Kettenregel und Integration

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1 Kettenregel und Integration 2x e x2 dx =? Der Integrand schaut vom Aufbau her nach partieller Integration aus. Da man den Faktor e x2 nicht integrieren kann, ist das Vorgehen klar. Aber das Scheitern ist vorprogrammiert. Die Terme werden immer größer. Nachdenken ist erforderlich. Die letzte Methode der partiellen Integration haben wir aus der Produktregel für das Differenzieren hergeleitet. Vielleicht führt hier die Kettenregel weiter?. Bauplan von e x2 Äußere Funktion: f = exp Innere Funktion: g = Quadratf unktion Zusammengesetzte Funktion: 2. Kettenregel 2x e x2 = 2x f(g(x)) = g (x) f(g(x)) = f(g(x)) g (x) () [f(g(x))] = f (g(x)) g (x) (2) Das heißt, f(g(x)) ist Stammfunktion von f (g(x)) g (x). 3. Stammfunktion von f(g(x)) g (x) Wir suchen aber eine Stammfunktion von f(g(x)) g (x). Die Lösung liegt im Vergleich der rechten Seiten von () und (2). Ersetzen wir in der rechten Seite von (2) das f durch f, so muss auf der linken Seite das f durch F ersetzt werden, wobei F eine Stammfunktion von f ist. Somit ist F(g(x)) eine Stammfunktion von f(g(x)) g (x). Wegen f = exp gilt F = exp und damit auch F(g(x)) = e g(x) = e x2. Probe: [e x2 ] = [e x2 ] 2x = 2x e x2 2x e x2 dx = e x2 + C

2 Diese Überlegungen bilden die Grundlage zu einem Verfahren, genannt Integration durch Substitution. Das Ziel ist dabei, den Integranden zu vereinfachen. Meist ist es sinnvoll, die innere Funktion zu substituieren. In unserem Beispiel also z = x 2. Erinnern wir uns an eine in der Schulmathematik weniger übliche Schreibweise für die Ableitung einer Funktion. f (x) = df, d.h. df nach dx bzw. f nach x abgeleitet dx Wenden wir diese Schreibweise auf die Funktion z an, so erscheint im entsprechenden Term sowohl dz als auch dx. Somit lässt sich dx durch dz ausdrücken. dz dx = 2x dx = 2x dz Nun setzen wir in unseren gesuchten Integralausdruck ein, nehmen dabei in Kauf, dass zunächst die Variable x noch vorkommen kann. Natürlich muss sie in einem z-integral letztlich verschwinden. 2x e x2 dx = 2x e z 2x dz = e z dz = e z + C = ( ) Wir haben zweimal Glück. Die alte Variable x verschwindet nach dem Kürzen und das Integral in der Variablen z ist einfach lösbar. Das ursprünglich zu lösende Integral erwartet als Lösung eine Funktion in der Variablen x. Diese erhalten wir durch die Resubstitution z = x 2. e x2 + C Leiten wir zur Probe die Lösung ab: ( ) e x2 + C = 2xe x 2 Wir sehen jetzt das Bauprinzip des Integranden ganz genau. Der Faktor 2x kommt vom Nachdifferenzieren der inneren Funktion x 2. 2

3 Verwenden wir die Substitution z(x) = x 2 ), so stellt sich der Integrand als f(z(x)) z (x) dar, wobei f(x) = e x ist. Funktionen, die so aufgebaut sind, können wir also integrieren, wenn wir eine Stammfunktion von f kennen. Wir können also den folgenden Lehrsatz formulieren: Lehrsatz Integration durch Substitution Ist F(x) eine Stammfunktion von f(x), so ist F(z(x)) eine Stammfunktion von f(z(x)) z (x). Es gilt somit: f(z(x)) z (x)dx = F(z(x)) + C Beweis: Wir leiten die rechte Seite einfach ab. Also gilt: (F(z(x))+C) = F (z(x)) z (x) = f(z(x)) z (x) qed Wenden wir unsere Erkenntnisse an! Ergänzen Sie den Term so, dass Integration durch Substitution zum Ziel führt! A...e x3 A 2... x 3 8 Geben Sie zu den zwei Funktionen jeweils das unbestimmte Integral an und machen Sie die Probe! zu A... zu A2... In der Praxis ist es so, dass man den Lehrsatz nicht direkt anwendet, sondern 3

4 ein dem Lehrsatz entsprechendes Verfahren. Dazu nochmal ein Musterbeispiel! Substitution: dx durch dz ausdrücken: e π 2 sin(ln(x)) x z =... dz dx = ( ) x-grenzen in z-grenzen umrechnen: z() =... Integral in z:... z(e π 2 ) = dz = Als Ergebnis erhalten wir schließlich: e π 2 sin(ln(x)) x dx = 4

5 Eine weitere Aufgabe: x x 2 + dx = ( ) Woran kann man schnell erkennen, dass Substitution zum Ziel führen wird?... Substitution: dx durch dz ausdrücken: z = x 2 + dz Integal in z:... dz =... Resubstitution: Als Ergebnis erhalten wir schließlich: x x 2 + dx = 3 (x2 + ) x C 5

6 Aufgaben Bestätigen Sie durch Substitution: π 2 π 6 Integration ist eine Kunst cos(x) ln(sin(x))dx = ln(2) e x 0 dx = ex x2 ln(2) + C e x x 2 dx = e 2 33 x 2 ( x 3 ) 0 dx = Nicht immer ist die Substitution leicht zu erkennen, wie das folgende Beispiel zeigt. dx ( x 2 ) 3/2 Ohne große Erfahrung im Integrieren käme man nie auf die Idee, die Variable x durch eine Funktion in der Variablen z, nämlich sin(z), zu ersetzen. Geben wir diese Substitution vor. x = sin(z) x ist eine Funktion von z, folglich leiten wir x nach z ab. dx dz =... 6

7 Durch den Nachweis ( sin(z)... cos(z) ) = [cos(z)] 2 [cos(z)] 2 dz erhalten wir schließlich das Zwischenergebnis. sin(z) cos(z) + C Dieses z-integral müssen wir in ein x-integral zurückverwandeln. Dazu müssen wir z durch x ausdrücken. Die Beziehung zwischen z und x zeigt die Substitutionsgleichung. Diese muss nach z aufgelöst werden. Die Sinusfunktion ist in [ π 2, π 2 ] streng monoton steigend und damit umkehrbar. Die Umkehrfunktion von sin(z) wird mit arcsin(z) (Arcussinus) bezeichnet. x = sin(z) Anwenden der Umkehrfunktion arcsin Damit erhalten wir: z =... sin(arcsin(x)) cos(arcsin(x)) + C Der Zähler ist leicht zu vereinfachen.... cos(arcsin(x)) + C Den Nenner schreiben wir in einen Sinusterm um und vereinfachen: x + C = x + C [sin(arcsin(x))]

8 Das gesuchte unbestimmte Integral ist somit gefunden. ( x 2 ) dx = x + C 3/2 x 2 Noch ein schwieriges Integral, das sog. Kreisintegral x2 dx = ( ) 0. Zeigen Sie, dass der Integrand im Bereich [ ; ] einen Halbkreis um den Ursprung mit Radius beschreibt! 2. Zeigen Sie: π 4 3. Bestätigen Sie: x 2 dx = 2 (x x 2 + arcsin(x)) + C Zum Berechnen des Integrals substitutieren wir: x = sin(z) 8