Stochastik Musterlösung 7

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1 ETH Zürich HS 216 RW, D-MATL, D-MAVT Prof. Dr. Martin Schweizer Koordinator Calypso Herrera Stochastik Musterlösung 7 1. a) Es sind folgende zwei Eigenschaften zu zeigen: f X,Y (x, y) für alle (x, y) R 2 : das ist offensichtlich der Fall. R 2 f X,Y (x, y)dx 1. Da f ausserhalb von D verschwindet, genügt es, das Integral über D zu berechnen: 1 b) Wir berechnen zuerst die Randdichten f X (x) f Y (y) 1 (1 + 16xy + 6y 2 )dx (1 + 8x + 2)dx 1. f X,Y (x, y) 1 (1 + 16xy + 6y 2 ) 3 + 8x für x (1 + 16xy + 6y 2 )dx y y2 für y [, 1]. Für E(X) und E(Y ) erhalten wir demnach E(X) E(Y ) xf X (x)dx yf Y (y) 1 (3x + 8x 2 )dx 13 96, ( 1 y y2 + 3 ) 2 y [, 1 ] c) Die Kovarianz berechnen wir durch Cov(X, Y ) E(XY ) E(X)E(Y ). Für E(XY ) erhalten wir E(XY ) 1 xy(1 + 16xy + 6y 2 )dx Also ist Cov(X, Y ) E(XY ) E(X)E(Y ) 13 ( 2x + 16 ) 3 x2 dx , Bitte wenden!

2 d) Es gilt f X,Y (x, y) xy + 6y 2 (3 + 8x)( 1 + 1y y2 ) f X (x)f Y (y) für einige (x, y) [, 1 ] [, 1], d.h. X und Y sind nicht unabhängig, obwohl sie unkorreliert sind. e) Wir haben E(Y X ) yf Y (y X 1 8 ) y f X,Y ( 1, y) 8 f X ( 1) 8 (y + 2y 2 + 6y 3 ) a) Alle Wahrscheinlichkeiten müssen sich zu 1 aufaddieren, also daraus folgt a 1.3%. 1 3 P (X i, Y j); i,j1 b) P (X 1) 3 j1 P (X 1, Y j) 11.6% +.5% + 7.6% 23.7%. Analog P (X 2) 6.7%, P (X 3) 15.6%. Ebenso: P (Y 1) 23.2%, P (Y 2) 51.8%, P (Y 3) 25.%. In Tabellenschreibweise: Körperbautyp Körperbautyp der Ehefrau insgesamt des Ehemannes 1 leptosom 2 athletisch 3 pyknisch 1 leptosom 11.6%.5% 7.6% 23.7% 2 athletisch 7.1% 6.% 7.6% 6.7% 3 pyknisch.5% 1.3% 9.8% 15.6% insgesamt 23.2% 51.8% 25.% 1.% c) P (X 2 Y 2) P (X 2,Y 2) P (Y 2) 11.6%+.5%+7.1%+6.% 23.2%+51.8% 92.3%. d) Multiplikation der Randverteilungen (Unabhängigkeitsannahme!) ergibt folgende Werte für die gemeinsame Verteilung: Siehe nächstes Blatt!

3 Körperbautyp Körperbautyp der Ehefrau insgesamt des Ehemannes 1 leptosom 2 athletisch 3 pyknisch 1 leptosom 5.5% 12.3% 5.9% 23.7% 2 athletisch 1.1% 31.% 15.2% 6.7% 3 pyknisch 3.6% 8.1% 3.9% 15.6% insgesamt 23.2% 51.8% 25.% 1.% Vergleich der beiden Tabellen: An den Randverteilungen haben wir nichts geändert. Dennoch weichen die einzelnen Wahrscheinlichkeiten der gemeinsamen Verteilungen stark voneinander ab. Hier wird offensichtlich, dass die Randverteilungen die gemeinsame Verteilung keineswegs eindeutig beschreiben. Im vorliegenden Beispiel erkennen wir, dass in der hessischen Landbevölkerung Heiraten unter Personen mit gleichem Körperbau häufiger vorkommen, als man dies bei einer zufälligen Partnerwahl erwarten würde. 3. a) Verteilungsfunktion von Z: F Z (z) P (Z z) P (Z z Y > )P (Y > ) + P (Z z Y )P (Y ) ( ) 1 2 P (X z Y > ) + 1 P ( X z Y ) 2 ( ) 1 2 P (X z) P (X z) 1 (Φ(z) + 1 Φ( z)) 2 Φ(z), z R. Also ist Z ebenfalls N (, 1)-verteilt. (*) falls Y > ist, so ist Z X und falls Y ist, so ist Z X. (**) da X und Y unabhängig sind. b) Mit Corr(X, Z) Cov(X,Z) σ X σ Z folgt aus Cov(X, Z) E(XZ) E(X)E(Z) E(XZ) E(sign(Y ) X 2 ) E(sign(Y )) E(X 2 ), dass die Korrelation von X und Z gleich ist. c) P (X + Z ) P (Z X) P (Y ) 1 2. d) Nein, denn sonst wäre X + Z N (, 2) und damit P (X + Z ), im Widerspruch zu b). Alternative Begründung: wenn X und Z unabhängig wären, müsste für alle A und B in R gelten P (X A, Z B) P (X A)P (Z B), Bitte wenden!

4 aber z.b. gilt für A [, 1] und B [2, ) P (X A, Z B) < P (X A)P (Z B).. a) P (X > 2Y ) P ((X, Y ) A) mit A {(x, y) R 2 : x > 2y}; also P (X > 2Y ) f X,Y (x, y)dx A f X (x)f Y (y)dx (weil X und Y unabhängig sind) A dx λ 1 e λ1x λ 2 e λ 2y 2y dx λ 1 e λ 1x λ 2 e λ 2y 2y ( e 2λ 1 y ) λ 2 e λ 2y λ 2 2λ 1 + λ 2 λ 2 2λ 1 + λ 2.25 (2λ 1 + λ 2 )e (2λ 1+λ 2 )y b) Wir suchen E(Y X ). Dazu berechnen wir, mit x, E(Y X x) y f Y Xx (y) y f X,Y (x, y) f X (x) y f X(x)f Y (y) f X (x) yf Y (y) E(Y ) 1 λ (weil X und Y unabhängig sind) Alternative: wegen der Unabhängigkeit von X und Y kann man den bedingten Erwartungswert auch direkt berechnen, d.h. E(Y X x) E(Y ). Siehe nächstes Blatt!

5 5. a) Die Erwartungswerte von X und Y sind: E(X) xf X (x)dx 1 x 1 2 dx [ 1 x2 ] 1 E(Y ) yf Y (y) 3 2 y(2y y 2 ) 3 [ 2 ] 3 y3 y 2 1 Der Erwartungswert für 6X Y + 2 wird wie folgt berechnet: E(6X Y + 2) 6E(X) E(Y ) b) Die Varianzen für X und Y betragen: Var(X) E(X 2 ) E(X) 2 Var(Y ) E(Y 2 ) E(Y ) 2 E(Y 2 ) E(X 2 ) x 2 f X (x)dx y 2 f Y (y) x2 dx [ x 3 6 y 2 (2y y 2 ) 3 ] 1 [ y y5 5 ] Var(X) 1 3 Var(Y ) 1 5. Daraus ergibt sich die folgende Berechnung der Kovarianz Cov(6X, Y ): Cov(X, Y ) ϱ X,Y Var(X) Var(Y ) 1/3 1/3 1/5 5, Cov(6X, Y ) 6 Cov(X, Y ) 2 5. c) Var(6X Y + 2) Var(6X) + Var(Y ) 2Cov(6X, Y ) 36 Var(X) + 16 Var(Y ) 2Cov(6X, Y ) d) E(6X 2 Y 2 ) 6E(X 2 ) E(Y 2 )