Tragwerksentwurf II Philippe Block Joseph Schwartz

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Sigrid Peters
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1 Tragwerksentwurf II Philippe Block Joseph Schwartz

2 Tragwerksentwurf I+II Tragwerksentwurf I 2. Gleichgewicht & grafische Statik. Einführung Seile Bögen Bogen-Seil- Tragwerke 9. Fachwerke 0.+. Balken und Rahmen 3. Seilnetze und Membrane Gewölbe, Kuppeln, Schalen 6. Räumliche Bogen-Seil-Tragwerke 7. Räumliche Fachwerke 8. Scheiben und Platten 20. Stützen 2. Material und Dimensionierung Tragwerksentwurf II 9. Biegung Kursübersicht

3 3 Biegung Biegung und Krümmung Biegesteifigkeit Verformung von auf Biegung beanspruchten Balken Widerstand von auf Biegung beanspruchten Balken Widerstand von auf Biegung beanspruchten Rahmen Effizienz der Tragwerke

4 Biegung und Krümmung 4 F F B N c N c N t N t Biegung eines Balkens mit zugehörigen Verformungen

5 Biegung und Krümmung 5 l l l l 4 N c5 N c5 N c4 N c4 N t N t N t2 N t2 l l 2 l l 2 Verteilung der Verformung über die Trägerhöhe

6 Biegung und Krümmung 6 x = r x = /r φ r r c N c r t N c z h N t N t Verkrümmung des Balkensegments

7 7 Biegung Biegung und Krümmung Biegesteifigkeit Verformung von auf Biegung beanspruchten Balken Widerstand von auf Biegung beanspruchten Balken Widerstand von auf Biegung beanspruchten Rahmen Effizienz der Tragwerke

8 Biegesteifigkeit 8 N * z = * z = N t2* z 2= N c2 * z 2 = M t N c φ φ z N c r N c z 2 N c2 r N c2 N t N t N t2 N t2 Biegung bei verschiedenen Balkenhöhen

9 Biegesteifigkeit 9 N [kn] 30 N 20 l 0 S = N [kn] l [mm] l [mm] N = S * l Kraft-Verlängerungsdiagramm

10 Biegesteifigkeit 0 N * z = N * z = M [Nmm] t c φ z N c r N c B = Nt* z = N * z Z c Χ χ N t N t χ = r χ = /r [/mm] Biegemoment-Krümmungsdiagramm

11 Biegesteifigkeit z = 2/3 * h φ N c z h N c r σ N t t N t σ Innere Kräfte im gebogenen Balken mit Rechteckquerschnitt bei linear-elastischem Materialverhalten

12 Biegesteifigkeit 2 φ/8 φ/2 φ 2*h 2*t φ φ/2 φ/8 N c N c N c Nc h Nc N c h 2*h N N t N t N t N t Nt t t 2*t t Einfluss der Breite und der Höhe des uerschnitts auf die Biegesteifigkeit

13 Biegesteifigkeit 3 2 Flansch = 2 Steg Flansch Rechteck-uerschnitt und Doppel-T-uerschnitt mit gleicher Höhe und gleicher Materialmenge

14 Biegesteifigkeit 4 φ r N c z h N c N t N t b t Innere Kräfte im gebogenen Balken mit Doppel-T-uerschnitt bei linear-elastischem Materialverhalten

15 Biegesteifigkeit 5 φ z = 2/3 * b r N t /2 N /2 c N t /2 N c /2 N /2 c N /2 c N t /2 N t /2 t z b t Innere Kräfte im um 90 o gebogenen Balken mit Doppel-T-uerschnitt bei linear-elastischem Materialverhalten

16 6 Biegung Biegung und Krümmung Biegesteifigkeit Verformung von auf Biegung beanspruchten Balken Widerstand von auf Biegung beanspruchten Balken Widerstand von auf Biegung beanspruchten Rahmen Effizienz der Tragwerke

17 Verformung von auf Biegung beanspruchten Balken 7 h l t l/4 F F l/4 w B F F B Durchbiegung eines Balkens unter zwei Einzellasten und der Einfluss der Spannweite l auf seine Durchbiegung

18 Verformung von auf Biegung beanspruchten Balken 8 2*l/4 F F 2*l/4 8*w B 2*l F F B Durchbiegung eines Balkens unter zwei Einzellasten und der Einfluss der Spannweite l auf seine Durchbiegung

19 Verformung von auf Biegung beanspruchten Balken 9 F F z N t w N c Bv l F B Durchbiegung einer Konsole unter einer konzentrierten Einzellast

20 Verformung von auf Biegung beanspruchten Balken 20 w q B l N t q w` w > w` N c Bv 0.5*l Durchbiegung von einfachem Balken und einer Konsole unter gleichmässig verteilter Last

21 Verformung von auf Biegung beanspruchten Balken 2 f w w = 00% l l` = f 0.6f w = 80% l` l l` l`/l = f 0.5f w = 38% l` l l` l`/l = f 0.33f w = 23% l` l l` l`/l = 0.4 w = -20% f l` l l` l`/l = 0.5 Bogen-Seiltragwerke und Durchbiegungen von einfachen Balken mit Konsolen (Durchlaufträgern)

22 Verformung von auf Biegung beanspruchten Balken 22 Zug: Verlängerung Druck: Verkürzung Zug: Verlängerung Druck: Verkürzung Zug: Verlängerung Druck: Verkürzung Durchbiegungen von Durchlaufträgern

23 23 Biegung Biegung und Krümmung Biegesteifigkeit Verformung von auf Biegung beanspruchten Balken Widerstand von auf Biegung beanspruchten Balken Widerstand von auf Biegung beanspruchten Rahmen Effizienz der Tragwerke

24 Widerstand von auf Biegung beanspruchten Balken 24 N c N t z h N t N c * z = * z = M [Nmm] Bruch M B B linear elastisches Materialverhalten plastisches Materialverhalten χ = r Χ = /r [/mm] Biegung-Krümmungs-Beziehung bei plastischem Materialverhalten

25 Widerstand von auf Biegung beanspruchten Balken 25 R,d R,d t h R,d R,d R,d h/2 N c N t h/2 h/2 R,d R,d R,d h/2 f * (t*h)/2 d R,d R,d R,d a l a Widerstand eines Balkens bei plastischem Materialverhalten

26 Widerstand von auf Biegung beanspruchten Balken 26 R,d R,d t f * (t*h) d h h h 2h R,d R,d R,d a l a R,d R,d t f * (t*h)/2 d h h R,d R,d R,d a l a Vergleich der Traglast eines Balkens mit verdoppelter Höhe und von zwei übereinander gelegten Balken

27 Widerstand von auf Biegung beanspruchten Balken 27 R,d R,d b t f z = h - t h t f R,d R,d a l a f * t *b d f R,d Vergleich der Traglast eines Balkens mit Doppel-T-uerschnitt

28 28 Biegung Biegung und Krümmung Biegesteifigkeit Verformung von auf Biegung beanspruchten Balken Widerstand von auf Biegung beanspruchten Balken Widerstand von auf Biegung beanspruchten Rahmen Effizienz der Tragwerke

29 Widerstand von auf Biegung beanspruchten Rahmen 29 ξ * h h Traglastberechnung eines Rahmens

30 Widerstand von auf Biegung beanspruchten Rahmen 30 Gewähltes System Globales Gleichgewicht Gleichgewicht am Knoten Kräfteplan Widerstand der Flansche ξ = ξ = / = 4 3 ξ = ξ = = 4 = ξ = inf 5 =.43 Traglastberechnung eines Rahmens

31 Widerstand von auf Biegung beanspruchten Rahmen 3 Gewähltes System Kräfteplan Widerstand der Flansche ξ = 0 ξ * h ξ = / = 4 3 h 3 3 ξ = = ξ = =.455 /3 3 ξ ξ = inf 5 =.43 Traglastberechnung eines Rahmens

32 Widerstand von auf Biegung beanspruchten Rahmen 32 e Traglastberechnung eines Rahmens

33 33 Biegung Biegung und Krümmung Biegesteifigkeit Verformung von auf Biegung beanspruchten Balken Widerstand von auf Biegung beanspruchten Balken Widerstand von auf Biegung beanspruchten Rahmen Effizienz der Tragwerke

34 Effizienz der Tragwerke 34 Effizienz bei Biegebeanspruchung Vergleich von uerschnitten (unter Vertikallasten) mit von links nach rechts steigender Effizienz bei Biegebeanspruchung

35 Effizienz der Tragwerke 35 F F B F B F B F B B Möglichkeiten zur usbildung des uerschnitts bei in Feldmitte belasteten Balken

36 Effizienz der Tragwerke 36 konstante uerschnitte 4 Volumen ( *l) f d d [m3] 2 0 variable uerschnitte l/h Erforderliche Materialmenge in Funktion der Schlankheit l/h

37 Effizienz der Tragwerke w/l F w h 0.02 variable uerschnitte 0.00 B l konstante uerschnitte l/h Durchbiegungen in Feldmitte infolge einer konzentrierten mittigen Last in Funktion der Schlankheit l/h (ε max = 0.00)

38 Effizienz der Tragwerke 38 l/h l l l Zweckmässige Schlankheitsverhältnisse von Tragwerken

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