Teil 3 ALGEBRA UND DISKRETE MATHEMATIK I

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1 Teil 3 ALGEBRA UND DISKRETE MATHEMATIK I 225

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3 Kapitel XI Gruppen Wir erinnern uns an einige Definitionen und Sätze aus 1 (siehe Lineare Algebra I). Wir schreiben im folgenden die Verknüpfungen multiplikativ, lassen also den Punkt meist weg. 42 Grundlegende Begriffe 42.1 Def inition Gegeben seien zwei Gruppen G und G. Eine Abbildung ϕ : G G heißt ein (Gruppen )Homomorphismus, wenn für alle a, b G gilt 68 : ϕ(a b) = ϕ(a) ϕ(b). Im Falle G = G sprechen wir von einem (Gruppen )Endomorphismus Bemerkungen Gegeben seien die Gruppen G, G, G und die Gruppen Homomorphismen ϕ : G G ϕ : G G. Ferner seien e G und e G die neutralen Elemente. Dann gilt: sowie (i) ϕ(e) = e. (ii) ϕ(a 1 ) = (ϕ(a)) 1 für alle a G. (iii) Die Komposition ϕ ϕ ist auch ein Gruppen Homomorphismus. (iv) ϕ ist injektiv genau dann, wenn Ker ϕ := {a G ϕ(a) = e } = {e} gilt. zu (i): Aus ϕ(e) = ϕ(e e) = ϕ(e) ϕ(e) folgt wegen der eindeutigen Bestimmtheit von e : ϕ(e) = e (vgl. Bemerkung 1.3). zu (ii): Ist a G, so gilt mit (i): e = ϕ(e) = ϕ(a a 1 ) = ϕ(a) ϕ(a 1 ), also wegen der eindeutigen Bestimmtheit des inversen Elementes: ϕ(a 1 ) = (ϕ(a)) Man beachte, daß sich die erste Operation auf die Gruppe G bezieht, die zweite Verknüpfung gilt in G. Dies wird wie angekündigt ab jetzt nicht mehr extra unterschieden. 227

4 228 KAPITEL XI. GRUPPEN zu (iii): ist klar. zu (iv): : Ist ϕ injektiv, so muß Ker ϕ einelementig sein, d. h.: Ker ϕ = {e}. : Ist ϕ(a) = ϕ(b), dann gilt: ϕ(a b 1 ) = ϕ(a) ϕ(b 1 ) = ϕ(a) (ϕ(b)) 1 = ϕ(a) (ϕ(a)) 1 = e, also a b 1 = e, d. h.: a = b Def inition Ist U eine Teilmenge einer Gruppe G, so heißt U eine Untergruppe von G, wenn U mit der Verknüpfung aus G selbst eine Gruppe ist. (Kurzschreibweisen für Untergruppen U : U G oder falls U = G ist: U < G.) Die Teilmengen E := {e} und G selbst bilden stets Untergruppen von G ; man nennt sie auch die trivialen Untergruppen von G Satz Ist G eine Gruppe und U G eine Teilmenge von G, dann sind äquivalent: a) U ist eine Untergruppe von G. b) Aus a, b U folgt: a b 1 U. c) Aus a, b U folgt: a 1 b U. a) b) und a) c) sind klar. b) a) : Wegen U existiert ein u U ; damit ist u u 1 = e U. Ist also a U, so auch e a 1 = a 1 U. Sind schließlich a, b U, so auch a, b 1 U woraus sich a (b 1 ) 1 = a b U ergibt. Entsprechend folgt die Aussage c) a) Folgerung Ist ϕ : G G ein Gruppen Homomorphismus, so ist der Kern Ker ϕ stets eine Untergruppe von G und das Bild Im ϕ := ϕ(g) stets eine Untergruppe von G. (i) Es gilt: Ker ϕ wegen ϕ(e) = e ; sind a, b Ker ϕ, so folgt: ϕ(a b 1 ) = ϕ(a) ϕ(b) 1 = e (e ) 1 = e e = e. (ii) Gilt: a, b Im ϕ, d. h.: a = ϕ(a) und b = ϕ(b) mit a, b G, dann folgt: a (b ) 1 = ϕ(a) ϕ(b) 1 = ϕ(a b 1 ), also: a (b ) 1 Im ϕ.

5 42. GRUNDLEGENDE BEGRIFFE Def inition Ein (Gruppen )Homomorphismus ϕ : G G heißt (Gruppen )Isomorphismus, wenn ϕ bijektiv ist. Ein (Gruppen )Isomorphismus ϕ : G G heißt ein (Gruppen )Automorphismus. Ein injektiver (Gruppen )Homomorphismus heißt ein (Gruppen )Monomorphismus, ein surjektiver (Gruppen )Homomorphismus heißt (Gruppen )Epimorphismus Beispiel Wir betrachten eine Menge {e, a, b, c} von vier Elementen mit der Verknüpfungstafel e a b c e e a b c a a b c e b b c e a c c e a b und bezeichnen die sich so ergebende Gruppe mit A (4). Entsprechend bildet {e, a, b, c } mit der Verknüpfungstafel e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e eine abelsche Gruppe, die wir mit A (2,2) bezeichnen. Dann existiert kein Isomorphismus ϕ : A (4) A (2,2). Gäbe es nämlich einen solchen, so wäre ϕ(e) = e und ϕ(d) A (2,2) \ {e } für d e. Und dann folgte mit ϕ(a 2 ) = ϕ(b) e und (ϕ(a)) 2 = e ein Widerspruch zur Eindeutigkeit des neutralen Elements. Die Gruppe A (2,2) heißt (Klein sche) Vierergruppe Bemerkung Ist G eine beliebige Gruppe, dann bildet die Menge Aut G := {ϕ : G G ϕ ist Automorphismus} mit der Komposition als Verknüpfung eine Gruppe, die sogenannte Automorphismengruppe von G. Ist x G, so definieren wir ϕ x : G G durch ϕ x (y) := x y x 1. Wegen ϕ x (y z) = x (y z) x 1 = x y x 1 x z x 1 = ϕ x (y) ϕ x (z) ist ϕ x bereits ein Homomorphismus. Aus ϕ x ϕ x 1 = ϕ x 1 ϕ x = id G folgt, daß ϕ x sogar ein Automorphismus auf G ist. Und ϕ Aut G heißt ein innerer Automorphismus, wenn ein x G existiert mit ϕ = ϕ x. Zwei Elemente a, b G heißen konjugiert, wenn es ein x G gibt mit ϕ x (b) = x b x 1 = a.

6 230 KAPITEL XI. GRUPPEN Wir erhalten einen Homomorphismus α G : G Aut G durch α G (x) := ϕ x ; denn es gilt: ϕ xy (z) = x y z (x y) 1 = x y z y 1 x 1 = x ϕ y (z) x 1 = ϕ x (ϕ y (z)) ϕ xy (z) = (ϕ x ϕ y )(z), d. h.: α G (x y) = α G (x) α G (y). Weiter ist Ker α G = {x G ϕ x = id G } = {x G x y x 1 = y für alle y G} Ker α G = {x G x y = y x für alle y G}. Und Ker α G heißt das Zentrum von G. Manchmal schreiben wir auch Z(G) statt Ker α G. Eine Gruppe G ist genau dann abelsch, wenn Z(G) = G ist Bemerkung Es seien X, Y nichtleere Mengen und f : X Y eine bijektive Abbildung; dann sind die symmetrischen Gruppen S(X) und S(Y ) isomorph zueinander (vgl. Beispiel 1.6d) aus Lineare Algebra I). Wir betrachten die Abbildung ϕ : S(X) S(Y ) mit ϕ(g) := f g f 1 ; dann definiert ϕ 1 (h) = f 1 h f die Umkehrabbildung von ϕ. Außerdem gilt: ϕ(g 1 g 2 ) = f (g 1 g 2 ) f 1 = (f g 1 ) (g 2 f 1 ) = (f g 1 f 1 ) (f g 2 f 1 ) = ϕ(g 1 ) ϕ(g 2 ), also ist ϕ ein Homomorphismus und damit ein Isomorphismus Satz Zu jeder Gruppe G gibt es einen Monomorphismus ψ : G S(G), also ist G stets isomorph zu einer Untergruppe von S(G). Wir definieren ψ(g) := ϕ g mit ϕ g (a) = g a; dann ist ϕ g injektiv (durch Kürzen ) und surjektiv (Lösbarkeit der Gleichung g x = b ; vgl. Satz 1.4 aus Lineare Algebra I), also ist ϕ g S(G).

7 42. GRUNDLEGENDE BEGRIFFE 231 Für alle g, h G und beliebigem a G gilt: ψ(g h)(a) = ϕ g h (a) = (g h) a = g (h a) = g ϕ h (a) = ϕ g (ϕ h (a)) = ϕ g (a) ϕ h (a), also ist ψ ein Homomorphismus auf Im ψ. Und ψ ist injektiv, denn aus ψ(g) = id G = ψ(e) folgt: ϕ g (e) = g e = e und damit: g = e Bemerkung Ist die Gruppe G endlich, so ist also G isomorph zu einer Untergruppe der Permutationen S n, wobei n die Anzahl der Elemente in G sei. Als Ordnung ord G bezeichnet man die exakte Anzahl der Elemente einer endlichen Gruppe G ; ist die Anzahl nicht endlich, so schreiben wir: ord G =. Existiert ein n IN mit a n = e, so heißt die kleinste positive Zahl n mit dieser Eigenschaft die Ordnung ord a von a in G. Existiert ein solches n nicht, so sei ord a = Bemerkung und Def inition Ist G eine Gruppe, I eine nichtleere (Index)Menge und (U α ) α I eine Familie von Untergruppen von G, dann ist der Durchschnitt eine Untergruppe von G (siehe Satz 42.4, und vgl. U α α I Satz 2.6 aus Lineare Algebra I). Ist M eine Teilmenge von G, so heißt <M> := { U U ist Untergruppe von G mit M U } die von M erzeugte Untergruppe von G. Ist G = <M>, dann nennt man M selbst ein Erzeugendensystem von G. Und G heißt endlich erzeugt, wenn es ein endliches Erzeugendensystem {a 1, a 2,..., a n } G gibt 69. Wir schreiben dann auch: G = <a 1, a 2,..., a n >. Es ist < > := {e} = E = <e> und <G> = G. Eine Gruppe G heißt zyklisch, wenn ein Element g G existiert mit G = <g> Satz Ist M eine Teilmenge der Gruppe G, so besteht das Erzeugnis <M> aus allen endlichen Produkten der Elemente von M und M 1 mit M 1 := {g 1 g M}, d. h. <M> = {x 1 x 2... x n x i M M 1, n IN }. 69 Es sei erwähnt, daß {a 1, a 2,..., a n} eine Familie ist und keine Menge im strengen Sinne zu sein braucht.

8 232 KAPITEL XI. GRUPPEN Beweis zu Satz 42.13: Sei M := {x 1 x 2... x n x i M M 1, n IN }. Ist nun U eine Untergruppe von G mit M U, so enthält U auch M M = {x y x, y M} und M 1. Damit ist M M <M>. Mit Satz 42.4 ergibt sich, daß M eine Untergruppe von G ist. Wegen <M> < M> = M ist schließlich M = <M> Folgerung Ist G = <g> eine zyklische Gruppe, dann gilt stets: G = {g n n Z }. Wegen g n g m = g n+m = g m+n = g m g n für alle m, n Z ist jede zyklische Gruppe abelsch. Ist G = <g> eine unendliche zyklische Gruppe, so betrachten wir auf der additiven zyklischen Gruppe Z die Abbildung ϕ : Z G mit ϕ(n) := g n. Wegen ϕ(n + m) = g n+m = ϕ(n) ϕ(m) ist ϕ dann ein Homomorphismus. Und ϕ ist sogar ein Isomorphismus. Angenommen, ϕ wäre nicht injektiv; dann gäbe es ein m Z \ {0} mit ϕ(m) = g m = e. Wegen ϕ( m) = g m = (g m ) 1 = e 1 = e können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit m IN voraussetzen. Ist nun n Z beliebig, so existieren r, k Z mit 0 k m und n = r m + k. Dann gilt: g n = g r m+k = (g m ) r g k = e g k = g k, also: G = {g n n Z } = {g k 0 k m 1}. Ist m minimal gewählt, so besteht G genau aus den m Elementen g 0, g 1, g 2,..., g m 1. Gäbe es nun Zahlen 0 n < k m 1 mit g n = g k, so folgte: g k n = e mit 1 k n m 1 ein Widerspruch zur Minimalität von m Beispiele a) Für n IN ist ( Z n, +) eine abelsche Gruppe mit Addition K a + K b := K a+b für Z n := {K 0, K 1, K 2,..., K n 1 } und K a := {c Z c a ist durch n teilbar} (vgl. Bemerkung 25.2(ii) aus Lineare Algebra I). Dann ist wegen K m = m K 1 die Gruppe Z n = <K 1 > zyklisch von der Ordnung n. b) Ist G eine zyklische Gruppe der Ordnung n IN, so ist G isomorph zu ( Z n, +). Ist etwa G = {e, g, g 2, g 3,..., g n 1 }, so definiere man ϕ : G Z n durch ϕ(g k ) := K k ; dann ist ϕ ein Isomorphismus. y c) Es sei IE 2 die reelle euklidische Ebene (IR 2 mit kanonischem Skalarprodukt) und n IN ; mit D bezeichnen wir die Drehung im Nullpunkt um den Winkel 2π n und mit S die Spiegelung an der y Achse: e π n x e 1 (Bezüglich der( kanonischen Basis hat D bei Drehung gegen den Uhrzeigersinn die darstellende Matrix cos 2π n sin 2π ) n sin 2π n cos 2π SO(2), und S besitzt die darstellende Matrix ( ) n 1 0 O(2). Siehe hierzu 30 in Lineare Algebra II.) 0 1

9 43. DER SATZ VON LAGRANGE 233 Wir betrachten die von D und S erzeugte Gruppe als Untergruppe von O(2) und erhalten: D n = id IE 2, S 2 = id IE 2, S D S = D n 1 und D S D = S. Mit Satz ergibt sich daraus wegen S D (S D) 1 = {S, D, D n 1 } : <S, D> = {S i D j i, j IN}. Wieviele verschiedene Elemente ergeben nun die Produkte S i D j? Es ist <S, D> = {id IE 2, D, D 2, D 3,..., D n 1, S, S D, S D 2, S D 3,..., S D n 1 }. Diese Gruppe D n := <S, D> heißt Diedergruppe. Die Ordnung von D n lautet 2n. Speziell für n = 4 erhalten wir also eine Gruppe der Ordnung 8. Es ist ord D = 4 und ord S = 2 ; ferner gilt: D S = S D 3, d. h. D 4 ist nicht abelsch Satz Jede Untergruppe einer zyklischen Gruppe ist zyklisch. Sei G = <g> und U G eine Untergruppe von G. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei U {e}, da {e} zyklisch ist. Sei weiter u U mit u e ; dann existiert ein m Z \ {0} mit u = g m. Nach dem Untergruppenkriterium ist mit u = g m U auch u 1 = g m U. Also ist entweder m oder m positiv und damit A := {k IN g k U}. Sei s := min A und g l U beliebig; dann existieren q, r Z mit l = q s + r und 0 r < s. Mit g l U und g s U ist auch g r = g l q s = g l (g s ) q U. Im Falle r > 0 ergäbe sich ein Widerspruch zur Minimalität von s. Also ist r = 0, l = q s und damit g l = (g s ) q, d. h. U <g s >. Andererseits ist g s U und <g s > <U> = U, also gilt schließlich: U = <g s >. Im folgenden beschäftigen wir uns mit dem Zusammenhang zwischen ord G und ord U. 43 Der Satz von Lagrange Es sei G eine Gruppe und U eine Untergruppe von G ; wir legen eine Relation auf G fest durch a b : a 1 b U. Dann definiert eine Äquivalenzrelation auf G : (Ä1) a a für jedes a G gilt wegen a 1 a = e U. (Ä2) a b b a für alle a, b G ; denn es ist b 1 a = (a 1 b) 1 U für a 1 b U.

10 234 KAPITEL XI. GRUPPEN (Ä3) a b b c a c für alle a, b, c G ist gültig, denn aus a 1 b U und b 1 c U folgt: a 1 c = (a 1 b) (b 1 c) U. (Vgl. 22 in Lineare Algebra I.) Ist dann K a = {x G x a} = {x G a 1 x U} eine Äquivalenzklasse bezüglich, so gilt: K a = a U := {a u u U} Def inition Für eine Untergruppe U der Gruppe G heißen die Mengen a U mit a G die Linksnebenklassen von U. Ist die Menge der Linksnebenklassen endlich, so heißt ihre Anzahl der Index von U in G und wird mit [G : U] = ind G U bezeichnet. Ist diese Anzahl unendlich, so sei [G : U] = ind G U =. Ist E die von e erzeugte Untergruppe von G, dann gilt: [G : E] = ord G Satz Sind U und U Untergruppen der Gruppe G mit U U, so gilt: [G : U ] = [G : U] [U : U ]. Gemäß 22 gelte: G = a i U mit paarweise disjunkten Teilmengen a i U und ebenso i I U = b j U mit paarweise disjunkten Teilmengen b j U. Dann folgt: j J I enthält genau [G : U] Elemente, und J enthält genau [U : U ] Elemente. Damit ist auch G = i I a i b j U j J eine Vereinigung paarweise verschiedener Linksnebenklassen von U. (Ist nämlich a i b j U = a k b l U, so folgt durch Multiplikation mit U wegen U U = U und b j U = U, b l U = U : a i U = a k U. Also ist a i = a k ; in a i b j U = a k b l U kann nun gekürzt werden, und wir erhalten: b j U = b l U b j = b l.) Daher ist [G : U ] das Produkt der Anzahlen aller Elemente aus I und J Folgerung (Satz von Lagrange 70 ) Ist U eine Untergruppe von G, dann gilt: ord G = ord U ind G U. 70 Joseph Louis de Lagrange, italienisch französischer Mathematiker und Physiker ( , )

11 43. DER SATZ VON LAGRANGE Folgerung In einer endlichen Gruppe G ist ord a für jedes a G ein Teiler von ord G Folgerung (Kleiner Fermat scher 71 Satz) In einer endlichen Gruppe G gilt für jedes Element a G stets: a ord G = e. Es sei m := ord a und n := ord G ; nach Folgerung 43.4 gilt dann: n = k m mit k IN, woraus folgt: a n = (a m ) k = e k = e Folgerung Jede Gruppe von Primzahlordnung ist zyklisch und damit nach Folgerung abelsch. Ist a G \ {e}, so gilt: ord a 1. Folgerung 43.4 liefert: ord a = ord G ; damit stimmt die Anzahl der Elemente von <a> mit ord G überein, was <a> = G impliziert Def inition Ist ggt(m, n) der größte gemeinsame Teiler von m und n aus IN, so sei ϕ(n) die Anzahl aller natürlichen Zahlen mit 1 m < n und ggt(m, n) = 1. Dadurch wird die sogenannte Euler sche Funktion ϕ : IN IN erklärt. Es ist ϕ(0) = 0, ϕ(1) = 1, ϕ(2) = 1, ϕ(3) = 2 und ϕ(p) = p 1 für eine Primzahl p Folgerung Ist G eine zyklische Gruppe der Ordnung n, so gibt es genau ϕ(n) Elemente der Ordnung n. Nach Beispiel 42.15b) können wir uns G als ( Z n, +) gegeben denken. Der Fall n = 1 ist trivial. Sei n 2; es ist ord K a = n ggt(a, n) = 1. Ist nämlich ggt(a, n) = d > 1, so wäre bereits K n d a = K a d n = K 0, also ord K a < n. Ist dagegen ggt(a, n) = 1, so sind K a, K 2a, K 3a,..., K na paarweise verschieden, liefern also Z n. (Denn wäre K λa = K µa mit 1 µ < λ n, so ergäbe sich λa µa = kn mit k IN, d. h. (λ µ) a = k n mit k IN. Also müßte n wegen ggt(a, n) = 1 dann (λ µ) teilen im Widerspruch zu λ µ < n.) Wir betrachten nun Z n, versehen mit der Multiplikation (wie in Bemerkung 25.2(ii) aus Lineare Algebra I). K a K b := K a b 71 Pierre de Fermat, französischer Jurist, Mathematiker und Humanist ( , )

12 236 KAPITEL XI. GRUPPEN Wann existiert dann zu K a ein inverses Element, d. h. ein K b mit K a K b = K 1? Das ist genau dann der Fall, wenn ab 1 = kn mit k IN gilt. Also existiert genau dann ein Inverses zu K a Z n bezüglich, wenn es Zahlen b, k Z gibt mit 1 = ab + kn. Dies ist äquivalent dazu, daß ggt(a, n) = 1 ist. (Wir betrachten die Menge Γ := {ax + ny x, y Z } der Vielfachsummen von a und n ; sei p die kleinste positive Vielfachsumme von a und n. Dann gilt: Γ = {tp t Z } =: Γ. [ Γ Γ ist klar; ist umgekehrt v Γ IN, so schreibe v = lp + r mit 0 r < p. Wegen v Γ, p Γ und lp Γ ist auch r = v lp Γ. Die Minimalität von p liefert r = 0 ; also ist v = lp.] Ist d := ggt(a, n) 2, so teilt d auch jedes tp Γ. Und ist umgekehrt ax + ny 1 für alle x, y Z, so ist p 2, und p teilt jedes Element aus Γ also auch a = a 1 + n 0 sowie n = a 0 + n 1.) 43.9 Def inition Es sei für festes n IN die Menge Z n := {K m Z n ggt(m, n) = 1} definiert; man überlegt sich leicht, daß ( Z n, ) eine Gruppe bildet, nämlich die sogenannte prime Restklassengruppe mod n. Und Z n ist eine Gruppe mit genau ϕ(n) Elementen Folgerung (nach Euler) Gegeben seien m, n IN mit ggt(m, n) = 1 ; dann gilt 72 : m ϕ(n) 1 (mod n) : m ϕ(n) 1 = k n mit k IN. Für n = 1 ist nichts zu zeigen. Ist n 2, so gilt nach Folgerung 43.5 für jedes K m Z n : K m ϕ(n) = K 1, d. h.: m ϕ(n) 1 = k n mit k IN Folgerung (nach Fermat) Ist p IN eine Primzahl und m IN, so gilt: m p m (mod p) m p m = k p mit k IN. Ist p IN eine Primzahl, so liefert Folgerung wegen ϕ(p) = p 1: m p 1 1 (mod p) für alle m IN mit ggt(m, p) = 1. Daraus folgt dann: m p m (mod p). Ist aber ggt(m, p) 2, d. h. m = l p, so gilt die Behauptung ebenfalls. 72 Sprechweise: m ϕ(n) kongruent 1 modulo n

13 44. ISOMORPHIESÄTZE 237 Definiert man auf einer Gruppe G bezüglich einer Untergruppe U : a 1 b : a b 1 U, so erhält man eine Äquivalenzrelation und dementsprechend eine Zerlegung von G in paarweise disjunkte Rechtsnebenklassen. Man kann den Index von U bezüglich dieser Zerlegung definieren. Die Anzahl der Linksnebenklassen stimmt mit der Anzahl der Rechtsnebenklassen überein. (Betrachte dazu ϕ : G G mit ϕ(g) := g 1 ; dann wird aus G = a i U mit a i U a j U = für i j direkt: ϕ(g) = G = i I U a i 1 mit U a i 1 U a j 1 = für i j.) Im allgemeinen gilt aber nicht: a U = U a. i I 44 Isomorphiesätze 44.1 Def inition Eine Untergruppe U einer Gruppe G heißt ein Normalteiler von G (oder normale Untergruppe in G), wenn für jedes a G gilt: a U = U a. Kurzschreibweisen für normale U G : U G oder falls U G ist: U G Satz Sei U eine Untergruppe der Gruppe G ; dann sind folgende Aussagen äquivalent: a) U ist ein Normalteiler von G. b) Es ist a U a 1 U für alle a G. c) Es gilt: x y 1 U x 1 y U. a) b) : ist klar. b) a) : Aus a U a 1 U folgt: a U U a ; andererseits gilt auch: a 1 U (a 1 ) 1 = a 1 U a U U a a U. b) c) : Sei x y 1 U ; dann ist (x y 1 ) 1 = y x 1 =: u U, also mit a = y 1 folgt: y 1 u y = y 1 (y x 1 ) y = x 1 y U. Entsprechend folgt aus x 1 y U auch: x y 1 U. c) b) : Sei a G und u U ; dann ist U u 1 = (u } 1 {{ a 1 }) }{{} a, =x also x 1 y = a u a 1 U. =y 1

14 238 KAPITEL XI. GRUPPEN 44.3 Beispiele a) Die trivialen Untergruppen {e} und G sind stets Normalteiler von G, genannt triviale Normalteiler. Ist G abelsch, so ist jede Untergruppe ein Normalteiler. Das Zentrum Z(G) einer beliebigen Gruppe G ist stets ein Normalteiler von G. b) Gegeben seien zwei Untergruppen U und U der Gruppe G mit U U. Ist dann U ein Normalteiler von G, so ist U auch ein Normalteiler von U. c) Ist U eine Untergruppe in G vom Index 2, so ist U ein Normalteiler von G. (Sei dazu G = U a U mit a G \ U ; dann ist auch G = U U a, also a U = U a.) d) Sei n IN ; dann ist SO(n) ein Normalteiler von GL(n; K) bzw. O(n) Satz Es sei G eine Gruppe, I ein nichtleere Indexmenge und (U α ) α I eine Familie von Normalteilern U α in G ; dann ist auch der Durchschnitt U := U α ein Normalteiler von G. Nach 42 ist U eine Untergruppe von G. Ist nun a G und u U, also u U α für jedes α I, so folgt: a u a 1 U α für alle α I, d. h.: a u a 1 U Satz Es seien ϕ : G G Normalteiler von G : α I ein Gruppen Homomorphismus, U ein Normalteiler von G und U ein a) Dann ist das Urbild 1 ϕ(u ) = {g G ϕ(g) U } ein Normalteiler in G. b) Ist ϕ ein Epimorphismus, so ist das Bild ϕ(u) ein Normalteiler in G. Gemäß 42 sind ϕ(u) und 1 ϕ(u ) Untergruppen von G bzw. G. zu a): Sei a G und x 1 ϕ(u ), d. h. ϕ(x) U. Da U ein Normalteiler in G ist, folgt: ϕ(a) ϕ(x) (ϕ(a)) 1 = ϕ(a x a 1 ) U, d. h.: a x a 1 1 ϕ(u ). zu b): Da U ein Normalteiler in G ist, gilt für alle a G : a U a 1 U, woraus folgt: ϕ(a) ϕ(u) (ϕ(a)) 1 ϕ(u). Ist ϕ surjektiv, so existiert zu jedem b G ein a G mit ϕ(a) = b. Also gilt für alle b G : b ϕ(u) b 1 ϕ(u) Folgerung Für einen Homomorphismus ϕ : G G ist Ker ϕ stets ein Normalteiler in G.

15 44. ISOMORPHIESÄTZE 239 Es sei G eine Gruppe und U ein Normalteiler in G. Mit G/U bezeichnen wir die Menge aller Nebenklassen, d. h. G/U := {a U a G}. Da U ein Normalteiler ist, muß nicht zwischen Rechts- und Linksnebenklassen unterschieden werden. Wir wollen nun G/U zu einer Gruppe machen (in Analogie zu 22 bzw. 23 aus Lineare Algebra I): 44.7 Satz und Def inition Sei U ein Normalteiler der Gruppe G ; dann wird G/U mit der Verknüpfung (a U) (b U) := (a b) U ( ) zu einer Gruppe, der sogenannten Faktorgruppe von G nach U. Durch ( ) wird eine innere Verknüpfung auf G/U definiert. Diese Verknüpfung ist assoziativ. e U = U ist neutrales Element in G/U. Und a 1 U ist Inverses zu a U G/U Bemerkung Bezeichnen wir die kanonische Abbildung von G nach G/U mit π, d. h. π(a) := a U, so ist die Verknüpfung ( ) die einzige auf G/U derart, daß π zu einem Gruppen Homomorphismus wird. Es ist ord G/U = ind G U und Ker π = U sowie π(g) = G/U, also π surjektiv. Zusammenfassend gilt: 44.9 Satz Es sei G eine Gruppe und U eine Teilmenge von G. Dann sind äquivalent: a) U ist Normalteiler von G. b) Es existiert eine Gruppe G und ein Homomorphismus ϕ : G G mit U = Ker ϕ. a) b) : Bemerkung b) a) : Folgerung Def inition Eine Gruppe G heißt einfach, wenn außer {e} und G keine weiteren Normalteiler existieren Satz (Homomorphiesatz für Gruppen) Es sei ϕ : G G ein Gruppen Homomorphismus; dann ist die Faktorgruppe G/Ker ϕ isomorph zum Bild Im ϕ = ϕ(g), kurz: G/Ker ϕ = Im ϕ.

16 240 KAPITEL XI. GRUPPEN Beweis zu Satz 44.11: (Vgl. hierzu auch Satz 23.7 und Folgerung 23.8 aus Lineare Algebra I.) Wir definieren Φ : G/Ker ϕ Im ϕ durch Φ(a Ker ϕ) := ϕ(a). Zu zeigen ist, daß Φ repräsentanten-unabhängig ist. Es gilt: a Ker ϕ = b Ker ϕ a b 1 Ker ϕ ϕ(a b 1 ) = e ϕ(a) ϕ(b) 1 = e ϕ(a) = ϕ(b) Φ(a Ker ϕ) = Φ(b Ker ϕ). Hieraus folgt weiter, daß durch Φ eine Abbildung erklärt ist, die zugleich injektiv ist. Die Surjektivität von Φ ist klar. Die Homomorphie von Φ folgt schließlich noch aus ( ) : Φ((a Ker ϕ) (b Ker ϕ)) = Φ((a b) Ker ϕ) = ϕ(a b) = ϕ(a) ϕ(b) = Φ(a Ker ϕ) Φ(b Ker ϕ) Beispiele a) Ist ϕ : G G ein injektiver Gruppen Homomorphismus, dann gilt: G = ϕ(g). b) Ist K ein kommutativer Körper und n IN, so ist ϕ : GL(n; K) K mit ϕ(a) := det A ein surjektiver Gruppen Homomorphismus von GL(n; K) auf die multiplikative Gruppe von K. Es ist Ker ϕ = SO(n), also gilt mit dem Homomorphiesatz 44.11: GL(n; K)/SO(n) = K. c) Wir betrachten die Gruppen (IR, +) und (C, ) sowie die Abbildung ϕ : IR C mit ϕ(α) = e 2πiα = cos 2πα + i sin 2πα. Dann ist ϕ ein Gruppen Homomorphismus mit Ker ϕ = Z ; also gilt: IR/ Z = Im ϕ = {e 2πiα α IR} = {z C ; z = 1}. (Dies findet Anwendung in der sogenannten Fourier Analysis 73.) d) Ist G eine Gruppe, so ist α G : G Aut G ein Gruppen Homomorphismus; also hat man: G/Ker α G = Im αg. Nun ist Ker α G = Z(G) das Zentrum von G, somit gilt: G/Z(G) = Im α G Satz (1. Isomorphiesatz) Es seien G eine Gruppe, U eine Untergruppe und V ein Normalteiler von G. Dann ist die Menge U V := {u v u U v V } eine Untergruppe von G, U V ein Normalteiler in U, und es gilt: U V /V = U /(U V ). Man spricht bei U V := U V auch vom Komplexprodukt von U und V. 73 Jean Baptiste Joseph de Fourier, französischer Mathematiker und Physiker ( , )

17 44. ISOMORPHIESÄTZE 241 Beweis zu Satz 44.13: Nach Satz 42.4 ist U V genau dann Untergruppe von G, wenn aus a, b U V stets a b 1 U V folgt. Wegen g V = V g für alle g G gilt nun für alle a, b U V : a b 1 (U V ) (U V ) 1 = (U V ) (V 1 U 1 ) = U (V V 1 ) U 1 = U (V V ) U 1 = (U V ) (V U) = (U V ) (U V ) = U (V U) V = U (U V ) V = (U U) (V V ) = U V. Ferner ist V = e V U V auch ein Normalteiler von U V. Ist π : G G/V der kanonische Epimorphismus aus Bemerkung 44.8 und π 0 := π U, so gilt: und da V das neutrale Element in G/V ist: Im π 0 = {π 0 (u) u U} = {u V u U} = {u v V u U} v V = {u v V u v U V } = U V /V, Ker π 0 = {u U π 0 (u) = V } = {u U u V = V } = {u U u V = e V } = {u U u V } = U V. Nach Satz 44.9 ist damit U V = Ker π 0 ein Normalteiler in U. Der Homomorphiesatz liefert dann die Behauptung Beispiele a) Wir betrachten A (2,2) als Untergruppe von S 4 = S({1, 2, 3, 4}). Dann ist A (2,2) ein Normalteiler in S 4, und es gilt: S 3 A (2,2) = S 4, wobei S 3 als Untergruppe von S 4 aufgefaßt wird. Somit liefert der 1. Isomorphiesatz 44.13: S 4/ A (2,2) = S 3 A (2,2) /A (2,2) = S 3/ (S 3 A (2,2) ) = S 3.

18 242 KAPITEL XI. GRUPPEN b) Unter den Voraussetzungen von Satz sei U V eine endliche Untergruppe; dann gilt mit Folgerung 43.3 (Satz von Lagrange): ord(u V ) = ord V ind U V V = ord V ord (U V /V ) = ord V ord (U/(U V )) = ord V ind U (U V ) ord U = ord V ord(u V ) ord U ord V = ord(u V ). Beweis zu Beispiel 44.14a): Wir können A (2,2) als die Untergruppe { id, ( ), ( ), ( )} S 4 betrachten (zur Schreibweise siehe auch die Einleitung von 10 in Lineare Algebra I). Durch Rechnung verifiziert man: σ A (2,2) = A (2,2) σ für alle σ S 4. Und S 3 fassen wir als diejenigen Permutationen der Zahlen 1, 2, 3, 4 auf, welche die 4 festlassen. Dann rechnet man leicht nach, daß S 3 A (2,2) = S 4 gilt. Wegen σ(4) 4 für alle σ A (2,2) \ {id} ist S 3 A (2,2) = {id}, also haben wir: S 3/ {id} = S Satz (2. Isomorphiesatz) Sind U, V Normalteiler der Gruppe G mit U V, so ist V /U Normalteiler von G/U, und es gilt: (G/U) / ( V /U) = G /V. Wir definieren ϕ : G/U G/V durch ϕ(g U) := g V. Dann ist ϕ wohldefiniert; denn aus g U = h U folgt: g h 1 U V, also auch: g V = h V. Außerdem ist ϕ ein Homomorphismus mit Im ϕ = G/V und Ker ϕ = {g U g V = V } = {g U g V } = V /U. Und der Homomorphiesatz liefert die Behauptung Beispiel Für m, n IN sind m Z und n Z Normalteiler von Z. Und m Z n Z ist äquivalent zu m = nr mit einem r Z. Aus dem 2. Isomorphiesatz ergibt sich dann: ( Z/m Z) / ( n Z/m Z) = Z /n Z = Z n Def inition Gegeben seien Gruppen G 1, G 2, G 3,..., G n und Gruppen Homomorphismen ϕ i : G i G i+1 ϕ 1 ϕ 2 ϕ 3 ϕ n 2 ϕ n 1 für 1 i n 1. Wir betrachten die Sequenz G 1 G2 G3... G n 1 G n ; eine solche Sequenz heißt exakt, wenn für alle 1 i n 2 gilt: Im ϕ i = Ker ϕ i+1.

19 45. PRODUKTE VON GRUPPEN Beispiel Wir bilden die folgende Sequenz: {e} H ϕ G ψ K {e} ; diese ist genau dann exakt, wenn gilt: Ker ϕ = {e}, Ker ψ = Im ϕ und K = Im ψ. Also muß ϕ injektiv sein; und Beispiel 44.12a) liefert dann: H = ϕ(h) = Ker ψ. Da ψ surjektiv sein muß, folgt weiter mit dem Homomorphiesatz 44.11: K = Im ψ = G /Ker ψ = G/ϕ(H). Ist H =: N ein Normalteiler von G, K = G/N und ϕ = ι die Einbettung von N in G, d. h.: ϕ(x) = x = ι(x), sowie ψ = π der kanonische Epimorphismus von G auf G/N, so ist {e} N ι G π G/N {e} eine exakte Sequenz. 45 Produkte von Gruppen 45.1 Def inition Es seien G 1, G 2,..., G n Gruppen; auf dem kartesischen Produkt G := G 1 G 2... G n definieren wir eine Verknüpfung mit geordneten n-tupeln: (a 1, a 2,..., a n ) (b 1, b 2,..., b n ) := (a 1 b 1, a 2 b 2,..., a n b n ) für (a 1, a 2,..., a n ), (b 1, b 2,..., b n ) G. Durch diese Verknüpfung wird G zu einer Gruppe mit dem neutralen Element e := (e 1, e 2,..., e n ), wobei e i G i jeweils die neutralen Elemente sind, und dem Inversen (a 1, a 2,..., a n ) 1 := (a 1 1, a 2 1,..., a n 1 ) zu jedem (a 1, a 2,..., a n ) G. Mit dieser Verknüpfung heißt G das direkte Produkt von G 1, G 2,..., G n Bemerkungen a) Sind die Gruppen G 1, G 2,..., G n endlich, so ist auch ihr direktes Produkt G := n endlich mit Ordnung ord G = n ord G i. b) Für das Zentrum gilt allgemein: ( n ) n Z G i = Z(G i ). c) Das direkte Produkt G = n G i d) Ist π S n eine Permutation, so gilt: ist genau dann abelsch, wenn alle G i abelsch sind. G i n G i = e) Gilt: G i = Hi für alle 1 i n, dann ist n G π(i). n G i auch isomorph zu n H i.

20 244 KAPITEL XI. GRUPPEN 45.3 Beispiele a) Es seien G 1 := {e 1, g} und G 2 := {e 2, h} Gruppen der Ordnung 2. Dann erhalten wir für G := G 1 G 2 und die Elemente e := (e 1, e 2 ), a := (g, e 2 ), b := (e 1, h) und c := (g, h) aus G die Verknüpfungstafel: Somit ist G = G 1 G 2 die Klein sche Vierergruppe. Denn es gilt: G 1 = G2 = Z2, also: G = Z 2 Z 2 = A (2,2). e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e b) Betrachten wir drei Modelle G 1, G 2 und G 3 von Z 2, so ist das direkte Produkt G = G 1 G 2 G 3 = Z2 Z 2 Z 2 eine abelsche Gruppe mit genau 8 Elementen. Außer e hat jedes g G die Ordnung 2 ; also ist G nicht zyklisch Bemerkung Das direkte Produkt der Gruppen G 1, G 2,..., G n können wir auch folgendermaßen auffassen: Wir bilden die Menge aller formalen Produkte g 1 g 2... g n mit g i G i, wobei zwei solche Produkte genau dann übereinstimmen, wenn sie komponentenweise übereinstimmen. Wir definieren: (g 1 g 2... g n ) (h 1 h 2... h n ) := (g 1 h 1 ) (g 2 h 2 )... (g n h n ) und schreiben statt e 1 e 2... e i 1 g i e i+1... e n für alle 1 i n kürzer: g i. Dann können wir die G i als Untergruppen von G betrachten Def inition Eine Gruppe G heißt das innere direkte Produkt der Untergruppen U 1, U 2,..., U n, wenn jedes g G genau eine Darstellung der Form g = u 1 u 2... u n mit u i U i besitzt und für alle i j Kommutativität vorliegt, d. h.: u i u j = u j u i mit u i U i und u j U j Satz Es seien U 1, U 2,..., U n Untergruppen von G. Die Gruppe G ist genau dann das innere direkte Produkt von U 1, U 2,..., U n, wenn folgende drei Aussagen gleichzeitig gelten: a) G = n U i. b) U i (U 1 U 2... U i 1 U i+1... U n ) = {e} 1 i n. c) U i G 1 i n.

21 45. PRODUKTE VON GRUPPEN 245 Beweis zu Satz 45.6: : Sei G das innere direkte Produkt von U 1, U 2,..., U n. Dann ist a) bereits erfüllt. zu b): Sei i {1, 2,..., n} fest und c i U i (U 1 U 2... U i 1 U i+1... U n ) ; dann ist c i = e... e c i e... e und c i = u 1... u i 1 e u i+1... u n mit u i U i. Die Eindeutigkeit der Darstellung liefert c i = e. zu c): Sei i {1, 2,..., n} fest; zu zeigen ist, daß für jedes g G gilt: g U i g 1 U i. Sei dazu g = u 1 u 2... u n mit u j U j und v U i ; wegen u j v = v u j für alle j {1, 2,..., n} \ {i} folgt: g v g = u 1... u n v u n... u { 1 u1... u = n 1 v u n u 1 n... u 1 1, falls i n u 1... u n 1 w u 1 n 1... u 1 1, falls i = n mit w := u n v u 1 n U { n u1... u = n 1 v u 1 n 1... u 1 1, falls i n u 1... u n 1 w u 1 n 1... u 1 1, falls i = n mit w = u n v u 1 n U n =... = u i v u i 1 U i. : Seien also a), b) und c) erfüllt. Aus c) folgt für ein v i U i und ein v j U j nach Satz 44.2b): v i v j v i 1 U j und v j v i v j 1 U i, also für alle i j wegen b): v i v j v i 1 v j 1 v i U i U j v j 1 U i U i U j U j = U i U j U i (U 1... U i 1 U i+1... U n ) = {e}, d. h.: v i v j v 1 i v 1 j = e v i v j = v j v i. Aus a) folgt, daß sich jedes g G in der Form g = u 1 u 2... u n darstellen läßt. Zur Eindeutigkeit dieser Darstellung betrachte zunächst g = e: Sei e = u 1 u 2... u i... u n mit u i U i ; die gerade bewiesene Vertauschbarkeitsrelation liefert für alle 1 i n : u 1 i = u 1... u i 1 u i+1... u n, d. h.: u 1 i U i (U 1... U i 1 U i+1... U n ) = {e}, also: u i = e für alle 1 i n. Ist nun noch g = u 1 u 2... u n = v 1 v 2... v n mit beliebigen u i, v i U i, so ergibt die Vertauschbarkeit (durch sukzessive Multiplikation mit v 1 n, v 1 n 1,..., v 1 1 von rechts und anschließender Vertauschung): (u 1 v 1 1 ) (u 2 v 1 2 )... (u n v 1 n ) = e. Durch Eindeutigkeit der Darstellung von e folgt: u i v 1 i = e für 1 i n, d. h.: u i = v i für alle 1 i n Satz Gegeben seien zwei zyklische Gruppen G i der Ordnung m i IN für i = 1, 2. Das direkte Produkt G 1 G 2 ist genau dann zyklisch, wenn ggt(m 1, m 2 ) = 1 gilt.

22 246 KAPITEL XI. GRUPPEN Beweis zu Satz 45.7: Es genügt zu zeigen: Z m1 Z m2 zyklisch ggt(m 1, m 2 ) = 1. Nun ist ord ( Z m1 Z m2 ) = m 1 m 2. : Ist ggt(m 1, m 2 ) = 1, dann gilt: G 1 G 2 = <(g 1, g 2 )>, wobei G i = <g i > ist für i = 1, 2. Dazu zeigen wir, daß die Elemente (g 1, g 2 ) k für alle 0 k m 1 m 2 1 paarweise verschieden sind. Ist (g 1, g 2 ) r = (g 1, g 2 ) s ohne Einschränkung mit 0 s r < m 1 m 2, so folgt: (g 1, g 2 ) r s = (g 1 r s, g 2 r s ) = e = (e 1, e 2 ) = (K 0, K 0 ). Dann muß sowohl m 1 als auch m 2 die Zahl r s teilen. Wegen ggt(m 1, m 2 ) = 1 teilt dann auch m 1 m 2 die Zahl r s ; dies ist aber wegen 0 r s < m 1 m 2 nur möglich für r = s. : Ist ggt(m 1, m 2 ) = d > 1, so betrachte v := m 1 m 2 ; dann ist v < m 1 m 2, und es gilt d für beliebige (g k 1, g l 2 ) Z m1 Z m2 : (g 1 k, g 2 l ) v = (g 1 k v, g 2 l v ) = ((g 1 m 1 ) m2 k d = (K 0, K 0 ). m1, m (g2 2 l ) d ) Also hat jedes Element von Z m1 Z m2 kann Z m1 Z m2 nicht zyklisch sein. eine Ordnung, die kleiner als m 1 m 2 ist. Damit 45.8 Folgerung Es seien p 1, p 2,..., p r verschiedene Primzahlen. Eine Gruppe G der Ordnung p 1 k1 p 2 k2... p r k r mit k i IN ist genau dann zyklisch, wenn gilt: G = Z p1 k 1 Z p2 k 2... Z pr kr Folgerung Es sei m, n IN mit ggt(m, n) = 1. Dann gilt für die Euler sche Funktion: ϕ(m n) = ϕ(m) ϕ(n). Aus dem Beweis zu Satz 45.7 folgt: (g 1, g 2 ) erzeugt genau dann die zyklische Gruppe Z m Z n, wenn Z m = <g 1 > und Z n = <g 2 > gilt. Also enthält Z m Z n genau ϕ(m) ϕ(n) Elemente der Ordnung m n. Die zu Z m Z n isomorphe Gruppe Z m n enthält genau ϕ(m n) erzeugende Elemente.

23 46. OPERATIONEN VON GRUPPEN AUF MENGEN Folgerung k1 k2 Ist n IN mit n 2 und n = p 1 p 2... p k r r mit k i IN die Primfaktorzerlegung von n mit paarweise verschiedenen Primzahlen p 1, p 2,..., p r, so gilt: r ( k ϕ(n) = p i i 1 1 ). p i Nach Folgerung 45.9 ist ϕ(n) = r ϕ(p k i i ). Gemäß Voraussetzung existieren insgesamt p k i i {s p i 1 s p k i 1 i } zu p k i i teilerfremde Zahlen zwischen 1 und p k i i. Dies sind genau p k i i p k i 1 i = p k i 1 i (p i 1) = p k i i (1 1 p i ) Zahlen Folgerung (Chinesischer Restsatz) Sind m, n IN mit ggt(m, n) = 1, und sind a, b Z beliebig, so gibt es ein x Z mit x a (mod m) und x b (mod n). Zur Anwendung obiger Sätze betrachten wir die Abbildung ϕ : Z Z m Z n mit ϕ(y) := (K y, K y ) = ({z 1 Z z 1 y = k m}, {z 2 Z z 2 y = l n}). Dann ist ϕ ein Gruppen Homomorphismus mit Ker ϕ = {y Z y = km = ln für k, l Z } = m n Z wegen ggt(m, n) = 1. Der Homomorphiesatz liefert: Z/m n Z = Im ϕ, und Satz 45.7 ergibt wegen Z/m n Z = Z mn : Z/m n Z = Z m Z n. Also ist ϕ surjektiv, d. h. zu a, b Z existiert ein x Z mit ϕ(x) = (K a, K b ) Z m Z n ; somit gilt: x a (mod m) und zugleich: x b (mod n) Beispiel Ist G eine Gruppe der Ordnung 4, so ist entweder G = Z 4 oder G = Z 2 Z 2 = A (2,2). 46 Operationen von Gruppen auf Mengen Es sei an Satz erinnert: Eine Gruppe G ist stets isomorph zu einer Untergruppe von S(G) vermöge ψ mit ψ(g) = ϕ g und ϕ g (a) = g a Def inition Es sei G eine Gruppe und X eine beliebige Menge. Wir sagen, die Gruppe G operiere auf X, wenn es eine Abbildung : G X X gibt mit den Eigenschaften: (O1) g (h x) = (g h) x für alle g, h G und alle x X. (O2) e x = x für alle x X mit e G als neutralem Element.

24 248 KAPITEL XI. GRUPPEN 46.2 Beispiele a) Ist X = G und g x := g x, so operiert G auf sich selbst in trivialer Weise. b) Es sei X = { U G U ist Untergruppe von G } und g U := g U g 1 ; wegen (g u g 1 ) (g v g 1 ) = g (u v) g 1 g U für alle g u g 1, g v g 1 g U ist g U X. Ferner sind die Axiome (O1) und (O2) erfüllt. c) Für X = G mit g x := g x g 1 operiert G auf G Bemerkung Eine Gruppe G operiert genau dann auf der nichtleeren Menge X, wenn ein Homomorphismus von G in die symmetrische Gruppe S(X) existiert. : Wir definieren für g G die Abbildung ψ g : X X durch ψ g (x) := g x. Dann folgt: ψ g ψ g 1(x) = ψ g (g 1 x) = g (g 1 x) = (g g 1 ) x gemäß (O1) = e x = x gemäß (O2) und ebenso: ψ g 1 ψ g (x) = x ; also ist ψ g S(X). Und die Abbildung ψ : G S(X) mit ψ(g) := ψ g ist wegen ψ g h (x) = (g h) x = g (h x) = ψ g (h x) = ψ g ψ h (x) für alle x X ein Homomorphismus. : Ist ψ : G S(X) ein Gruppen Homomorphismus, so ist : G X X definiert durch g x := ψ(g)(x). Wegen ψ(e) = id X und ψ(g h) = ψ(g) ψ(h) folgt für alle g, h G und x X : g (h x) = g (ψ(h)(x)) = ψ(g)(ψ(h)(x)) = ψ(g h)(x) = (g h) x sowie: e x = ψ(e)(x) = id X (x) = x. Damit genügt sowohl (O1) als auch (O2) Satz Die Gruppe G operiere auf einer nichtleeren Menge X ; dann wird durch x y : g G y = g x eine kanonische Äquivalenzrelation auf X definiert.

25 46. OPERATIONEN VON GRUPPEN AUF MENGEN 249 Beweis zu Satz 46.4: Wegen (O2) ist x x ; ist x y, also y = g x mit einem g G, so folgt mit (O1) und (O2): g 1 y = g 1 (g x) = (g 1 g) x = e x = x, d. h.: y x. Ist x y und y z, also y = g x und z = h y, dann gilt: z = h (g x) = (h g) x, d. h.: x z Def inition Die Äquivalenzklassen [x] := K x von X bezüglich der Relation aus Satz 46.4 nennt man Bahnen (oder Orbits) von G in X. Ein [x] heißt die Bahn von x, und die Anzahl der zu x äquivalenten Elemente heißt die Länge der Bahn von x. Für ein x X heißt die Menge der Stabilisator von x in G. G x := {g G g x = x} 46.6 Satz Die Gruppe G operiere auf der Menge X. Dann ist der Stabilisator G x für jedes x X eine Untergruppe von G (die Stabilitätsuntergruppe). Die Länge der Bahn von x stimmt mit dem Index [G : G x ] von G x in G überein. Sind g, h G x, so folgt: (g h 1 ) x = g (h 1 x) = g (h 1 (h x)) = g (h 1 h) x = g x = x. Satz 42.4 liefert dann, daß G x eine Untergruppe von G ist. Wir definieren nun eine Abbildung f : [x] {g G x g G} mit [x] = {y X y x} = {y X g G y = g x} =: G x durch f(g x) := g G x. Wegen g x = h x h 1 (g x) = h 1 (h x) (h 1 g) x = x h 1 g G x (h 1 g) G x = G x g G x = h G x ist mit f eine bijektive Abbildung von [x] = G x auf die Menge aller Linksnebenklassen von G x in G gegeben. Also gilt: [x] = ind G G x.

26 250 KAPITEL XI. GRUPPEN 46.7 Bemerkung Eine Gruppe G operiere auf X, und es sei X = G x i mit paarweise disjunkten G x i. Ist dabei X endlich und steht X für die Anzahl der Elemente in X, so gilt nach Satz 46.6: i I X = i I [G : G xi ]. Nun ist [G : G xi ] = 1 [x i ] = 1 G x i = 1 G x i = {x i } G xi = G. Ein x i X heißt Fixpunkt unter der Gruppenoperation, wenn eine dieser äquivalenten Bedingungen erfüllt ist. Dann erhalten wir: X = [G : G xi ] + [G : G xi ]. i I i I [G:G xi ]=1 [G:G xi ]>1 Ist Fix G (X) := { x X g x = x für alle g G }, so gilt damit: X = Fix G (X) + [G : G xi ]. i I [G:G xi ] Satz Es sei p eine Primzahl und G eine Gruppe der Ordnung p r. Operiert G dann auf einer endlichen Menge X, so gilt: X Fix G (X) (mod p). Wir übernehmen die Bezeichnungen aus Bemerkung Dann ist hier: X Fix G (X) = [G : G xi ] ; i I [G:G xi ]>1 nach dem Satz von Lagrange teilt jeder Summand auf der rechten Seite die Ordnung von G, ist also eine Teiler von ord G = p r. Somit gilt: [G : G xi ] = p l i mit einem l i 1, d. h. die gesamte Summe ist durch p teilbar.

27 47. DIE SYLOW SCHEN SÄTZE Beispiel Gemäß Beispiel 46.2c) operiert G auf X = G vermöge g x = g x g 1. Die Bahnen von x bezüglich dieser Operation sind dann [x] = G x = {g x g 1 g G}, also alle zu x konjugierten Elemente. Der Stabilisator zu x G ist G x = {g G g x g 1 = x} = {g G g x = x g} ; und wir haben: Fix G (G) = {x G g x g 1 = x für alle g G} = {x G g x = x g für alle g G} = Z(G). Ist G endlich, so folgt die sogenannte Klassengleichung: wobei G = G x i Daraus folgt: i I G = Z(G) + [G : G xi ], i I [G:G xi ]>1 eine disjunkte Zerlegung von G in Bahnen ist Satz Es sei p eine Primzahl und G eine Gruppe der Ordnung p r. Dann hat G ein nicht triviales Zentrum Z(G). Als Untergruppe von G hat Z(G) die Ordnung p k mit einem 0 k r. Nach Beispiel 46.9 ist Z(G) = G [G : G xi ], und nach dem Beweis zu Satz 46.8 ist die rechte Summe i I [G:G xi ]>1 durch p teilbar. Also gilt: Z(G) = p k mit einem k Die Sylow schen Sätze Von nun an sei eine Gruppe G der Ordnung n IN vorgegeben; ferner sei p ein Primfaktor von n und r IN derart, daß p r die Zahl n teilt, aber p r+1 nicht mehr, d. h.: n = p r m für ein m IN mit ggt(p, m) = 1. Es geht hier um Existenz und Eindeutigkeit von Untergruppen der Ordnung p s mit 0 s r Hilfssatz Die Situation ( ) sei wie oben, d. h. n = p r m mit ggt(p, m) = 1. Dann ist p r s+1 kein Teiler n von p s für jedes s {1, 2,..., r}.

28 252 KAPITEL XI. GRUPPEN Beweis zu Hilfssatz 47.1: Es gilt: ( ) n p s = n! p s! (n p s )! n (n 1) (n 2)... (n p s +1) = p s p r m (n 1) (n 2)... (n p s +1) = p s (p s 1) ( ) n 1 = p r s m p s 1 =: p r s m l. Zu zeigen ist, daß l nicht durch p teilbar ist. Dazu beweisen wir l = λ p + 1 mit beliebigem p s 1 p r m ν λ IN. In l = p s setzen wir ν = p ϱ t ν mit 0 ϱ = ϱ(ν) < s und ggt(p, t ν ) = 1 ; ν dann ist l = ν=1 p s 1 ν=1 p r ϱ m t ν p s ϱ t ν mit s ϱ > 0, also r ϱ > 0 für jedes ϱ = ϱ(ν) für alle ν = 1, 2,..., p s 1. Multiplizieren wir das Produkt aus, so ergibt sich l = A p + a B p + a mit A, B Z und a = ( 1) ps 1 ps 1 t ν. Da ggt(p, t ν ) = 1 gilt für alle 1 ν p s 1, teilt p ν=1 nicht die Zahl a Z. Es folgt: A p + a = B p l + a l a (l 1) = p (A B l). Also teilt p nur die Zahl l 1, d. h.: λ p = l Satz (1. Sylow scher 74 Satz) Es sei G eine Gruppe der Ordnung n = p r m mit p prim und ggt(p, m) = 1. Dann gibt es zu jedem s {1, 2,..., r} eine Untergruppe von G mit der Ordnung p s. Beweis 75 : Bei gegebenem s {1, 2,..., r} sei X := {T G ; T = p s } die Menge aller p s -elementigen Teilmengen von G. Und G operiert auf X vermöge g T := g T. Wir ( suchen ) nun eine Stabilitätsuntergruppe U von G mit genau p s Elementen. Es gilt: X = n p s. Wir zerlegen X in disjunkte Bahnen, etwa X = G T i ; dann gilt: X = [G : G Ti ]. i I ( ) i I n Nach dem Hilfssatz 47.1 ist p r s+1 kein Teiler von ; also gibt es eine Bahn [T i ] X, deren Länge den Primteiler p höchstens in der Vielfachheit r s enthält. Da diese Länge mit dem 74 Peter Ludwig Mejdell Sylow, norwegischer Mathematiker ( , ) 75 Dieser Beweis zum 1. Sylow Satz sowie auch die Beweise zum 2. und 3. Sylow schen Satz stammen vom deutschen Mathematiker Helmut Wielandt ( ) aus dem Jahre p s

29 47. DIE SYLOW SCHEN SÄTZE 253 Index [G : G Ti ] übereinstimmt, wobei G Ti der Stabilisator von T i X ist, und da [G : G Ti ] ein Teiler von n ist, folgt: [T i ] = G T i p r s m. Es gilt weiter: G Ti [G : G Ti ] = n = p r m G Ti p s. Andererseits gilt für jedes g G Ti und jedes t T i stets: g t T i ; also ist für jedes t T i auch G Ti t T i. Daraus folgt (für jedes t T i ): G Ti t = G Ti T i = p s. Damit ist G Ti die gesuchte Untergruppe von G Folgerung (Satz von Cauchy) Ist G eine endliche Gruppe und die Primzahl p ein Teiler der Ordnung von G, dann enthält G auch ein Element der Ordnung p. Nach dem 1. Satz von Sylow enthält G eine Untergruppe U der Ordnung p. Und Folgerung 43.6 liefert, daß U zyklisch ist, etwa U = <a>. Dann ist bereits: ord a = p Def inition Ist G eine Gruppe der Ordnung n = p r m mit ggt(p, m) = 1, so heißen alle Untergruppen der Ordnung p r die zur Primzahl p gehörenden Sylow Gruppen von G oder kurz: die p-sylow Gruppen von G Satz (2. Sylow scher Satz) Die Voraussetzungen seien wie oben; ferner sei U eine Untergruppe von G der Ordnung p s mit 1 s r und V ein p-sylow Gruppe von G. Dann ist U Untergruppe einer zu V konjugierten p-sylow Gruppe, d. h. es existiert ein a G mit a U a 1 V (oder U a 1 V a oder U a V a 1 ). Es sei X := {a V a G} die Menge aller Linksnebenklassen von V, und U operiere auf X durch u T := u T für alle u U und T X. Sei nun X = U T i eine disjunkte Vereinigung von Bahnen. Wegen X = m und ggt(p, m) = 1 existiert eine Bahn a V X mit einer nicht durch p teilbaren Bahnlänge. Nach Satz 46.6 ist also diese Bahnlänge ein Teiler von U = p s. Damit ist a V = 1 ; dies bedeutet: Für jedes u U ist u a V = a V, also u a a V oder u a V a 1, d. h.: U a V a 1. i I

30 254 KAPITEL XI. GRUPPEN 47.6 Satz (3. Sylow scher Satz) Die Voraussetzungen seien wie oben; ferner sei k s die Anzahl aller Untergruppen von G der Ordnung p s mit s r. Dann gilt: k s p IN + 1 ; ist sogar s = r, so gilt zusätzlich: m k r IN. Es sei s r ; wir zählen die Anzahl der Rechtsnebenklassen mit p s Elementen in G ab. Dies sind genau k s p r s m ; denn sind U 1 und U 2 Untergruppen von G, und ist U 1 a = U 2 b, so folgt: a U 2 b, also: U 2 a = U 2 b = U 1 a oder U 1 = U 2. Sei nun wie im Beweis zum 1. Sylow Satz X := {T G ; T = p s } und g T = g T für T X. Wir zeigen, daß T X genau dann eine durch p r s+1 nicht teilbare Bahnlänge hat, wenn T eine der oben abgezählten Rechtsnebenklassen aus G ist. Sei dazu K X eine Bahn in X mit einer nicht durch p r s+1 teilbaren Länge und T ein Element von K. In Satz 47.2 zeigten wir, daß der Stabilisator G T ebenfalls p s Elemente besitzt. Für jedes t T galt ferner: G T t T. Wegen der Gleichheit der Elementezahlen folgt: T = G T t. Jedes T mit einer nicht durch p r s+1 teilbaren Bahnlänge ist also Rechtsnebenklasse einer Untergruppe U von G der Ordnung p s. Ist umgekehrt T = U a mit a G eine Rechtsnebenklasse von U und U = p s, so ist T X mit G T = U wegen g U a = U a g U. Die Bahnlänge [T ] = [G : G T ] = p r s m von T = U a ist also durch p r s+1 nicht teilbar. Somit existieren genau die k s p r s m Teilmengen T( von ) G mit T = p s und nicht durch p r s+1 teilbarer Bahnlänge. Nun gibt es insgesamt n = l p r s m Teilmengen T G mit T = p s, wobei l = λ p + 1 mit λ IN sei. Es p s bleiben dann noch (l k s ) p r s m Teilmengen T mit p s Elementen und durch p r s+1 teilbaren Bahnlängen. Deshalb muß p ein Teiler von (l k s ) p r s m sein, also auch den Faktor l k s teilen. Daraus folgt: λ p + 1 k s = µ p mit µ IN oder k s = κ p + 1 mit κ Z. Nach Satz 47.5 ist k r gleich der Anzahl aller zu einer p-sylow Gruppe konjugierten Gruppen, also ein Teiler von n = p r m (vgl. hierzu die Bemerkung nach Definition 47.14). Wegen ggt(k r, p) = 1 muß schließlich m durch k r teilbar sein Beispiele Wir betrachten Gruppen der Ordnung p r mit einer Primzahl p : a) Ist r = 1, d. h. G = p, so ist G zyklisch und damit isomorph zu Z p (vgl. Folgerung 43.6 und Beispiel 42.15b); außerdem ist G abelsch (gemäß Folgerung 42.14). b) Ist r = 2, so gilt: Z(G) > 1 (nach Satz 46.10). Da Z(G) ein Teiler von G = p 2 ist, gilt entweder: Z(G) = p oder: Z(G) = p 2. Im zweiten Fall ist G abelsch. Im ersten Fall hat die Faktorgruppe G/Z(G) die Ordnung p. Also ist G = p 1 a i Z(G) mit a G. Wegen Z(G) = {e, b, b 2,..., b p 1 } gilt für jedes g G : g = a λ b µ mit 0 λ, µ p 1. Wegen b Z(G) folgt daraus für g = a λ b µ und h = a ϱ b σ : g h = a λ b µ a ϱ b σ = a λ (a ϱ b µ ) b σ = a ϱ a λ b σ b µ = a ϱ b σ a λ b µ = h g. Damit ist Z(G) = p nicht möglich, d. h. daß jede Gruppe G der Ordnung p 2 abelsch ist. i=0

31 47. DIE SYLOW SCHEN SÄTZE Satz Für jede Primzahl p gibt es (bis auf Isomorphie) genau zwei nicht isomorphe Gruppen der Ordnung p 2, nämlich Z p 2 und Z p Z p. Die beiden Gruppen Z p 2 und Z p Z p haben beide die Ordnung p 2 und sind nicht isomorph, da Z p 2 genau eine Untergruppe der Ordnung p besitzt (Schreiben wir dazu Z p 2 = <K 1 >, so ist <K p > eine Untergruppe der Ordnung p ; und ist U eine weitere Untergruppe der Ordnung p, so ist U = <K k > für ein k 1, also k p 0 (mod p 2 ) oder ggt(p 2, k) = p. Damit ist p ein Teiler von k, etwa k = m p, also K k = K mp <K p > und somit U <K p >. Wegen der Übereinstimmung der Elementezahlen ist U = <K p >.), während Z p Z p mindestens zwei Untergruppen der Ordnung p besitzt, nämlich {0} Z p und Z p {0}. Sei nun G = p 2 und G nicht isomorph zu Z p 2, d. h. G ist nicht zyklisch. Nach Folgerung 47.3 (Satz von Cauchy) gibt es ein u G mit ord u = p. Sei dann U := <u> ; ist a G \ U, so ist ord a = p oder ord a = p 2. Da G aber nicht zyklisch ist, folgt sofort: ord a = p. Nun ist <a> <u> = {e} und ord( <a> <u> ) = ord <a> ord <u> = G = p 2 (vgl. Beispiel 44.14b), d. h. <a> <u> = G. Nach Satz 45.6 ist also G das innere direkte Produkt von <a> und <u>. Wegen Bemerkung 45.4 ist G Z p 2 schließlich isomorph zu <a> <u> und damit zu Z p Z p Satz Jede Gruppe der Ordnung p r mit einer Primzahl p und r IN Ordnung p r 1. hat einen Normalteiler der Vollständige Induktion nach r : r = 1 : ist klar. r 1 r : Nach Satz ist Z(G) > 1, und als Teiler von p r (mit r > 1 ) gilt dann: Z(G) = p l mit l 1. Nach dem 1. Sylow schen Satz besitzt Z(G) eine Untergruppe N der Ordnung p. Und N ist als Untergruppe von Z(G) ein Normalteiler. Die Faktorgruppe G/N hat die Ordnung G/N = G = p r 1. Nach Induktionsvoraussetzung besitzt N G/N einen Normalteiler Ū der Ordnung pr 2. Ist nun π : G G/N der kanonische Epimorphismus, so ist 1 π(ū) ein Normalteiler von G (nach Satz 44.5), der N enthält und für den Ū = 1 π(ū) /N gilt. Aus p r 2 = Ū = 1 π(ū) /N = 1 π(ū) = 1 π(ū) folgt: 1 N p π(ū) = pr Folgerung Es sei G eine Gruppe der Ordnung p r ; dann existiert eine endliche Folge von Untergruppen U i mit E = {e} = U 0 U 1 U 2... U r 1 U r = G, wobei jeweils U i Normalteiler in U i+1 ist für alle 0 i r 1, und wobei U i die Ordnung p i hat für jedes 0 i r. (Man nennt dies auch eine Normalreihe von G nach E.)

32 256 KAPITEL XI. GRUPPEN Wir betrachten nun Gruppen der Ordnung pq mit Primzahlen p q, also speziell Gruppen der Ordnung 2p mit einer Primzahl p Satz Für jede Primzahl p 3 gibt es (bis auf Isomorphie) genau zwei nicht isomorphe Gruppen der Ordnung 2p, nämlich Z 2p und D p. Es sei G = 2p ; dann besitzt G Untergruppen der Ordnung 2 und Untergruppen der Ordnung p. Ist k p die Anzahl der Untergruppen mit Ordnung p, so ist k p von der Form k p = p λ + 1 mit λ IN, und außerdem teilt k p noch die Zahl 2. Also ist k p = 1. Sei V := {e, b, b 2,..., b p 1 } und U = {e, a} eine Untergruppe der Ordnung 2. Es ist a / V, da V keine Untergruppe der Ordnung 2 besitzt. Es folgt: G/V = {V, a V } und damit G = {a λ b µ 0 λ 1, 0 µ p 1} mit den Rechenregeln a 2 = e und b p = e. Wir berechnen b a ; zunächst ist b a / V, also b a a V oder a 1 b a V, d. h.: a 1 b a = b λ mit 0 λ p 1. Wegen a 2 = e ist a b a = a 1 b a = b λ, also b = a (a b a) a = a b λ a = (a b a) λ = (b λ ) λ = b λ2, d. h.: b λ2 1 = e. Wegen ord b = p folgt, daß p ein Teiler von λ 2 1 ist. Also ist λ = 1 oder λ = p 1. Im ersten Fall folgt sofort: a 1 b a = b a b = b a ; also ist G abelsch und wird von a b erzeugt. Es ist somit G = Z 2p. Im zweiten Fall ist a b a = b p 1, und der Vergleich mit Beispiel 42.15c) zeigt, daß eine zu D p isomorphe Gruppe G vorliegt Satz Es sei G eine Gruppe der Ordnung pq mit zwei Primzahlen p < q. Dann besitzt G genau eine q-sylow Gruppe der Ordnung q. Ist q / p IN + 1, so ist G zyklisch, also G = Z pq = Zp Z q. Sei s q die Anzahl der q-sylow Gruppen von G. Der 3. Sylow sche Satz liefert: s q = kq + 1 mit k IN und pq = s q l mit l IN, also: s q {1, p, q, pq} {q IN + 1}. Daraus folgt direkt: s q = 1. Entsprechend folgt für die Anzahl s p der p-sylow Untergruppen von G, daß s p = 1 ist genau dann, wenn q / p IN + 1 vorausgesetzt wird. Ist U q die Untergruppe der Ordnung q und U p die der Ordnung p, so zeigt man wie im Beweis zu Satz 47.8: G = Z p Z q Beispiel Gruppen der Ordnung 15 = 3 5 oder der Ordnung 35 = 5 7 sind zyklisch. S 3 hat die Ordnung 6 = 2 3, es ist 3 = und S 3 nicht zyklisch; also kann auf die Voraussetzung q / p IN + 1 nicht verzichtet werden. Durch Zusammenfassen unserer bisherigen Ergebnisse erhalten wir als