Lehrveranstaltung Stereostatik

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Franziska Egger
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1 Lehrveranstaltung Stereostatik Thema 2: Zentrale Kräftesysteme Bergische Universität Wuppertal Baumechanik und Numerische Methoden Prof. Dr.-Ing. W. Zahlten Mechanik 1 Zentrale Kräftesysteme 2.1

2 Problemstellung Ein Bauwerk wird im Verlauf seiner Lebensdauer einer Vielzahl unterschiedlicher Lastkollektive unterworfen, z.b.: Sein Eigengewicht wirkt ständig. Windlasten treten wiederholt in unterschiedlicher Stärke aus verschiedenen ichtungen auf. Sog. Verkehrslasten, z.b. ußgänger auf einer Brücke, treten in unterschiedlichen Konfigurationen auf. Es muss gewährleistet werden, dass jede denkbar auftretende Lastkombination vom Bauwerk ertragen werden kann, ohne dass Standsicherheit, Dauerhaftigkeit und Gebrauchstauglichkeit gefährdet sind. Hierbei rufen die vorgegebenen eingeprägten Kräfte eaktionskräfte und innere Kräfte hervor, die gewisse Grenzwerte nicht überschreiten dürfen, ohne dass das Lager bzw. das Bauteil geschädigt werden. rage: Wie errechnet man die sich ergebenden eaktionen und innere Kräfte infolge eines eingeprägten Kraftzustandes? Dies wird zunächst für eine bestimmte Klasse von Kraftsystemen, die sog. Zentralen Kräftesysteme ftesysteme, hergeleitet. Bergische Universität Wuppertal Baumechanik und Numerische Methoden Prof. Dr.-Ing. W. Zahlten Mechanik 1 Zentrale Kräftesysteme 2.2

3 Zentrale Kräftesysteme Eine Kräftegruppe, deren Wirkungslinien sich alle in in einem Punkt schneiden, heißt zentrales Kräftesystem. Beispiel: Seilnetz mit Gewicht S 3 S 4 S 2 Zentrum Zentrum Z S 5 S 1 S 6 G Bergische Universität Wuppertal Baumechanik und Numerische Methoden Prof. Dr.-Ing. W. Zahlten Mechanik 1 Zentrale Kräftesysteme 2.3

4 eduktion eines ZKS Sämtliche Teilkräfte eines zentralen Kräftesystems lassen sich zu zu einer einzigen äquivalenten Kraft, der esultierenden, zusammenfassen. 1 2 eduktion Kräftesystem Z 3 Z esultierende 4 Bergische Universität Wuppertal Baumechanik und Numerische Methoden Prof. Dr.-Ing. W. Zahlten Mechanik 1 Zentrale Kräftesysteme 2.4

5 Graphische Ermittlung der esultierenden 2 Kräfte: Kräfteparallelogramm Mehr als als 2 Kräfte: Kräftepolygon Die Die eihenfolge bei bei Bildung des des Kräftepolygons ist ist beliebig! Bergische Universität Wuppertal Baumechanik und Numerische Methoden Prof. Dr.-Ing. W. Zahlten Mechanik 1 Zentrale Kräftesysteme 2.5

6 eduktion eines ZKS eihenfolge zu zu reduzierendes Kräftesystem 3 2 eihenfolge Bergische Universität Wuppertal Baumechanik und Numerische Methoden Prof. Dr.-Ing. W. Zahlten Mechanik 1 Zentrale Kräftesysteme 2.6

7 eduktion eines ZKS eihenfolge zu zu reduzierendes Kräftesystem 3 2 eihenfolge Bergische Universität Wuppertal Baumechanik und Numerische Methoden Prof. Dr.-Ing. W. Zahlten Mechanik 1 Zentrale Kräftesysteme 2.7

8 Analytische Ermittlung der esultierenden Vorgehensweise: Gegeben: 1, 2, 3,..., n Einzelkräfte. Zerlegung jeder Kraft hinsichtlich eines gemeinsamen eferenzsystems ix, iy, iz : Komponenten der i-ten Kraft. Komponenten der esultierenden durch komponentenweise Addition der Teilkräfte. x n i 1 ix, y n i 1 iy, z n i 1 iz, e + e + x x y y z e z Bergische Universität Wuppertal Baumechanik und Numerische Methoden Prof. Dr.-Ing. W. Zahlten Mechanik 1 Zentrale Kräftesysteme 2.8

9 Zerlegung einer Kraft Jede Kraft kann eindeutig in in 2 (ebener all) bzw. 3 (räumlicher all) Teilkräfte zerlegt werden, sofern deren Wirkungslinien nicht kollinear bzw. komplanar sind. s 1 s 2 s 1 Zerlegung s 2 S 1 S 2 Bergische Universität Wuppertal Baumechanik und Numerische Methoden Prof. Dr.-Ing. W. Zahlten Mechanik 1 Zentrale Kräftesysteme 2.9

10 Gleichgewichtsbedingung Ein Körper verharrt in in uhe, wenn das auf ihn wirkende Kräftesystem im im Gleichgewicht steht. Ein zentrales Kräftesystem steht im im Gleichgewicht, wenn seine esultierende verschwindet. 0 Bergische Universität Wuppertal Baumechanik und Numerische Methoden Prof. Dr.-Ing. W. Zahlten Mechanik 1 Zentrale Kräftesysteme 2.10

11 Graphische Interpretation der Gleichgewichtsbedingung Ein zentrales Kräftesystem steht im im Gleichgewicht, wenn das Kräftepolygon (Krafteck) geschlossen ist. E A A E keine Gleichgewichtsgruppe: A E Gleichgewichtsgruppe: A E Bergische Universität Wuppertal Baumechanik und Numerische Methoden Prof. Dr.-Ing. W. Zahlten Mechanik 1 Zentrale Kräftesysteme 2.11

12 Analytische Auswertung der Gleichgewichtsbedingung Die orderung nach Verschwinden der esultierenden liefert 2 bzw. 3 Gleichungen, die erfüllt seien müssen. x y z n n i 1 i 1 n i 1 iy ix iz Ebene aum Bergische Universität Wuppertal Baumechanik und Numerische Methoden Prof. Dr.-Ing. W. Zahlten Mechanik 1 Zentrale Kräftesysteme 2.12

13 Anwendung der Gleichgewichtsbedingung Problemstellung: Eingeprägte Kräfte sind gegeben (Belastung). eaktionskräfte und Schnittkräfte sind genau so gesucht, dass der Körper (das Bauwerk) in uhe verbleibt. Statisch bestimmtes Problem: Es gibt genau so viele unbekannte Kräfte, wie es Gleichungen in der Gleichgewichtsbedingung gibt. Damit ist das Problem durch eine reine Gleichgewichtsbetrachtung eindeutig lösbarl sbar. Statisch unbestimmtes Problem: Es gibt mehr unbekannte Kräfte als Gleichungen. Dann reichen die Gleichgewichtsbedingungen allein nicht aus; es werden für eine eindeutige Lösung weitere Gleichungen benötigt. Kinematisch verschiebliches Problem: Es gibt weniger unbekannte Kräfte als Gleichungen. Dann ist kein Gleichgewicht möglich; das Bauwerk würde einstürzen. Bergische Universität Wuppertal Baumechanik und Numerische Methoden Prof. Dr.-Ing. W. Zahlten Mechanik 1 Zentrale Kräftesysteme 2.13

14 Zusammenfassung & Ausblick Es wurde erkannt, dass das durch reischneiden eines Tragwerks entstehende Kräftesystem im Gleichgewicht stehen muss, wenn das Tragwerk in uhe bleiben soll. Als Bedingungen hierfür lassen sich für den Sonderfall des zentralen Kräftesystems zwei (Ebene) bzw. drei (aum) Gleichgewichtsbedingungen pro Kräftesystem anschreiben, aus denen die eaktionen und inneren Kräfte ermittelt werden können, wenn das System statisch bestimmt ist. Nächster Übungsschritt: Üben mathematischer Operationen mit zentralen Kräftesystemen. Berechung von eaktionen und inneren Kräften bei einfachen Tragwerken, deren Kräftezustände durch zentralen Kräftesysteme gegeben sind Nächster Vorlesungsschritt: Die meisten Kraftsysteme stellen keine zentralen Kräftesysteme dar. Es erfolgt deshalb eine Erweiterung auf allgemeine Kräftesysteme ftesysteme. Dies erfordert die Einführung einer neuen Kraftgröß öße, des sog. Momentes. Bergische Universität Wuppertal Baumechanik und Numerische Methoden Prof. Dr.-Ing. W. Zahlten Mechanik 1 Zentrale Kräftesysteme 2.14

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