3 Zentrale ebene Kräftegruppen

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1 25 3 Zentrale ebene Kräftegruppen 3.1 Erste Grundaufgabe: Zerlegung Zweite Grundaufgabe: Reduktion Dritte Grundaufgabe: Gleichgewicht ufgaben zu Kapitel Springer achmedien Wiesbaden 2016 C. Spura, Technische Mechanik 1. Stereostatik, DOI / _3

2 26 Kapitel 3 Zentrale ebene Kräftegruppen ls zentrale Kräftegruppe wird die Gesamtheit aller an einem Körper gleichzeitig angreifender Kräfte bezeichnet, deren Wirkungslinien sich in einem Punkt schneiden. Die Resultierende dieser Kräftegruppe kann grafisch mit einem Kräftediagramm (auch Krafteck genannt) bestimmt werden. lle Kräfte mit einem gemeinsamen ngriffspunkt lassen sich rechnerisch mithilfe der Vektoraddition zu einer Resultierenden zusammenfassen. Eine solche Kräftegruppe kann einen Körper nur geradlinig verschieben (Translation), aber nicht drehen. f P f bb. 3.1 f ls anschauliches Beispiel einer zentralen ebenen Kräftegruppe betrachten wir die drei Kräfte, und mit deren Wirkungslinien f, f und f in bb Da es sich hier um mehr als nur eine Kraft handelt, können wir dies zum einen als Kräftegruppe bezeichnen. Zum anderen ist deutlich erkennbar, dass sich alle Wirkungslinien in einem einzigen Punkt schneiden. Darum handelt es sich um eine zentrale Kräftegruppe. Der gemeinsame Schnittpunkt wird auch als Zentralpunkt P bezeichnet. Und als letztes liegen alle Kräfte in einer Ebene, nämlich auf der Seite dieses Buches (keine Kraft zeigt aus dieser Seite heraus oder in die Seite hinein). Somit haben wir es hier mit einer zentralen ebenen Kräftegruppe zu tun. nmerkung: Die zentrale ebene Kräftegruppe ist ein Spezialfall der im nächsten Kapitel folgenden allgemeinen ebenen Kräftegruppe. 3.1 Erste Grundaufgabe: Zerlegung Wir beschäftigen uns zuerst mit der ersten Grundaufgabe, der Zerlegung von Kräften. Hierzu betrachten wir die in bb. 3.2a) dargestellte Kraft in der Zeichenebene mit dem entsprechenden kartesischen Koordinatensstem. Zur horizontalen -chse besitzt die Kraft den Winkel. a) b) c) f f f e e bb. 3.2

3 3.1 Erste Grundaufgabe: Zerlegung 27 Zweckmäßig erfolgt die Zerlegung von Kräften in Richtung der Koordinatenachsen unseres Koordinatensstems. Daher zeichnen wir uns zuerst einmal die Wirkungslinien ein, entlang derer wir die Kraft zerlegen bzw. aufteilen wollen. In unserem all wären dies die beiden Wirkungslinien f und f, die parallel zur - bzw. -chse verlaufen. Mit der Kenntnis des Kräfteparallelogramms (4. iom) und dem Richtungswinkel können wir mithilfe der trigonometrischen unktionen die folgenden Beziehungen aufstellen: Stellen wir diese beiden Gleichungen noch nach den zerlegten Kräften und um, erhalten wir die Beziehungen: Die Zerlegung von Kräften erfolgt der Einfachheit halber in Richtung der Koordinatenachsen. (3.1) Richtungswinkel der Kraft 3 (3.2) Zerlegte Kräfte Unser Ergebnis ist in bb. 3.2b) dargestellt. Wir haben unsere Kraft in die beiden Kräfte und zerlegt. Die beiden Ergebnisse der Gleichungen (3.2) sind die Größen der beiden Kräfte, also deren Betrag. Da wir die Kraft zerlegt haben, zeichnen wir auch nur noch die beiden zerlegten Kräfte und an unseren ngriffspunkt an, so wie in bb. 3.2c) dargestellt. Zum besseren Verständnis haben wir die Wirkungslinie f der Kraft in der Zeichnung beibehalten. Diese brauchen wir jedoch im weiteren Verlauf dieses Buches nicht mehr einzeichnen. Solange wir uns in der Ebene befinden, lässt sich jede Kraft in zwei beliebige Richtungen zerlegen. Wir können uns dies anhand der translatorischen reiheitsgrade überlegen. Im Grunde stellt eine Kraft eine Verschiebung in Richtung der Wirkungslinie dar. In der Ebene eistieren nur zwei mögliche Translationen, wodurch eine Kraft auch nur in zwei mögliche Richtungen zerlegt werden kann. Dagegen eistieren im Raum drei mögliche Translationen und somit kann eine Kraft hier auch in drei Richtungen zerlegt werden. n dieser Stelle sei angemerkt, dass eine Kraft in der Ebene auch in mehr als zwei Richtungen zerlegbar ist. Jedoch erhalten wir dann unendlich viele Möglichkeiten für die Zerlegung und es wäre nicht mehr eindeutig. Des Weiteren müssen wir immer auf das Vorzeichen der Kraft achten. Wenn eine Kraft in die positive Koordinatenrichtung wirkt, bekommt diese Kraft ein positives (+) Vorzeichen. Entsprechend ergibt sich ein negatives (-) Vorzeichen, wenn die Kraft in die negative Koordinatenrichtung wirkt. ür unsere drei Kräfte, und in bb. 3.2 bedeutet dies, dass sie Nach dem die Kraft zerlegt wurde, müssen nur noch die beiden zerlegten Kräfte und in das reikörperbild eingezeichnet werden. In der Ebene ist die Zerlegung einer Kraft in zwei Richtungen, im Raum in drei Richtungen eindeutig. Eine Zerlegung in mehr als zwei bzw. drei Richtungen ist zwar möglich, führt jedoch zu unendlich vielen Möglichkeiten und ist somit nicht eindeutig. Zeigt die Kraft in die positive Koordinatenrichtung bekommt sie ein positives (+), zeigt sie in die negative Koordinatenrichtung ein negatives (-) Vorzeichen.

4 28 Kapitel 3 Zentrale ebene Kräftegruppen Eine Kraft kann in beliebige Richtungen zerlegt werden. ür die Berechnung ist die Zerlegung von Kräften in Richtung der Koordinatenachsen jedoch am sinnvollsten. alle positiv sind. Da die Kraft in die positive - wie auch die positive -Koordinatenrichtung wirkt, sind deren nteile beide positiv. Entsprechend müssen auch die beiden zerlegten Kräfte und positiv sein. Hinweis: Jede Kraft lässt sich auch in beliebige Richtungen zerlegen. Eine Zerlegung muss also nicht zwingend in Richtung der Koordinatenachsen erfolgen. Jedoch ist es für die anschließende Berechnung wesentlich einfacher, wenn Kräfte in Richtung der Koordinatenachsen zerlegt werden. Dies werden wir im weiteren Verlauf des Kapitels noch sehen. Vorgehensweise Die zu zerlegende Kraft einzeln hinzeichnen. Dabei die Richtung sowie den Winkel der Kraft beibehalten. Orientierung des Koordinatensstems festlegen. Einzeichnen der Wirkungslinien, entlang derer die Kraft zerlegt werden soll. In das sich ergebende Dreieck wird der rechte Winkel sowie der gegebene Winkel der Kraft eingezeichnet. Einzeichnen und Beschriften der zerlegten Kräfte entlang der Wirkungslinien, z. B. mit 1 und 1. Beim Einzeichnen der zerlegten Kräfte den richtigen Richtungssinn beachten. Mithilfe der trigonometrischen unktionen den Betrag der zerlegten Kräfte berechnen. Zeigt die zerlegte Kraft in Richtung der positiven -chse bekommt diese Kraft ein positives (+) Vorzeichen. Zeigt sie in die negative Richtung entsprechend ein negatives (-) Vorzeichen. Gleiches gilt für die -Richtung. In das reikörperbild werden nur die beiden zerlegten Kräfte eingezeichnet. Die ursprüngliche Kraft braucht nicht mehr eingezeichnet zu werden. Beispiel 3.1 Zerlegen Sie die drei dargestellten Kräfte ( = 100 N, = 40, = 70, = 35 ) jeweils in die Richtungen der - und -chse des entsprechenden Koordinatensstems und berechnen Sie die Größe der zerlegten Kräfte.

5 3.1 Erste Grundaufgabe: Zerlegung 29 Lösung Zur Lösung der ufgabe gehen wir genauso vor wie beschrieben. Zuerst zeichnen wir die Kraft unter ihrem entsprechenden Winkel hin. Danach zeichnen wir die Wirkungslinien f und f, entlang derer wir die Kraft zerlegen wollen ein. Da wir die Kraft in Richtung der kartesischen Koordinatenachsen zerlegen wollen, bilden die Wirkungslinien mit der Kraft ein rechtwinkliges Dreieck. Den dort enthaltenen rechten Winkel sowie den gegebenen Winkel (, bzw. ) tragen wir beide in das Dreieck ein. Beim Einzeichnen der zerlegten Kräfte und müssen wir auf deren Richtungssinn entlang der Wirkungslinie achten. Im ersten Beispiel wirkt die Kraft von rechts unten nach links oben. Somit wirkt die Kraft in negativer -Richtung (von rechts nach links) und bekommt somit ein negatives (-) Vorzeichen. Die Kraft wirkt in positiver -Richtung (von unten nach oben) und erhält daher ein positives (+) Vorzeichen. Die Berechnung der Kräfte erfolgt mithilfe der trigonometrischen unktionen. Die Kraft ist in allen Beispielen die Hpotenuse der Dreiecke (Warum 3.1?). Im ersten Beispiel ist die Kraft die nkathete des Winkels, weshalb in der Berechnung der Kosinus verwendet wird. Entsprechend ist die Kraft die Gegenkathete des Winkels und es wird der Sinus verwendet. Im zweiten Beispiel sind die trigonometrischen unktionen für und vertauscht. Das liegt daran, dass im Dreieck die Kraft die Gegenkathete und die Kraft die nkathete des Winkels sind. Des Weiteren zeigt die Kraft von links oben nach rechts unten. Damit ergibt sich für die Kraft ein positives (von links nach rechts) und für die Kraft ein negatives (von oben nach unten) Vorzeichen. Im Dreieck des dritten Beispiels ist die Kraft die Gegenkathete und die Kraft die nkathete des Winkels. Daher erhalten wir hier die gleichen trigonometrischen unktionen für die Kräfte und wie im zweiten Beispiel, auch wenn hier das Koordinatensstem gedreht wurde. ür die Vorzeichen gilt: ist positiv, da diese Kraft in positiver Koordinatenrichtung wirkt und ist negativ, da diese Kraft in negativer Koordinatenrichtung wirkt. Hinweis: uch wenn es hier auf den ersten Blick nicht so aussieht, so ist es doch in manchen ällen für die Berechnung erheblich einfacher, wenn das Koordinatensstem gedreht wird. 3 f f f f f f

6 30 Kapitel 3 Zentrale ebene Kräftegruppen 3.2 Zweite Grundaufgabe: Reduktion Die Reduktion einer Kräftegruppe entspricht der Umkehrung einer Kraftzerlegung. Grafisch erfolgt die Reduktion einer Kräftegruppe mithilfe des Kräfteparallelogramms (4. iom). Bei der Reduktion fassen wir beliebig viele Kräfte zu einer resultierenden Kraft (auch Resultierende R genannt) zusammen, welche die gleiche Kraftwirkung besitzt wie die Kräftegruppe, siehe bb Die Wirkung der drei Kräfte, und auf den Zentralpunkt P ist die gleiche wie durch die Resultierende R dieser drei Kräfte. Die Reduktion kann daher auch als Umkehrung der Kraftzerlegung bezeichnet werden. Schauen wir uns die Reduktion einer zentralen ebenen Kräftegruppe einmal grafisch genauer in bb. 3.3 an, bevor wir uns mit der Berechnung beschäftigen. Die Reduktion einer Kräftegruppe können wir grafisch mithilfe des 4. ioms vom Parallelogrammsatz (siehe S. 14) durchführen. Im ersten Schritt fassen wir die beiden Kräfte und zu der Resultierenden R zusammen. Im zweiten Schritt führen wir das gleiche mit der Kraft und der Resultierenden R durch. Das Ergebnis dieser Reduktion ist die Resultierende R. Da wir nun keine weiteren Kräfte mehr zusammenfassen können, ist die Resultierende R also die Resultierende der gesamten Kräftegruppe und wir können anstatt R nur noch R schreiben. f P f f R P R P R P R bb. 3.3 Die Reihenfolge der Reduktion der einzelnen Kräfte kann beliebig gewählt werden. Die grafische ddition (neinanderreihung) von Kräften wird mit Kräftediagramm oder Krafteck bezeichnet. Bei der grafischen Reduktion von Kräften ist die Reihenfolge, in welcher die Kräfte addiert werden, beliebig. Um dies zu verdeutlichen, betrachten wir die aus vier Kräften bestehende Kräftegruppe in bb Diese Kräftegruppe werden wir nun mit unterschiedlicher Reihenfolge grafisch addieren. Im all 1) erfolgt die grafische ddition mit aufsteigender Nummerierung der Kräfte: Im all 2) verändern wir die Reihenfolge ein wenig: Eine solche grafische neinanderreihung von Kräften wird auch mit Kräftediagramm oder Krafteck bezeichnet. Die Resultierende R wird nun so eingezeichnet, dass das Krafteck geschlossen ist, also vom nfangspunkt (Pfeilende) der neinanderreihung zum Endpunkt (Pfeilspitze).

7 3.2 Zweite Grundaufgabe: Reduktion 31 1) 2) R R 3 bb. 3.4 In beiden ällen wird deutlich, dass die Resultierende R gleich groß ist (vier Kästchen waagerecht und ein Kästchen senkrecht) und die gleiche Lage besitzt (von links unten nach rechts oben). Die grafisch neinanderreihung der Kräfte kann also in beliebiger Reihenfolge durchgeführt werden, ohne dass sich der Betrag und/oder die Richtung der Resultierenden R verändert. Da die grafische Reduktion etwas aufwendig ist und je nach nzahl der zu reduzierenden Kräfte viel Platz benötigt, wollen wir uns jetzt mit der mathematischen Methode befassen. Dazu können wir die erste Grundaufgabe verwenden. Zuerst zerlegen wir alle vorhandenen Kräfte in ihre - und -Koordinaten. Wenn wir nun alle -Koordinaten addieren, erhalten wir die Resultierende R für die -Richtung. Gleiches machen wir auch mit allen -Koordinaten und erhalten entsprechend die Resultierende R: Trotz unterschiedlicher Reihenfolge der Reduktion bleibt die Resultierende dieselbe. Die mathematische ddition von Kräften kann mithilfe der Vektorrechnung durchgeführt werden. (3.3) Resultierende in -Richtung (3.4) Resultierende in -Richtung Es ist sehr wichtig, dass wir bei der Reduzierung unbedingt die Vorzeichen der Kräfte beachten. Zeigt eine Kraft in die negative Koordinatenrichtung erhält sie ein negatives Vorzeichen. Dies muss bei der Summenbildung zwingend beachtet werden, ansonsten erhalten wir ein falsches Ergebnis. Wenn wir jetzt noch die beiden Koordinaten der Resultierenden mithilfe des Satz des PYTHGORS zusammenfassen, so bekommen wir den Betrag der Resultierenden R: Die Vorzeichen der Kräfte müssen bei der ddition unbedingt beachtet werden. (3.5) Betrag der Resultierenden

8 32 Kapitel 3 Zentrale ebene Kräftegruppen S R bb. 3.5 S Da wir alle Kräfte einer zentralen ebenen Kräftegruppe in den Zentralpunkt P verschieben und auf eine Resultierende reduzieren können, kann diese rt der Kräftegruppe einen Körper nur verschieben, aber nicht drehen. Dies soll am Beispiel der Kiste in bb. 3.5 verdeutlicht werden. Die Wirkungslinien der beiden Seilkräfte S und S schneiden sich in einem Punkt, welcher der Zentralpunkt P dieser Kräftegruppe ist. Reduzieren wir nun die beiden Seilkräfte zu einer Resultierenden R, so können wir die Seilkräfte durch die Resultierende R ersetzen. Die Wirkung auf die Kiste bleibt dieselbe. Zeichnen wir die Resultierende R in den Zentralpunkt P ein, wird deutlich, dass sich die Kiste geradlinig nach oben bewegen würde. Dies passiert aber nur dann, wenn die Resultierende R größer als die Gewichtskraft G der Kiste ist. ndernfalls würde die Kiste auf dem Boden stehenbleiben. Vorgehensweise Einzeichnen der Wirkungslinien der Kräfte, um damit den Zentralpunkt P zu ermitteln. Orientierung des Koordinatensstems festlegen. lle Kräfte entsprechend ihrem Richtungswinkel in ihre - und -Koordinaten zerlegen und mittels der trigonometrischen unktionen berechnen. lle Kräfte für die - und -Richtung separat zu einer Resultierenden R und R nach Gl. (3.3) und (3.4) addieren. Dabei auf die Vorzeichen der Kräfte achten. Den Betrag der Resultierenden R nach Gl. (3.5) berechnen (Satz des PYTHGORS). Der Winkel der Resultierenden wird mit der Tangens- unktion bestimmt: Beispiel 3.2 n einer Seilrolle beträgt der Öffnungswinkel der Seilenden = 30. Im Seil wirkt die Kraft S = 300 N. Berechnen Sie den Betrag und den Winkel zur Horizontalen der Resultierenden, welche auf die Lagerung der Seilschreibe wirkt. S S

9 3.2 Zweite Grundaufgabe: Reduktion 33 Lösung Zuerst zeichnen wir die Wirkungslinien der Seilkraft S ein. Der Schnittpunkt der Wirkungslinien ist der Zentralpunkt P der Kräftegruppe. Da es nur einen Schnittpunkt gibt, handelt es sich um eine zentrale ebene Kräftegruppe. Die linke Seilkraft verläuft Vertikal und liegt somit auf der -Koordinatenachse. Da die rechte Seilkraft schräg verläuft, zerlegen wir diese Kraft wieder in ihre - und -Koordinaten. Dazu zeichnen wir zuerst die Kraft einzeln auf, dann die Wirkungslinien f und f für die Zerlegung und anschließend die zerlegten Kräfte S und S ein. Der Winkel ist in diesem all der Wechselwinkel in unseren Dreieck und bleibt somit gleich. Mithilfe der trigonometrischen unktionen erhalten wir für die zerlegten Kräfte: S P S S S 3 f S f Nun berechnen wir die Koordinaten der Resultierenden mithilfe der Gleichungen (3.3) und (3.4): Den Betrag der Resultierenden R erhalten wir mit dem Satz des PYTHGORS nach Gleichung (3.5): R P R R Den gesuchten Winkel der Resultierenden R zur Horizontalen können wir mit den trigonometrischen unktionen berechnen. Da wir die Koordinaten der Resultierenden haben, bietet sich die Tangensfunktion hier an: R Die Resultierende R und den Winkel zur Horizontalen können wir abschließend noch in die Skizze der Seilrolle einzeichnen.

10 34 Kapitel 3 Zentrale ebene Kräftegruppen 3.3 Dritte Grundaufgabe: Gleichgewicht bb. 3.6 bb. 3.7 Gleichgewicht ist dann vorhanden, wenn es keine Resultierende, also R = 0 gibt. Gleichgewichtsbedingungen einer zentralen ebenen Kräftegruppe f ls dritte Grundaufgabe behandeln wir das Gleichgewicht von Kräften. Nach dem 6. iom (Gleichgewichtssatz) ist ein Körper unter der Wirkung von zwei Kräften im Gleichgewicht, wenn diese Kräfte gleich groß, entgegengesetzt gerichtet sind und die gleiche Wirkungslinie besitzen, siehe bb Wenn wir diese beiden Kräfte reduzieren, erhalten wir als Ergebnis für die Resultierende R =. Denn wenn beide Kräfte gleich groß und entgegengesetzt gerichtet sind, heben sich ihre Wirkungen gegenseitig auf. Bei der grafischen Methode würde der nfangspunkt des Kraftecks gleich dem Endpunkt sein. Eine solche Kräftegruppe, bei der die Resultierende verschwindet bzw. zu Null wird, wird auch mit Gleichgewichtsgruppe bezeichnet. Diesen Sachverhalt wollen wir nun auf beliebig viele Kräfte erweitern, siehe bb uf die Kiste wirken nun drei Gleichgewichtsgruppen. Nach dem 7. iom (Überlagerungssatz) dürfen wir einer Gleichgewichtsgruppe eine beliebige nzahl weiterer Gleichgewichtsgruppen überlagern, ohne dass sich deren Wirkung auf den Körper ändert. ür unsere Kiste bedeutet dies also, dass die Kiste vor dem Hinzufügen einer Gleichgewichtsgruppe auf dem Boden ruht und sich nicht bewegt. Nach dem Hinzufügen aller Gleichgewichtsgruppen wird sich der Zustand der Kiste nicht ändern. Die Kiste wird auch weiterhin auf dem Boden stillstehen und sich nicht bewegen. Wenn wir nun noch aus allen Kräften der drei Gleichgewichtsgruppen grafisch ein Krafteck bilden, so fällt der Endpunkt mit dem nfangspunkt zusammen. Eine Resultierende ist somit nicht vorhanden (R = ), denn ein geschlossenes Krafteck hat keine Resultierende. Und wenn keine Resultierende vorhanden ist, befindet sich der betrachtete Körper (in unserem all die Kiste) im Gleichgewicht. Mathematisch gesehen ist also Gleichgewicht an einem Körper vorhanden, wenn das Ergebnis der Gleichungen (3.3) und (3.4) Null ist: (3.6) uch bei dieser Berechnung ist zwingend auf die Vorzeichen der zu addierenden Kräfte zu achten. Die Gleichungen (3.6) werden auch als Gleichgewichtsbedingungen bezeichnet. Diese Gleichgewichtsbedingungen (GGB) werden wir im weiteren Verlauf noch sehr oft verwenden.

11 3.3 Dritte Grundaufgabe: Gleichgewicht 35 Vorgehensweise Orientierung des Koordinatensstems festlegen. reikörperbild zeichnen. lle (bekannten und unbekannten) Kräfte in ihre - und -Koordinaten zerlegen. Einzeichnen aller Kräfte in das reikörperbild. uf eine eindeutige Beschriftung der Kräfte achten. ufstellen der Gleichgewichtsbedingungen nach Gleichung (3.6). uflösen der Gleichungen nach den unbekannten Kräften. 3 Beispiel 3.3 n einem Ring sind drei masselose Seile befestigt. In den Seilen wirken die Kräfte S, S = 30 N und S = 45 N. Die Seilabgangswinkel betragen: = 51, = 69. Wie groß muss die Kraft S sein, damit sich die Kräftegruppe im Gleichgewicht befindet? S S S Lösung ls erstes zerlegen wir die beiden Seilkräfte S und S in ihre jeweiligen - und -Koordinaten. Dazu zeichnen wir die beiden Kräfte am Punkt auf und tragen die Winkel und ein. Nun zeichnen wir die zerlegten Kräfte S, S, S, S und erhalten mithilfe der trigonometrischen unktionen (das Vorzeichen berücksichtigen wir erst im nächsten Schritt): S S S S S (1) S Da wir für alle Kräfte die entsprechenden - und -Koordinaten haben, können wir nun alle am Punkt angreifenden Kräfte einzeichnen. und das Kräftegleichgewicht für diesen Punkt aufstellen (hier berücksichtigen wir jetzt die Vorzeichen der zerlegten Kräfte): (2) S S S S S Setzen wir nun die Gleichungen (1) in (2) ein, können wir nach der gesuchten Kraft S auflösen und erhalten:

12 36 Kapitel 3 Zentrale ebene Kräftegruppen Beispiel 3.4 Drei Holzkisten sind mit masselosen Seilen an zwei reibungsfreien Rollen aufgehangen. Die Seile besitzen am Punkt einen bgangswinkel von = 40 und = 60. Die Gewichtskraft der Holzkiste 1 ist gegeben und beträgt G1 = 100 N. Wie groß müssen die Gewichtskräfte G2 und G3 der beiden anderen Kisten sein, damit sich das Sstem im Gleichgewicht befindet? Lösung Zuerst schneiden wir die drei Kisten frei, um eine Beziehung zwischen den Gewichtskräften und den Seilkräften zu bekommen. Im reikörperbild sehen wir jetzt, dass jede Kiste für sich genommen eine zentrale ebene Kräftegruppe ist. Stellen wir das Kräftegleichgewicht in -Richtung für die Kiste 2 auf, so erhalten wir (Vorzeichenregel für Kräfte im Koordinatensstem beachten!): S S S S (a) ür die beiden anderen Kisten gehen wir genauso vor und bekommen als Ergebnisse: (b) Betrachten wir nun die beiden Seilrollen einzeln für sich, dann muss bei der Seilrolle 2 die Seilkraft am linken Seilende genauso groß sein wie die Seilkraft am rechten Seilende. nsonsten würde sich das Seil ja bewegen und zu einer Seite durchrutschen. S G S G S G Da wir nun Kenntnis über die in den Seilen wirkenden Kräfte haben, können wir uns jetzt den Verbindungspunkt ansehen. Hier laufen alle drei Seile zusammen und somit haben wir auch hier eine zentrale ebene Kräftegruppe. Entsprechend können wir im Punkt alle drei Seile mit ihren jeweiligen Winkeln hinzeichnen. Das sich ergebende reikörperbild besteht also nur aus den drei Seilkräften S, S und S. S S S

13 3.3 Dritte Grundaufgabe: Gleichgewicht 37 Wir zerlegen wieder die beiden Seilkräfte S und S in ihre - und -Koordinaten. Die Beträge der zerlegten Seilkräfte berechnen wir zu (das Vorzeichen berücksichtigen wir erst im nächsten Schritt): S S S S S S ls nächstes zeichnen wir uns alle am Zentralpunkt angreifenden Kräfte auf. Da sich das Sstem in Ruhe, also im Gleichgewicht befindet, können wir unsere Gleichgewichtsbedingungen für den Zentralpunkt aufstellen (hier berücksichtigen wir jetzt die Vorzeichen der zerlegten Kräfte): 3 S S S S Jetzt ersetzen wir noch die Seilkräfte S, S und S durch die Ergebnisse (a) und (b) der eingangs aufgestellten Beziehungen der Gewichtskräfte (S = G, S = G, S = G) und wir erhalten für unsere Gleichgewichtsbedingungen: S (c) (d) Dieses lineare Gleichungssstem besteht aus 2 Gleichungen ((c) und (d)) mit 2 Unbekannten (G und G). Zur Lösung dieses linearen Gleichungssstems kann entweder das GUß 7 -Verfahren oder das Einsetzungsverfahren verwendet werden. Unter Zuhilfenahme des Sinus-dditionstheorems (siehe (.12) auf S. 241) erhalten wir dann die beiden gesuchten Gewichtskräfte der Kisten zu: 7 Johann Carl riedrich GUß ( ), dt. Mathematiker, stronom, Geodät, Phsiker

14 38 Kapitel 3 Zentrale ebene Kräftegruppen In Kürze ls zentrale Kräftegruppe wird die Gesamtheit aller an einem Starrkörper gleichzeitig angreifender Kräfte bezeichnet, deren Wirkungslinien sich in einem Punkt schneiden. Der gemeinsame Schnittpunkt wird als Zentralpunkt P bezeichnet. Eine solche Kräftegruppe lässt sich zu einer Resultierenden R zusammenfassen. Bei der Zerlegung ist die Richtung bzw. das Vorzeichen der Kraft entscheidend. Konvention: Zeigt die Kraft in die positive Koordinatenrichtung bekommt sie ein positives (+), zeigt sie in die negative Koordinatenrichtung entsprechend ein negatives (-) Vorzeichen. In der Ebene ist die Zerlegung einer Kraft in zwei Richtungen, im Raum in drei Richtungen eindeutig. Eine Zerlegung in mehr als (zwei bzw.) drei Richtungen ist zwar möglich, führt jedoch zu unendlich vielen Möglichkeiten und ist somit nicht eindeutig. Da alle Kräfte in den Zentralpunkt P verschoben und auf eine Resultierende reduziert werden können, kann diese rt der Kräftegruppe einen Körper nur verschieben, aber nicht drehen. Erste Grundaufgabe: Zerlegung Die Zerlegung einer Kraft erfolgt mithilfe ihres Richtungswinkels. Ist der Richtungswinkel zur -chse bekannt, erfolgt die Zerlegung nach: Zweite Grundaufgabe: Reduktion Nachdem alle Kräfte in ihre - und - Koordinaten zerlegt wurden, können alle -Koordinaten zu einer Resultierenden R und alle -Koordinaten zu R zusammengefasst werden: Der Betrag der Resultierenden R wird mittels des Satz des PYTHGORS bestimmt: Der Winkel der Resultierenden wird mit der Tangens-unktion bestimmt: Dritte Grundaufgabe: Gleichgewicht Damit Gleichgewicht vorliegt, muss die Resultierende R einer zentralen ebenen Kräftegruppe verschwinden (R):

15 3.4 ufgaben zu Kapitel ufgaben zu Kapitel 3 ufgabe 3.1 Eine Kugel (m = 10 kg) liegt auf einem reibungsfreien schiefen Boden ( = 10 ) und wird von einer reibungsfreien Wand gehalten. Wie groß sind die Kontaktkräfte zwischen Kugel und Boden (Berührungspunkt ) sowie zwischen Kugel und Wand (Berührungspunkt B)? B 3 ufgabe 3.2 Zwei Zlinder (d = 70 mm, d = 40 mm) besitzen die Gewichtskräfte G = 15 N und G = 9 N und liegen wie dargestellt reibungsfrei in einem Kasten mit einer Breite von b = 85 mm. Berechnen Sie die Kräfte, die in den Berührungspunkten bis D wirken. C d b B 2 d 1 D ufgabe 3.3 Das Seil einer Seilwinde W wird reibungsfrei über den Knoten eines Stabzweischlags ( = 50, = 30 ) geführt. Die Gewichtskraft der Holzkiste beträgt G = 150 N. Wie groß sind die in den Stäben 1 und 2 wirkenden Stabkräfte? W 1 2 G

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