Übungsaufgaben mit Lösungen Analysis [2]

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1 Mathe-Trainings-Heft Prüfungsvorbereitung für Oberstufe und Abitur Übungsaufgaben mit Lösungen Analysis [] Funktionsanalyse a-b-c-formel / p-q-formel Tangenten / Normale Ableitung / Integration und mehr Mrz.0 Kostenlose Videos mit Rechenwegen auf Mathe-Seite.de

2 Kombiniere Lern-Videos mit Lern-Schriften für bessere Noten. Du möchtest nicht nur die Lern-Videos schauen, sondern auch mal ein paar Übungsaufgaben rechnen oder Theorie nachlesen? Dann nutze die kostenlosen Lern-Schriften! Das Besondere an den Lern-Schriften ist, dass Struktur und Inhalte identisch mit den Lern-Videos auf der Mathe-Seite.de sind. Falls du also in den Lern-Schriften etwas nicht verstehst, findest du die nötigen Erklärungen im Lern-Video - am schnellsten via QR-Codes. Lern-Schriften + Lern-Videos = bessere Noten Was dir das nützt: Dein Lernen wird wesentlich effektiver, denn du profitierst vom sogenannten "crossmedialen Effekt". Der kommt aus der Werbe-Psychologie und bewirkt, dass du die Thematik intensiver wahrnimmst, besser verstehst und länger memorierst. Das bietet übrigens nur die Mathe-Seite.de! Das Mathe-Trainings-Heft (MTH) Das vorliegende Mathe-Trainings-Heft beinhaltet Rechenaufgaben und Lösungen speziell zur Prüfungsvorbereitung für Oberstufe und Abitur. Solltest du eine Aufgabe nicht lösen können, findest du den Rechenweg direkt per QR-Link im Lern-Video. Zum Beispiel: Den Lösungsweg zu den Übungsaufgaben [A..0] findest du online auf der Mathe-Seite.de im Kapitel [A..0]. Vermutlich brauchst du nicht alle der im MTH enthaltenen MatheThemen. Unter > Abi-Themen nach Bundesland findest du eine Liste mit denjenigen Themen, die für dein Bundesland und deine Schulart relevant sind. Weitere kostenlose Lern-Schriften auf der MatheSeite Die Lernbuch-Reihe detailliertes Fachwissen in mehreren Bänden Die Lern-Kartei-Karten handlich und clever Die Formelsammlung das unverzichtbare Nachschlagewerk Die Anleitungen für Grafische Taschenrechner endlich verständlich

3 Videos mit Lösungsweg auf der Mathe-Seite.de; Ergebnisse hinten im Heft. A. Bedeutung von f, f', f'', F,... A..0 Bedeutung vom y-wert [0] Bestimmen Sie den y-wert von f()=² + bei =. [0] Die Temperatur in einem Ofen wird durch T(t)=0, t beschrieben. Bestimmen Sie die Temperatur nach Minuten. [0] Der Punkt B(a 0) liegt auf der Funktion f()=³+. Bestimmen Sie a! A..0 Bedeutung der Steigung [0] Bestimme die Steigung von f()=² + bei =. [0] Welche Steigung hat die Tangente an g()=³ in A( -)? [0] In welchem Punkt hat h()=²+ die Steigung m=? A..0 Links- / Rechtskrümmung [0] Prüfen Sie, ob f()=² + bei = links- oder rechtsgekrümmt ist. [0] In welchem Bereich ist g()=³ linksgekrümmt? [0] In welchem Bereich ist h()=³+² + rechtsgekrümmt? A..0 Flächen Aufgaben zu diesem Thema finden Sie in Kap.A. sowie Kap.A.. A..0 Definitionsmenge Bestimmen Sie die Definitionsmenge von: + [0] f( ) = [0] g() = + [0] i()= ln(+) [0] j()= +cos(π +) ² A..0 Wertemenge Bestimmen Sie die Wertemenge von: [0] f()=² [0] g() = [0] f()=- (+)+ [0] h( ) = + [0] h()=³ + [0] g()=++ A..07 Monotonie [0] Untersuchen Sie f()=²+ auf Montonie. [0] Untersuchen Sie g()=³++ auf Monotonie. [0] In welchem Bereich ist h()=0, ( 7)+ monoton? [0] In welchem Bereich ist i()=++ streng monoton fallend? A..0 Krümmungsradius / Bogenlänge [0] Bestimmen Sie den Krümmungsradius von f()=² an der Stelle =. [0] Bestimmen Sie den Krümmungsradius von g()=³ ² im Schnittpunkt mit der y-achse. An welcher Stelle ist der Krümmungsradius minimal? (Letzte Frage nur lösen, falls Sie mit einem GTR/CAS arbeiten). [0] Bestimmen Sie die Bogenlänge der Funktion f()=e0,+e 0, im Intervall I=[-;]. [0] Bestimmen Sie die Bogenlänge der Funktion g()=-²+ im ersten Quadranten. (Nur mit GTR/CAS lösbar!) Havoni Schulmedien-Verlag

4 A. Nullstellen / Gleichungen lösen A..0 Auf Form bringen Lösen Sie die Gleichung: [0] (+)+ = (+) (+) [0] + = [0] ( ) (+)+ (+) = (+)+ = + [0] [0] 7+ = [07] (+) (+) = (+) = + [09] ² = [0] (+) (+) = + 9 = + [0] [] + = ² [] + ² ² ² ² + ² =0 A..0 einfache Gleichungen, die nur ein einziges enthalten Lösen Sie die Gleichung: = [0] [0] ( ) = 0 [0] ²+7 = 7 + [0] = [0] ³+ = ( ) = A..0 Ausklammern Lösen Sie die Gleichung: [0] -²+=0 [0] 9 = 0 [0] ³+² =0 [0] ³ = ² [0] t²³+t² = 0 =0 [07] ½ ³ ²+=0 [0] -7+ =0 [09] +0 = 9 [0] (+) (² ) + (+) ( ) = 0 [] t² α+α=0 [] ³+ ²++ =0 A..0 ; A..0 Mitternachtsformeln (a-b-c-formel; p-q-formel) Lösen Sie die Gleichung: [0] ²+ =0 [0] ² =0 [0] ²+0+=0 [0] ² +=0 [0] ²++=0 += [07] ² +=0 [0] ² +=0 [0] ² t+t²=0 [] ² +k=0 A..0 Substitution Lösen Sie die Gleichung: [0] +=0 [0] + = 0 [0] + = 0 [0] = 0 [07] = 0 [0] + = 0 [09] ( ) (+)+=0 ²+a +a³=0 [] a [0] +=0 0 = 0 [0] + +0=0 [09] +=0 [] 9 +=0 [] (³ )+ (³ )= A..07 Polynomdivision Lösen Sie die Gleichung: [0] ³ ²+ =0 [0] + +=0 [0] ³ ²+ =0 [0] ³ ²++9=0 [0] ³ ² 7 = 0 ³ ² + = 0 Havoni Schulmedien-Verlag

5 A..0 Horner-Schema Lösen Sie die Gleichung: [0] ³ ²+ =0 [0] + +=0 [0] ³ ²+ =0 [0] ³ ²++9=0 [0] ³ ² 7 = 0 ³ ² + = 0 A..09 Vermischte Aufgaben Lösen Sie die Gleichung: [0] ( ) ( ) = 0 [0] ( ) ( )+ = 0 [0] + = 0 [0] t + = t [0] ( z) z =0 (t+) (³+) = 0 [07] r(+)+r = (r+) [09] + [0] = =0 [0] (+) ( ) (+) ( ) = 0 [] - + += 0 + [] a++a²² a³+² = 0 - A..0 Verwandte Themen finden Sie hier: Kapitel A..0, Nullstellen bei e-funktionen Kapitel A..0, [A..0] Nullstellen bei sin/cos-funktionen Kapitel A..0, Nullstellen bei gebrochen-rationalen Funktionen Kapitel A..0, Nullstellen bei Logarithmus-Funktionen Kapitel A..0, Nullstellen bei Wurzel-Funktionen A. Ableitungen A..0 Polynome Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion. [0] f()=³+² + [0] g()=0, +,+, [0] h()=-7+0, -+-, t [0] f t() = t ³+( t² ) ²+ + t² [0] g t() = sin( t) + t t² h() = (½²+ ) A..0 Wurzeln / Brüche Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion. [0] f( ) = ³ [0] i( ) = [0] h( ) = + 9 [0] j() = [0] g( ) = ³+² + ² t + 0, + ² h( ) = (+) A..0 Kettenregel Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion. [0] f()= (+) [0] i( ) = a² (a+) [0] g()= ( ³) [0] h( ) = [0] j() = + i( ) = Havoni Schulmedien-Verlag ( ) ²+,

6 A..0 Produktregel Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion. [0] f() = ² (+) [0] h() = (-) (+) [0] g() = ² ² [0] g() = [0] f() = ( )(+) h() = (+) (+) A..0 Quotientenregel Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion. [0] f( ) = f'()=?, f''()=? [0] g() = + [0] h( ) = [0] g() = h'()=?, h''()=? ²+ ³+² + g'()=? ² [0] f( ) = h( ) = ²+ ²+ ( ) ³ ( ) g'()=? f'()=? h'()=? A..0 Vermischte Aufgaben [0] f()= ( ). Welche Steigung hat die Tangente in O(0 0)? [0] f()=0,. Bestimmen Sie Nullstellen und Etrema von f(). Fertigen Sie eine Skizze von f(). [0] In welchem Punkt verläuft die Tangente an f()=³+7 parallel zur Geraden y=-+? [0] Bestimmen Sie die Tangentensteigung von g()=(+) ( ) im Punkt A( f()). + [0] Bestimmen Sie alle Punkte der Funktion f( )= mit waagerechter Tangente. Bestimmen Sie die momentane Änderungsrate f()=0,(+²) im Punkt P(- f(-)) sowie die durchschnittliche Änderungsrate von f() im Intervall I=[0;]. A..07 Ableitungen zu vermischte Funktionstypen Bestimmen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen: [0] f() = ²+sin() [0] g() = ² sin() + [0] h( ) = cos( )+e [0] f() = (+) e [0] g() = cos()+ [07] f() = ² ln(+) [09] h( ) = ² +π h() = 0, (e- ) [0] g() = t² ln(+) A..0 Verwandte Themen finden Sie hier: Kapitel A..0, A..0, Ableitungen bei e-funktionen Kapitel A..0, A..0, Ableitungen bei sin/cos-funktionen Kapitel A..0, A..0, Ableitungen bei gebrochen-rationalen Funktionen Kapitel A..0, A..0, Ableitungen bei Logarithmus-Funktionen Kapitel A..0, A..0, Ableitungen bei Wurzel-Funktionen Havoni Schulmedien-Verlag

7 A. Stammfunktionen / Integrale A..0 Polynome Bestimmen Sie die Stammfunktionen der Funktion [0] f()=³+² + [0] g()=0, +,+, [0] h()=-7+0, -+-, [0] g t() = sin( t) + t t² t [0] f t() = t ³+( t² ) ²+ + t² h() = (½²+ ) A..0 Einfache Brüche und Wurzeln Bestimmen Sie die Stammfunktionen der Funktion [0] f( ) = + [0] g() = [0] h( ) = ³+² 7 ² i( ) = t ² + 0, + ² [0] g t() = 9 [0] h( ) = + A..0 Lineare Substitution (umgekehrte Kettenregel) Bestimmen Sie die Stammfunktionen der Funktion [0] f()= (+) [0] g()= ( ) [0] h( ) = [0] ia( ) = a² (a ) [0] j() = + k( ) = A..0 Stammfunktionen, die auf ln(..) führen Bestimmen Sie die Stammfunktionen der Funktion [0] f( ) = + [0] g() = [0] ht() = [0] f( ) = ² + 7 ² [0] g() = + ² h( ) = ( ) t t² t t² 7 + ( ) A..0 Produkt-Integration Bestimmen Sie die Stammfunktionen der Funktion [0] f( ) = + [0] g() = ( ) (+) [0] h() = ² (+) [0] f() = ½ ( ) [0] g() = (+) π h() = 0, e-0,+ A..0 Integration durch Substitution Bestimmen Sie die Stammfunktionen der Funktion [0] f() = (²+) [0] sin() d cos²() + d [0] f( ) = ² ³+ [0] [0] f( ) = ³, e-²+ d [Hinweis: Klammern Sie unter der Wurzel aus.] Havoni Schulmedien-Verlag

8 A..07 Integration über Partialbruchzerlegung Bestimmen Sie die Stammfunktionen der Funktion ²+ + [0] f( ) = [0] g() = ² ³+ ² ² ² +9 d ³ ²+ [0] h( ) = [0] ³+ ²+ ³ ²+ 0 ³ ² + ³ ²+ d + [0] i( ) = A. Tangenten und Normale A..0 bzw. A..0 Tangentengleichung Bestimmen Sie die Gleichung der Tangenten und Normalen an f() im Punkt P. [0] f()=-²+ an P(?) [0] f()=³ an P(?) [0] f()=² +7 an P(?) [0] Bestimme die Tangente und Normale an f()=³ ²++ im Schnittpunkt mit der y-achse. [0] Bestimme den Schnittpunkt der Tangenten an f()=-0,+ in den Nullstellen. Bestimme den Inhalt der Dreiecksläche, die von der Tangente und der Normalen an f()=² in P( f()) mit der -Achse gebildet wird. A..0 Wendetangente Bestimmen Sie die Wendetangente von f() [0] f() = 0,³ [0] f() = + [0] f()=³ ²+ [0] f()=0,,²+9 [0] f() = ³+²+9 f()= + A..0 Tangente mit unbekanntem Berührpunkt ( Tangente von außen ) Von Punkt A wird eine Tangente an f() gelegt. [0] f()=0,³ ²+ mit A( ) Bestimme Berührpunkt und Tangente. [0] g()=² mit A( -) Bestimme Berührpunkt. [0] h()= + mit A(0 ) Bestimme Berührpunkt und Tangente. [0] f()=-0,+ mit A(0 ) Bestimme Berührpunkt und Tangente. [0] f()=³+ mit A( ) Bestimme Berührpunkt und Tangente. f()=-+++ mit A(0 0) Bestimme Berührpunkt. A..0 Normale mit unbekanntem Berührpunkt ( Normale von außen ) [0] Bestimme eine Normale an f()=² + durch A(- ). [0] Bestimme einen Punkt des Schaubilds von g()=0,³ in welchem die Normale an g durch den Punkt B(- -) verläuft. [0] Eine Normale an h()=² + im Punkt P geht durch den Punkt A( -,). Bestimmen Sie die Lage von P. Havoni Schulmedien-Verlag

9 A. Asymptoten A..0 senkrechte Asymptoten Bestimmen Sie die senkrechten Asymptoten der Funktion: ²+ [0] f( ) = [0] g() = ² [0] h( ) = + [0] f( ) = [07] f( ) = ² ²+ e + e [0] g() = [0] g() = ³ + cos( )+ h( ) = ²(+)( ) ² + [09] h() = ln(+) A..0 waagerechte/schiefe Asymptoten / Grenzwerte Bestimmen Sie den Grenzwert der Funktion, bzw. waagerechte oder schiefe Asymptoten der Funktion: [0] f( ) = + [0] g() = [0] h( ) = [0] f( ) = ³ +² + ²+ [0] g() = ² sin( ) + h( ) = e + e A.7 Symmetrie A.7.0 Symmetrie von ganzrationalen Funktionen Geben Sie die Symmetrieeigenschaften der Funktionen an: [0] f()=³+, g()=0,+-++, h()= + [0] f()= 0,+, gt()=+t t, ht()=t +t [0] f()=+-+, g()=-7+, h()=+ - A.7.0 Symmetrie am Ursprung bzw. an y-achse Beweisen Sie die Symmetrieeigenschaften der Funktionen: [0] f() = ³+, g() = 0, +-++ [0] h()= + f() = 0,+ [0] h()= + f() = 0,+ A.7.0 ; A.7.0 Symmetrie über Formeln und über Verschieben Weisen Sie nach, dass f() zum angegebenen Punkt S bzw. zur angegebenen Achse symmetrisch ist: [0] f() = ³ ²+ Symmetriepunkt: S( -) [0] f() = 0,²++ Symmetrieachse: =- [0] f() = ³+²+ Symmetriepunkt: S(- ) [0] f() = -²+ Symmetrieachse: = Havoni Schulmedien-Verlag 7

10 A. Integrale und Flächeninhalte A..0 Flächen zwischen f() und -Achse Bestimmen Sie die Fläche, die von f() und der -Achse eingeschlossen wird. [0] f() = -²++ [0] f() = ³ 9 [0] f() = 0,, [0] f() = 0,² + innerhalb der Grenzen =0 und = [0] g() = ² + innerhalb der Grenzen =0 und = ha() = ³+a² A..0 Flächen zwischen zwei Funktionen Bestimmen Sie die Fläche, die von f() und g() eingeschlossen wird. [0] f()=-+ g()=²+ [0] f()=-³+²++ g()=-²++ g() = [0] f()=³++ g()=+ [0] f()=-²+ ² [0] f()=-²+ g()=²+ f()=-²+t² g()=² A..0 Flächen zwischen drei Funktionen Bestimmen Sie, welche Fläche durch die drei Funktionen eingeschlossen wird. [0] f()=³+, g()=-+7, y-achse [0] f()=³+, g()=-+7, -Achse [0] f()=³+, Tangente an f() in P(-?), -Achse [0] f()=-²+, g()=-0,², h()=. Nur die Fläche im. und. Quadranten. [0] f( ) =, Tangente an f() in =, -Achse. f()=-0,+, g()=-, h()=. A..0 Uneigentliche Integrale (e-funktion, Hyperbeln) Bestimmen Sie die Fläche, die von f() und der -Achse eingeschlossen wird. u [0] lim d ² [0] lim z d ² a z 0 [0] lim [0] lim t d d t 0 [0] Bestimme die unendlich lange Fläche, die von f()=, den Koordinatenachsenund = gebildet wird. Bestimme die unendlich lange Fläche, die von f( ) =, den Koordinatenachsen und = gebildet wird. u a A..0 Rotationsvolumen Bestimmen Sie das Volumen des Rotationskörpers, der bei Drehung von f() um die -Achse entsteht. [0] f()=-²+ [0] f( ) = + [0] Bestimmen Sie das Volumen des Körpers, der bei Drehung der Fläche zwischen f()=²+ und g()=+ um die -Achse entsteht. [0] f( ) = und g()=0, bilden eine Fläche, die um die -Achse rotiert. Bestimme das Volumen. [0] f()=² bildet mit der -Achse und = eine Fläche, welche um die -Achse rotiert. Bestimme das Rotationsvolumen. Die Halbkreisfunktion f( ) = 9 ² rotiert um die -Achse. Vergleichen Sie das entstehende Rotationsvolumen mit dem entsprechenden Kugelvolumen. Havoni Schulmedien-Verlag

11 A..07 Mittelwert / Durchschnitt Bestimmen Sie den durchschnittlichen Funktionswert (=Mittelwert) von: [0] f()=³ 9 im.quadranten [0] f()=² + im Bereich [;] [0] Durch T(t)=-t²+t wird im Zeitraum von t=0 bis t= die Temperatur eines Ofens beschrieben. Bestimmen Sie die durchschnittliche Temperatur des Ofens im betreffenden Zeitraum. A..0 Dreiecksflächen Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche gebildet von: [0] f()=-½+ und den Koordinatenachsen [0] g()=+, der.winkelhalbierenden und der -Achse [0] Bestimmen Sie die Fläche zwischen der Tangente an f( ) = im Punkt A( ) und den Koordinatenachsen. [0] Die Tangente und Normale an f()=² im Punkt P( -) bilden mit der y-achse ein Fläche. Bestimmen Sie ihren Inhalt. A..09 zusammengesetzte Funktionen Bestimmen Sie die Fläche, die von f() und der -Achse gebildet wird. ³ für + für [0] f( ) = [0] f( ) = ( 0,)³ für > ²+ für < { { ²+ [0] f( ) = { ²+ für 0 schließt mit der -Achse und der senkrechten für >0 Geraden =- eine Fläche ein. Bestimmen Sie ihren Inhalt. A..0 Integralfunktionen [0] Bestimmen Sie die Integralfunktion J() = f(t)dt zu f()=² + [0] Bestimmen Sie die Etremstellen der Integralfunktion J() = k dk k³+ [0] Zeigen Sie, dass J() = (t 0,) dt genau eine Nullstelle besitzt. [0] Sei f()=²+. Weisen Sie nach, dass die Integralfunktion J() streng monoton wachsend ist. [0] Bestimmen Sie zu f()= ² den Wert der Integralfunktion J(). Bestimmen Sie die Schnittpunkte von J0() = 0 t² dt mit der ersten Winkelhalbierenden. Havoni Schulmedien-Verlag 9

12 A.9 Funktionsanalyse A.9.0 f() = ¼ + [0] Bilden Sie drei Ableitungen von g(). [0] Untersuchen Sie g() auf Symmetrie. [0] Berechnen Sie die Nullstellen von g(). [0] Berechnen Sie die Etrempunkte von g(). [0] Berechnen Sie die Wendepunkte von g(). Zeichnen Sie g(). A.9.0 g() = 0 + [0] [0] [0] [0] [0] [07] [0] Bilden Sie drei Ableitungen von g(). Untersuchen Sie g() auf Symmetrie. Berechnen Sie die Nullstellen von g(). Berechnen Sie die Etrempunkte von g(). Berechnen Sie die Wendepunkte von g(). Zeichnen Sie g(). Berechnen Sie die Steigungen der Wendetangenten von g(). Berechnen Sie die Fläche zwischen f() und -Achse. A.9.0 h( ) = [0] [0] [0] [0] [0] [07] [0] ³+²+ Bilden Sie drei Ableitungen von h(). Untersuchen Sie h() auf Symmetrie. Berechnen Sie die Nullstellen von h(). Berechnen Sie die Etrempunkte von h(). Berechnen Sie die Wendepunkte von h(). Zeichnen Sie h(). Berechnen Sie die Wendenormale von h(). Berechnen Sie die Fläche zwischen h() und der an der -Achse gespiegelten Funktion. A.9.0 ft() = ³+t² t>0 [0] Bilden Sie drei Ableitungen von g(). [0] Untersuchen Sie g() auf Symmetrie. [0] Berechnen Sie die Nullstellen von g(). [0] Berechnen Sie die Etrempunkte von g(). [0] Berechnen Sie die Wendepunkte von g(). Zeichnen Sie g(). A.9.0 ht() = t ( )³ [0] [0] [0] [0] [0] 0 t>0 Bilden Sie drei Ableitungen von g(). Untersuchen Sie g() auf Symmetrie. Berechnen Sie die Nullstellen von g(). Berechnen Sie die Etrempunkte von g(). Berechnen Sie die Wendepunkte von g(). Zeichnen Sie g(). Havoni Schulmedien-Verlag

13 Ergebnisse [A..0] [A..0] [A..0] [A..0] [A..0] [A..07] [A..0] [A..0] [0] y=- [0] T=9,9 [0] a= [0] m=- [0] m= [0] P(- -0) [0] Linkskurve [0] >0 [0] <-0, [0] D=ℝ\{} [0] D={ -} [0] D=ℝ [0] D={ >-} [0] D=ℝ [0] W={y y -9} [0] W=ℝ\{0} [0] W=ℝ [0] W={y y -} [0] W={y y -} [0] für >-,: f() streng monoton wachsend (steigend) für -,: f() monoton wachsend (steigend) für <-,: f() streng monoton fallend (abnehmend) für -,: f() streng monoton fallend (abnehmend) [0] streng monoton steigend (wachsend) (für alle ℝ) [0] monoton steigend (wachsend) (für alle ℝ) [0] für <- [0] r(), [0] rmin 0, [0] b=e e,7 [0] b, [0] = [0] = [0] =-, = [0] =-, [0] =,= ± 7 [07] =0 [0] =0 [09] = [0] [A..0] [0] [0] [A..0] [0] [0] [07] [0] [A..0] [0] [0] [07] = [] keine Lös. =7 [0] =, = = [0] =0 =0, =- [0],,=0,,=±,=0, =, [0] =- =0 [0] =0, = =-, =-, = [] =0 =, =- [0] =-, =7 keine Lösung [0],=-0, keine Lösung [0] =0, =, ± k [0] =t, =t [], = [A..0] [0] =, =- [0] keine Lösung [07] keine Lösung [0] =t, =t [A..0] [0].=±,,=± [0] = 0 [07] =, = [0] =-, =7 [0],=-0, [0] =0, =, [], = ± k [0], = ± [0],=±0, [0] keine Lös. [] [0] [0] [09] [] [0] [09],= ±,=± = =0, =, =0, =, =0, =, =0, =-,,=- =, = =, =- =- = =-7 =- [] keine Lösung [0],=- =, = [09] =, =- [] keine Lösung [0] =, = = [09],=±,, =± [0] =, = [] =0, = [] =, = 7 [A..07], [A..0] [0] =, =, = [0],,,= [0],,= [0] =-,,= [0] =-, =-, = =,, = ± [A..09] [0] =, = [0],=- [0] =0,,=±,,=± Havoni Schulmedien-Verlag

14 [0] =t r [07] = r [0] =0,,=z =0 [0] =- [09] = [0] =-, =, =-, = [],=± [] = [A..0] [0] f'()=²+0-, f''()=+0 [0] g'()=³ 9²+, [0] h'()=--+-0,+-,-, t [0] f t '() =t ²+(t² ) + a³ a a²+ [0] gt'()=0 h'()=²+0 [A..0] [0] f '( ) = + t [0] g't() = ² [0] h'() = + ² [0] i'()=-- -+,-,,-, [0] j'() = + ² ³ h'() = + [A..0] [0] f'()= (+)³ [0] g'()=-² ( ³) 0 h'() = [0] [0] i'( ) = [0] j'() = ( ) k'() = (a+ ) (a+ ) + [A..0] (letzte Umformung ist nicht zwingend notwendig) [0] f'() = (+)+² =...= ²+0 [0] g'() = ( )0,+ ( )-0, =...= [0] h'() = - ( ) (+) + ( ) (+) = = ( ) (+) [-0+] [0] f'() = (+)(+) = ²++ ² [0] g'() = ² 9 + ² 9 h'()=(+) (+) (+) f ''() = [A..0] [0] f '( ) = (+) (+) [0] g'() = [0] h'() = [0] f '( ) = ² ( ) ² (²+) ( ) g''() = [A..0] [0] m=- [0] N,(0 0), N,(± 0 0), [0] [0] [0] [A..07] [0] [0] [0] [0] H(0 0), h'() = ² ( ) T,(±, ) keine Lösung (kein Punkt) m=0 keine Lösung (kein Punkt) momentane Änd.rate = -, durchschnittliche Änd.rate = f'() = +cos() g'() = sin()+² cos() h'() = sin( )+e + f'() = ( ) e [0] g'() = ( ) h''() = ³+ ( ²+ ) ³+² [0] g'() = ³ sin() cos( )+ Havoni Schulmedien-Verlag

15 h'() = -e- (e- ) ² [07] f '( ) = ln(+) + + [0] g'() = t² + ² [09] h'() = +π+ +π [A..0] [0] F() = [0] G() = 0, +-+, [0] H() = +,+ + (t² ) t + +t² Gt () = sin( t) + t t² H() = + 0 ² F() = ³ + (+) t [0] F t() = + [0] [A..0] [0] [0] H() = ²+ + [0] H() = [A..0] [0] F() = [0] F() = [0] J() = 7 [0] + (+) + ³ Gt () = + t I() = 0,7 +0, G() = ( ) a² [0] G() = [0] [0] Ia() = ( ) (+) 9 K( ) = [A..0] [0] F()= ln + (a ) (t t²) t [0] H() = t ln t² 7 [0] G()=ln [0] F() = +ln( )+ [0] H() = ln( ) F() = 7 [A..0] [0] F() = (+) [0] [0] [0] + ln( ) ( ) (+) G() = ( )(+) (+)7 =...= ( 0) (+) 7 H() = ²( + ) (+)7 + (+) =...= (² 9+9) (+) 7 F() = ( ) ( )7 [0] G() = (+) ( π ) (+) ( π ) -0,+ H() = (- ) e [A..0] [0] F() = (²+) [0] F() = [0] 7 [ ln ] = ln() [0] -, e-²+ [0] cos() 9 (³+) (²+) [0] 0,²++ln +ln + + [0] ² + ln + [0] ln + ln ln ln ( ) + ln [A..07] [0] ln + ln + [0] ln + Havoni Schulmedien-Verlag

16 [A..0] und [A..0] y Nor = + [0] ytan=+ [0] ytan= y Nor = + [0] ytan=-9 N= y Nor = + [0] ytan=+ [0] N,(± 0) ytan =+ y Nor = ytan= 0 y Nor = [A..0] [0] ytan=- ytan =-+ ytan=-+ y Nor = in W(- 0): ytan=+ y Nor = [0] ytan=- y Nor = [0] ytan= y Nor = [0] in W( ): ytan=-,+, y Nor = in W(- ): ytan=,+, y Nor = ytan=- S(0 ) A=½ g h=½ = in W( 0): [0] + + N=0 [A..0] [0] B(0 0) mit ytan= B( 7,) mit ytan=, 9 B( 0) mit ytan= [0] B( -), B( ) [0] B(0 ) mit ytan= B( ) mit ytan=-+ B(- ) mit ytan=+ [0] B( 0) mit ytan=-+ B(- 0) mit ytan=+ [0] B(0 -) mit ytan= B 7 mit y Tan = 9 ( ) B( ), [A..0] [0] B(0 ), B(- -) y Nor = + [A..0] [0] = [0] P(0 0) [0] P( -) [0] =0 [0] =0 [0] keine [0] =0,=± = = [07] =½ ln() [0] keine [09] =- [A..0] [0] waagerechte Asy: y= [0] waagerechte Asy: y=0 [0] waagerechte Asy: y= [0] für ± f() ± (schiefe Asymptote) [0] waagerechte Asy: y=0 waagerechte Asy: y= Havoni Schulmedien-Verlag

17 [A.7.0] [0] f(): Punktsymmetrie zum Ursprung g(): Achsensymmetrie zur y-achse h(): keine Symmetrie erkennbar [0] f(): Punktsymmetrie zum Ursprung gt():achsensymmetrie zur y-achse ht():keine Symmetrie erkennbar [0] f(): keine Symmetrie erkennbar g(): Punktsymmetrie zum Ursprung h(): Achsensymmetrie zur y-achse [A.7.0] [0] f(-)=-f() Punktsymmetrie zum Ursprung g(-)=g() Achsensymmetrie zur y-achse [0] h(): keine Symmetrie f(-)=-f() Punktsymmetrie zum Ursprung [0] g(-)=g() Achsensymmetrie zur y-achse h(): keine Symmetrie [A.7.0] und [A.7.0]: Beweise. Kein Lösungsweg. [A..0] [0] A = f() d = 0 [0] A = f() d + [0] [0] [0] [A..0] [0] [0] [0] [0] [0] [A..0] [0] [0] 0 f( )d = 0, = 0, 0 A = f() d + 0 f() d,7 =, A = 0 f ()d + f()d,+0,7 =, A = 0 g( )d + g( )d,7+,7 =, 0 7 A = a ha()d = a² A = f( ) g( )d 0, A = 0 f () g()d =0 0 A = f() g( )d + 0 g( ) f ()d 0,+0, = 0, A = f () g()d = A = f() g( )d = t² A = 0 f () g()d = 0,t A = 0 g( ) f ()d =, 7 A = f() d + g() d,+ = 9, [0] Tangente in P(- ): ytan=+7,7 A =, y Tan d +,7 y Tan g()d 0,+0, = 0 [0] A = 0 f () g()d + f() h( ) d = + = [0] Tangente in P( ): ytan=0,+ A = y Tan d 0 f( )d = = A = 0 f () h() d = = 0, Havoni Schulmedien-Verlag

18 [A..0] [0] [0] [A..0] [0] V 07, [0] [0] [0] V,0 [0] [0] V=,π 0,79 [0] V, [A..07] [0] Ø=,7 [A..0] [0] A= [0] V, [0] Ø,7 [0] A=9 V=π, [0] Ø= [0] A= [0] A=, [A..09] [0] A = + d + [0] A = 0 d + [0] ²+ d,+, =, ( 0,) d = + = A = ²+ d + 0 ²+ d = + = 0 [A..0] [0] J() = ³ ²+ + [0] =0 [0] Eine Nullstelle bei N( 0). Keine weitere, da J() monoton steigend. [0] Es muss gelten: J'()>0 ²+>0 wahre Aussage! [0] J() = ²d = - [A.9.0] [0] [0] [0] [0] 0 t² dt = S(0 0) S(- -) S( ) f'()=³, f''()=², f'''()= Achsensymmetrie zur y-achse N,( 0), N,(- 0) H(0 ), T,(± 0) ( [0] W, ± [A.9.0] [0] g'() = W,(±,,77) 9 + ², g''() = + ) [0] [0] [0] [0] [07] [0], g'''() = + Punktsymmetrie zum Ursprung N,,(0 0), N,(±, 0) H(,), T(- -,) W(0 0), W,(±, ±,9) m=0, m,= A=, [A.9.0] [0] h'() = ² ++, h''() = +, h'''() = [0] [0] [0] [A.9.0] [0] [0] [0] [0] [0] keine Symmetrie erkennbar N(0 0), N,(- 0) H(- 0), T(- -,) gt'()=²+t, gt''()=+t, gt'''()= keine Symmetrie erkennbar N,(0 0), N(-t 0) H(-t t³), T(0 0) W(-t t³) t [A.9.0] [0] ht'() = ( )² ( ), ht''()=t( )(-+), ht'''()=-t+t [0] [0] [0] [0] keine Symmetrie erkennbar N(0 0), N..( 0) H( 9t) W( 0), W t ( ) Havoni Schulmedien-Verlag

19 Damit die Mathe-Seite.de kostenlos bleiben kann, braucht sie deine Hilfe! facebook.com/matheseite Bitte empfiehl die Mathe-Seite deinen Freunden. h[]= MatheSeite Havoni Schulmedien-Verlag 7