3 Affine Abbildungen. Im Folgenden seien X und Y affine Räume.

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Helga Linden
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1 3 Affine Abbildungen Im Flgenden seien X und Y affine Räume Definitin: Eine Abbildung f : X Y heißt affin, wenn es eine lineare Abbildung l : T(X) T(Y ) gibt, s dass gilt l( pq) = f (p)f(q) für alle p, q X Hält man ein p X fest, s gilt dann für alle v T(X) p + v X und l(v) = l( p(p + v)) = f(p)f(p + v) = f(p + v) f(p) Fazit: l ist durch die affine Abbildung f eindeutig festgelegt Schreibe daher T(f) für l (Richtungsabbildung vn f) Wichtigstes Beispiel: Sei X = R n und Y = R m, f : X Y Behauptung: Genau dann ist f affin, wenn es eine lineare Abbildung l : X Y und ein w Y gibt, s dass f() = w + l() für alle X Es ist dann l = T(f) Insbesndere: (a) (w = 0): Jede lineare Abbildung l : X Y ist affin (b) (X = Y und l = id Y ) Jede Translatin t w : Y Y, y w +y ist affin mit T(t w ) = id Y (c) Jede affine Abbildung f : R n R m ist die Zusammensetzung einer linearen Abbildung mit einer Translatin Beweis: Sei f : X Y affin und l = T(f) Wegen 0 Y ist l() = T(f)( 0) = f(0)f() = f() f(0) Setze w := f(0) Sei l : X Y linear, w Y und f : X Y, w + l() Seien p, q X Dann ist f(p)f(q) = f(q) f(p) = (w + l(q)) (w + l(p)) = l(q) l(p) = l( pq) Als ist f affin und T(f) = l (31) Bemerkung: Sei f : X Y eine Abbildung Gibt es ein p 0 X, s dass die Abbildung ϕ : T(X) T(Y ), p 0 f(p 0 )f() 1

2 linear ist, s ist f affin und T(f) = ϕ (Wegen X = p 0 + T(X) ist T(X) = { p 0 X}) Beweis: Seien p, q X beliebig pq = p 0 q p 0 p Aus der Linearität vn ϕ flgt ϕ( pq) = ϕ( p 0 q) ϕ( p 0 p) = f(p 0 )f(q) f(p 0 )f(p) = f(p)f(q) Als ist f affin und T(f) = ϕ (32) Bemerkung: Seien p 0 X, q 0 Y und eine lineare Abbildung l : T(X) T(Y ) vrgegeben Dann gibt es genau eine affine Abbildung f : X Y mit f(p 0 ) = q 0 und l = T(f) Beweis Eindeutigkeit: Sei f : X Y affin mit f(p 0 ) = q 0 und T(f) = l Dann gilt für jedes X f(p 0 )f() = l( p 0 ), dh f() = f(p 0 ) + l( p 0 ) = q 0 + l( p 0 ) Als ist f durch die Vrgaben eindeutig festgelegt Eistenz: Setze f() := q 0 + l( p 0 ) Aus der Linearität vn l flgt f(p 0 ) = q 0 +l( p 0 p 0 ) = q 0 und f (p 0 )f() = q 0 f() = f() q 0 = l( p 0 ) für alle X Nach 31 ist daher f affin und T(f) = l (33) Bemerkung: Seien f : X Y und g : Y Z affin a) g f : X Z ist affin und T(g f) = T(g) T(f) b) Genau dann ist f bijektiv (injektiv, surjektiv), wenn dies für T(f) gilt c) Ist f bijektiv, s ist auch f 1 affin und T(f 1 ) = T(f) 1 Beweis: a) T(g) T(f)( pq) = T(g)(T(f)( pq)) = T(g)( f(p)f(q)) = g(f(p))g(f(q)) = (g f)(p)(g f)(q) b) und c) : Übungsaufgabe (34) Satz: Sei f : X Y affin Dann gilt: Bilder und Urbilder affiner Unterräume unter f sind affin: a) Ist Z X affin, s ist f(z) Y affin, und T(f(Z)) = T(f)(T(Z)) falls Z φ 2

3 b) Ist Z Y affin, s ist f 1 (Z) X affin Ist f 1 (Z) φ, s ist T(f 1 (Z)) = T(f) 1 (T(Z)) Beweis: a) OE sei Z φ Wähle p Z fest Dann ist f(p)f(z) = T(f)( pz), dh f(z) = f(p) + T(f)( pz) für alle z Z Wegen T(Z) = { pz z Z} flgt f(z) = f(p) + T(f)(T(Z)), dh f(z) ist affin, T(f(Z)) = T(f)(T(Z)) b) OE sei f 1 (Z) φ Wähle p f 1 (Z) fest: Z = f(p) + T(Z) f 1 (Z) genau dann, wenn f() Z, dh: Es gibt ein w T(Z) mit f() = f(p) + w, dh f(p)f() T(Z), dh T(f)( p) T(Z), dh p T(f) 1 (T(Z)), dh = p + p p + T(f) 1 (T(Z)) Smit ist f 1 (Z) = p + T(f) 1 (T(Z)), was zu beweisen war (35) Bemerkung: a) Jede Translatin t w : X X(w T(X)) ist affin und T(t w ) = id T(X) b) Ist (umgekehrt) f : X X affin und ist T(f) = id T(X), s ist f eine Translatin Beweis: a) t w (p)t w (q) = (p + w)(q + w) = q + w p + w = pq b) Sei p X fest und X variabel Dann ist f(p)f() = T(f)( p) = p, dh f() = (f(p) p) + = w + für alle X Definitin: Eine bijektive affine Abbildung f : X Y heißt Affinität Nach 33 gilt: Zusammensetzungen vn Affinitiäten sind Affinitäten und mit f ist auch f 1 eine Affinität Als bilden die Affinitäten f : X X eine Gruppe Ferner ist f genau dann eine Affinität, wenn T(f) ein Ismrphismus vn Vektrräumen ist Speziell sind Translatinen Affinitäten Nach 33 und 34 bilden Affinitäten Geraden auf Geraden, Ebenen auf Ebenen, usw, ab Allgemein gilt: Ist f : X Y eine Affinität und Z X affin, s ist f(z) Y affin (34) und dimf(z) = dim Z (33) 3

4 Definitin: Affine Unterräume Y und Z vn X heißen parallel ( Y Z ), wenn T(Y ) T(Z) der T(Z) T(Y ) (36) Bemerkung: a) Ist Y Z und Y Z φ, s gilt Y Z der Z Y Speziell: Ist Y Z, dimy = dim Z und Y Z φ, s ist Y = Z b) Bei einer affinen Abbildung werden parallele Unterräume auf parallele Unterräume abgebildet Beweis: a) Sei p Y Z und OE T(Y ) T(Z) Dann ist Y = p + T(Y ) p + T(Z) = Z b) Sei OE T(Z 1 ) T(Z 2 ), Z 1 und Z 2 parallel in X, und f : X Y affin Nach 33 ist dann Parallelprjektinen: T(f(Z 1 )) = T(f)(T(Z 1 )) T(f)(T(Z 2 )) = T(f(Z 2 )) Beispiel: Sei E R 3 eine affine Ebene, w R 3 kein Richtungsvektr vn E (dh w T(E)) Sei W = R w die vn w aufgespannte Gerade durch 0 Die Parallelprjektin π vn R 3 längs W auf die Ebene E ist wie flgt erklärt: Für jeden Punkt R 3 ist π() der Schnittpunkt der zu W parallelen Geraden durch mit der Ebene E, dh {π()} = ( + W) E ( + W W, da W = T( + W) = T(W) und = W) 4

5 W y 0 π(y) π() E + W y + W Wir werden sehen: π : R 3 E ist eine affine Abbildung In der bigen Situatin ist R 3 = W T(E) Algebraische Vrbereitungen: Sei V ein R Vektrraum und V = W W 1 (wie ben) eine Zerlegung vn V in eine direkte Summe vn R Vektrräumen Dann gilt: Jedes v V hat eine eindeutige Zerlegung v = w + w 1 mit w W und w 1 W 1 Man hat daher eine whlbestimmte Abbildung p r : V W 1, v w 1 p r heißt Prjektin längs W auf W 1 Eigenschaften vn p r : a) p r ist linear; b) Kern p r = W 5

6 c) p r (w 1 ) = w 1 für alle w 1 W 1 (Nachrechnen) Sei nun dim V = n < (37) Lemma: Sei V = W W 0 = W W 1, p r : V W 1 wie ben und p r : W 0 W 1 w 0 p r (w 0 ) die Einschränkung vn p r auf W 0 Dann ist p r ein Ismrphismus Beweis: Wegen dim W 0 = dim W 1 = n dim W genügt es zu zeigen, dass p r surjektiv ist Sei w 1 W 1 Wegen V = W W 0 schreibt sich w 1 in der Frm w 1 = w + w 0 mit w W und w 0 W 0 Es flgt w 0 = ( w) + w 1 mit w W und w 1 W 1 Definitinsgemäß ist daher p r(w 0 ) = p r (w 0 ) = w 1 Als ist p r surjektiv W W 0 W 1 Seien nun Y 1 X R n affine Unterräume Knstruktin vn Parallelprjektinen vn X auf Y 1 : Wähle einen Untervektrraum W T(X), s dass T() = W T(Y 1 ); schreibe W 1 = T(Y 1 ) Für p X setze W(p) := p + W = {p + w w W } Dann ist W(p) X affin, T(W(p)) = W und p W(p), als (i) W(p) W(q) für alle p, q X (ii) W(p) W(q) = φ der W(p) = W(q) nach (36) 6

7 q W(p) Y 1 p W(q) (iii) W(p) Y 1 besteht aus genau einem Punkt Beweis vn (iii): Sei m = dim X Angenmmen W(p) Y 1 = φ Wegen T(X) = W T(Y 1 ) flgt nach (25): m dim(w(p) Y 1 ) = dim W(p) + dim Y 1 dim(w T(Y 1 )) + 1 = dim W + dim T(Y 1 ) + 1 = m + 1, Widerspruch! Als ist W(p) Y 1 φ und nach (21) gilt T(W(p) Y 1 ) = T(W(p)) T(Y 1 ) = W T(Y 1 ) = {0} wegen T(X) = W T(Y 1 ) Als besteht W(p) Y 1 aus einem Punkt Schreibe W(p) Y 1 für diesen Punkt Man erhält smit eine whldefinierte Abbildung π W : X Y 1, p W(p) Y 1, die sg Parallelprjektin vn X längs W auf Y 1 Behauptung: π W ist affin und T(π W ) ist die Prjektin p r vn T(X) längs W auf W 1 = T(Y 1 ) Beweis: Für p, q X sei p = π W (p) und q = π W (q) Wegen p, p W(p) ist pp W = T(W(p)) q, q W(q) ist qq W = T(W(q)) p, q Y 1 ist p q W 1 = T(Y 1 ) 7

8 pq = ( pp qq ) + p q = w + w 1 mit w W, w 1 W 1, als p r ( pq) = w 1 = π W (p)π W (q) Nach 31 ist daher π W affin und T(π W ) = p r Sei nun Y 0 X ein weiterer affiner Unterraum, s dass T(X) = W T(Y 0 ); schreibe W 0 := T(Y 0 ) π W : Y 0 Y 1 sei die Einschränkung vn π W auf Y 0 Es ist dann T(π W ) = p r T(Y0 ) Nach 37 ist T(π W ) ein Vektrraumismrphismus, als ist nach 33 π W : Y 0 Y 1 eine Affinität Insgesamt haben wir gesehen: (38) Satz: Seien Y 0, Y 1 X affine Unterräume Es gebe einen Untervektrraum W T(X), s dass T(X) = W T(Y 0 ) = W T(Y 1 ) Dann ist π W : X Y 1 eine affine Abbildung und π W Y0 : Y 0 Y 1 ist eine Affinität Spezialfall: Sei X = R 3 und seien E 0 = p + U 0 und E 1 = q + U 1 Ebenen Sei w R 3 mit w U 0 U 1 und W := Rw Dann liefert die Prjektin π W : R 3 E 1 längs W eine Affinität π W : E 0 E 1 y E 0 z π W () E 1 π W (y) π W (z) Kllineatinen: Eine Selbstabbildung f : X X eines affinen Raums X heißt Kllineatin, wenn sie bijektiv ist und Geraden in Geraden überführt 8

9 Beispiel: Nach 33 und 34 ist jede Affinität f : X X eine Kllineatin Es gilt auch umgekehrt der Hauptsatz der affinen Gemetrie (hne Beweis): Sei X affin, dim X 2 Genau dann ist f : X X eine Affinität, wenn f eine Kllineatin ist 9

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