Zentrale Kräftesysteme

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1 2 Zentrale Kräftesysteme Zentrale Kräftesysteme

2 Einteilung von Kräften Grundsätzliches: Einzelkraft ist eine Idealisierung. Volumenkräfte Beispiel: Eigengewicht Flächenkräfte Beispiel: Schnee, Wind Strecken-/Linienlasten Beispiel: Kontaktlinien Diese Kraftformen sind selbst auch Idealisierungen noch kleinerer Skalen. Zentrale Kräftesysteme 1

3 Einteilung von Kräften Weiteres Einteilungskriterium: Sind die Kräfte vorgegeben? Eingeprägte Kräfte sind vorgegeben (und somit bekannt) Beispiel: Eigengewicht und Schneelast Reaktionskräfte Kräfte sind nicht vorgegeben korrespondieren zu kinematischen Restriktionen (eingeschränkte Bewegungsfreiheit) Beispiel: Auflagerkräfte Auflager ersetzen Keine vertikale Verschiebung System Keine Verschiebung durch Kräfte (Befreien) Freikörperbild Zentrale Kräftesysteme 2

4 Einteilung von Kräften Weiteres Einteilungskriterium: Innere und äußere Kräfte Äußere Kräfte wirken von außen auf das System Beispiel: Alle bereits diskutierten Kräfte (eingeprägte und Reaktionskräfte) Innere Kräfte wirken zwischen Teilen des Systems Grundidee: Gesetze der Physik / Mechanik gelten auch für jedes Teilsystem Vorgehen zum berechnen innerer Kräfte: Das Schnittprinzip 1. Fiktiven Schnitt durchführen durch Körper 2. Kinematische Bindungen / Kontinuität durch (Flächen-)Kräfte ersetzen Zentrale Kräftesysteme 3

5 Verschiebungsprinzip Wann kann der Kraftangriffspunkt verschoben werden? A Immer B Entlang der Wirkungslinie der Kraft bei Starrkörpern C Entlang der Wirkungslinie der Kraft bei deformierbaren Körper D Bei Starrkörpern immer vote at Zentrale Kräftesysteme 4

6 Verschiebungsprinzip Die Kraft im Sonderfall Starrkörper Wann kann der Kraftangriffspunkt verschoben werden? b. Entlang der Wirkungslinie der Kraft bei Starrkörpern! Kräfte an starren Körper sind linienflüchtige Vektoren Verschiebung einer Kraft entlang ihrer Wirkungslinie Deformierbar Starr Allgemeine Verschiebung einer Kraft ändert die Wirkung (dazu später mehr über allgemeine Kräftesysteme). Zentrale Kräftesysteme 5

7 Zentrale Kräftesysteme Definition: Zentrales Kräftesystem System von Einzelkräften mit gemeinsamem Kraftangriffspunkt. Sonderfall: Zentrales Kräftesystem für Starrkörper Die Wirkungslinien der angreifenden Kräfte schneiden sich im selben Punkt. Dies folgt aus dem Verschiebungssatz. Zentrale Kräftesysteme 6

8 Superpositionsprinzip Superpositionsprinzip der Kräfte (Reduktion): Greifen an einem Punkt mehrere Kräfte wie Vektoren zu einer Resultierenden. an, so addieren sich diese Äquivalent mit Superpositionsprinzip: Satz vom Parallelogramm der Kräfte (n=2) Zentrale Kräftesysteme 7

9 Analytische Ermittlung der Resultierenden Resultierende in kartesischen Koordinaten in 3D Amplitude und Richtung der Resultierenden in 3D Resultierende in kartesischen Koordinaten in der Ebene Amplitude und Richtung der Resultierenden in der Ebene Zentrale Kräftesysteme 8

10 Analytische Ermittlung der Resultierenden Beispiel: Analytische Bestimmung der Resultierenden in der Ebene Zentrale Kräftesysteme 9

11 Grafische Ermittlung der Resultierenden für ebene Probleme (nur eine Näherungslösung!) Lageplan: Maßstäbliche Darstellung der geometrischen Gegebenheiten Sonderfall zentrales Käftesystem: Darstellung der Wirkungslinien der Kräfte Kräfteplan: Grafische Addition der Kräfte durch Krafteck (bei gewähltem Maßstab) Beispiel: Bestimmung der resultierenden Kraft an einer Ringschraube Systemskizze Lageplan Kräfteplan (1cm entspricht 2kN) Zentrale Kräftesysteme 10

12 Gleichgewicht Zwei Kräfte sind im Gleichgewicht, wenn sie auf derselben Wirkungslinie liegen und entgegengesetzt gleich groß sind. Ein zentrales Kräftesystem ist im Gleichgewicht, wenn die Resultierende (Summe aller angreifenden Kräfte) zu Null verschwindet. Das Krafteck ist somit geschlossen. oder in kartesischen Koordinaten Anmerkung: Probleme, welche allein mit Gleichgewichtsbedingungen gelöst werden können, nennt man statisch bestimmt. Zentrale Kräftesysteme 11

13 Beispiele ebener zentraler Kräftegruppen Systeme mit Seil (nur Zugkräfte) Anmerkung: (Druck-)Stäbe können auch Druckkräfte aufnehmen Kontaktkraft K zwischen zwei Körpern Berührungsebene Zentrale Kräftesysteme 12

14 Zerlegung von Kräften Zur Berechnung des Gleichgewichtes, muss man die Kräftebilanz in drei unabhängige Richtungen nachweisen. Diese Richtungen müssen nicht unbedingt senkrecht zueinander sein. Dafür ist es oft hilfreich alle Kräfte in diese Richtungen zu zerlegen und die Richtungen im Vorfeld so zu wählen, dass die Zerlegung möglichst einfach ist. Beispiele: Winkel gegeben anderes Koordinatensystem gegeben Zentrale Kräftesysteme 13

15 Beispiel Gegeben: Gewichtskräfte Gesucht: Winkel im Gleichgewichtszustand 1. Freischneiden 2. Freikörperbild 3. Wahl eines Koordinatensystems 4. Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen analytisches Verfahren 5. Lösen des (nichtlinearen) Gleichungssystems Hinweis: Zentrale Kräftesysteme 14

16 Zusammenfassung Zentrales Kräftesystem: System von Einzelkräften mit gemeinsamem Kraftangriffspunkt / für starre Körper gemeinsamer Schnittpunkt der Wirkungslinien Resultierende einer zentralen Kräftegruppe Gleichgewicht einer zentralen Kräftegruppe Lösen von Gleichgewichtsaufgaben Freischneiden Freikörperbild Wahl eines Koordinatensystems Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen Lösen des Gleichungssystems Im Berührungspunkt zwischen Körpern gilt: actio=reactio Zentrale Kräftesysteme 15