Kapitel I. Endliche Gruppen

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1 Inhalt der Vorlesung ALGSTR Galoistheorie Prof. Dr. Arno Fehm TU Dresden, WS2017/18 Kapitel I. Endliche Gruppen 1 Grundlagen (Wiederholung) Sei G eine Gruppe. 1.1 Bemerkung. Eine allgemeine Gruppe G schreiben wir multiplikativ mit neutralem Element 1, abelsche Gruppen auch additiv mit neutralem Element 0. Wir schreiben 1 (bzw. 0) auch für die triviale Untergruppe {1} (bzw. {0}). 1.2 Definition. Seien A, H G und g G. 1. H G : H ist Untergruppe von G 2. A := A H G H, die von A erzeugte Untergruppe von G 3. #G N { }, die Ordnung von G 4. ord(g) := # g = inf{k N : g k = 1}, die Ordnung von g 5. exp(g) := inf{k N : g k = 1 für alle g G}, der Exponent von G 1.3 Beispiel. Sei n N. (a) S n = Sym({1,..., n}), die symmetrische Gruppe der Ordnung n! (b) C n = Z/nZ, die bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte zyklische Gruppe der Ordnung n (in multiplikativer Notation) (c) D n, die Diedergruppe der Ordnung 2n: Gruppe der Symmetrien eines regelmäßigen n-ecks. Mehr dazu später. (d) Sei G eine Gruppe. Die Automorphismengruppe von G ist Aut(G) mit ϕ ψ := ψ ϕ. Für ϕ Aut(G) und g G schreiben wir g ϕ := ϕ(g). (e) (Z/nZ) = Aut(Cn ): eine endliche abelsche Gruppe, deren Struktur nach ALGZTH I.3.16 bekannt ist. So ist zum Beispiel (Z/pZ) = Cp 1 für p prim. 1.4 Definition. Seien A, B G, H G und g G. 1. AB := A B := {ab : a A, b B}, das Komplexprodukt von A und B 2. gh := {g} H = {gh : h H}, die Linksnebenklasse von H bzgl. g (oder nach g, auch von g modulo H ); Hg := H {g}, die Rechtsnebenklasse von H bzgl. g 3. G/H := {gh : g G}, H \ G := {Hg : g G}. 4. (G : H) := #G/H N { }, der Index von H in G 1.5 Satz. Der Index ist multiplikativ: Für K H G ist (G : K) = (G : H) (H : K). 1.6 Bemerkung. Ist n = #G <, so folgen die beiden bekannten Sätze: Für H G gilt #H n und (G : H) n (Satz von Lagrange) und exp(g) n ( Kleiner Satz von Fermat). 1

2 1.7 Definition. Seien x, x, g G und H G. 1. int g (x) := x g := g 1 xg, Konjugation von x mit g 2. Inn(G) := Im(int) Aut(G), die Gruppe der inneren Automorphismen von G 3. Z(G) := Ker(int) = {g G : xg = gx für alle x G}, das Zentrum von G 4. H ist charakteristisch in G : H = H σ := {h σ : h H} für alle σ Aut(G) 5. H ist normal in G (i.z. H G) : H = H σ für alle σ Inn(G) 1.8 Satz. Ist N G, so bildet G/N mit dem Komplexprodukt eine Gruppe, und π N : G G/N, g gn ist ein Gruppenepimorphismus mit Ker(π N ) = N. Die Abbildung H π N (H) liefert eine Bijektion zwischen den H G mit N H und den H G/N. 1.9 Satz (Homomorphiesatz). Sei ϕ : G H ein Gruppenhomomorphismus und N G mit N Ker(ϕ). Dann existiert genau ein Gruppenhomomorphismus ϕ : G/N H mit ϕ = ϕ π N. Insbesondere ist G/Ker(ϕ) = Im(ϕ) Korollar (1. Isomorphiesatz). Sind H G und N G, so ist H/(H N) = HN/N Korollar (2. Isomorphiesatz). Sind N G und N H G, so ist (G/N)/(H/N) = G/H. 2 Direkte und semidirekte Produkte Sei G eine Gruppe. 2.1 Definition. Das direkte Produkt einer Familie G 1,..., G n von Gruppen ist das kartesische Produkt n G i = G 1 G n i=1 mit komponentenweiser Multiplikation. (In additiver Notation spricht man von der direkten Summe und schreibt n i=1 G i = G 1 G n.) 2.2 Bemerkung. Wir identifizieren G j mit einer Untergruppe von n i=1 G i. Für i j ist dann g i g j = g j g i für alle g i G i und g j G j. 2.3 Definition. Seien H 1,..., H n G. Dann ist G das (interne) direkte Produkt von H 1,..., H n, in Zeichen n G = H i = H 1 H n, i=1 wenn die Abbildung H 1 H n G, (g 1,..., g n ) g 1 g n ein Gruppenisomorphismus ist. 2.4 Satz. Seien U, V G. Dann sind äquivalent: (1) G = U V (2) U G, V G, U V = 1, UV = G Beweis. Für (1) (2) prüfe die vier Eigenschaften für das direkte Produkt U V nach. Für (2) (1): Die Abbildung U V G, (u, v) uv ist ein Homomorphismus, da u 1 v 1 uv = u 1 u v = (v 1 ) u v U V = 1 2

3 und somit uv = vu für alle u U und v V. 2.5 Korollar. Seien H 1,..., H n G. Dann sind äquivalent: (1) G = H 1 H n (2) G = H 1 H n und für alle i ist H i G und H 1 H i 1 H i = 1. Beweis. Induktion nach n: Wende 2.4 auf U = H 1 H n 1 und V = H n an. 2.6 Definition. Seien H, N G. Dann ist G das (interne) semidirekte Produkt von H und N, in Zeichen G = H N = N H, wenn N G, H N = 1 und HN = G. 2.7 Bemerkung. Ist G = H N, so ist α : H Aut(N), h α h := int h N ein Gruppenhomomorphismus. Im Fall G = H N (d.h. wenn auch H G) ist α h = id N für alle h H. Für h 1, h 2 H und n 1, n 2 N ist h 1 n 1 h 2 n 2 = h 1 h 2 n h 2 1 n 2 = h 1 h 2 n α h 2 1 n Definition. Seien H und N Gruppen und α Hom(H, Aut(N)). Das semidirekte Produkt H α N von H und N bezüglich α ist das kartesische Produkt H N mit der Multiplikation (h 1, n 1 ) (h 2, n 2 ) := (h 1 h 2, n α h 2 1 n 2 ) (h 1, h 2 H, n 1, n 2 N) 2.9 Bemerkung. Ist α Hom(H, Aut(N)) trivial, also α h = id N für alle h H, so ist H α N = H N das direkte Produkt Satz. Seien H und N Gruppen, und α Hom(H, Aut(N)). Dann ist G := H α N eine Gruppe, und diese Gruppe ist das interne semidirekte Produkt von H G und N G, wobei zudem int h N = α h für alle h H gilt Korollar. Sei G = H N und α wie in 2.7. Dann ist ϕ : H α N G, (h, n) hn ein Gruppenisomorphismus. Insbesondere ist G durch H, N und α bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt Beispiel. Sei G = H N. Ist H = C 2 und N = C 2, so ist Aut(N) = 1, also G = H N = C 2 C 2 =: V 4. Ist H = C 2 und N = C 3, so ist Aut(N) = C 2, also G = H N = C 2 C 3 = C6 (falls α = 1 trivial) oder G = S 3 (falls α = id C2 nicht trivial). 3 Abelsche Gruppen Sei A eine abelsche Gruppe (additiv notiert). 3.1 Lemma. Für n N ist die Abbildung [n] : A A, x nx ein Endomorphismus von A. 3.2 Definition. 1. A[n] := Ker([n]), die n-torsionsuntergruppe von A 2. na := Im([n]) 3.3 Bemerkung. A[n] und na sind charakteristische Untergruppen von A. Nach dem Homomorphiesatz ist na = A/A[n]. Es gilt exp(a[n]) n. Ist m n, so ist A[m] A[n]. Für n = p prim ist A[p] auf natürliche Weise ein F p -Vektorraum. 3

4 3.4 Lemma. Sind n, m N mit ggt(m, n) = 1, so ist A[mn] = A[m] A[n]. Beweis. Es ist am + bn = 1 mit a, b Z, somit x = amx + bnx für jedes x A. A[mn] = A[m] + A[n]: Für x A[mn] sind amx A[n], bnx A[m]. A[m] A[n] = {0}: Für x A[m] A[n] ist x = amx + bnx = Satz. Hat A endlichen Exponent mit Primzerlegung exp(a) = r r i=1 A[pe i i ]. i=1 pe i i, so ist A = Beweis. Nach Definition ist A = A[exp(A)], die Behauptung folgt somit induktiv aus Lemma. Jede endliche abelsche Gruppe A vom Exponent p e ist direkte Summe zyklischer Untergruppen. Beweis. Induktion nach e: Es gilt exp(pa) = p e 1. Ist pa = n i=1 px i, setze H = x 1,..., x n. Dann ist H = n i=1 x i : Ist n i=1 a ix i = 0, so folgt n i=1 a i px i = 0, folglich p a i für alle i, woraus wegen pa = n i=1 px i schon a i x i = 0 für alle i folgt. Wähle Basis y 1,..., y m für Komplement von H A[p] in A[p]. Dann ist A = n i=1 x i m i=1 y i. 3.7 Bemerkung. Es folgt: Ist exp(a) = p e, so ist A = r i=1 Z/pe i Z mit e i e, inbesondere #A = p n für ein n e. Man kann aber auch leicht direkt zeigen, dass stets #A[p e ] = p n für ein n, z.b. per Induktion nach e. 3.8 Satz. Jede endliche abelsche Gruppe ist direkte Summe von zyklischen Gruppen. 3.9 Bemerkung. Tatsächlich gilt der Struktursatz für endlich erzeugte abelsche Gruppen (vgl. ALGZTH I.3.6): Jede endlich erzeugte abelsche Gruppe A = g 1,..., g l ist eine direkte Summe zyklischer Gruppen: A = Z r k Z/d i Z i=1 mit eindeutig bestimmten d 1,..., d r N, die d i d i+1 für alle i erfüllen. 4 Gruppenwirkungen Sei G eine Gruppe und X eine Menge. 4.1 Definition. Eine (rechts-)wirkung von G auf X (auch (rechts-)operation oder (rechts-)aktion) ist eine Abbildung { X G X (x, g) x g die (x g ) h = x gh und x 1 G = x für alle x X und g, h G erfüllt. Eine G-Menge ist eine Menge X zusammen mit einer Wirkung von G auf X. 4

5 4.2 Beispiel. (a) Die symmetrische Gruppe mit σ σ := σ σ wirkt auf X durch Sym(X) := {σ : X X bijektiv} x σ := σ(x) (σ Sym(X), x X). So wirkt zum Beispiel S n = Sym({1,..., n}) auf {1,..., n}. (b) Jede Gruppe G wirkt auf X := G durch Multiplikation (sogenannte reguläre Darstellung von G): x g := xg (g G, x G) (c) Jede Gruppe G wirkt auf X := G durch Konjugation: x g := g 1 xg (g G, x G) (d) Ist K ein Körper, so wirkt G := K auf X := K durch x y := xy (y K, x K) (e) Sind H und N Gruppen, so liefert jedes α Hom(H, Aut(N)) eine Wirkung von H auf N (vgl. 2.6, 2.7): n h := n α h (h H, n N) 4.3 Bemerkung. Die Menge der Wirkungen von G auf X steht durch g σ g, σ g (x) = x g in natürlicher Bijektion zu Hom(G, Sym(X)). 4.4 Definition. Sei X eine G-Menge und sei x X. 1. G x := Stab(x) := {g G : x g = x}, der Stabilisator von x in G 2. x G := {x g : g G}, die Bahn von x unter G 3. X/G := {x G : x X}, der Bahnenraum der Wirkung von G auf X 4. Y X ist G-invariant, wenn Y g := {y g : y Y } Y für alle g G 5. Die Wirkung von G auf X ist transitiv, wenn es für alle x, y X ein g G mit x g = y gibt treu, wenn x X G x = 1 frei, wenn G x = 1 für alle x G 4.5 Lemma. Sei X eine G-Menge. (a) Für x X ist G x G. (b) Für x, y X ist x G = y G oder x G y G =. (c) x X G x = Ker(σ), wobei σ : G Sym(X), g σ g (d) Für x X und g G ist G x g = (G x ) g. 4.6 Satz. Die reguläre Darstellung von G ist frei und transitiv. Beweis. Dies folgt unmittelbar aus den Gruppenaxiomen. 4.7 Korollar (Satz von Cayley). Ist n = #G <, so ist G isomorph zu einer Untergruppe der S n. 5

6 Beweis. Die reguläre Darstellung liefert eine Einbettung G Sym(G) = S n. 4.8 Lemma. Für eine G-Menge X und x X ist G x \G x G, G x g x g eine Bijektion. 4.9 Satz (Bahn-Stabilisator-Satz). Sei X eine G-Menge und x X. Dann ist #x G = (G : G x ) Korollar (Bahnengleichung). Ist X eine G-Menge und X = n i=1 xg i die Zerlegung von X in Bahnen, so ist n #X = (G : G xi ). i= Definition. 1. Für x G ist C G (x) = {g G : gx = xg} der Zentralisator von x in G. 2. Für H G ist N G (H) = {g G : gh = Hg} der Normalisator von H in G Korollar. Es ist C G (x) G und H N G (H) G, und (a) (G : C G (x)) ist die Anzahl der zu x konjugierten Elemente in G, (b) (G : N G (H)) ist die Anzahl der zu H konjugierten Untergruppen von G Korollar (Klassengleichung). Sei G endlich mit Zentrum Z, und sei x 1,..., x n ein Repräsentantensystem der Konjugationsklassen in G \ Z. Dann ist #G = #Z + n (G : C G (x i )) Definition. Sei X eine G-Menge. Die Menge der Fixpunkte von X unter G ist 5 p-gruppen i=1 Fix X (G) := X G := {x X : G x = G}. Sei G eine endliche Gruppe und p eine Primzahl. 5.1 Definition. G ist eine p-gruppe, wenn #G = p n für ein n N Satz. Sei G eine p-gruppe und X eine endliche G-Menge. Dann ist #Fix X (G) #X mod p. Beweis. Dies folgt aus 4.10, da (G : G x ) = 1 für x Fix X (G) und (G : G x ) 0 mod p für x / Fix X (G). 5.3 Korollar (Satz von Cauchy). Teilt p die Ordnung von G, so hat G ein Element der Ordnung p. Beweis. Wende 5.2 auf die Wirkung der p-gruppe C p auf X = {(g 1,..., g p ) G p : g 1 g p = 1} durch zyklische Vertauschung an. Die Fixpunkte sind genau die (g,..., g) mit g p = 1. 6

7 5.4 Korollar. Jede nichttriviale p-gruppe hat ein nichttriviales Zentrum. Beweis. Wende 5.2 auf die Wirkung von G auf X = G durch Konjugation an. Die Fixpunkte sind genau die Elemente des Zentrums. 5.5 Lemma. Ist #G = p, so ist G zyklisch. 5.6 Lemma. Ist G/Z(G) zyklisch, so ist G abelsch. 5.7 Satz. Ist #G = p 2, so ist G abelsch. Beweis. Nach 6.4 ist Z(G) 1, folglich G/Z(G) zyklisch (6.5) und somit G abelsch (6.6). 5.8 Bemerkung. Mit 3.8 erhalten wir: Ist #G = p, so ist G = Z/pZ. Ist #G = p 2, so ist G = Z/p 2 Z oder G = Z/pZ Z/pZ. 5.9 Satz. Ist #G = p n und m n, so existiert H G mit #H = p m. Beweis. Induktion nach m, mit 5.4 und Die Sylow-Sätze Sei G eine endliche Gruppe und p eine Primzahl. 6.1 Definition. Eine Untergruppe H G ist eine p-sylowgruppe von G, wenn H eine p-gruppe ist und p (G : H). Wir bezeichnen mit Syl p (G) die Menge der p-sylowgruppen von G. 6.2 Bemerkung. Ist #G = p k m mit p m, so ist ein H G genau dann eine p- Sylowgruppe von G, wenn #H = p k. 6.3 Satz. Syl p (G) Beweis. Induktion nach n = #G. Für n > 1 und p n unterscheiden wir zwei Fälle: Gibt es H G mit p (G : H), so können wir die Induktionshypothese auf H anwenden, und Syl p (H) Syl p (G). Andernfalls schließen wir mit 4.13, dass p #Z(G), weshalb wir mit 4.3 ein N G mit #N = p finden und dann die Induktionshypothese auf G/N anwenden können; ist S Syl p (G/N), so ist π 1 N (S) Syl p(g). 6.4 Korollar. Ist l N mit p l #G, so gibt es H G mit #H = p l. 6.5 Theorem (Sylow-Sätze). Sei G eine endliche Gruppe. (i) Jede p-gruppe H G ist in einer p-sylowgruppe von G enthalten. (ii) Je zwei p-sylowgruppen von G sind konjugiert. (iii) Für die Anzahl s p := #Syl p (G) der p-sylowgruppen von G gilt wobei S Syl p (G) beliebig. s p = (G : N G (S)) 1 mod p, 7

8 Beweis. Fixiere S 0 Syl p (G) und betrachte Wirkung von G auf X = S0 G Syl p (G) durch Konjugation. Aus p (G : S 0 ) folgt mit 4.9, dass p #X. Ist also H G eine p-gruppe, so gibt es ein S Fix X (H). Man zeigt, dass auch HS eine p-gruppe ist, also H S. Hieraus folgen (i) und (ii). Setzt man H = S 0, so erhält man Fix X (S 0 ) = {S 0 }, woraus (iii) mit Hilfe von 6.2 folgt. 6.6 Korollar. Sei S Syl p (G). Genau dann ist S G, wenn s p = Korollar. Ist #G = p k m mit p m, so gilt s p m und p s p Beispiel. Sei #G = pq mit p < q Primzahlen. Ist q 1 mod p, so ist G = C pq. Ist q 1 mod p, so ist G = C p α C q für ein α Hom(C p, Aut(C q )). 7 Permutationsgruppen Sei n N. 7.1 Bemerkung. Erinnerung: S n wirkt treu auf {1,..., n} durch i σ := σ(i), wobei σσ = σ σ. Nach dem Satz von Cayley ist jede endliche Gruppe der Ordnung n isomorph zu einer Untergruppe der S n. 7.2 Definition. Sei k N. Für paarweise verschiedene i 1,..., i k {1,..., n} bezeichnen wir mit (i 1... i k ) das σ S n gegeben durch σ(i j ) = i j+1 für j {1,..., k 1}, σ(i k ) = i 1, σ(i) = i für i {1,..., n} \ {i 1,..., i k }. Wir nennen (i 1... i k ) einen (k-)zykel. Zwei Zykel (i 1... i k ), (j 1... j l ) S n disjunkt, wenn {i 1,..., i k } {j 1,..., j l } =. heißen 7.3 Lemma. Disjunkte Zykel kommutieren. 7.4 Lemma. Jedes σ S n ist ein Produkt von paarweise disjunkten k-zykeln mit k 2, eindeutig bis auf Reihenfolge. 7.5 Definition. Sei σ S n. Ist σ = σ 1 σ k eine Zerlegung in paarweise disjunkte Zykel σ i mit ord(σ i ) = r i, wobei r 1 r 2 r k 2, so heißt Typ(σ) := (r 1,..., r k, 1,..., 1) (mit #Fix(σ) vielen Einsen) der Typ von σ. 7.6 Definition. Eine Partition von n ist eine endliche Folge (r 1,..., r k ) mit r 1,..., r k N, r 1 r k und n = k i=1 r i. 7.7 Lemma. {Typ(σ) : σ S n } ist die Menge der Partitionen von n. 7.8 Satz. Für σ, σ S n sind äquivalent: (1) σ, σ sind konjugiert in S n. 8

9 (2) Typ(σ) = Typ(σ ) Beweis. Mit (i 1... i k ) τ = (i τ 1... i τ k ) (für τ S n) sind beide Richtungen leicht zu zeigen. 7.9 Lemma. Jedes σ S n ist ein Produkt von Transpositionen (d.h. 2-Zykeln) Satz. Durch sign : S n {±1}, σ ( 1) k, wobei σ = τ 1 τ k mit Transpositionen τ 1,..., τ k, wird ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus gegeben. Beweis. Fehlstellungen zählen, siehe LAAG Definition. Die alternierende Gruppe von Grad n ist A n = Ker(sign) Bemerkung. Es gilt #S n = n!, #A n = n!/2 (für n 2), und A n S n Beispiel. S 2 und S 3 haben nur die normalen Untergruppen 1, A 2, S 2 bzw. 1, A 3, S 3. Die S 4 hingegen hat neben 1, A 4, S 4 auch noch die Kleinsche Vierergruppe als Normalteiler. Es ist 1 V 4 A 4 S 4. V 4 = {1, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)} 8 Einfache Gruppen Sei G eine endliche Gruppe. 8.1 Definition. Die Gruppe G heißt einfach, wenn G 1 und es kein 1 N G gibt. 8.2 Beispiel. (a) C n ist einfach n ist prim (b) Sei G endlich abelsch. Dann: G ist einfach G = C p, p prim (c) A 3 ist einfach, A 4 ist nicht einfach (d) Sei G eine p-gruppe. Dann: G ist einfach G = C p, p prim (vgl. 5.4) 8.3 Lemma. Ist n 5, so sind je zwei 3-Zykeln konjugiert in A n. 8.4 Lemma. Ist n 3, so wird A n von den 3-Zykeln erzeugt. 8.5 Theorem. Für n 5 ist A n einfach. Beweis. Sei 1 N A n. Zu zeigen: N = A n. Sei 1 σ N. Wir unterscheiden drei Fälle: 1. Zykelzerlegung von σ enthält zwei Transpositionen. 2. Zykelzerlegung von σ enthält Zykel der Länge Zykelzerlegung von σ besteht aus 3-Zykeln. In jedem der drei Fälle erzeugt man durch Konjugation, Inversion und Produkte einen 3-Zykel in N. Nach 8.3 enthält N dann schon alle 3-Zykeln, woraus mit 8.4 N = A n folgt. 8.6 Korollar. Für n 4 hat S n nur die Normalteiler 1, A n, S n. Beweis. Sei N S n. Für n 3 siehe Für n 5 wende 8.5 auf N A n A n an. 8.7 Bemerkung. Man kann zeigen: Es gibt keine nicht-zyklischen einfachen Gruppen der Ordnung kleiner 60 = #A 5. 9

10 9 Auflösbare Gruppen Sei G eine endliche Gruppe. 9.1 Definition. 1. Eine Normalreihe von G ist eine Folge von Untergruppen G = G 0 G 1 G n = 1 mit G i G i 1 für i = 1,..., n. Dabei ist n die Länge der Normalreihe und die Quotientengruppen G i 1 /G i (i = 1,..., n) heißen die Faktoren der Normalreihe. 2. Eine Normalreihe G 0,..., G n von G ist eine Verfeinerung einer Normalreihe H 1,..., H m von G, wenn es i 1,..., i m mit H j = G ij für alle j gibt. 3. Eine Kompositionsreihe ist eine Normalreihe die maximal bezüglich Verfeinerung ist. 9.2 Bemerkung. (a) Für eine Normalreihe wie in 8.1 gilt (vgl. 1.8): Genau dann ist G i 1 /G i einfach, wenn es kein G i 1 N G i mit N G i 1 gibt. Das heißt, genau dann ist eine Normalreihe ist eine Kompositionsreihe, wenn alle ihre Faktoren einfach sind. (b) Jede Normalreihe besitzt eine Verfeinerung, die eine Kompositionsreihe ist. 9.3 Beispiel. (a) S 3 hat die Kompositionsreihe mit Faktoren S 3 /A 3 = C2, A 3 /1 = C 3. (b) S 4 hat die Kompositionsreihe S 3 > A 3 > 1 S 4 > A 4 > V 4 > H > 1 wobei H = (12)(34), mit Faktoren S 4 /A 4 = C2, A 4 /V 4 = C3, V 4 /H = C 2, H/1 = C 2. (c) S 5 hat die Kompositionsreihe S 5 > A 5 > 1 mit Faktoren S 5 /A 5 = C2, A 5 /1 = A 5 (8.5). 9.4 Satz (Jordan-Hölder). Je zwei Kompositionsreihen von G haben die gleiche Länge und ihre Faktoren stimmen bis auf Isomorphie und Reihenfolge überein. Beweis. Induktion über die minimal Länge m einer Kompositionsreihe: Seien G = A 0 A 1 A m = 1, G = B 0 B 1 B n = 1 Kompositionsreihen mit m minimal. Es ist N := A 1 B 1 G und A 1 B 1 G. Der Fall m = 0 ist klar. Für m > 0 und A 1 = B 1 wende Induktionshypothese auf N = A 1 = B 1 an. Für A 1 B 1 ist A 1 B 1 = G und wir können die beiden Kompositionsreihen vergleichen, indem wir zudem eine Kompositionsreihe von N wählen. 9.5 Definition. 1. Die Faktoren einer Kompositionsreihe von G heißen die Kompositionsfaktoren von G. 2. G ist auflösbar, wenn alle Kompositionsfaktoren von G zyklisch sind. 10

11 9.6 Beispiel. (a) S 3 hat Kompositionsfaktoren C 2, C 3 : auflösbar (b) S 4 hat Kompositionsfaktoren C 2, C 3, C 2, C 2 : auflösbar (c) S n, n 5, hat Kompositionsfaktoren C 2, A n : nicht auflösbar (d) G ist abelsch = G ist auflösbar (8.2(b)) (e) G ist p-gruppe = G ist auflösbar (8.2(d)) 9.7 Lemma. Sei N G. Genau dann ist G auflösbar, wenn N und G/N auflösbar sind. 9.8 Satz. Für G sind äquivalent: (1) G ist auflösbar. (2) G hat eine Normalreihe mit zyklischen Faktoren. (3) G hat eine Normalreihe mit abelschen Faktoren. (4) G hat eine Normalreihe mit auflösbaren Faktoren. Beweis. (1) (2) (3) (4) ist trivial. Für (4) (1) wende induktiv 8.7 an. 9.9 Definition. Seien x, y G, H, K G. 1. [x, y] := x 1 y 1 xy, der Kommutator von x und y 2. [H, K] := [h, k] : h h, k K 3. G := [G, G], die Kommutatoruntergruppe von G 9.10 Lemma. Ist ϕ : G H ein Epimorphismus, so ist ϕ(g ) = H Lemma. G ist der kleinste Normalteiler von G mit G/G abelsch Definition. Wir definieren die Kommutatorreihe G = G (0) G (1)... induktiv durch G (0) = G und G (n+1) = (G (n) ) Satz. Ist G = G 0 G 1 G n eine Normalreihe mit abelschen Faktoren (wir fordern ausnahmsweise nicht, dass G n = 1), so ist G (i) G i für alle i n. Insbesondere ist G genau dann auflösbar, wenn G (n) = 1 für ein n. Beweis. Induktion nach n: Ist G (n) G n und G n /G n+1 abelsch, so folgt G (n+1) = (G (n) ) G n G n+1. Ist G (n) = 1, so ist die Kommutatorreihe (geeignet abgeschnitten) eine Normalreihe mit abelschen Faktoren Korollar. Ist G auflösbar und H G, so ist auch H auflösbar Bemerkung. Das kleinste n mit G (n) = 1 heißt die Stufe von G. 11