8594 0,3356 0, ,9991 0,9861 0,9152 0,4465 0, ,9997 0,9937 0,9522 0,5610 0, ,9999 0,9974 0,9749 0,6701 0, ,9990 0,9877 0,7660 0, ,9996 0,9944 0,8438 0, ,9999 0,9976 0,9022 0, ,9991 0,9427 0, ,9997 0,9686 0, ,9999 0,9840 0, ,9924 0, ,9966 0, ,9986 0, ,9995 0, ,9998 0, ,9999 0, , , Nicht aufgeführte Werte sind (auf 4 Dez.) 1,0000 0, , n 0,98 0,95 0,9 0,8 0,75 0,7 0,6 0,5 k n Bei grau unterlegtem Eingang, d. h. 0,5, gilt: Fnk ( ; ; ) = 1 abgelesener Wert n k

6 Seite 6 von 8 Tabelle 4: Kumulierte Binomialverteilung für n = 100 n k 0,02 0,05 0,1 1/6 0,2 0,25 0,3 0,4 0,5 n 0 0,1326 0,0059 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0, ,4033 0,0371 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0, ,6767 0,1183 0,0019 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0, ,8590 0,2578 0,0078 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0, ,9492 0,4360 0,0237 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0, ,9845 0,6160 0,0576 0,0004 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0, ,9959 0,7660 0,1172 0,0013 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0, ,9991 0,8720 0,2061 0,0038 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000 0, ,9998 0,9369 0,3209 0,0095 0,0009 0,0000 0,0000 0,0000 0, ,9718 0,4513 0,0213 0,0023 0,0000 0,0000 0,0000 0, ,9885 0,5832 0,0427 0,0057 0,0001 0,0000 0,0000 0, ,9957 0,7030 0,0777 0,0126 0,0004 0,0000 0,0000 0, ,9985 0,8018 0,1297 0,0253 0,0010 0,0000 0,0000 0, ,9995 0,8761 0,2000 0,0469 0,0025 0,0001 0,0000 0, ,9999 0,9274 0,2874 0,0804 0,0054 0,0002 0,0000 0, ,9601 0,3877 0,1285 0,0111 0,0004 0,0000 0, ,9794 0,4942 0,1923 0,0211 0,0010 0,0000 0, ,9900 0,5994 0,2712 0,0376 0,0022 0,0000 0, ,9954 0,6965 0,3621 0,0630 0,0045 0,0000 0, ,9980 0,7803 0,4602 0,0995 0,0089 0,0000 0, ,9992 0,8481 0,5595 0,1488 0,0165 0,0000 0, ,9997 0,8998 0,6540 0,2114 0,0288 0,0000 0, ,9999 0,9369 0,7389 0,2864 0,0479 0,0001 0, ,9621 0,8109 0,3711 0,0755 0,0003 0, ,9783 0,8686 0,4617 0,1136 0,0006 0, ,9881 0,9125 0,5535 0,1631 0,0012 0, ,9938 0,9442 0,6417 0,2244 0,0024 0, ,9969 0,9658 0,7224 0,2964 0,0046 0, ,9985 0,9800 0,7925 0,3768 0,0084 0, ,9993 0,9888 0,8505 0,4623 0,0148 0, ,9997 0,9939 0,8962 0,5491 0,0248 0, ,9999 0,9969 0,9307 0,6331 0,0398 0, ,9984 0,9554 0,7107 0,0615 0, ,9993 0,9724 0,7793 0,0913 0, ,9997 0,9836 0,8371 0,1303 0, ,9999 0,9906 0,8839 0,1795 0, ,9999 0,9948 0,9201 0,2386 0, ,9973 0,9470 0,3068 0, ,9986 0,9660 0,3822 0, ,9993 0,9790 0,4621 0, ,9997 0,9875 0,5433 0, ,9999 0,9928 0,6225 0, ,9999 0,9960 0,6967 0, ,9979 0,7635 0, ,9989 0,8211 0, ,9995 0,8689 0, ,9997 0,9070 0, ,9999 0,9362 0, ,9999 0,9577 0, ,9729 0, ,9832 0, ,9900 0, ,9942 0, ,9968 0, ,9983 0, ,9991 0, ,9996 0, ,9998 0, ,9999 0, , , , , , , , , Nicht aufgeführte Werte sind (auf 4 Dez.) 1, , , n 0,98 0,95 0,9 5/6 0,8 0,75 0,7 0,6 0,5 k n n 0 n 0 n k n k Fnk ( ; ; ) = B( n ; ;0) B( nk ; ; ) = ( 1 ) ( 1 ) 0 k Bei grau unterlegtem Eingang, d. h. 0,5, gilt: Fnk ( ; ; ) = 1 abgelesener Wert

7 Seite 7 von 8 Tabelle 5: Kumulierte Binomialverteilung für n = 200 Fnk ( ; ; ) = Bn ; ; Bnk ; ; = n n k 1 n k 0,02 0,05 0,1 0,2 n 0 0,0176 0,0000 0,0000 0, ,0894 0,0004 0,0000 0, ,2351 0,0023 0,0000 0, ,4315 0,0090 0,0000 0, ,6288 0,0264 0,0000 0, ,7867 0,0623 0,0000 0, ,8914 0,1237 0,0001 0, ,9507 0,2133 0,0005 0, ,9798 0,3270 0,0014 0, ,9925 0,4547 0,0035 0, ,9975 0,5831 0,0081 0, ,9992 0,6998 0,0168 0, ,9998 0,7965 0,0320 0, ,9999 0,8701 0,0566 0, ,9219 0,0929 0, ,9556 0,1431 0, ,9762 0,2075 0, ,9879 0,2849 0, ,9942 0,3724 0, ,9973 0,4655 0, ,9988 0,5592 0, ,9995 0,6484 0, ,9998 0,7290 0, ,9999 0,7983 0, ,8551 0, ,8995 0, ,9328 0, ,9566 0, ,9729 0, ,9837 0, ,9905 0, ,9946 0, ,9971 0, ,9985 0, ,9992 0, ,9996 0, ,9998 0, ,9999 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , n 0 k ( ) ( ) ( ) ( ) 59 0, Nicht aufgeführte Werte sind 60 0, (auf 4 Dezimalen) 1, , , n 0,98 0,95 0,9 0,8 k n Bei grau unterlegtem Eingang, d. h. 0,5, gilt: Fnk ( ; ; ) = 1 abgelesener Wert n k

8 Seite 8 von 8 Tabelle 6: Normalverteilung ( z) 0,... ( z) 1 ( z) φ = φ = φ z , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Beisiele für den Gebrauch: ( 2,32) 0,9898 ( ) ( ) φ = φ 0,9 = 1 φ 0,9 = 0,1841 ( z) 0,994 z 2,51 φ = =