Übungsbeispiel zum Nachvollziehen mit einem EDV-Programm (E-Theorie, Ebenes Stabwerk) (Selbststudium)

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1 Übungsbeispiel zum Nachvollziehen mit einem EDV-Programm (E-Theorie, Ebenes Stabwerk) (Selbststudium) Aufgabe 1,0 P 0,5 P M pl = 10 knm 4 m m Bild 1: System Für das dargestellte System und die angegebene Lastkombination ist der Faktor P zu bestimmen, der zur Traglast führt. Dabei ist anzugeben, in welcher Reihenfolge die Fließgelenke entstehen. Ferner sind die horizontalen Verschiebungen der oberen Rahmenknoten (u x ) und die vertikale Verschiebung in Riegelmitte (v z ) anzugeben. Der Rahmen sei ein Profil HEA-200. Zur Verfügung stehe keine spezielle Software, sondern lediglich ein übliches Programm zur Berechnung ebener Stabwerke. Lösungsansatz In solchen Fällen ist die im Script (S. 79/80) erwähnte Methode der schrittweisen elastischen Berechnung anzuwenden. Die nachfolgenden Hardcopies sind mit der Studienversion des Programms InfoGraph (Aachen) erstellt, die unter kostenfrei heruntergeladen werden kann. Hinweis: Das vorgegebene vollplastische Moment mit M pl = 10 knm ist offenbar akademischer Natur, da es nicht der zum Profil gehörige Wert ist. Das hat ausschließlich darstellerische Gründe. Folglich sind auch die nachfolgend ausgerechneten Verschiebungen unreal. Das Prinzip ist dennoch praxistauglich. 1. Schritt Im ersten Schritt wird der Rahmen komplett eingespannt modelliert, wie auf der Skizze dargestellt. Da die Traglast als Faktor bestimmt werden soll, ist es ausreichend, die Lasten zunächst als Einheitslasten mit 1,0 (P) und 0,5 (P) anzusetzen. Die Stelle mit dem größten Absolutwert des Momentes zeigt an, wo das erste Fließgelenk entstehen wird. Das ist die rechte obere Rahmenecke (M 4 = -0,761, Bild 2 unten). Der Faktor P für den Fall, dass dort das Fließmoment entsteht ist dann: HTW FB 2 Wilhelminenhofstraße 75a Berlin Seite B-1

2 P 1 = abs (M pl )/abs (M 4 ) = -10 knm / - 0,761 knm = 13,14 (1) und damit werden die Lasten für das erste Fließgelenk erhalten, indem der Einheitslastfall mit diesem Faktor multipliziert wird: 0,5 P 1 = 6,57 kn 1,0 P 1 = 13,14 kn (2) Als zweiter Lastfall im ersten Schritt werden statt der Einheitslasten nun also die um den Faktor P 1 erweiterten Laststufen angesetzt. Am Momentenbild ist erkennbar, dass für diese Laststufe an der Stelle 4 des Tragwerkes tatsächlich das vollplastische Moment erreicht wird. Die weiteren Ergebnisse sind im Anschluss an die Darstellungen der Berechnungen zusammengestellt. Bild 2: Einheitslastfall (oben) und zugehörige Momentenfunktion (unten), Schritt 1 HTW FB 2 Wilhelminenhofstraße 75a Berlin Seite B-2

3 Bild 3: Laststufe P 1 für erstes Fließgelenk (M 4 = 9,995 knm 10 = M pl ) Das nächstgrößere Moment (im Verhältnis zu M pl ) ist an der Stelle 5 im System und weist auf das zweite Fließgelenk hin (M 5 = 9,69 knm) Zusammenfassung Schritt 1, Vorbereitung und Durchführung Schritt 2: - Faktor P 1 = 13,14, erstes Fließgelenk an der Stelle 4 des Tragwerks - Verschiebungen v z,3 = 1,20 mm an der Stelle 3 (Riegelmitte, vertikal) u x,4 = 3,23 mm an der Stelle 4 (oben rechts, horizontal) (Verschiebungsbilder sind am Ende dargestellt.) Das Modell wird für den zweiten Schritt angepasst, indem am Fließgelenk ein echtes Gelenk modelliert wird und das dort auftretende vollplastische Moment M pl = 10 knm an den jeweiligen Stabenden (NICHT am Knoten!!!) als zusätzliche äußere Last angesetzt wird. Der Einheitslastfall bleibt identisch. Zunächst aber die Darstellungen der Systemänderung und das Ergebnis des Einheitslastfalls (ohne Ansatz von M pl ): HTW FB 2 Wilhelminenhofstraße 75a Berlin Seite B-3

4 Bild 4: eingeführtes Gelenk an der Stelle 4 (oben) und Momente des Einheitslastfalls (analog Bild 2) am angepassten System An der Stelle 5 des Tragwerks, dem Ort, an dem nach Bild 3 das zweite Fließgelenk erwartet wird, weist der Einheitslastfall einen Absolutwert von 0,804 aus. Dieser Wert repräsentiert die Differenz, die zur Last des ersten Schrittes addiert werden muss, nachdem das erste Fließgelenk entstanden ist: P 2 = P 1 + P 2 = P 1 + M / M E5 mit M E5 = zugehöriges Moment aus Bild 4 und M = Differenz aus M pl und M 5 aus Bild 3 P 2 = 13,14 + (10 9,69) / 0,804 = 13,53 (3) und damit werden die Lasten für das zweite Fließgelenk erhalten, indem der Einheitslastfall mit Faktor P 2 multipliziert wird: HTW FB 2 Wilhelminenhofstraße 75a Berlin Seite B-4

5 0,5 P 2 = 6,76 kn 1,0 P 2 = 13,53 kn (4) Hier die Lasten (mit M pl für das erste Fließgelenk!!!) und die zugehörigen Momente: Bild 5: Laststufe P 2 für zweites Fließgelenk (M 5 = 9,997 knm 10 = M pl ) Das nächstgrößere Moment (im Verhältnis zu M pl ) ist an der Stelle 3 im System und weist auf das dritte Fließgelenk hin (M 3 = 9,203 knm) Zusammenfassung Schritt 2, Vorbereitung und Durchführung Schritt 3: - Faktor P 2 = 13,53, zweites Fließgelenk an der Stelle 5 des Tragwerks - Verschiebungen v z,3 = 1,20 mm an der Stelle 3 (Riegelmitte, vertikal), kaum verändert u x,4 = 3,44 mm an der Stelle 4 (oben rechts, horizontal) (Verschiebungsbilder sind am Ende dargestellt.) HTW FB 2 Wilhelminenhofstraße 75a Berlin Seite B-5

6 Das Modell wird für den dritten Schritt angepasst, indem am 2. Fließgelenk wieder ein echtes Gelenk modelliert wird und das dort auftretende vollplastische Moment M pl = 10 knm am Stützenfuß als zusätzliche äußere Last angesetzt wird. Der Einheitslastfall bleibt dagegen identisch wie im Bild 2. Zunächst wieder die Darstellungen der Systemänderung und das Ergebnis des Einheitslastfalls: Bild 6: eingeführte Gelenke Stellen 4 und 5 (oben) und Momente des Einheitslastfalls (analog Bild 2) am angepassten System An der Stelle 3 des Tragwerks, dem Ort, an dem nach Bild 5 das dritte Fließgelenk erwartet wird, weist der Einheitslastfall einen Absolutwert von 1,281 aus. Dieser Wert repräsentiert die Differenz, die zur Last des zweiten Schrittes addiert werden muss, nachdem das zweite Fließgelenk entstanden ist: P 3 = P 2 + P 3 = P 2 + M / M E3 Bezeichnungen analog Gl. (3)!!! HTW FB 2 Wilhelminenhofstraße 75a Berlin Seite B-6

7 P 3 = 13,53 + (10 9,203) / 1,281 = 14,15 (5) und damit werden die Lasten für das dritte Fließgelenk erhalten, indem der Einheitslastfall mit Faktor P 3 multipliziert wird und am Stützenfuß zusätzlich M pl angesetzt wird: 0,5 P 3 = 7,08 kn 1,0 P 3 = 14,15 kn (6) Hier die Lasten (mit M pl für die ersten beiden Fließgelenk!!!) und die Momente: Bild 7: Laststufe P 3 für drittes Fließgelenk (M 3 = 10,005 knm 10 = M pl ) Das nächstgrößere Moment (im Verhältnis zu M pl ) ist an der Stelle 1 im System und weist auf das vierte Fließgelenk hin (M 1 = 6,611 knm) Hinweis: Mit dem vierten Fließgelenk wird die kinematische Kette entstehen. HTW FB 2 Wilhelminenhofstraße 75a Berlin Seite B-7

8 Zusammenfassung Schritt 3, Vorbereitung und Durchführung Schritt 4: - Faktor P 3 = 14,15, drittes Fließgelenk an der Stelle 3 des Tragwerks - Verschiebungen v z,3 = 1,40 mm an der Stelle 3 (Riegelmitte, vertikal), u x,4 = 3,94 mm an der Stelle 4 (oben rechts, horizontal) (Verschiebungsbilder sind am Ende dargestellt.) Das Modell wird für den vierten Schritt angepasst, indem am 3. Fließgelenk ein weiteres echtes Gelenk modelliert wird und die dort auftretenden vollplastischen Momente M pl = 10 knm in Riegelmitte als zusätzliche äußere Lasten angesetzt werden. Der Einheitslastfall bleibt wie bisher identisch zu Bild 2: Bild 8: eingeführte Gelenke an den Stellen 3, 4 und 5 (oben) und Momente des Einheitslastfalls (analog Bild 2) am angepassten System HTW FB 2 Wilhelminenhofstraße 75a Berlin Seite B-8

9 An der Stelle 1 des Tragwerks, dem Ort, an dem nach Bild 7 das vierte und letzte Fließgelenk erwartet wird, weist der Einheitslastfall einen Absolutwert von 4,0 aus. Dieser Wert repräsentiert die Differenz, die zur Last des dritten Schrittes addiert werden muss, nachdem das dritte Fließgelenk entstanden ist: P 4 = P 3 + P 4 = P 3 + M / M E1 Bezeichnungen analog Gl. (3) u. (5)!!! P 3 = 14,15 + (10 6,611) / 4,000 = 15,00 (7) und damit werden die Lasten für das dritte Fließgelenk erhalten, indem der Einheitslastfall mit Faktor P 3 multipliziert wird und am Stützenfuß zusätzlich M pl angesetzt wird: 0,5 P 3 = 7,50 kn 1,0 P 3 = 15,00 kn (8) Diese Werte sind als Lasten gemeinsam mit den Fließmomenten an den eingeführten Gelenken am angepassten System anzusetzen. Zunächst das Lastbild: Bild 9: Lasten am angepassten System mit 3 zusätzlichen Gelenken. Mit diesen drei Gelenken ist aus dem dreifach statisch unbestimmten System ein statisch bestimmtes System (Dreigelenkrahmen) entstanden. Mit dem nächsten Fließgelenk wird eine zwangsläufige kinematische Kette entstehen. Wie im Bild 10 auf folgenden Seite zu erkennen ist, wird mit den Lasten aus Bild 9 an der Stelle 1 des Systems das vierte Fließgelenk tatsächlich erreicht. In den vorhergehenden Schritten mussten die an den Fließgelenken übertragbaren Fließmomente stets von Hand angesetzt werden. Dabei ist auf die Wirkungsrichtung der M pl und die exakte Eingabe des Wirkungsortes zu achten. Die M pl dürfen NICHT als Knotenlasten eingegeben werden. Sie sind an den Stabenden einzuführen, also jeweils unmittelbar links und rechts des jeweiligen Fließgelenks. HTW FB 2 Wilhelminenhofstraße 75a Berlin Seite B-9

10 Bild 10: Momentenbild im Augenblick des Entstehens der kinematischen Kette An vier Stellen im Tragwerk ist Mpl erreicht und an keiner weiteren Stelle überschritten. Damit ist die nach den Gleichgewichtsbedingungen berechnete Momentenfunktion sowohl statisch zulässig, als auch sicher, die Anforderungen des statischen Satzes sind erfüllt. Da eine kinematische Kette vorhanden ist (4 Fließgelenke), ist auch die Forderung des kinematischen Satzes erfüllt. Nach dem Einzigkeitssatz kann es sich bei der angegebenen Laststufe 4 mit: P 4 = 15,00 (9) folglich nur um den gesuchten, zur Traglast gehörenden Faktor P handeln. Die Reihenfolge des Entstehens der Fließgelenke entspricht der in den einzelnen Schritten festgestellten: 1. Fließgelenk an der Stelle 4 2. Fließgelenk an der Stelle 5 3. Fließgelenk an der Stelle 3 und 4. Fließgelenk an der Stelle 1 Damit ist die zur Lastkombination gehörende Kette eine Kombination aus Seitenverschiebungs- und Trägerkette. In den vier Laststufen wurden schließlich folgende Verschiebungen berechnet (in mm): Laststufe P1 P2 P3 P4 u 4,x 3,23 3,44 3,94 6,92 v 3,z 1,20 1,20 1,40 4,30 Die Verschiebungsfunktionen sind abschließend auf der folgenden Seite dargestellt: HTW FB 2 Wilhelminenhofstraße 75a Berlin Seite B-10

11 Die 4 Verschiebungsbilder sind allen 4 Laststufen ähnlich, wie nicht anders zu erwarten. An den modellierten Gelenken sind die Verdrehungen auch eher klein, da ja die angesetzten Fließmomente gerade so gerichtet sind, dass sie den Gelenkverdrehungen entgegen wirken (Tragwerkswiderstand). Erst in der letzten Stufe, also im Moment des Entstehens der kinematischen Kette, werden die Verschiebungen etwas größer. Das hängt natürlich damit zusammen, dass das Tragwerk mit jedem eingeführten Gelenk etwas weicher wird. Die Tabelle auf der vorhergehenden Seite zeigt die Entwicklung der Verschiebungen deutlicher. Anhand dieses Beispiels ist zu erkennen: - Das Traglastverfahren kann auch mit üblichen Stabwerksprogrammen durchgeführt werden. Dafür sind von Hand nur wenige Ergänzungsberechnungen nötig. - Der Aufwand gegenüber einer üblichen elastischen Berechnung ist etwa das Vielfache der auftretenden Fließgelenke, da genau so oft das System angepasst werden muss. HTW FB 2 Wilhelminenhofstraße 75a Berlin Seite B-11