Leseprobe. Frank Paech. Mathematik - anschaulich und unterhaltsam ISBN: Weitere Informationen oder Bestellungen unter
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- Christel Raske
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1 Leseprobe Frank Paech Mathematik - anschaulich und unterhaltsam ISBN: Weitere Informationen oder Bestellungen unter sowie im Buchhandel. Carl Hanser Verlag, München
2 194 5 Die wichtigsten Werkzeuge der Prais (5.3.9) ( p ) y y 1 1 y y Lineare Funktionen lassen sich als Näherungsfunktionen verwenden. (5.3.1) Wenn die Punkte (, y ) und ( 1, y 1 ) Elemente einer beliebigen Funktion sind und die Punkte nahe genug zusammenliegen, kann man in der Regel den Gra phen dazwischen näherungsweise als Gerade mit dem Quotienten (5.3.8) als Steigung p betrachten. Dann lässt sich die Zweipunkteform dazu benutzen, um den Funktionswert f () einer zwischen und 1 gelegenen Stelle näherungsweise zu ermitteln. f( ) f( ) f( ) f( ) + 1 ( ) 1 Die Zweipunkteform (5.3.9) wurde einfach nach y aufgelöst und die Werte der linearen Funktion durch Funktionswerte der beliebigen Funktion ersetzt. Wenn Sie mithilfe von (5.3.1) den Zwischenwert einer Funktion näherungsweise ermitteln, heißt das (lineares) Interpolieren. 5.4 Der Differenzenquotient Der Graph einer linearen Funktion hat im ganzen Definitionsbereich überall die gleiche Steigung. Was wird aus dem Steigungsbegriff bei nichtlinearen Funktionen? Schicken wir wieder unseren Traktorfahrer los und fragen, wie groß denn die Steigung eines Funktionsgraphen im Punkt (, y ) bzw. an der Stelle sei. Bild Steigungsbegriff im Fa lle einer nichtlinearen Funk tion Merksatz Merke: Bei Funktionsgraphen ergibt sich die y-koordinate eines Punktes (, y) zwangsläufig aus dem Funktionswert, d. h. y f (). Deshalb ist dieser Punkt bereits durch die Erwähnung der -Koordinate festgelegt. Anstatt Punkt (,y) sagt man (auch wenn es holperig klingt): an der Stelle. Im vorlie genden Fall suchen wir die Steigung an der Stelle!
3 5.4 Der Differenzenquotient 195 Da die gesuchte Steigung eine lokale Angelegenheit ist, müssen wir nur einen kleinen Teil des Funktionsgraphen in der Umgebung des Punktes (, y ) betrachten. Die beiden symbolischen Lupen in Bild zeigen, welche Bildausschnitte betrachtet werden sollen. Beginnen wir mit dem größeren Ausschnitt: Schauen Sie genau hin, auf dem Graphen krabbelt ein Maikäfer. Bild Ausschnittsvergrößerung des Funktionsgraphen Ignorieren wir einmal die Krümmung des Graphen und gehen genauso wie bei den linearen Funktionen vor (vgl. Bild 5.3.4). Dazu wählen wir rechts neben dem Punkt (, y ) einen zweiten Punkt (, y) auf dem Graphen und zeichnen ein Steigungsdreieck. Aber ein Steigungsdreieck ohne Gerade? Denken wir uns einfach die Hypotenuse dieses Dreiecks zu einer Geraden verlängert. Diese Gerade in Bild blau eingezeichnet nennen wir Sekante! Dann ist der Quotient y/ die Steigung dieser Sekante. Sinnvoll oder nicht: ein Stei gungsdreieck ohne Gerade? Merke: Eigentlich heißt eine Gerade, die einen Kreis in zwei Punkten schneidet, Se kante und eine Gerade, die mit einem Kreis nur einen Punkt gemeinsam hat, ihn sozusagen berührt, Tangente. Beide Begriffe werden ebenfalls für Kurvenbögen benutzt! Da der Quotient aus Differenzen von Funktionswerten und der Differenz der zugehörigen Argumente besteht, heißt der Quotient y/ Differenzenquotient. Bezüglich des Funktionsgraphen kann die Sekantensteigung als mittlere Stei gung im Intervall (, ) angesehen werden die wollen wir nicht, uns in te res siert die Steigung an der Stelle! Gehen wir jetzt zu dem wesentlich kleineren Bildausschnitt über und vergrößern ihn auf das Zehnfache (s. Bild 5.4.3). Damit wird der in Bild noch nicht zu erkennende Maikäfer sichtbar. Dagegen ist von der Krümmung des Funktionsgraphen nichts mehr zu erkennen, d. h., die Kurve ist visuell nicht mehr von einer Geraden zu unterscheiden. Damit wird der Steigungsbegriff auch ohne Anführungszeichen anwendbar. Wir zeichnen ein verkleinertes Steigungsdreieck. Die Stelle wurde dabei so dicht an die Stelle herangerückt, dass im Vergleich zu Bild auf den zehnten Teil zusammengeschrumpft ist. Berechnen wir nun den Wert des Differenzenquotienten, können wir zwar immer noch nicht sicher sein kann, ob sich hinter der Strichstärke doch noch eine Krümmung verbirgt, aber jetzt müsste bereits eine brauchbare Näherung für die gesuchte Steigung vorliegen. Merksatz Diferenzenquotient: mittlere Steigung Eine Krümmung ist nicht mehr erkennbar: Der Graph kann nä herungsweise als Gerade ange sehen werden.
4 196 5 Die wichtigsten Werkzeuge der Prais Bei der Vergrößerung wird der Käfer sichtbar. Die Krümmung ist nicht mehr erkennbar. Bild Nochmalige Ausschnittsvergrößerung Auf alle Fälle dürfte die Vorgehensweise klar sein. Man lässt die Stelle sukzessive an die Stelle heranrücken und ermittelt jeweils den Wert des Differenzenquotienten. Wenn sich die avisierte signifikante Stelle der Sekantensteigung nicht mehr ändert, können wir die Prozedur beenden. Die gesuchte Steigung ist gefunden. Merksatz (5.4.1) Merke: Bitte vergessen Sie nicht, dass die Variable eine freie Variable ist. Ihr können deshalb beliebige Werte zugewiesen werden! Im Gegensatz dazu ist gebunden! Wegen kann man durch + ersetzen. Aus f () wird somit alternativ im y-koordinatensystem f ( + )! Beachten Sie unbedingt: f ( + ) f ( ) +! Im verschobenen y-koordinatensystem stellt sich der Differenzenquotient wie folgt dar: y y y f( ) f( ) f( + ) f( ) Es ist unbedingt erforderlich, dass Sie alle Darstellungsmöglichkeiten des Differenzenquotienten verstehen! Hier handelt es sich um das Fundament der Differenzialrechnung! Testen Sie Ihr Verständnis und betrachten dazu folgendes Bild! Bild Alternativer Differenzenquotient
5 5.4 Der Differenzenquotient 197 Unser Traktor demonstriert einen alternativen Differenzenquotienten. Wie oben erwähnt, ist die Sekantensteigung als mittlere Steigung in einem Intervall der Breite anzusehen. Warum wird das Intervall nicht so gelegt, dass die Stelle in der Intervallmitte liegt? Auf diese Weise könnte der Mittelwert der wahren Steigung auch ohne drastische Verkleinerung von nahe kommen. Verbesserter Diferenzenquotient y + f 2 2 f( ) ( ) (5.4.2) In (5.4.3) ist angegeben, welche konkrete Funktion und welche Stelle für die nichtlineare Funktion in Bild bisher verwendet wurde. In Bild betrug,2 in Bild waren es nur noch,2. f( ) und 4, (5.4.3) Lassen wir uns nun von EXCEL ein paar Differenzquotienten für diese Funktion an der Stelle,4 für verschiedene konkret ausrechnen: Tabelle Differenzenquotienten Rote Zeile: Aufgrund der Di f erenzbildung sind zu viele sig nifikante Stellen verloren gegangen. Die Werte sind deshalb unbrauchbar! In Tabelle wird gezeigt, dass man auch negativ wählen kann. In diesem Fall wird das Steigungsdreieck am Punkt (, y ) gespiegelt. Gegen- und Ankathete werden negativ. Das Vorzeichen des Differenzenquotienten ändert sich nicht. Man erhält damit die mittlere Steigung für ein links von der Stelle liegendes Intervall der Breite. Im Falle des symmetrischen Differenzenquotienten kann sich dessen Wert durch Vorzeichenänderung von nicht ändern. Man kann anhand der Tabelle bereits vermuten, wie sich die Werte der Differenzenquotienten entwickeln, wenn man für die Glieder einer Nullfolge einsetzt. Sie nähern sich immer mehr dem Wert,352; diesen Grenzwert können wir wohl als die gesuchte Steigung an der Stelle ansehen. Die Steigung an der Stelle ist gleich,352. Für den Grenzwert gibt es auch eine kompakte Schreibweise (s. (5.4.4)). Man liest das so: Limes gegen null y durch ist gleich effgestrichen von. Mit gegen null wird gesagt, dass Glieder einer beliebigen (deswegen wird auch kein Inde mitgeschrieben) Nullfolge sind. Mit dem Wort Limes
6 198 5 Die wichtigsten Werkzeuge der Prais wird gesagt, dass die zugeordneten Folgen von Differenzenquotienten konvergieren. Der einheitliche Grenzwert, der hier die geometrische Bedeutung einer Steigung hat, soll f ( ) heißen ( effgestrichen von )! Die Schreibweise ist ideal, enthält sie doch sowohl den speziellen Funktionsnamen f als auch die jeweilige Stelle. An dem Hochkomma als Postfi erkennt man, dass nicht der Funktionswert, sondern die Steigung an der Stelle gemeint ist. (5.4.4) Rotes Tabellenende eine wei tere Genauigkeitssteige rung ist nicht mehr möglich. y lim f ( ) Leider lassen sich derartige Grenzwerte nicht mit Computern berechnen. Erinnern Sie sich bitte an die Gleitkommazahlen in Abschnitt 4.2! Bei der Differenzbildung gehen signifikante Stellen verloren. Wenn zu klein wird, spielen die errechneten Werte für die Differenzenquotienten verrückt. Bei unserem Beispiel passiert das bei 1 14 und kleiner. Die Werte sind deshalb in der Tabelle rot unterlegt! Aus diesem Grund kann man f ( ) nur erraten. Bei uns ist wohl f ( ) gleich,352. Sollte etwa f ( ) eine Irrationalzahl sein, wäre man aller dings völlig aufgeschmissen. Wir werden im übernächsten Abschnitt sehen, dass es mit vielen Tricks doch gelingt, derartige Grenzwerte eakt zu ermitteln. 5.5 Der Differenzialquotient Gerade und Funktionsgraph: ein gemeinsamer Punkt und dort gemeinsame Steigung In Bild wurde der in Bild bereis dargestellte Kurvenbogen noch einmal gezeichnet. Die Sekante wurde fortgelassen und stattdessen eine Gerade durch den Punkt (, y ) mit der vermuteten Steigung f ( ),352 eingetra gen. Weiterhin wurde rechts von dem Punkt (, y ) ein Steigungsdreieck gezeichnet. Die Länge der Ankathete ist frei wählbar, hier wurde,2 genommen! Die Gegenkathete muss dann,352,2,74 lang sein. Bild Funktionsgraph mit Tangente Die Gerade ist eine Tangente! Auf diese, in Bild blau gezeichnete Gerade, wollen wir uns im Folgenden konzentrieren! Man erkennt, dass diese Gerade die Kurve nicht in zwei Punkten schneidet, sondern sie berührt (tangiert). Sie ist eine Tangente! Ganz im Gegensatz zu den aus den Differenzenquotienten ermittelten Geraden. Diese schneiden die Kurve in zwei Punkten, es sind Sekanten.
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