Ursula Dahm Unter Mitarbeit von Rolf Männel und Ferdinand A. Scholz. Mathematik. Berufskolleg II Baden-Württemberg. 1. Auflage. Bestellnummer 03264

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1 Ursula Dahm Unter Mitarbeit von Rolf Männel und Ferdinand A. Scholz Mathematik Berufskolleg II Baden-Württemberg. Auflage Bestellnummer 03264

2 Haben Sie Anregungen oder Kritikpunkte zu diesem Produkt? Dann senden Sie eine an Autoren und Verlag freuen sich auf Ihre Rückmeldung. Die Zeichnungen in diesem Buch wurden mithilfe des Programmes MatheGrafix erstellt: Bildungsverlag EINS GmbH Sieglarer Straße 2, Troisdorf ISBN Copyright 200: Bildungsverlag EINS GmbH, Troisdorf Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Hinweis zu 52a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung eingescannt und in ein Netzwerk eingestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen.

3 Vorwort Verschiedene Formen des Berufskollegs führen in Baden-Württemberg zur Fachhochschulreife; viele davon erreichen dieses Ziel in zwei Jahren. Der Inhalt dieses Lehr- und Arbeitsbuches deckt sowohl die Pflicht- als auch alle Wahlpflichtthemen ab, die im seit Sommer 2007 gültigen Lehrplan für das zweite Jahr genannt sind. Der Band kann aber auch an jeder anderen zur Fachhochschulreife führenden beruflichen Schule verwendet werden, in der die entsprechenden Themenbereiche zu behandeln sind. Dabei werden bei der Differenzial- und Integralrechnung verwendete Aufgaben mit Polynomfunktionen, Exponentialfunktionen und trigonometrische Funktionen gestellt. Viele Aufgaben verlangen vom Schüler, Zusammenhänge zu erkennen, Ergebnisse zu beurteilen und Aussagen zu begründen. Er lernt weitere, über den Stoff des BK hinausgehende, Eigenschaften von Funktionen zu erkennen, und so zum Beispiel Graphen bestimmten Funktionstermen zuzuordnen. Dies ist auch im Zusammenhang mit dem Einsatz des grafikfähigen Taschenrechners wichtig, um mögliche Eingabefehler zu erkennen. Die einzelnen Themenbereiche werden jeweils durch ein Kapitel mit Übungsaufgaben abgeschlossen. Zu diesen Kapiteln sind die Lösungen in Kurzform im Buch mit abgedruckt. So hat jeder Schüler die Möglichkeit, eigenständig zu üben und seine Ergebnisse zu überprüfen. Wichtige Definitionen, Regeln und Sätze aus dem BK werden soweit benötigt nochmals kurz genannt. Die Einführung neuer Lehrinhalte erfolgt anhand von Aufgaben mit ausführlich dargestellten Lösungen. Definitionen, Lehr- und Merksätze sind durch Raster hervorgehoben. Mit der ausführlichen Darstellung der zahlreichen Beispiele mit Lösungen soll den Schülern die Möglichkeit zur selbstständigen Erarbeitung und Wiederholung des Stoffes gegeben werden. Bei geeigneten Aufgaben werden auch verschiedene Lösungswege gezeigt. Die gezeigten Lösungsverfahren sind allerdings Vorschläge, die nach Erfahrung und Neigung des Lehrers oder Schülers abgewandelt werden können. Da der grafikfähige Taschenrechner (GTR) wichtiges und notwendiges Hilfsmittel ist, ist der Einsatz des GTR durchgängig eingearbeitet. Wichtige Anwendungen werden am Beispiel des CASIO CFX-9850GB PLUS ausführlich dargestellt; die Befehlsfolgen mit dem CASIO FX- 9850GC PLUS sind identisch. Im Anhang werden die wichtigsten Befehle auch für den TI-83 PLUS und den TI-84 PLUS erklärt. Diese Anleitungen lassen sich auch auf andere grafikfähige Taschenrechner übertragen. So können die Schüler den sicheren Umgang mit diesem Hilfsmittel üben. Ich bitte alle Kollegen und Schüler, das Buch zu prüfen und durch Kritik zur Verbesserung beizutragen. U. Dahm 3

4 Zuordnung der Kapitel zu den Lehrplaneinheiten Zuordnung der Kapitel zu den Lehrplaneinheiten Lehrplaneinheit 2: Kapitel, 2, 3., Aufgaben aus 3.2., Lehrplaneinheit 3: Kapitel 6 Lehrplaneinheit 4: Kapitel 4 Lehrplaneinheit 5: Kapitel 5 ohne Abschnitt 5.5 Lehrplaneinheit 5: Kapitel 3.2., 5.., 5..2, 5..3, 5.5 4

5 Inhaltsverzeichnis Vorwort... 3 Inhaltsverzeichnis... 5 Mathematische Zeichen und Abkürzungen... 9 Wichtige Definitionen, Regeln und Sätze aus den BK... 2 Differenzialrechnung Ableitung einer Funktion von der durchschnittlichen Änderungsrate zur momentanen Änderungsrate Durchschnittliche Änderungsrate, Sekantensteigung, Differenzenquotient Momentane Änderungsrate, Tangentensteigung, Ableitung an der Stelle x p Ableitungsfunktionen Ableitung der Grundfunktionen Ableitung der Funktionen f: x e kx b, f: x sin(k x b) und f: x cos (k x b) Ableitung der vervielfachten Funktion f: x k g(x) Ableitung der Summen- bzw. Differenzfunktion f: x g(x) ± h (x) Höhere Ableitungen Bestimmung von Stammfunktionen Schaubilder und ihre Eigenschaften Tangenten- und Normalengleichungen Vermischte Aufgaben Extremstellen, Extremwerte, Extrempunkte Krümmungsverhalten, Wendepunkte Untersuchung der Graphen von Funktionen Aufstellen von Funktionsgleichungen aus vorgegebenen Eigenschaften Extremwertaufgaben Integralrechnung Integration von Funktionen Einführung in die Integration Stammfunktion und unbestimmtes Integral Das bestimmte Integral Flächeninhalte Flächen zwischen Funktionsgraph und x-achse und bestimmtes Integral Flächen mit zwei Randkurven Vermischte Aufgaben zur Integralrechnung

6 Differenzialrechnung Die bisherige Betrachtung von Funktionen befasste sich mit der eindeutigen Zuordnung einer abhängigen Variablen (meist y genannt) zu einer unabhängigen Variablen (meist x genannt). Dabei wird die unabhängige Variable x aus einem Definitionsbereich D frei gewählt. Die durch die Zuordnungsvorschrift, also die Funktionsgleichung, berechenbaren y-werte ergeben dann den Wertebereich W der Funktion. Statt y schreibt man auch genauer f (x), g(x), E(x) usw. zur besonderen Kennzeichnung des von x abhängigen Funktionswertes. Eine analytische Betrachtung von Funktionen richtet sich aber nicht nur auf die jeweilige Größe der zugeordneten Funktionswerte, sondern auch auf weitere Funktionsmerkmale, die von praktischer Bedeutung sind. Eins dieser wichtigen Merkmale ist die Änderungstendenz 2 einer Funktion, womit angegeben wird, wie stark die f (x)-werte zu- oder abnehmen, wenn die x-werte wachsen. Das geometrische Erscheinungsbild der Änderungstendenz einer Funktion ist die Steilheit von Anstieg oder Gefälle des zugehörigen Graphen. Die durchschnittliche Änderungsrate auf einzelnen Intervallen wurde bereits im ersten Jahr des Berufskollegs behandelt. Auch wurden im ersten Jahr des Berufskollegs schon maximale und minimale Funktionswerte und die zugehörigen Hoch- und Tiefpunkte des Funktionsgraphen mithilfe des GTR bestimmt. Eine genauere rechnerische Untersuchung der Funktionen mithilfe der Differenzialrechnung ermöglicht es nun im Folgenden, momentane Änderungsraten, maximale und minimale Werte einer Funktion und die Hoch- und Tiefpunkte von Graphen auch zu berechnen.. Ableitung einer Funktion von der durchschnittlichen Änderungsrate zur momentanen Änderungsrate.. Durchschnittliche Änderungsrate, Sekantensteigung, Differenzenquotient Bereits früher wurde die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion für ein jeweils bestimmtes Intervall berechnet. Es zeigte sich dabei, dass diese Änderungsrate in manchen Fällen den Verlauf des Graphen sehr gut beschrieb, in anderen dagegen nur sehr schlecht. Beispiel mit Lösung Aufgabe: Gegeben ist die Funktion f mit f (x) 0, x 4 0, x 3 0,9 x 2 0,9 x 2; x r. a) Zerlegen Sie das Intervall [3; 3] in Teilintervalle der Länge und berechnen Sie für jedes Teilintervall die durchschnittliche Änderungsrate! Analysis (altgriechisch): Auflösung in wesentliche Bestandteile für eine genauere Untersuchung 2 tendendia (lateinisch): Streben, Neigung 5

7 Differenzialrechnung b) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion im angegebenen Intervall und veranschaulichen Sie Ihre Berechnung, indem Sie den Streckenzug einzeichnen, die Punkte also durch Strecken verbinden! c) In welchem Teilintervall ist die errechnete Steigung am aussagefähigsten, wenn man den Verlauf der Kurve beschreiben will, in welchen am wenigsten? d) Wie kann man erreichen, dass die durchschnittlichen Änderungsraten die Kurve besser beschreiben? Lösung: a) und b) Intervall Steigung [3; 2] [2; ] f (2) f (3) (3) f () f (2) 0,4 (),4 (2) K f y 3 [; 0] f (0) f () 2 0,4,6 0 () 2 [0; ] f () f (0) [; 2] f (2) f () 2 2 I I I I I I x [2; 3] f (3) f (2) Abb. 6. c) Wie man an der Zeichnung erkennen kann, verläuft die Strecke im Intervall [; 2] sehr nahe am Graphen; die errechnete Steigung beschreibt also den Verlauf des Graphen recht genau. Im Intervall [0; ] dagegen hat die Strecke die Steigung 0. Der Graph dagegen steigt zunächst an und fällt dann wieder. Er wird also durch die Angabe Die durchschnittliche Steigung ist 0. nur schlecht beschrieben. d) Unterteilt man die Intervalle in kleinere Teilintervalle, so sagen die dann berechneten durchschnittlichen Änderungsraten mehr über den Verlauf des Graphen aus. Dies soll am Beispiel des Intervalls [0; ] gezeigt werden. Bereits die Teilung in zwei Teilintervalle bringt eine deutliche Verbesserung: Intervall Steigung 7 [0; 0,5] f (0,5) f (0) ,5 0 0,5 6 [0,5; ] 2 7 f () f (0,5) ,5 0,5 6 y 2 Abb

8 Ableitung einer Funktion. Teilung in vier Teilintervalle: Intervall [0; 0,25] [0,25; 0,5] [0,5; 0,75] [0,75; ] Steigung f (0,25) f (0) 0,67 0,25 0 f (0,5) f (0,25) 0,20 0,5 0,25 f (0,75) f (0,5) 0,24 0,75 0,5 f () f (0,75) 0,63 0,75 y 2 Abb. 7. Bisher wurde immer ein Streckenzug eingezeichnet. Wenn man sich nur für einen bestimmten Bereich eines Graphen interessiert, ist es oft sinnvoll, die Gerade durch zwei Punkte des Graphen einzuzeichnen. Eine Gerade, die innerhalb eines begrenzten Kurvenbereichs den Graphen in zwei Punkten schneidet, wird als Sekante bezeichnet. Der Zuwachs Δf (x) (lies: Delta f (x) 2 ) eines Funktionswertes bezogen auf einen Schritt (lies: Delta x) ist geometrisch gedeutet (siehe Abb. 7.2) die Steigung der entsprechenden Sekante. Ein Maß für die Sekantensteigung (m s ) ist also der y aus den Differenzbeträgen Δf (x) f (x 2 ) f (x ) und Δf (x) 2 P x 2 x gebildete Quotient tanα m 2 s der Δf(x) Sekante durch die beiden Punkte P (x f (x )) und P P 2 (x 2 f (x 2 )). Dabei ist α der Winkel zwischen der Sekante α und der positiven x-achse. Für das Intervall [x ; x 2 ] gibt 2 x Δf (x) die durchschnittliche Änderungsrate an. 2 Abb. 7.2 Merke Der Differenzenquotient Δ f (x) f (x 2) f (x ) ist ein Maß für die Steigung der Sekante und gibt die durchschnittliche Änderungsrate der Funktion auf dem Intervall x 2 x [x ; x 2 ] an. Man nennt diesen Wert auch mittlere Steigung des von der Sekante abgeschnittenen Graphen. Beispiel mit Lösung Aufgabe: Gegeben ist die Funktion f : x f (x) 4 x2 x 2 und der auf ihrem Graphen liegende Punkt P (x f (x )). Berechnen Sie die mittlere Steigung der Kurve zwischen den Punkten P und P 2 Sekante: Schneidende 2 Der altgriechische Großbuchstaben Delta (Δ) ist hier die Abkürzung für Differenz. Die Buchstaben Δ f (x) (bzw. ) bilden zusammen die Bezeichnung für die Differenz und sind nicht etwa ein Produkt zweier Größen! 7

9 Differenzialrechnung a) für x 3 und den Punkt P 2 (5 f(5)); b) für x 3 und die Intervalllänge 2! c) Lösen Sie die Aufgabenstellungen von a) und b) für die allgemeine Funktion f und allgemeine Werte x, x 2 und! Lösung: Δf (x) f (5) f (3) Δf (x) f (3 2) f (3) a) b) ,25,25 3,25, c) Δf (x) f (x 2) f (x ) x 2 x y Δ f (x) f (x ) f (x ) 4 f (x 2 ) 3 f (x) = x 2 x f (x ) P P x x x 2 Abb. 8. AUFGABEN Berechnen Sie die mittlere Steigung der Graphen (exakt und näherungsweise) a) zwischen den Kurvenpunkten P und P 2 mit den Abszissen x 2 und x 2 2, b) zwischen den Kurvenpunkten P 2 und P 3 mit der Abszisse x 3 (x 2 ) (x 2 ) für die Funktionen mit den folgenden Gleichungen:. f (x) 3 x f (x) 2 x 3. f (x) e x 4. f (x) sin (x) 5. f (x) 2 x2 x 6. f(x) 6 x3 x 2..2 Momentane Änderungsrate, Tangentensteigung, Ableitung an der Stelle x p Wenn die durch die Punkte P und P 2 verlaufende Sekante im Punkt P gegen den Uhrzeigersinn gedreht wird, entstehen die Schnittpunkte P 3, P 4,,P n (siehe Abb. 8.2). Diese rücken dabei immer näher an den Drehpunkt P heran. Das dadurch von der Sekante immer kürzer abgeschnittene Stück des Graphen schmiegt sich immer mehr an die Sekante an. Im Grenzfall fällt der Punkt P n mit dem Drehpunkt P zusammen. Da dann statt zweier Schnittpunkte nur noch ein Berührpunkt übrig bleibt, gibt es auch keine Sekante und keine durchschnittliche Änderungsrate mehr. Für diesen Grenzfall wird daher festgesetzt: 8 P Abb. 8.2 y P 3 P n P 2 x

10 Ableitung einer Funktion. Definition 9 Die Sekante eines Graphen wird in der Grenzlage, bei der beide Schnittpunkte in einem Berührpunkt zusammenfallen, zur Tangente. Diese gibt die genaue Steigung (auch: momentane Änderungsrate) des Graphen in dem betreffenden Punkt P (x p f (x p )) an der Stelle x x p an. Da die Tangentensteigung nur für einen Punkt (nämlich den Berührpunkt) des Graphen gilt, kann nicht mehr von einem Änderungsbetrag Δ f(x) des Funktionswertes für einen bestimmten Schritt gesprochen werden; stattdessen handelt es sich um eine Änderungstendenz: die momentane Änderungsrate. AUFGABEN Legen Sie an die Graphen der folgenden Funktionen an den Stellen x und x 2 2 zeichnerisch nach Augenmaß die Tangenten an und ermitteln Sie so aus Steigungsdreiecken der Tangenten die ungefähren Steigungen der Graphen in diesen Punkten!. f (x) 3 x f (x) 2x 3. f (x) e x 4. f (x) sin (x) 5. f (x) 2 x2 x 6. f(x) 2 x2 Die Tangentensteigung in einem Punkt eines Graphen lässt sich zeichnerisch nur ungenau ermitteln. Der genaue Wert der Änderungstendenz einer Funktion für einen bestimmten Wert 2 x p muss berechnet werden. Dazu wird die Überführung der Sekante in die Tangente rechnerisch vorgenommen. Wenn z.b. bei einer Parabel mit der Funktionsgleichung f (x) 4 x2 die Tangentensteigung (als Maß der Änderungstendenz der Funktion) im Punkt P x p f (x p ) 4 gesucht ist, ermittelt man zunächst die Steigung einer durch P laufenden Sekante (siehe Abb. 9). Der zweite Schnittpunkt sei ein beliebiger Punkt P n (x n f (x n )), dessen Koordinaten x n (x p ) ( ) und f (x n ) f (x p ) f ( ) sind. y 2 f (x n ) f (x p ) Abb. 9 x p = f (x) = x 2 4 x n P n Δf (x p ) 2 3 x Dann gilt für die Sekantensteigung: Δf (x) m s f (x n) f (x p ) f (x p ) f (x p ) f ( ) f () Der gesuchten Tangentensteigung nähert man sich durch Drehen der Sekante (hier im Uhrzeigersinn) um den Punkt P. Dabei streben und Δf (x) beide jeweils dem Wert null zu. Auf die gleiche Weise könnte man die Tangente auch näherungsweise bestimmen, indem man einen Punkt P m wählt, der links von P liegt; ist dann negativ. Dass der Graph von der so definierten Tangente für x-werte kleiner als x noch einmal geschnitten wird, ist hier unerheblich. 2 Mit Blick auf den zugehörigen Graphen sagt man auch an der Stelle x x p. 9

11 Differenzialrechnung Wenn man die Steigung der Tangente bestimmen will, so kann man diese Steigung nicht direkt Δf (x) als Differenzenquotient schreiben, da dann ja 0 gilt. Um die Tangentensteigung näherungsweise zu bestimmen, kann man Δ f (x) für -Werte Δf (x) berechnen, die immer näher bei Null liegen, und untersuchen, welchem Wert sich in diesem Fall nähert. Merke Δf (x) Der Grenzwert des Differenzenquotienten für ein gegen 0 strebendes ist das Δf (x) df (x) dx bezeichnet. Maß der Tangentensteigung und wird mit lim 0 d f (x) heißt Differenzialquotient. dx Der hier berechnete Wert wird auch als Ableitung der Funktion f bezeichnet. d f (x) und dx stehen also in einem festen Verhältnis zueinander, sind aber beliebig groß. Anschaulich können diese beiden Werte als Längen der Katheten des Steigungsdreiecks der Tangente gedeutet werden. Da Δ f (x) f (x n ) f (x p ) f (x p ) f (x p ) ist, kann man für den Grenzwert des f (x p ) f (x p ) Differenzenquotienten auch lim schreiben. Dieser Ausdruck ermöglicht 0 es in vielen Fällen, die Tangentensteigung zu berechnen. Beispiel mit Lösung Aufgabe: Wie groß ist die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion f mit f (x) 4 x2 an der Stelle x p (vgl. Abb. 9)? a) Bestimmen Sie einen Näherungswert für die gesuchte Steigung durch die Berechnung der Sekantensteigungen, wenn der Punkt P n immer näher bei P gewählt wird. Runden Sie die Werte von m s dabei nicht! b) Berechnen Sie die Steigung als Grenzwert des Differenzenquotienten für 0. c) Lösen Sie Aufgabenteil b) für den allgemeinen Punkt P (x p f (x p )). Lösung: a) Die Steigung m s der Sekante s berechnet man mit der Formel m s f (x n) f () f ( ) f () x n Die zweite Darstellung der Formel kann als Funktion im GTR eingegeben werden, so dass man sehr schnell die gesuchten Werte bestimmen kann. Sie exakten Werte für die Steigung kann man in der Wertetafel ablesen, indem man mit dem Cursor auf den entsprechenden Wert in der y-spalte geht. Lies: Limes Δ f (x) durch für gegen null bzw. d f (x) nach dx ; limes (lateinisch): Grenze 20

12 Ableitung einer Funktion. P n m s 2 0,75,5 0,5 0,625, 0, 0,525,0 0,0 0,5025,00 0,00 0,50025,000 0,000 0, P n m s 0 0,25 0,5 0,5 0,375 0,9 0, 0,475 0,99 0,0 0,4975 0,999 0,00 0, ,9999 0,000 0, Anhand dieser Werte kann man vermuten, dass die Tangente wohl die Steigung 0,5 hat. b) Zur Berechnung der Tangentensteigung m t berechnet man zunächst die Sekantensteigung und vereinfacht den errechneten Term soweit wie möglich. f ( ) f () 4 ( )2 4 4 ( 2 ()2 ) 4 m s () () Nun kann man den Grenzwert von m s für 0 und damit die Tangentensteigung m t bestimmen: m t lim df (x) dx Die in Aufgabenteil a) anhand der Werte geäußerte Vermutung war also richtig. df (x) und dx kann man dabei als Katheten des Steigungsdreiecks der Tangente deuten (siehe Abb. 2 Abb. 2). c) m s f (x p ) f (x p ) 4 (x p ) 2 4 x p 2 4 (x p 2 2 x p () 2 ) 4 x p 2 4 x p 2 2 x p 4 ()2 4 x p 2 2 x p 4 ()2 2 x p 4 2 x p 4 2

13 Differenzialrechnung Für den allgemeinen Punkt P (x p f (x p )) gilt also: m t lim 0 2 x p 4 2 x p AUFGABEN Lösen Sie, wie im Beispiel mit Lösung gezeigt, für die nachfolgend gegebenen Funktionen jeweils folgende Aufgaben: a) Bestimmen Sie näherungsweise die Tangentensteigung an der angegebenen Stelle x p. b) Berechnen Sie die Tangentensteigung an der angegebenen Stelle x p als Grenzwert des Differenzenquotienten. c) Berechnen Sie die Tangentensteigung an der Stelle x p (allgemein) als Grenzwert des Differenzenquotienten. 7. f (x) 2x f (x) 2 x p x2 x p 3 9. f (x) x 2 2 x p 0. f (x) (6x) 2 x p 2. Bestimmen Sie bei den folgenden Funktionen die Tangentensteigung an den jeweils angegebenen Stellen x und x 2 näherungsweise (wie im Aufgabenteil a) beim Beispiel mit Lösung). f (x) 2 sin x 2 π ; x ; x 2 π a) b) f (x) e x 2 ; x 2; x 2 2 c) f (x) cos (2x) ; x 0; x 2 2 d) f (x) 2x 3 x 2 3; x 2; x 2.2 Ableitungsfunktionen Bei der Berechnung der Tangentensteigung für den allgemeinen Punkt P (x p f (x p )) erkennt man, dass bei den hier untersuchten Funktionen jedem x p -Wert eindeutig eine bestimmte Steigung zugeordnet wird. Man kann zu der Funktion f also eine Funktion definieren, die jedem x-wert den Steigungswert an dieser Stelle zuordnet. Definition 22 Der Steigungswert im Punkt P (x p f (x p )) heißt Ableitung der Funktion f an der Stelle x p und wird mit f(x p ) 2 bezeichnet. Da dies für jedes x p gilt, wird damit eine Funktion für alle x-werte des Definitionsbereichs definiert. Satz 22 df (x) Die Ableitung f (x) einer Funktion f ist ebenfalls eine Funktion von x und dx heißt (erste) Ableitungsfunktion (kurz: erste Ableitung) von f. Nicht alle Funktionen haben an jeder Stelle einen bestimmbaren Ableitungswert. Das sind z.b. solche, deren Graph Sprünge oder Spitzen aufweist; denn an diesen Stellen gibt es keine eindeutige Tangentenlage. Diese Besonderheiten der fehlenden Stetigkeit oder Differenzierbarkeit von Funktionen werden hier nicht betrachtet. 2 Lies: f Strich von x p 22

14 Ableitungsfunktionen.2 Statt der Begriffe ableiten und Ableitung verwendet man auch die Bezeichnungen differenzieren und Differenziation, was an die Differenzenbildung in Zähler und Nenner des Differenzenquotienten erinnert, die der Ableitung des Grenzwertes zugrunde gelegt wird. Derjenige Bereich der Mathematik, der sich mit dem Differenzieren befasst, heißt Differenzialrechnung 3. Merke Die Gleichung einer Funktion bestimmt für jeden aus dem Definitionsbereich D eingesetzten x-wert deren Funktionswert f (x) (Ordinatenwert). Die Gleichung der Ableitungsfunktion bestimmt für jeden aus dem Definitionsbereich D eingesetzten x-wert die Änderungstendenz f(x) (Steigungswert) der Ursprungsfunktion. AUFGABEN. Zeichnen Sie zwei untereinander angeordnete Koordinatensysteme mit gleicher x-achsenteilung für 5 x 5. Die y-achse des oberen Systems soll Platz für y-werte von bis 5 bieten, die y-achse des unteren Koordinatensystems Platz für Werte von 3 bis 3. a) Zeichnen Sie in das obere Koordinatensystem den Graphen von f mit f (x) 4 x2, in das untere den Graphen von f mit f (x) 2 x ein! b) Kontrollieren Sie an den Stellen x,5, x 2 2,5, x 3 0, x 4, x 5 3 die Übereinstimmung der Steigungswerte (Tangentenlage!) im oberen Koordinatensystem mit den Ordinatenwerten (Funktionswerten von f ) im unteren Koordinatensystem! 2. Im Folgenden sind jeweils 3 Schaubilder gegeben. Schaubild zeigt immer den Graphen der Funktion f. Eines der beiden anderen Schaubilder zeigt der Graph der zugehörigen Ableitungsfunktion f. Geben Sie jeweils an, welches Schaubild den Graphen von f und welches den von f zeigt! Begründen Sie Ihre Aussage! a) 3 Die Bennennung abgeleitete Funktion oder Ableitung und das Symbol f (x) gehen auf den französischen Mathematiker Joseph Louis Lagrange (73683) zurück. Die Bezeichnung Differenzialquotient und die Schreibweise d f (x) stammen von Gottfried Wilhelm Leibniz (64676). dx 23

15 Differenzialrechnung b) c) 3. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f mit f (x) 3 x3 x 2 für 2 x 2,5. 3 Legen Sie an den Graphen an den Stellen x p mit x p {2;,5; ;,5; 2} zeichnerisch nach Augenmaß die Tangenten an und ermitteln Sie so aus Steigungsdreiecken der Tangenten die ungefähren Steigungen des Graphen in diesen Punkten! Tragen Sie dann mit anderer Farbe in das Koordinatensystem die Punkte P(x p f(x p )) ein. Welcher Funktionstyp ist hier zu erkennen? In den Modulen GRAPH und TABLE kann im Setup eingestellt werden, dass die Werte der Ableitungsfunktion jeweils mit angegeben werden sollen. Gibt man dann die Gleichung einer Funktion ein, so werden bei der Wertetafel auch die Werte der Ableitung angegeben: Im Modul GRAPH wird bei TRACE außer den Koordinaten des jeweiligen Punktes bei dy/dx auch die Steigung in diesem Punkt angegeben: 24

16 Ableitungsfunktionen.2 AUFGABEN 4. Entnehmen Sie der Wertetafel des GTR die Funktionswerte und die Werte der Ableitungsfunktion der jeweils angegebenen ganzrationalen Funktion f. Zeichnen Sie anhand dieser Werte in ein Koordinatensystem jeweils die Graphen von f und f ein. a) f (x) x f (x) 3 x3 x f (x) 2 x b) c) 6 x4 x 2 Welche Vermutung können Sie anhand der Ergebnisse dieser Aufgabe über den Zusammenhang zwischen dem Grad der Funktion f und ihrer Ableitungsfunktion machen? 5. Entnehmen Sie der Wertetafel des GTR die Funktionswerte und die Werte der Ableitungsfunktion der jeweils angegebenen Funktion f. Zeichnen Sie anhand dieser Werte in ein Koordinatensystem jeweils die Graphen von f und f ein. Welche Beobachtungen kann man machen? a) f (x) e x b) f (x) sin (x) c) f (x) e 0,5x Da für die Berechnung des Differenzialquotienten Funktionsausdrücke eingesetzt werden müssen, ergeben verschiedene Funktionsarten auch verschiedenartige Ableitungsfunktionen. Im Folgenden sollen die wichtigsten Funktionen abgeleitet (differenziert) werden. Dazu benutzen wir die in Abschnitt..2 verwendete allgemeine Ableitungsvorschrift für den Grenzübergang des Differenzenquotienten, jedoch wegen der in Abschnitt.2 nachgewiesenen Allgemeingültigkeit für die gesamte Funktion mit der jetzt nicht mehr festgelegten Koordinate x: df (x) f(x) dx lim 0 f (x ) f (x)..2. Ableitung der Grundfunktionen Die konstante Funktion f: x a Der Graph einer solchen Funktion ist eine Parallele zur x-achse, hat also überall die Steigung null. Dies ergibt sich auch mithilfe der allgemeinen Formel: f (x ) f (x) a a 0 f (x) a f (x) lim lim lim Satz 25. Für f (x) a (a r, D r) gilt: f (x) 0 Die lineare Funktion f: x m x Der Graph einer solchen Funktion ist eine Gerade mit der Steigung m; damit ist die Ableitung eigentlich schon bekannt. Die Rechnung bestätigt dies: f (x) m x f(x) f (x ) f (x) lim 0 Satz 25.2 m (x ) m x lim 0 Für f (x) m x (m r, D r) gilt: f(x) m m lim 0 m 25