Aufgaben zu Kapitel 17

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1 Aufgaben zu Kapitel 7 Aufgaben zu Kapitel 7 Verständnisfragen Aufgabe 7. Welche der folgenden Abbildungen sind linear? ( R ) ( R ) (a) ϕ : v v v v + R R ( ) v (b) ϕ : v v v 4 v v R R ( ) v (c) ϕ : v v v v v v Aufgabe 7. Für welche u R ist die Abbildung linear? { R R ϕ : v v + u Aufgabe 7. Gibt es eine lineare Abbildung ϕ : R R mit (a) (b) bzw. ϕ ϕ (( )) = (( )) = ( ),ϕ ( ),ϕ (( )) = (( )) = ( ),ϕ ( ),ϕ (( )) 6 = (( )) 5 = ( ) 4 ( ) 4? Aufgabe 7.4 Welche Dimensionen haben Kern und Bild der folgenden linearen Abbildung? ( R ) ( R ) ϕ : v v + v v v + v Aufgabe 7.5 Begründen Sie die auf Seite 56 gemachte Behauptung: Sind ϕ : V V und ψ : V V linear, so ist auch die Hintereinanderausführung ψ ϕ : V V linear, und ist ϕ eine bijektive lineare Abbildung, so ist auch ϕ : V V eine solche. Aufgabe 7.6 Wenn A eine linear unabhängige Menge eines K-Vektorraums V ist und ϕ ein injektiver Endomorphismus von V ist, ist dann auch A ={ϕ(v) v A} linear unabhängig? Aufgabe 7.7 Folgt aus der linearen Abhängigkeit der Zeilen einer reellen -Matrix A die lineare Abhängigkeit der Spalten von A? Aufgabe 7.8 Gegeben ist eine lineare Abbildung ϕ : R R mit ϕ ϕ = id R (d. h., für alle v R gilt ϕ(ϕ(v)) = v), aber ϕ = ±id R (d. h. ϕ {v v, v v}). Zeigen Sie: (a) Es gibt eine Basis B ={b, b } des R mit ϕ(b ) = b, ϕ(b ) = b. (b) Ist B ={a, a } eine weitere Basis mit der in (a) angegebenen Eigenschaft, so existieren λ, μ R \{} mit a = λ b, a = μ b. Arens et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 8

2 Aufgaben zu Kapitel 7 Rechenaufgaben Aufgabe 7.9 Wir betrachten die lineare Abbildung ϕ : R 4 R 4, v A v mit der Matrix A =. Gegeben sind weiter die Vektoren 4 a =, b = und c = (a) Berechnen Sie ϕ(a) und begründen Sie, dass b im Kern von ϕ liegt. Ist ϕ injektiv? (b) Bestimmen Sie die Dimensionen von Kern und Bild der linearen Abbildung ϕ. (c) Bestimmen Sie Basen des Kerns und des Bildes von ϕ. (d) Bestimmen Sie die Menge L aller v R 4 mit ϕ(v) = c. Aufgabe 7. Wir betrachten den reellen Vektorraum R[X] aller Polynome über R vom Grad kleiner oder gleich, und es bezeichne d dx : R[X] R[X] die Differenziation. Weiter sei E := (, X,X,X ) die Standardbasis von R[X]. (a) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix E M( dx d ) E. (b) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix B M( dx d ) B von dx d bezüglich der geordneten Basis B := (X, X, 6 X, 6) von R[X]. Aufgabe 7. Gegeben sind die geordnete Standardbasis E := des R und C :=,,, des R4. (( ), ( )) des R, B := Nun betrachten wir zwei lineare Abbildungen ϕ : R R und ψ : R R 4 definiert durch (( )) v ϕ v := v ψ v := v v v und v v v + v v v v + v. v + v Bestimmen Sie die Darstellungsmatrizen B M(ϕ) E, C M(ψ) B und C M(ψ ϕ) E.,, Aufgabe 7. Gegeben ist eine lineare Abbildung ϕ : R R. Die Darstellungsmatrix von ϕ bezüglich der geordneten Standardbasis E = (e, e, e ) des R lautet: 4 E M(ϕ) E = R (a) Begründen Sie: B :=,, ist eine geordnete Basis des R. (b) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix B M(ϕ) B und die Transformationsmatrix S mit B M(ϕ) B = S E M(ϕ) E S. Arens et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 8

3 Aufgaben zu Kapitel 7 Aufgabe 7. Gegeben sind zwei geordnete Basen A und B des R A = B = 8 6 7,, 6 7,, und eine lineare Abbildung ϕ : R R, welche bezüglich der Basis A die folgende Darstellungsmatrix hat AM(ϕ) A = 5. 5 (a) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix B M(ϕ) B von ϕ bezüglich der geordneten Basis B. (b) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrizen A M(ϕ) B und B M(ϕ) A. Aufgabe 7.4 Es bezeichne : R[X] 4 R[X] 4 der durch (f ) = f(x+ ) f(x)erklärte Differenzenoperator. (a) Begründen Sie, dass linear ist, und berechnen Sie die Darstellungsmatrix E M( ) E von bezüglich der kanonischen Basis E = (, X,X,X,X 4 ) von R[X] 4 sowie die Dimensionen des Bildes und des Kerns von. (b) Begründen Sie, dass ( B =, X, X(X ), X(X )(X ), 6 ) X(X )(X )(X ) 4 eine geordnete Basis von R[X] 4 ist, und berechnen Sie die Darstellungsmatrix B M( ) B von bezüglich B. (c) Angenommen, Sie sollten auch noch die Darstellungsmatrizen der Endomorphismen,, 4, 5 berechnen es bedeutet hierbei k = Ihnen sei dafür aber die Wahl der Basis von R[X] }{{} 4 freigestellt. Welche Basis würden k-mal Sie nehmen? Begründen Sie Ihre Wahl. Anwendungsprobleme Aufgabe 7.5 Auf Seite 56 wurde das Katzenauge für drei Spiegel in den Koordinatenebenen betrachtet. Verallgemeinern Sie das dortige Vorgehen für drei zueinander senkrechte Spiegel S, S bzw. S mit den Normalenvektoren n, n bzw. n. Aufgabe 7.6 In der Physik sind aus den verschiedensten Gründen Änderungen des Bezugssystems, das ist ein System, auf das sich die Orts- und Zeitangaben beziehen, nötig. Mathematisch betrachtet ist dies eine Koordinatentransformation, also eine lineare Abbildung. Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix bezüglich der Standardbasis E der Koordinatentransformation, bei der das neue Bezugssystem aus dem alten durch eine Drehung um den Winkel α und der Drehachse e bzw. e bzw. e entsteht. Arens et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 8

4 4 Hinweise zu Kapitel 7 Hinweise zu Kapitel 7 Verständnisfragen Aufgabe 7. Überprüfen Sie die Abbildungen auf Linearität oder widerlegen Sie die Linearität durch Angabe eines Beispiels. Aufgabe 7. Nehmen Sie an, dass die Abbildung linear ist. Untersuchen Sie, welche Bedingung u erfüllen muss. Aufgabe 7. Beachten Sie das Prinzip der linearen Fortsetzung auf Seite 565. Aufgabe 7.4 Bestimmen Sie das Bild von ϕ und beachten Sie die Dimensionsformel auf Seite 569. Aufgabe 7.5 Zeigen Sie direkt, dass ψ ϕ und ϕ linear sind. Beachten Sie die Definition der Linearität. Aufgabe 7.6 Prüfen Sie die Menge A auf lineare Unabhängigkeit, bedenken Sie dabei aber, dass A durchaus unendlich viele Elemente enthalten kann. Beachten Sie auch das Injektivitätskriterium auf Seite 568. Aufgabe 7.7 Man beachte die Regel Zeilenrang ist gleich Spaltenrang. Aufgabe 7.8 Wählen Sie geeignete Vektoren v und v und betrachten Sie v + ϕ(v) und v ϕ(v ). Rechenaufgaben Aufgabe 7.9 Beachten Sie das Injektivitätskriterium auf Seite 568. Aufgabe 7. In der i-ten Spalten der Darstellungsmatrix steht der Koordinatenvektor des Bildes des i-ten Basisvektors. Aufgabe 7. Beachten Sie die Formel auf Seite 576. Aufgabe 7. Beachten Sie die Basistransformationsformel auf Seite 576. Aufgabe 7. Schreiben Sie B M(ϕ) B = B M(id ϕ id) B und beachten Sie die Formel für das Produkt von Darstellungsmatrizen auf Seite 576. Aufgabe 7.4 Beachten Sie die Definitionen der Linearität und der Darstellungsmatrix. Anwendungsprobleme Aufgabe 7.5 Führen Sie die Rechnung auf Seite 56 mit Ebenenspiegelungen σ durch, deren Darstellungsmatrizen die Form E nn T haben. Aufgabe 7.6 Bestimmen Sie die Bilder der Basisvektoren unter der Drehung. Arens et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 8

5 Lösungen zu Kapitel 7 5 Lösungen zu Kapitel 7 Verständnisfragen Aufgabe 7. (a) ϕ ist nicht linear. (b) ϕ ist linear. (c) ϕ ist nicht linear. Aufgabe 7. Nur für u =. Aufgabe 7. (a) Nein. (b) Ja. Aufgabe 7.4 dim ϕ(r ) = und dim ϕ ({}) =. Aufgabe 7.5 Aufgabe 7.6 Ja. Aufgabe 7.7 Ja. Aufgabe 7.8 Rechenaufgaben Aufgabe 7.9 (a) ϕ(a) = c, ϕ(b) =, ϕ ist nicht injektiv. (b) Der Kern hat die Dimension und das Bild die Dimension. (c) Es ist {b} eine Basis des Kerns von ϕ und,, eine Basis des Bildes von ϕ. (d) L = a + ϕ ({}). Aufgabe 7. EM( d ( ) dx ) E = und B M( d dx ) B = ( Aufgabe BM(ϕ) E =, C M(ψ) B = CM(ψ ϕ) E = Aufgabe 7. (b) Es gilt B M(ϕ) B = und S = Aufgabe 7. (a) Es gilt B M(ϕ) B = (b) Es gilt A M(ϕ) B = 8 und B M(ϕ) A = Aufgabe (a) E M( ) E = 6 4 ({}) =, dim( (V )) = 4. (b) B M( ) B = ). Arens et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 8

6 6 Lösungen zu Kapitel 7 Anwendungsprobleme Aufgabe 7.5 Der einfallende Lichtstrahl verlässt in umgekehrter Richtung die Spiegelanordnung. cos α sin α Aufgabe 7.6 E M(δ e,α) E = cos α sin α, E M(δ e,α) E =, E M(δ e,α) E = sin α cos α sin α cos α cos α sin α sin α cos α. Arens et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 8

7 Lösungswege zu Kapitel 7 7 Lösungswege zu Kapitel 7 Verständnisfragen Aufgabe 7. ( ) (a) Wegen ϕ () = = kann ϕ nicht linear sein. ( ) ( ) v w (b) Mit λ R und v =, w = gilt v w ϕ(λv + w) = (λ v + w ) (λ v + w ) 4 (λ v + w ) (λ v + w ) = λϕ (v) + ϕ(w), sodass ϕ eine lineare Abbildung ist. ( ) (c) Mit v = und λ = gilt ϕ (λ v) = 8 und λϕ(v) =, sodass ϕ keine lineare Abbildung ist. Aufgabe 7. Wenn ϕ linear ist, dann gilt ϕ(v + w) = ϕ(v) + ϕ(w) für alle v, w R. Mit der angegeben Abbildungsvorschrift besagt dies ϕ(v + w) = v + w + u = v + u + w + u = ϕ(v) + ϕ(w). Und dies ist nur dann möglich, wenn u = ist. Also folgt aus der Linearität von ϕ die Gleichung u =. Umgekehrt ist aber natürlich ϕ in der Situation u = eine lineare Abbildung, es ist ϕ dann nämlich die Identität. Aufgabe 7. (a) Wegen ( ) 6 = ( ) + ( ) würde eine lineare Abbildung ϕ : R R mit den angegebenen Eigenschaften den Vektor (( )) 6 = (( )) ( ( ) ( )) 6 ϕ = ϕ + (( )) (( )) = ϕ + ϕ ( ) ( ) ( ) 4 = + = 4 ( ) 4 = ( ) 6 einerseits auf ( ) 4 erfüllen. Das kann aber nicht sein, sodass keine solche lineare 4 abbilden, andererseits aber auch ϕ Abbildung existiert. (b) Wegen ( ) ( ) ( ) 5 = + und ( ) ( ) ( ) 4 = + (( )) ( ) 5 4 enthält die dritte Forderung ϕ = tatsächlich nichts, was nicht schon in den ersten beiden Forderungen verlangt wird. Nach dem Prinzip der linearen Fortsetzung existiert genau eine Abbildung mit den gewünschten Eigenschaften. Arens et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 8

8 8 Lösungswege zu Kapitel 7 ( ) Aufgabe 7.4 Für jedes v R gilt ϕ(v) R, sodass also ϕ(r ) = der Dimensionsformel auf Seite 569 folgt dim ϕ ({}) =. ( ) Wir können auch den Kern von ϕ bestimmen, dieser ist offenbar. Aufgabe 7.5 Sind v, w V und λ K, so gilt Das begründet, dass ψ ϕ linear ist. ψ ϕ(λv + w) = ψ(ϕ(λv + w)) = ψ(λϕ(v) + ϕ(w)) = ψ(λϕ(v) + ψ(ϕ(w)) = λ ψ(ϕ(v)) + ψ(ϕ(w)) = λψ ϕ(v) + ψ ϕ(w). ( ) und somit dim ϕ(r ) = gilt. Mit Nun sei ϕ bijektiv. Es existiert dann die Umkehrabbildung ϕ : V V. Es ist zu zeigen, dass ϕ linear ist. Dazu wählen wir beliebige v, w V und ein λ K. Zuv, w existieren v, w V mit ϕ(v) = v und ϕ(w) = w,d.h.v = ϕ (v ) und w = ϕ (w ). Dann gilt: Damit ist gezeigt, dass ϕ linear ist. ϕ (λ v + w ) = ϕ (λ ϕ(v) + ϕ(w)) = ϕ (ϕ(λ v + w) = λ v + w = λϕ (v ) + ϕ (w ) Aufgabe 7.6 Da A eine unendliche Menge sein kann, trifft dies auch für A zu. Wir prüfen die lineare Unabhängigkeit von A nach, indem wir die lineare Unabhängigkeit für jede endliche Teilmenge E A nachweisen. Ist nun E ={ϕ(v ),..., ϕ(v r )} A mit v,..., v r A eine solche endliche Teilmenge von A, so folgt aus für λ,..., λ r K und der Linearität von ϕ sogleich λ ϕ(v ) + +λ r ϕ(v r ) = ϕ(λ v + +λ r v r ) =. Nun ist ϕ aber als injektiv vorausgesetzt. Nach dem Injektivitätskriterium auf Seite 568 gilt deswegen λ v + +λ r v r =. Weil aber die Menge {v,..., v r } als endliche Teilmenge von A linear unabhängig ist, folgt λ = =λ r =, also die lineare Unabhängigkeit von E und damit schließlich jene von A. Aufgabe 7.7 Die Aussage ist richtig. Weil der Zeilenrang von A kleiner oder gleich ist, ist auch der Spaltenrang von A kleiner oder gleich. Also sind die Spalten von A linear abhängig. Aufgabe 7.8 (a) Wegen ϕ = id R existiert v R mit ϕ(v) = v, also b := v + ϕ(v) =. Wegen ϕ = id R existiert v R mit ϕ(v ) = v, also b = v ϕ(v ) =. Es gilt wie gewünscht. ϕ(b ) = ϕ ( v + ϕ(v) ) = ϕ(v) + ϕ (v) = ϕ(v) + v = b, ϕ(b ) = ϕ ( v ϕ(v ) ) = ϕ(v ) ϕ (v ) = ϕ(v ) v = b Bemerkung: Anstelle von ϕ ϕ haben wir ϕ geschrieben, wie es allgemein üblich ist. Arens et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 8

9 Lösungswege zu Kapitel 7 9 Es bleibt zu zeigen, dass {b, b } tatsächlich eine Basis des R ist. Sind α, β R mit α b + β b = gegeben, so folgt durch Anwenden von ϕ auf diese Identität = ϕ() = ϕ(α b + β b ) = αϕ(b ) + βϕ(b ) = α b β b. Addition bzw. Subtraktion beider Identitäten ergibt α b = β b =, wegen b, b = also α = β =. Damit ist {b, b } linear unabhängig, aus Dimensionsgründen also eine Basis des R. (b) Es existieren λ, μ R mit a = λ b + μ b. Anwenden von ϕ ergibt a = ϕ(a ) = λ b μ b. Da die Darstellung von a als Linearkombination der Basis {b, b } eindeutig ist, muss μ = μ, d.h.μ = sein. Also ist a = λ b. Es gilt λ =, weil a als Element der Basis {a, a } natürlich nicht der Nullvektor ist. Damit haben wir ein λ mit den gewünschten Eigenschaften gefunden. Die gleiche Prozedur für a ergibt für a = λ v + μ b mit λ, μ R, a = ϕ(a ) = λ b + μ b, zusammen mit a = λ b + μ b also λ = und a = μ b mit μ =. Rechenaufgaben Aufgabe 7.9 (a) Wir berechnen ϕ(a): 4 ϕ(a) = A a = = 4 4 = c 4 Der Vektor b liegt im Kern von ϕ, wenn ϕ(b) = gilt. Wir prüfen das nach: ϕ(b) = A b = = = Also liegt b im Kern von ϕ. Die Abbildung ϕ ist nach dem Injektivitätskriterium auf Seite 568 nicht injektiv, da b = im Kern von ϕ liegt. (b) Da ϕ(r 4 ) = s, s, s, s 4 mit den Spaltenvektoren s, s, s, s 4 der Matrix A gilt, erhalten wir die Dimension des Bildes durch elementare Spaltenumformungen an A: An dieser Spaltenstufenform erkennt man den Spaltenrang der Matrix A. Damit gilt dim ϕ(r 4 ) =. Mit der Dimensionsformel von Seite 569 folgt nun, dim ϕ ({}) =. Wir hätten natürlich auch umgekehrt zuerst die Dimension des Kerns durch elementare Zeilenumformungen bestimmen können. Nach (a) liegt der Vektor b im Kern von ϕ. Nach (b) ist der Kern eindimensional, sodass ϕ ({})) = gelten muss. Also ist {b} eine Basis des Kerns von ϕ. Arens et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 8

10 Lösungswege zu Kapitel 7 Nach (b) ist das Bild von ϕ dreidimensional. Wir haben weiterhin in (b) gezeigt, dass die ersten drei Spalten der Matrix A linear unabhängig sind. Also bilden die ersten drei Spaltenvektoren s, s, s von A eine Basis des Bildes von ϕ:,, ist eine Basis von ϕ(r 4 ). (d) Es ist L die Lösungsmenge des inhomogenen linearen Gleichungssystems (A c). Diese Lösungsmenge ist nach einem Ergebnis auf Seite 479 die Summe einer speziellen Lösung und der Lösungsmenge des zugehörigen homogenen Systems. Da a nach (a) eine spezielle Lösung des inhomogenen Systems und der Kern die Lösungsmenge des homogenen Systems ist, erhalten wir also: L = a + ϕ ({}). Aufgabe 7. (a) Wegen erhalten wir sogleich (b) Wegen erhalten wir hieraus d dx () = d d (X) =, dx d dx (X ) = X dx (X ) = X, EM( d dx ) E =. d dx ( X ) = 6 X, d d (6 X) = 6, dx BM( d dx ) B =. Aufgabe 7. Wir verwenden die Bezeichnungen e = b :=. ( ) und e = d dx (X ) = X dx (6) = ( ) sowie b :=, b :=, Wir erhalten B M(ϕ) E, indem wir die Koordinaten v j, v j, v j von ϕ(e j ) für j =, bezüglich der Basis B in die Spalten einer Matrix schreiben. Wir erhalten v j, v j, v j durch Lösen der durch v j b + v j b + v j b = e j für j =, gegebenen linearen Gleichungssysteme über R mit dem Gauÿ Algorithmus. Man erhält BM(ϕ) E =. Analog erhält man C M(ψ) B, indem man die Koordinaten v j, v j, v j, v 4j von ψ(b j ) für j =,, bezüglich der Basis C in die Spalten einer Matrix schreibt. Dies liefert: 5 CM(ψ) B = Die Darstellungsmatrix C M(ψ ϕ) E erhält man durch Matrixmultiplikation: 8 5 CM(ψ ϕ) E = C M(ψ) BB M(ϕ) E = Arens et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 8

11 Lösungswege zu Kapitel 7 Aufgabe 7. (a) Wegen sind die drei Vektoren linear unabhängig, also B eine geordnete Basis. (b) Mit A := E M(ϕ) E erhalten wir b :=, b := und b := A b = b + b + b, A b = b + b + b, A b = b + b + b. Also gilt BM(ϕ) B =. Und als Transformationsmatrix erhalten wir die Matrix Aufgabe 7. (a) Es gilt S = E M(id R ) B = ((b, b, b )) =. BM(ϕ) B = B M(id ϕ id) B = B M(id) AA M(ϕ) AA M(id) B. Um also B M(ϕ) B zu ermitteln, ist das Produkt der drei Matrizen B M(id) A, A M(ϕ) A und A M(id) B zu bilden. Die Matrix AM(ϕ) A ist gegeben, die anderen beiden Matrizen müssen wir noch bestimmen. Wegen B M(id) AA M(id) B = B M(id) B = E ist A M(id) B das Inverse zu B M(id) A. Wir bezeichnen die Elemente der geordneten Basis der Reihe nach mit a, a, a und jene der Basis B mit b, b, b und ermitteln B M(id) A = (( B a, B a, B a )). Gesucht sind also λ,λ,λ R mit λ b + λ b + λ b = a bzw. = a bzw. = a. Dies sind drei lineare Gleichungssysteme, die wir simultan lösen: Damit lautet die Basistransformationsmatrix BM(id) A =. Die Matrix A M(id) B erhalten wir durch Invertieren der Matrix B M(id) A. Es gilt AM(id) B = 5. 6 Arens et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 8

12 Lösungswege zu Kapitel 7 Wir berechnen schließlich das Produkt BM(ϕ) B = B M(id) AA M(ϕ) AA M(id) B = (b) Wegen AM(ϕ) B = A M(ϕ id) B = A M(ϕ) AA M(id) B erhalten wir die Darstellungsmatrix A M(ϕ) B als Produkt der beiden Matrizen A M(ϕ) A und A M(id) B. Es gilt AM(ϕ) B = A M(ϕ) AA M(id) B = 8. 7 Analog erhalten wir für die Darstellungsmatrix BM(ϕ) B = B M(id ϕ) A = B M(id) AA M(ϕ) A 7 BM(ϕ) B = B M(id) AA M(ϕ) A = Aufgabe 7.4 (a) Wir kürzen V := R[X] 4 ab. Dann gilt für f, g V (f + g) = (f + g)(x + ) (f + g)(x) = f(x+ ) f(x)+ g(x + ) g(x) = (f ) + (g), damit ist additiv. Und für f V und λ R gilt (λ f ) = (λ f )(X + ) (λ f )(X) = λf(x+ ) λ f (X) = λ(f(x+ ) f(x)) = λ (f ), was besagt, dass homogen ist. Die Homogenität und die Additivität besagen, dass eine lineare Abbildung ist. Es gilt () = =, (X) = (X + ) X =, (X ) = (X + ) X = X +, (X ) = (X + ) X = X + X +, (X 4 ) = (X + ) 4 X 4 = 4 X + 6 X + 4 X +. Also ist 4 D := E M( ) E = 6 4 die Darstellungsmatrix von bezüglich der Standardbasis E = (, X,X,X,X 4 ) von R[X] 4. Arens et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 8

13 Lösungswege zu Kapitel 7 Wir behaupten, dass die letzten 4 Spalten von D linear unabhängig sind. Ist nämlich λ + λ + λ + λ =, so folgt aus der vierten Zeile 4 λ 4 =, d. h. λ 4 =. Nach Streichen des vierten Vektors ergibt sich aus der dritten Zeile λ =, d. h. λ =, usw., also insgesamt λ = λ = λ = λ 4 = wie behauptet. Weil f V genau dann im Kern von liegt, wenn E M( ) EE f = gilt und der Kern der Matrix nach obiger Rechnung die Dimension hat, erhalten wir für die Dimension des Kerns von : Mit der Dimensionsformel folgt nun dim( (V )) = 4. dim ϕ ({}) = (b) Wir bezeichnen die angegebenen Polynome der Reihe nach mit p j für j =,,,, 4, und haben dann B = (p,p,p,p,p 4 ). Die Matrix M, deren Spalten die Koordinatenvektoren E p j sind, hat die Form 6. 4 Wegen der Dreiecksgestalt ist B linear unabhängig, weil die Koordinatenvektoren linear unabhängig sind, und folglich ist B eine geordnete Basis von V. Es gilt (p ) = () =, (p ) = (X) = = p, (X + )X X(X ) (p ) = = X + X X X = X = p, (X + )X(X ) X(X )(X ) (p ) = 6 6 X(X ) ( ) = X + (X ) 6 X(X ) = = p, (X + )X(X )(X ) (p 4 ) = 4 X(X )(X )(X ) 4 X(X )(X ) ( ) = X + (X ) 4 X(X )(X ) = = p. 6 Die Darstellungsmatrix von bezüglich B ist demnach: D := B M( ) B = Bemerkung: Man nennt die Form der Matrix D Jordan-Normalform dies ist fast eine Diagonalform. Arens et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 8

14 4 Lösungswege zu Kapitel 7 (c) Natürlich die Basis B, denn wegen k (p j ) = p j k (für k j 4) sind die Matrizen von,, 4, 5 der Reihe nach einfach,,,. (Dasselbe erhält man durch direktes Ausrechnen von D, D, D4, D5.) Insbesondere ist 5 = die Nullabbildung. Anwendungsprobleme Aufgabe 7.5 Die drei Ebenenspiegelungen sind durch die drei Matrizen E n n T, E n n T, E n n T gegeben. Der einfallende Lichtstrahl, den wir als Vektor v R interpretieren, wird nacheinander an den drei Ebenen gespiegelt. Wir berechnen das Produkt dieser drei Spiegelungsmatrizen, dabei beachten wir, dass je zwei der drei verschiedenen Normalenvektoren senkrecht aufeinander stehen, d. h., es gilt n T i n j = für i = j: ] [(E n n T )(E n n T ) (E n n T ) = (E n n T n n T )(E n n T ) = E n n T n n T n n T = E (n n T + n n T + n n T ) = E E = E Bezeichnet ϕ die zusammengesetzte Abbildung an den drei Ebenen und ist v ein einfallender Lichtstrahl, so gilt also ϕ(v) = v, der Strahl verlässt das Katzenauge in umgekehrter Richtung. Kommentar: An obiger Rechnung erkennt man, dass man bei der Produktbildung die Reihenfolge der Matrizen E n n T, E n n T, E n n T durchaus vertauschen kann, das Ergebnis bleibt das gleich. Aufgabe 7.6 Wir betrachten das in der Abbildung 7. gegebene Koordinatensystem. x x Abbildung 7. Ein Koordinatensystem im R. x Zuerst behandeln wir den Fall, bei dem die x -Achse die Drehachse ist, siehe Abbildung 7.4. Wir wählen eine Aufsicht, bei der die Drehachse, also die x -Achse senkrecht zur Betrachtungsebene steht, siehe Abbildung 7.5. Arens et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 8

15 Lösungswege zu Kapitel 7 5 x α α x Abbildung 7.4 Das Koordinatensystem wird um den Winkel α um die x -Achse gedreht. x x α Abbildung 7.5 Die x -Achse bleibt bei der Drehung fest. x α x Nun bestimmen wir die Koordinatenvektoren der Bilder der Basisvektoren unter der Drehung δ e,α um den Winkel α; wir erhalten diese Koordinatenvektoren aus der Abbildung 7.4 δ e,α(e ) = e,δ e,α(e ) = cos α, sin α δ e,α(e ) = sin α, cos α damit hat die gesuchte Darstellungsmatrix die Form E M(δ e,α) E = cos α sin α. sin α cos α Bei den Drehungen δ e,α und δ e,α geht man analog vor; man erhält dabei die Darstellungsmatrizen cos α sin α E M(δ e,α) E =, sin α cos α cos α sin α E M(δ e,α) E = sin α cos α. Arens et al., Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 8