1. Die gemeinsame Dichtefunktion der Zufallsvariablen X,Y sei. 1 für 0 x 1 und 0 y 1 0 sonst. 1 Volumen über schraffierter Fläche = = 0.

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Holger Norbert Kaufer
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1 Übungsbeispiele. Die gemeinsame Dichtefunktion der Zufallsvariablen X,Y sei { für und f(,) sonst (a) Skizzieren Sie die Dichtefunktion. f(,) (b) Berechnen Sie P(.5,.75) Lösung:.75 Volumen über schraffierter Fläche Für die analtische Lösung berücksichtigen wir, daß f(,) für, und für,, also f(,)dd und + + f(, ) d d. Deshalb können wir einfacher schreiben

2 P(.5,.75) d.5d f(,)dd dd (c) Berechnen Sie die Dichtefunktion der Randverteilung f() von X. Lösung: f() + d f(,)d für Analog erhält man die die Dichtefunktion f() der Randverteilung von Y f() für Daraus ist auch unmittelbar erkennbar, daß X und Y stochastisch unabhängig sind, da f(,) f()f() Die bedingte Dichtefunktion f( Y ) f( Y ) f(,) f() für ist deshalb auch gleich der Randverteilung f(), was natürlich schon aus der Unabhängigkeit folgt.. Die gemeinsame Dichtefunktion der Zufallsvariablen X,Y sei { für und f(,) sonst Diese Dichtefunktion ist in der folgenden Abbildung skizziert.

3 f(,) Das Volumen unter dieser Funktion ist Eins, da + + f(,)dd d d d ( )d oder einfacher, das Volumen über dem Dreieck in der vorhergehenden Skizze [( )/]. Außerdem ist f(, ), also erfüllt diese Funktion die Definitionseigenschaften einer Dichtefunktion. Für jedes ist die Randverteilung f() gleich dem Integral über alle bei diesem : f() f(,)d d für X 3

4 f() Die Wahrscheinlichkeit für <.5 kann mit Hilfe der vorhin berechneten Randwahrscheinlichkeit berechnet werden P( <.5).5 ( )d oder graphisch das Volumen über der schraffierten Fläche (.5.5 /).75.5 bzw. die Fläche unter der Randverteilung f() für X.5, d.h..5+(.5)/.75. f().5 Offensichtlich sind bei dieser Verteilung X und Y nicht unabhängig, da f(,) f()f() Die bedingte Dichtefunktion von Y gegeben X.5 ist f( X ) f(,) f() 4 für

5 also f( X.5).5 f(,) für.5 f( X.5) Achtung: Die Fläche (bzw. das Volumen unter) einer Dichtefunktion ist per Definition immer gleich Eins. Also ist die bedingte Dichtefunktion von Y für X.8 f( X.8).8 5 für. die bedingte Dichtefunktion hat also eine Höhe ( f( X.8)) von 5 und eine Breite ( ) von.. Die Wahrscheinlichkeit für.5 gegeben X.5 ist zum Beispiel P(.5 X.5) f( X.5).5 Fläche von A.5 d.5.5 Y A.5 Der Erwartungswert von X + Y ist E(X + Y ) ( + )d d /3 5

6 und der Erwartungswert von X Y ist E(X Y ) ()d d / Der bedingte Erwartungswert E(Y X ) ist E( X ) + f( X )d d Die folgende Abbildung zeigt den Grundriß der Dichtefunktion. Für ist E( X.5).5, für X ist E( X ), für X.5 ist E( X.5).5, usw..5.5 Was ist die bedingte Varianz von Y? 3. Zwei Zufallsvariablen X und Y seien bivariat normalverteilt mit X N(, 3), Y N(, ), und Cov(X,Y ).5. In Matrischreibweise wird dies üblicherweise folgendermaßen notiert: ( X Y ) N [( ), Was ist die Verteilung von V X + 3Y? V ist univariat normalverteilt mit ( )] E(V ) E(X + 3Y ) E(X) + 3E(Y ) Var(V ) Var(X + 3Y ) Also ist V N(7, 36). Var(X) + Var(3Y ) + Cov(X, 3Y ) Var(X) +3 Var(Y ) + 3 Cov(X,Y ) }{{}}{{}}{{}

7 4. Erzeugen Sie in EViews zwei unabhängige Zufallsvariablen X N(, 3), Y N(, ), und Cov(X,Y ), d.h. ( ) [( ) ( )] X 3 N, Y mit je, Beobachtungen, und erzeugen Sie eine Grafik mit den Histogrammen. Berechnen Sie V X + 3Y und zeigen Sie das Histogramm. Welchen Mittelwert und welche Varianz von V erwarten Sie? Stimmen die erwarteten Werte näherungsweise mit den empirischen Werten überein? Die erzeugt in EViews eine normalverteilte Zufallszahl mit Mittelwert Null und Standardabweichung Eins. Wenn Z N(, ) ist X + 3Z N(, 3), da Var(X) Var( + 3Z) 3 Var(Z) 3. Der folgende Code legt einen Workfile mit dem Namen TEST für Querschnitts-Beobachtungen (Option u für undated ) an und erzeugt die drei Zufallsvariablen (Befehle series). Die freeze-befehle erzeugen die Grafiken mit den drei einzelnen Histogrammen, die mit dem graph und merge Befehl zu einer Grafik zusammengefaßt und mit dem Befehl show angezeigt werden. workfile TEST u series X series Y series V *X + 3*Y freeze(hx) X.hist freeze(hy) Y.hist freeze(hv) V.hist graph GRAFIK.merge HX HY HV show GRAFIK Series: X Sample Observations Mean Median.39 Maimum.7465 Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera.3678 Probabilit Series: Y Sample Observations Mean Median.3436 Maimum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera.376 Probabilit

8 Series: V Sample Observations Mean Median 7. Maimum 8.84 Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probabilit.5964 Var(V ) Var(X + 3Y ) Var(X) + Var(3Y ) + Cov(X, 3Y ) Var(X) +3 Var(Y ) + 3 Cov(X,Y ) }{{}}{{}}{{} Std.Dev.(V ) Var(V )

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