Aufgabenkomplex 4: Lineare Gleichungssysteme

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1 Technische Universität Chemnitz 8. Dezember 9 Fakultät für Mathematik Höhere Mathematik I. Aufgabenkomplex 4: Lineare Gleichungssysteme Letzter Abgabetermin: 5. Januar (in Übung oder Briefkasten bei Zimmer Rh. Str. 39/7) Bitte die Arbeiten deutlich mit Höhere Mathematik I., Aufgabenkomplex 4 kennzeichnen und die Übungsgruppe angeben, in der die Rückgabe erfolgen soll!. Lösen Sie mit dem Gaußschen Algorithmus das Gleichungssystem 3x+4y+ z = in Abhängigkeit von den Parametern a und b! x y+z = 5 4x+7y+az = b Geben Sie jeweils auch die Ränge der Koeffizientenmatrix und der erweiterten Koeffizientenmatrix an und stellen Sie den Zusammenhang zu den Lösbarkeitseigenschaften der Gleichungssysteme dar! Interpretieren Sie die Ergebnisse geometrisch! 3. Für welche Werte von a sind die Vektoren, 4 4 und linear abhängig? Stel- a len Sie in diesem Falle den dritten Vektor als Linearkombination der beiden anderen dar! 3. Lösen Sie das lineare Gleichungssystem x +x +3x 3 +4x 4 = 3 x +6x +3x 3 +7x 4 = 3 x +6x 3 +5x 4 = 4 x 8x +6x 3 x 4 = 4! Welchen Rang hat die Koeffizientenmatrix, wie hängt dieser mit der Zahl der freien Variablen (frei wählbaren Parameter in der allgemeinen Lösung) zusammen? Führen Sie für die ermittelte allgemeine Lösung auch die Probe aus! 4. Eine Firma verkauft 3 Produkte A, B und C zu Preisen von 4, und Euro. Die Herstellung von Produkt A benötigt 3 Einheiten von Rohstoff und 5 Einheiten von Rohstoff, für Produkt B werden je Einheit der beiden Rohstoffe benötigt und für Produkt C Einheit von Rohstoff und 3 Einheiten von Rohstoff. Bei einer kompletten Tagesproduktion wurden 7 Einheiten Rohstoff und 3 Einheiten Rohstoff verarbeitet, die Tagesproduktion wurde zu einem Gesamtpreis von 4 Euro verkauft. a) Stellen Sie ein Gleichungssystem zur Bestimmung der produzierten Zahl der einzelnen Produkte auf! b) Lösen Sie das Gleichungssystem mit dem Gaußschen Algorithmus! c) Wie viele verschiedene Lösungen für den beschriebenen Sachverhalt gibt es? Geben Sie diese an! 5. a) Bestimmen Sie die Koeffizienten aller trigonometrischen Polynome zweiten Grades T (x) = a+bcosx+csinx+d cosx+esinx, die an den Stellen x =,π/,π in dieser Reihenfolge die Werte 4, 5 und 6 annehmen! b) Welches trigonometrische Polynom ersten Grades hat die beschriebenen Eigenschaften? c) Welches trigonometrische Polynom zweiten Grades nimmt neben den angegebenen Werten auch noch an den Stellen 3π/4 bzw. 3π/ die Werte 7 bzw. 7 an? 7

2 Höhere Mathematik I. Aufgabenkomplex 4 8. Dezember 9 Aufgabenkomplex 4: Lineare Gleichungssysteme Letzter Abgabetermin: 5. Januar. Lösen Sie mit dem Gaußschen Algorithmus das Gleichungssystem 3x+4y+ z = in Abhängigkeit von den Parametern a und b! x y+z = 5 4x+7y+az = b Geben Sie jeweils auch die Ränge der Koeffizientenmatrix und der erweiterten Koeffizientenmatrix an und stellen Sie den Zusammenhang zu den Lösbarkeitseigenschaften der Gleichungssysteme dar! Interpretieren Sie die Ergebnisse geometrisch! Zur Erleichterung der Rechnung werden die erste und die zweite Zeile getauscht II+3 I 4 7 a b III+4 I 5 3 a+8 b+ III 3 II 5 a3 b 3 a3 III 5 I III II 7 III b 3 a3 5a b 3 a3 7a 7b 4 a3 b 3 a3 a 9b 7 a3 7a 7b 4 a3 b 3 a3 I+II falls a 3 x = a 9b 7 a3, y = 7a 7b 4, z = b 3 a3 a3 Der Fall a=3 muss gesondert behandelt werden. In diesem lautet das Schema im 3. Schritt 5 b 3 für b 3 Widerspruch: x+y+z = b 3 = GS unlösbar Abschließend muss noch der Fall a=3, b=3 behandelt werden. In diesem ergibt sich 5 I+II Nullzeile: x+y+z=, gilt immer, kann gestrichen werden 9 Zeilenstufenform, frei wählbarer Parameter (zweckmäßig: z=t)

3 Höhere Mathematik I. Aufgabenkomplex 4 8. Dezember 9 3 x+9z=: y+7z=7: x = 9z = 9t y = 7 7z = 7 7t x 9 y = 7 +t 7 z }{{} }{{} spez. Lsg allg.lsg inhom. GS hom. GS Rangbetrachtungen für das Gleichungssystem A x= b: a 3 : rang(a) = rang(a b) = 3 = n = Gleichungssystem eindeutig lösbar Koeff.- erw. Koeff.- matrix matrix a=3, b 3 : rang(a) = rang(a b) = 3 = Gleichungssystem unlösbar a=3, b=3 : rang(a) = rang(a b) = < n = 3 = Gleichungssystem mehrdeutig lösbar, n rang(a) = frei wählbarer Parameter Geometrische Interpretation: Lagebeziehung zwischen 3 Ebenen a 3 : Die 3 Ebenen schneiden sich in einem Punkt. a=3, b 3 : Die Schnittgerade der beiden ersten Ebenen ist zur 3. Ebene (echt) parallel, so dass die 3 Ebenen keinen gemeinsamen Punkt haben. a=3, b=3 : Die Schnittgerade der beiden ersten Ebenen liegt in der 3. Ebene, ist also Lösung Für welche Werte von a sind die Vektoren, und linear abhängig? Stel- 4 7 a len Sie in diesem Falle den dritten Vektor als Linearkombination der beiden anderen dar! Bei den Vektoren handelt es sich um die Spalten der Koeffizientenmatrix aus Aufgabe. Für a 3 ist der Rang dieser Matrix gleich 3, sie enthält also 3 linear unabhängige Spalten, so dass der gegebene Vektor keine Linearkombination der beiden anderen Vektoren sein kann. Im Falle a=3 ist der Rang der Matrix allerdings gleich. Da die ersten beiden Spalten offensichtlich voneinander linear unabhängig sind, muss die dritte Spalte linear von diesen abhängen. Das zu dem Gleichungssystem aus Aufgabe zugehörige homogene Gleichungssystem hat die allgemeine Lösung x =t 7, damit gilt 9t 7t +t =. Wählt man t =, so erhält man schließlich die Darstellung = Lösen Sie das lineare Gleichungssystem x +x +3x 3 +4x 4 = 3 x +6x +3x 3 +7x 4 = 3 x +6x 3 +5x 4 = 4 x 8x +6x 3 x 4 = 4! Welchen Rang hat die Koeffizientenmatrix, wie hängt dieser mit der Zahl der freien Variablen (frei wählbaren Parameter in der allgemeinen Lösung) zusammen? Führen Sie für die ermittelte allgemeine Lösung auch die Probe aus!

4 Höhere Mathematik I. Aufgabenkomplex 4 8. Dezember x x x 3 = x s 3 +t = x + 6x 3 + 5x 3 = x 3 x 3 x 4 = 7 + u 3 + v Der Rang der Koeffizientenmatrix (Zahl der Nichtnullzeilen in der beim dritten Gaußschritt erreichten Stufenform) ist, deshalb gibt es in der allgemeinen Lösung n Rang(A)=4 = frei wählbare Variable. Probe: Es gilt tatsächlich = 3 4, =, = Eine Firma verkauft 3 Produkte A, B und C zu Preisen von 4, und Euro. Die Herstellung von Produkt A benötigt 3 Einheiten von Rohstoff und 5 Einheiten von Rohstoff, für Produkt B werden je Einheit der beiden Rohstoffe benötigt und für Produkt C Einheit von Rohstoff und 3 Einheiten von Rohstoff. Bei einer kompletten Tagesproduktion wurden 7 Einheiten Rohstoff und 3 Einheiten Rohstoff verarbeitet, die Tagesproduktion wurde zu einem Gesamtpreis von 4 Euro verkauft. a) Stellen Sie ein Gleichungssystem zur Bestimmung der produzierten Zahl der einzelnen Produkte auf! b) Lösen Sie das Gleichungssystem mit dem Gaußschen Algorithmus! c) Wie viele verschiedene Lösungen für den beschriebenen Sachverhalt gibt es? Geben Sie diese an! a) x : Anzahl Produkt A, x : Anzahl Produkt B, x 3 : Anzahl Produkt C Preise in Te: 4x + x + x 3 = 4 Rohstoff : 3x + x + x 3 = 7 Rohstoff : 5x + x + 3x 3 = 3 b) Zur Vereinfachung der Rechnung wird die Reihenfolge der Variablen in x, x 3, x geändert, außerdem werden die erste und die zweite Zeile getauscht. Das Gleichungssystem lautet dann

5 Höhere Mathematik I. Aufgabenkomplex 4 8. Dezember 9 5 x + x 3 + 3x = 7 x + x 3 + 4x = 4 x + 3x 3 + 5x = 3. x x 3 x x +x =, x = x 7 x 3 + x = 7, x 3 = 7 x x x = x 3 +t 7 c) Die Lösungskomponenten x i müssen als Produktanzahlen nichtnegativ und ganzzahlig sein. x =t, x = t und x 3 = 7 t ist genau dann erfüllt, wenn t 5 ist, wegen der Ganzzahligkeit gibt es also 6 verschiedene Lösungen mit t =,,,3,4,5: t Produkte A Produkte B Produkte C a) Bestimmen Sie die Koeffizienten aller trigonometrischen Polynome zweiten Grades T (x) = a+bcosx+csinx+d cosx+esinx, die an den Stellen x =,π/,π in dieser Reihenfolge die Werte 4, 5 und 6 annehmen! b) Welches trigonometrische Polynom ersten Grades hat die beschriebenen Eigenschaften? c) Welches trigonometrische Polynom zweiten Grades nimmt neben den angegebenen Werten auch noch an den Stellen 3π/4 bzw. 3π/ die Werte 7 bzw. 7 an? a) T (x) =a+bcosx+csinx+d cosx+esinx T () =a+b +d = 4 T ( π )=a +c d = 5 T (π)=a b +d = a+ d= 5, a=5 d b = b=, c d =, c=d

6 Höhere Mathematik I. Aufgabenkomplex 4 8. Dezember 9 6 Die Lösung des Gleichungssystems ist also mit beliebigem reellen d und e. a 5 b c d = + d + e e Die geforderten Eigenschaften haben damit alle trigonometrischen Polynome T (x) = 5 d cosx+d sinx+d cosx+e sinx. b) Damit es sich um ein trigonometrisches Polynom ersten Grades handelt, muss d = e = sein, so dass sich als Lösung das Polynom T (x) = 5 cosx ergibt. c) T (x) =5 d cosx+d sinx+d cosx+esinx T ( 3π 4 )=5 d+ + d e = 7 T ( 3π )=5 d d d = 7, 5 4d=7, 4d=, d= Mit d= ergibt sich T ( 3π 4 )=5+ + e= 7 und damit e= 5. Das gesuchte Polynom ist somit T (x) = cosx sinx 5 cosx+ sinx.