Übungsaufgaben mit Lösungen Analysis [1] Mathe-Trainings-Heft Prüfungsvorbereitung für Oberstufe und Abitur

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1 Mathe-Trainings-Heft Prüfungsvorbereitung für Oberstufe und Abitur Übungsaufgaben mit Lösungen Analysis [] Funktionsanalyse a-b-c-formel / p-q-formel Polynomdivision Ableitung / Integration und mehr Kostenlose Videos mit Rechenwegen auf Mathe-Seite.de

2 Kombiniere Lern-Videos mit Lern-Schriften für bessere Noten. Du möchtest nicht nur die Lern-Videos schauen, sondern auch mal ein paar Übungsaufgaben rechnen oder Theorie nachlesen? Dann nutze die kostenlosen Lern-Schriften! Das Besondere an den Lern-Schriften ist, dass Struktur und Inhalte identisch mit den Lern-Videos auf der Mathe-Seite.de sind. Falls du also in den Lern-Schriften etwas nicht verstehst, findest du die nötigen Erklärungen im Lern-Video - am schnellsten via QR-Codes. Lern-Schriften + Lern-Videos = bessere Noten Was dir das nützt: Dein Lernen wird wesentlich effektiver, denn du profitierst vom sogenannten "crossmedialen Effekt". Der kommt aus der Werbe-Psychologie und bewirkt, dass du die Thematik intensiver wahrnimmst, besser verstehst und länger memorierst. Das bietet übrigens nur die Mathe-Seite.de! Das Mathe-Trainings-Heft (MTH) Das vorliegende Mathe-Trainings-Heft beinhaltet Rechenaufgaben und Lösungen speziell zur Prüfungsvorbereitung für Oberstufe und Abitur. Solltest du eine Aufgabe nicht lösen können, findest du den Rechenweg direkt per QR-Link im Lern-Video. Zum Beispiel: Den Lösungsweg zu den Übungsaufgaben [..] findest du online auf der Mathe-Seite.de im Kapitel [..]. Vermutlich brauchst du nicht alle der im MTH enthaltenen MatheThemen. Unter > Abi-Themen nach Bundesland findest du eine Liste mit denjenigen Themen, die für dein Bundesland und deine Schulart relevant sind. Ab 0: Weitere kostenlose Lern-Schriften auf Mathe-Seite.de Die Lernbuch-Reihe detailliertes Fachwissen in mehreren Bänden Die Mathe-Fibel alles Nötige in Kompaktform Die Lern-Kartei-Karten handlich und clever Die Formelsammlung das unverzichtbare Nachschlagewerk Die Anleitungen für Grafische Taschenrechner endlich verständlich

3 Videos mit Lösungsweg auf der Mathe-Seite.de; Ergebnisse hinten im Heft. [.] Bedeutung von f, f', f'', F,... [..] Bedeutung vom y-wert [] Bestimmen Sie den y-wert von f(x)=x² x+ bei x=. [] Die Temperatur in einem Ofen wird durch T(t)=0, t beschrieben. Bestimmen Sie die Temperatur nach Minuten. [] Der Punkt B(a 0) liegt auf der Funktion f(x)=x³+. Bestimmen Sie a! [..] Bedeutung der Steigung [] Bestimme die Steigung von f(x)=x² x+ bei x=. [] Welche Steigung hat die Tangente an g(x)=x³ 8x in A( 0)? [] In welchem Punkt hat h(x)=x²+x die Steigung m=? [..] Links- / Rechtskrümmung [] Prüfen Sie, ob f(x)=x² x+ bei x= links- oder rechtsgekrümmt ist. [] In welchem Bereich ist g(x)=x³ 8x linksgekrümmt? [] In welchem Bereich ist h(x)=x³+x² x+ rechtsgekrümmt? [..] Flächen Aufgaben zu diesem Thema finden Sie in Kap.. sowie Kap..8. [..] Definitionsmenge Bestimmen Sie die Definitionsmenge von: x+ [] f( x) = [] g(x) = x+8 x [] i(x)= ln(x+8) [] j(x)= x+cos(π x+) x² [..] Wertemenge Bestimmen Sie die Wertemenge von: [] f(x)=x² x [] g(x) = [] f(x)=- (x+)+ [..7] [] h( x) = +x x [] h(x)=x³ x+ [] g(x)=x+x+ Monotonie [] Untersuchen Sie f(x)=x²+x auf Montonie. [Untersuchen Sie g(x)=x³+x+ auf Monotonie. [] In welchem Bereich ist h(x)=0, (x 7)+ monoton? [] In welchem Bereich ist i(x)=x+x+ streng monoton fallend? [..8] Krümmungsradius / Bogenlänge [] Bestimmen Sie den Krümmungsradius von f(x)=x² an der Stelle x=. [] Bestimmen Sie den Krümmungsradius von g(x)=x³ x² im Schnittpunkt mit der y-achse. An welcher Stelle ist der Krümmungsradius minimal? (Letzte Frage nur lösen, falls Sie mit einem GTR/CAS arbeiten). [] Bestimmen Sie die Bogenlänge der Funktion f(x)=e0,x+e 0,x im Intervall I=[-;]. [] Bestimmen Sie die Bogenlänge der Funktion g(x)=-x²+ im ersten Quadranten. (Nur mit GTR/CAS lösbar!)

4 [.] Nullstellen / Gleichungen lösen Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktionen. [..] [] einfache Gleichungen, die nur ein einziges x enthalten ( x ) = [..] [] x²+7 =7 [] x³+ = Ausklammern [] -x²+x=0 [] x 9x = 0 [] x³+x² x=0 [..]; [..] Mitternachtsformeln (a-b-c-formel; p-q-formel) [] x²+x =0 [] x² x =0 [] x²+0x+=0 [] x x+=0 [] [] x² x+=0 [..] Substitution [] x x+=0 [..] [] x 8x+x x+=0 [] x³ x²+x+9=0 Horner-Schema [] x³ x²+x =0 [] x³ x²+x =0 [..8] [] x 8x+x x+=0 [] x³ x²+x+9=0 Auf Form bringen [] (x ) (x+)+ (x+) = x (x+)+ [] x + 9 x² x x² [..9] =0 Polynomdivision [] x³ x²+x =0 [] x³ x²+x =0 [..7] x x = [] + x = x x+ x+ x² Verwandte Themen finden Sie hier: Kapitel [..] Nullstellen bei e-funktionen Kapitel [..7] Nullstellen bei sin/cos-funktionen Kapitel [..] Nullstellen bei gebrochen-rationalen Funktionen Kapitel [..] Nullstellen bei Logarithmus-Funktionen Kapitel [..] Nullstellen bei Wurzel-Funktionen

5 [.] Ableitungen Bestimmen Sie die Ableitungen der Funktionen. [..] Polynome [] f(x)=x³+x² x+8 [] g(x)=0,x x+x,x+, [] h(x)=x-7+x0, x-+x-, t [] f t(x) = t x³+( t² ) x²+ x+ t² [] gt(x) = sin( t) + t 8 t² [..] Wurzeln / Brüche [] f( x) = x³ x [] g( x) = 0, + [] i( x) = x + x² x [] h( x) = x + x x9 [..] t x x Kettenregel [] f(x)= (x+), g(x)= ( x³) [] h( x) = ( x), i( x) = [] j(x) = x+, i( x) = x²+, [..] Produktregel [] g(x) = x x [] f(x) = x² (x+) [] h(x) = (-x) (x+) [..] Quotientenregel x x²+x f', f'' [] g(x) = x x+ (von f(x) und h(x) zwei Ableitungen bilden!!) [] f( x) = [..] x [] h( x) = x²+ h', h'' Verwandte Themen finden Sie hier: Kapitel [..] Ableitungen bei e-funktionen Kapitel [..] Ableitungen bei sin/cos-funktionen Kapitel [..] Ableitungen bei gebrochen-rationalen Funktionen Kapitel [..] Ableitungen bei Logarithmus-Funktionen Kapitel [..] Ableitungen bei Wurzel-Funktionen x a² (a x )

6 [.] Stammfunktionen / Integrale Bestimmen Sie die Stammfunktionen der Funktionen. [..] Polynome [] f(x)=x³+x² x+8 [] g(x)=0,x x+x,x+, [] h(x)=x +x x +x-, -7 0, - [..] Einfache Brüche und Wurzeln [] f( x) = x x+ x x [] g(x) = [] h( x) = x³+x² 7 x² [..] Lineare Substitution (umgekehrte Kettenregel) [] f(x)= (x+), g(x)= ( x) [] h( x) = ( x), i( x) = a² (a x ) [] j(x) = x+, k( x) = tx t² [..] Stammfunktionen, die auf ln(..) führen [] f( x) = x+ [] g(x) = x 8 [] ht(x) = t t² 7x [..] Produkt-Integration [] f( x) = x x+ [] g(x) = (x-) (x+) [] h(x) = x² (x+) [..] Integration durch Substitution [] f(x) = x (x²+) [] f( x) = [] f( x) = x² x³+ x³ x 8 [..7] Integration über Partialbruchzerlegung [] f( x) = [] h( x) = x x² x 8 x³+ x² x x² x²+ x+ x³+ x²+ x x x³ x²+ x 0 x³ x² x+ 8 [] g(x) = [] i( x) = [.] Tangenten und Normale [..] bzw. [..] Tangentengleichung Bestimmen Sie die Gleichung der Tangenten und Normalen an f(x) im Punkt P. [] f(x)=-x²+x an P(?) [] f(x)=x³ x an P(?) [] f(x)=x² 8x+7 an P(?) [..] Wendetangente Bestimmen Sie die Wendetangente von f(x) [] f(x) = 0,x³ x [] f(x) = x x+ [] f(x) = x³+x²+9x

7 [..] Tangente mit unbekanntem Berührpunkt ( Tangente von außen ) Von Punkt A wird eine Tangente an f(x) gelegt. Bestimmen Sie den Berührpunkt und die Tangentengleichung. [] f(x)=0,x³ x²+x mit A( ) [] h(x)=x x+ mit A(0 ) [] g(x)=x² x mit A( -8) [..] Normale mit unbekanntem Berührpunkt ( Normale von außen ) [] Bestimme eine Normale an f(x)=x² x+ durch A(-8 ). [] Bestimme einen Punkt des Schaubilds von g(x)=0,x³ x, in welchem die Normale an g durch den Punkt B(- -) verläuft. [.] Asymptoten Dieses Thema finden Sie auf der Mathe-Seite.de [.7] Symmetrie [.7.] Symmetrie von ganzrationalen Funktionen Geben Sie die Symmetrieeigenschaften der Funktionen an: [] f(x)=x³+x, g(x)=0,x8+x-+x+, h(x)=x x+ [] f(x)=x 0,x+x, gt(x)=x+tx t, ht(x)=tx x+t [.7.] Symmetrie am Ursprung bzw. an y-achse Beweisen Sie die Symmetrieeigenschaften der Funktionen: [] f(x) = x³+x, [] h(x)=x x+ [] h(x)=x x+ g(x) = 0,x8 +x-+x+ f(x) = x 0,x+x f(x) = x 0,x+x [.7.]; [.7.] Symmetrie über Formeln; Symmetrie über Verschieben Weisen Sie nach, dass f(x) zum angegebenen Punkt S bzw. zur angegebenen Achse symmetrisch ist: [] f(x) = x³ x²+x [] f(x) = 0,x²+x+ Symmetriepunkt: S( -) Symmetrieachse: x=- [.8] Integrale und Flächeninhalte [.8.] Flächen zwischen f(x) und x-achse Bestimmen Sie die Fläche, die von f(x) und der x-achse eingeschlossen wird. [] f(x) = -x²+x+8 [] f(x) = x³ 9x [] f(x) = 0,x,x [.8.] Flächen zwischen zwei Funktionen Bestimmen Sie die Fläche, die von f(x) und g(x) eingeschlossen wird. [] f(x) = -x+ g(x) = x²+x [] f(x) = -x³+x²+x+ [] f(x) = x³+x+ g(x) = x+ g(x) = -x²+x+

8 [.8.] Flächen zwischen drei Funktionen Definieren Sie, welche Fläche durch die drei Grenzen eingeschlossen wird. [] f(x)=x³+, g(x)=-x+7, y-achse [] f(x)=x³+, g(x)=-x+7, x-achse [] f(x)=x³+, Tangente an f(x) in P(-?), x-achse [.8.] Uneigentliche Integrale (e-funktion, Hyperbeln) Bestimmen Sie die Fläche, die von f(x) und der x-achse eingeschlossen wird. u [] lim u dx x² [] lim z z 0 a dx x² [] lim a x dx [] lim t t 0 x dx [.8.] Rotationsvolumen Bestimmen Sie das Volumen des Rotationskörpers, der bei Drehung von f(x) um die x-achse entsteht. [] f( x) = x +x [] f(x)=-x²+ Bestimmen Sie das Volumen des Körpers, der bei Drehung der Fläche zwischen f(x) und g(x) um die x-achse entsteht. [] f(x)=x²+ g(x)=x+ [.8.7] Mittelwert / Durchschnitt Bestimmen Sie den durchschnittlichen Funktionswert (=Mittelwert) von: [] f(x)=x³ 9x im.quadranten [] f(x)=x² x+ im Bereich [;] [.8.8] Dreiecksflächen Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche gebildet von: [] f(x)=-½x+ und den Koordinatenachsen [] g(x)=x+,.winkelhalbierenden und der x-achse [.8.9] zusammengesetzte Funktionen Bestimmen Sie die Fläche, die von f(x) und der x-achse gebildet wird. [] f( x) = x+ { x²+x für x für x< [] f( x) = [.8.0] Integralfunktionen { x³ ( 0,x)³ für x für x> x [] Bestimmen Sie die Integralfunktion J(x) = f(t)dt zu f(x)=x² x+ x [] Bestimmen Sie die Extremstellen der Integralfunktion J(x) = x k dk k³+ [] Zeigen Sie, dass J(x) = (t 0,)8 dt genau eine Nullstelle besitzt.

9 [.9] Funktionsanalyse [.9.] f(x) = ¼ x x+ [] Bilden Sie drei Ableitungen von g(x). [] Untersuchen Sie g(x) auf Symmetrie. [] Berechnen Sie die Nullstellen von g(x). [] Berechnen Sie die Extrempunkte von g(x). [] Berechnen Sie die Wendepunkte von g(x). [] Zeichnen Sie g(x). [.9.] g(x) = x + x 80 [] Bilden Sie drei Ableitungen von g(x). [] Untersuchen Sie g(x) auf Symmetrie. [] Berechnen Sie die Nullstellen von g(x). [] Berechnen Sie die Extrempunkte von g(x). [] Berechnen Sie die Wendepunkte von g(x). [] Zeichnen Sie g(x). [7] Berechnen Sie die Steigungen der Wendetangenten von g(x). [8] Berechnen Sie die Fläche zwischen f(x) und x-achse. [.9.] h( x) = x³+x²+x [] Bilden Sie drei Ableitungen von h(x). [] Untersuchen Sie h(x) auf Symmetrie. [] Berechnen Sie die Nullstellen von h(x). [] Berechnen Sie die Extrempunkte von h(x). [] Berechnen Sie die Wendepunkte von h(x). [] Zeichnen Sie h(x). [7] Berechnen Sie die Wendenormale von h(x). [8] Berechnen Sie die Fläche zwischen h(x) und der an der x-achse gespiegelten Funktion. [.9.] ft(x) = x³+tx² t>0 [] Bilden Sie drei Ableitungen von g(x). [] Untersuchen Sie g(x) auf Symmetrie. [] Berechnen Sie die Nullstellen von g(x). [] Berechnen Sie die Extrempunkte von g(x). [] Berechnen Sie die Wendepunkte von g(x). [] Zeichnen Sie g(x). [.9.] h t(x) = tx ( x)³ t>0 [] Bilden Sie drei Ableitungen von g(x). [] Untersuchen Sie g(x) auf Symmetrie. [] Berechnen Sie die Nullstellen von g(x). [] Berechnen Sie die Extrempunkte von g(x). [] Berechnen Sie die Wendepunkte von g(x). [] Zeichnen Sie g(x). 7

10 Ergebnisse [..] [..] [..] [..] [..] [..7] [..8] [..] [..] [..] [..] [..] [..] [..7] [..8] [..] [] [] [] [] [] [] [] [] y=- [] T=9,9 [] a= m=- [] m= [] P(- -0) Linkskurve [] x>0 [] x<-0, D=ℝ\{} [] D={x x -} [] D=ℝ D={x x>-} [] D=ℝ W={y y -9} [] W=ℝ\{0} [] W=ℝ W={y y -} [] W={y y -} für x>-,: f(x) streng monoton wachsend (steigend) für x -,: f(x) monoton wachsend (steigend) für x<-,: f(x) streng monoton fallend (abnehmend) für x -,: f(x) streng monoton fallend (abnehmend) [] streng monoton steigend (wachsend) (für alle x ℝ) [] monoton steigend (wachsend) (für alle x ℝ) [] für x<- [] r(), [] rmin 0, [] b=e e,7 [] b, [] x= [] x= [] x=0 [] x=0, x=- [] x,,=0, x,=± [] x=0, x=, x=- [] x=, x=- [] x=-, x=7 [] x,=- [] keine Lösung [] x=, x=- [] x=-, x=7 [] x,=- [] keine Lösung [] x.=±, x,=± [] x=, x= [] x,=±0, [] x=, x=, x= [] x,,,= [] x,,= [] x=-, x,= [] x=, x=, x= [] x,,,= [] x,,= [] x=-, x,= [] x= [] x=-, x= [] x= [] f'(x)=x²+0x-, f''(x)=x+0 [] g'(x)=x³ 9x²+x, [] h'(x)=-8x-8+x-0,+x-,8x-, t [] f t '(x) =t x²+(t² ) x+ [..] [] gt'(x)=0 [] f '( x) = + [] h'(x) = [..] [..] x x + 9 x x² x t [] g't(x) = x² + x7 [] i'(x)=-8x- x-+,x-,,x-, [] f'(x)= (x+)³ 0 [] h'(x) = [] g'(x)=-8x² ( x³) [] i'( x) = [] j'(x) = [] k'(x) = ( x ) (a+x ) (a+x ) x+ (letzte Umformung ist nicht zwingend notwendig) [] f'(x) = x (x+)+x² =...= x²+0x [] g'(x) = (x )0,+x (x )-0, =...= x x [] h'(x) = - ( x) (x+)+ ( x) (x+) = = ( x) (x+) [-0x+] 8

11 [..] [] [] [..] f ''(x) = (x+) (x+) g'(x) = x² x g''(x) = (x ) (x ) h'(x) = x² h''(x) = x³+x (x²+) ( x²+ ) F(x) = x + x + x +8x [] f '( x) = [] [] G(x) = 0, x x+x-x+,x [] H(x) = x +x,+ x + x [..] [] F(x) = x³+ (x+) + x³ x H(x) = x²+x + 7 x F(x) = (x+) F(x) = ( x) J(x) = (x+) 9 [] G(x) = [] [..] [] [] [] [..] [] F(x) = ln x+ [..] [] F(x) = x (x+) G(x) = ( x) a² 9(a x) = (tx t²) t I(x) = K( x) [] G(x) = ln x 8 (x+)7 =...= (x 0) (x+) 7 [] H(x) = x²( x+ ) x(x+)7 + (x+)8 =...= (x² 9x+9) (x+) 7 [] F(x) = (x²+) [] F(x) = (x³+) 9 [] ln x 8 = ln() y Nor = x + und..] [] ytan=x+ y Nor = x + [] ytan=8x 8 [ [..] [..] ] [] ytan=-9 xn= y Nor = x [] ytan=-x [] in W( 0): in W(- 0): [] ytan=-x 8 [..] 9 7 (x+) [] G(x) = (x )(x+) [..] [] H(x) = t ln t² 7x ytan=-8x+8 y Nor = x ytan=8x+8 y Nor = x 8 8 y Nor = x [] B(0 0) mit ytan=x B( 7,) mit ytan=,x 9 B(8 0) mit ytan=8x 8 [] B( -), B( ) [] B(0 ) mit ytan= B( ) mit ytan=-x+ B(- ) mit ytan=x+ 8 8

12 [.7.] [] f(x): Punktsymmetrie zum Ursprung g(x): Achsensymmetrie zur y-achse h(x): keine Symmetrie erkennbar [] f(x): Punktsymmetrie zum Ursprung gt(x): Achsensymmetrie zur y-achse ht(x): keine Symmetrie erkennbar [.8.] [] A = f(x) dx = 0 [] A = f(x) dx + [] A [.8.] [] A [] A [] A [.8.] [] A [] A 0 f( x)dx = 0, = 0, 0 = f(x) dx + 0 f(x) dx,7 = 8, = f( x) g( x)dx 0,8 = 0 f (x) g(x)dx =08 0 = f(x) g( x)dx + 0 g( x) f (x)dx 0,+0, = 0, = 0 g( x) f (x)dx =, 7 = f(x) dx+ g(x) dx,+8 = 9, [] Tangente in P(- ): ytan=x+7,7 A =, y Tan dx +,7 y Tan g(x)dx 0,8+0, = [.8.] [.8.] [.8.7] [.8.8] [] [] [] [] [] V 07, Ø=,7 A= [.8.9] [] A = x+ dx + [] A = 0 x dx + [.8.0] [.9.] [] J(x) = [] [] [] [] [] [] [] V,0 Ø,7 A=9 x²+x dx ( 0,x) dx [] V=,π 0,79,+, =,8 = +8 = x³ x²+ x+ x=0 Eine Nullstelle bei N( 0). Keine weitere, da J(x) monoton steigend. f'(x)=x³ x, f''(x)=x², f'''(x)=x Achsensymmetrie zur y-achse N,( 0), N,(- 0) H(0 ), T,(± 0) ( [] W, ± [.9.] [] [] [] [] [] g'(x) = W,(±,,778) 9 x + x², g''(x) = x +x ), g'''(x) = x + [] [] [] [] [7] [8] [.9.] Punktsymmetrie zum Ursprung N,,(0 0), N,(±, 0) H( 8,), T(- -8,) W(0 0), W,(±,8 ±,9) m=0, m,= A=, [] h'(x) = x² +x+, h''(x) = x +, h'''(x) = [] keine Symmetrie erkennbar [] N(0 0), N,(- 0) [] H(- 0), T(- -,) 0

13 [.9.] [.9.] [] [] [] [] [] gt'(x)=x²+tx, gt''(x)=x+t, gt'''(x)= keine Symmetrie erkennbar N,(0 0), N(-t 0) H(-t t³), T(0 0) W(-t t³) t [] ht'(x) = ( x)² ( x), ht''(x)=t( x)(-8+x), ht'''(x)=-8tx+t [] [] [] [] keine Symmetrie erkennbar N(0 0), N..( 0) H( 9t) W( 0), W t ( )

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