Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen 4. Der t-test

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1 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen 4. Der t-test Matthias Birkner & Dirk Metzler Mai 2009

2 1 t-test für gepaarte Stichproben Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern Beispiel: Richtungsabhängige Korkdicke Prinzip des statistischen Testens

3 Inhalt t-test für gepaarte Stichproben 1 t-test für gepaarte Stichproben Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern Beispiel: Richtungsabhängige Korkdicke Prinzip des statistischen Testens

4 Inhalt t-test für gepaarte Stichproben Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern 1 t-test für gepaarte Stichproben Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern Beispiel: Richtungsabhängige Korkdicke Prinzip des statistischen Testens

5 Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern Trauerschnäpper (Ficedula hypoleuca) Foto (c) Simon Eugster hypoleuca NRM.jpg

6 Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern Wiltschko, W.; Gesson, M.; Stapput, K.; Wiltschko, R. Light-dependent magnetoreception in birds: interaction of at least two different receptors. Naturwissenschaften 91.3, pp , Wiltschko, R.; Ritz, T.; Stapput, K.; Thalau, P.; Wiltschko, W. Two different types of light-dependent responses to magnetic fields in birds. Curr Biol 15.16, pp , Wiltschko, R.; Stapput, K.; Bischof, H. J.; Wiltschko, W. Light-dependent magnetoreception in birds: increasing intensity of monochromatic light changes the nature of the response. Front Zool, 4, 2007.

7 Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern

8 Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern Richtung eines Fluges bei blauem Licht.

9 Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern Richtung eines Fluges bei blauem Licht. Richtung eines weitereen Fluges des selben Vogels bei blauem Licht.

10 Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern Richtungen aller Flüge dieses Vogels bei blauem Licht.

11 Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern Richtungen aller Flüge dieses Vogels bei blauem Licht.

12 Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern Richtungen aller Flüge dieses Vogels bei blauem Licht. Zugehörige Austrittspunkte.

13 Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern Richtungen aller Flüge dieses Vogels bei grünem Licht.

14 Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern Richtungen aller Flüge dieses Vogels bei grünem Licht. Zugehörige Austrittspunkte.

15 Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern Zugehörige Austrittspunkte. Pfeilspitze: Schwerpunkt der Austrittspunkte bei grünem Licht.

16 Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern Pfeilspitze: Schwerpunkt der Austrittspunkte bei grünem Licht.

17 Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern Pfeilspitze: Schwerpunkt der Austrittspunkte bei grünem Licht. Das selbe für die blauen Austrittspunkte.

18 Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern Pfeilspitze: Schwerpunkt der Austrittspunkte bei grünem Licht. Das selbe für die blauen Austrittspunkte. Je Variabler die Richtungen desto kürzer der Pfeil!

19 Fragestellung t-test für gepaarte Stichproben Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern Hat die Farbe der monochromatischen Beleuchtung einen Einfluß auf die Orientierung?

20 Fragestellung t-test für gepaarte Stichproben Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern Hat die Farbe der monochromatischen Beleuchtung einen Einfluß auf die Orientierung? Experiment: Bei 17 Vögeln wurde die Länge des Schwerpunktsvektors sowohl bei blauem als auch bei grünem Licht bestimmt.

21 Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern Trauerschnäpper: Länge des Schwerpunktsvektors bei grünem und bei blauem Licht, n=17 with green light with blue light

22 Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern Wir berechnen nun für jeden Vogel den Abstand des Punktes von der Diagonale,

23 Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern Wir berechnen nun für jeden Vogel den Abstand des Punktes von der Diagonale, d.h. x := Grünwert Blauwert

24 Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern Wir berechnen nun für jeden Vogel den Abstand des Punktes von der Diagonale, d.h. x := Grünwert Blauwert

25 Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern Kann der wahre Mittelwert µ = 0 sein?

26 Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern Kann der wahre Mittelwert µ = 0 sein? x =

27 Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern Kann der wahre Mittelwert µ = 0 sein? x = s =

28 Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern Kann der wahre Mittelwert µ = 0 sein? x = s = SEM = s n

29 Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern Kann der wahre Mittelwert µ = 0 sein? x = s = SEM = s = n 17

30 Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern Kann der wahre Mittelwert µ = 0 sein? x = s = SEM = s = n 17 = 0.022

31 Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern Kann der wahre Mittelwert µ = 0 sein? x = s = SEM = s = n 17 = 0.022

32 Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern Ist x µ eine große Abweichung?

33 Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern Ist x µ eine große Abweichung? Groß?

34 Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern Ist x µ eine große Abweichung? Groß? Groß im Vergleich zu was?

35 Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern Ist x µ eine große Abweichung? Groß? Groß im Vergleich zu was? Groß im Vergleich zum Standardfehler?

36 Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern x µ s/ n

37 Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern x µ s/ n Also: x ist mehr als 2.3 Standardfehler von µ = 0 entfernt.

38 Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern x µ s/ n Also: x ist mehr als 2.3 Standardfehler von µ = 0 entfernt. Wie wahrscheinlich ist das, wenn 0 der wahre Mittelwert ist?

39 Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern x µ s/ n Also: x ist mehr als 2.3 Standardfehler von µ = 0 entfernt. Wie wahrscheinlich ist das, wenn 0 der wahre Mittelwert ist? anders gefragt: Ist diese Abweichung signifikant?

40 Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern Wir wissen: x µ σ/ n ist asymptotisch (für große n) Standardnormalverteilt.

41 Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern Wir wissen: x µ σ/ n ist asymptotisch (für große n) Standardnormalverteilt. Dabei ist σ die theoretische Standardabweichung, die wir nicht kennen.

42 Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern Wir wissen: x µ σ/ n ist asymptotisch (für große n) Standardnormalverteilt. Dabei ist σ die theoretische Standardabweichung, die wir nicht kennen. Statt σ verwenden wir die Stichprobenvarianz s.

43 Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern Wir wissen: x µ σ/ n ist asymptotisch (für große n) Standardnormalverteilt. Dabei ist σ die theoretische Standardabweichung, die wir nicht kennen. Statt σ verwenden wir die Stichprobenvarianz s. Wir haben dann die 2/3-Faustregel angewendet, die auf der Normalverteilung beruht.

44 Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern Wir wissen: x µ σ/ n ist asymptotisch (für große n) Standardnormalverteilt. Dabei ist σ die theoretische Standardabweichung, die wir nicht kennen. Statt σ verwenden wir die Stichprobenvarianz s. Wir haben dann die 2/3-Faustregel angewendet, die auf der Normalverteilung beruht. Für Fragen der Signifikanz ist die aber die Approximation durch die Normalverteilung zu unpräzise, wenn σ durch s ersetzt wird (und n nicht riesig groß ist).

45 Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern Allgemein gilt Sind X 1,..., X n unabhängig aus einer Normalverteilung mit Mittelwert µ gezogen und ist s = 1 n (X i X) n 1 2, so ist i=1 X µ s/ n t-verteilt mit n 1 Freiheitsgraden (df=degrees of freedom).

46 Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern Allgemein gilt Sind X 1,..., X n unabhängig aus einer Normalverteilung mit Mittelwert µ gezogen und ist s = 1 n (X i X) n 1 2, so ist i=1 X µ s/ n t-verteilt mit n 1 Freiheitsgraden (df=degrees of freedom). Die t-verteilung heißt auch Student-Verteilung, da Gosset sie unter diesem Pseudonym publiziert hat.

47 Dichte der t-verteilung Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern density Dichte der t-verteilung mit 16 Freiheitsgraden

48 Dichte der t-verteilung Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern density Dichte der t-verteilung mit 16 Freiheitsgraden Dichte der Standardnormalverteilung

49 Dichte der t-verteilung Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern density Dichte der t-verteilung mit 16 Freiheitsgraden Dichte der Normalverteilung mit µ = 0 und σ 2 = 16 14

50 Dichte der t-verteilung Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern density Dichte der t-verteilung mit 5 Freiheitsgraden Dichte der Normalverteilung mit µ = 0 und σ 2 = 5 3

51 Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern Wie (un)wahrscheinlich ist nun eine so große Abweichung wie 2.35 Standardfehler? Pr(T = 2.34) =

52 Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern Wie (un)wahrscheinlich ist nun eine so große Abweichung wie 2.35 Standardfehler? Pr(T = 2.34) = 0

53 Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern Wie (un)wahrscheinlich ist nun eine mindestens so große Abweichung wie 2.35 Standardfehler? Pr(T = 2.34) = 0 Das bringt nichts!

54 Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern Wie (un)wahrscheinlich ist nun eine so große Abweichung wie 2.35 Standardfehler? Pr(T = 2.34) = 0 Das bringt nichts! Zu berechnen ist Pr(T 2.34), der sog. p-wert. density

55 Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern Wie (un)wahrscheinlich ist nun eine so große Abweichung wie 2.35 Standardfehler? Pr(T = 2.34) = 0 Das bringt nichts! Zu berechnen ist Pr(T 2.34), der sog. p-wert. density Also der Gesamtinhalt der magentafarbenen Flächen

56 Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern R macht das für uns: > pt(-2.34,df=16)+pt(2.34,df=16,lower.tail=false) [1]

57 Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern R macht das für uns: > pt(-2.34,df=16)+pt(2.34,df=16,lower.tail=false) [1] Zum Vergleich mal mit der Normalverteilung: > pnorm(-2.34)+pnorm(2.34,lower.tail=false) [1] > pnorm(-2.34,sd=16/14)+ + pnorm(2.34,sd=16/14,lower.tail=false) [1]

58 Vollständiger t-test mit R Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern > x <- trauerschn$gruen-trauerschn$blau > t.test(x) One Sample t-test data: x t = , df = 16, p-value = alternative hypothesis: true mean is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of x

59 Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern Wir halten fest: p Wert =

60 Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern Wir halten fest: p Wert = d.h.: Wenn die Nullhypothese alles nur Zufall, also in diesem Fall die Hypothese µ = 0 gilt, dann ist eine mindestens so große Abweichung sehr unwahrscheinlich.

61 Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern Wir halten fest: p Wert = d.h.: Wenn die Nullhypothese alles nur Zufall, also in diesem Fall die Hypothese µ = 0 gilt, dann ist eine mindestens so große Abweichung sehr unwahrscheinlich. Wenn wir beschließen, dass wir die Nullhypothese immer verwerfen, wenn der p-wert unterhalb einem Signifikanzniveau von 0.05 liegt, gilt:

62 Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern Wir halten fest: p Wert = d.h.: Wenn die Nullhypothese alles nur Zufall, also in diesem Fall die Hypothese µ = 0 gilt, dann ist eine mindestens so große Abweichung sehr unwahrscheinlich. Wenn wir beschließen, dass wir die Nullhypothese immer verwerfen, wenn der p-wert unterhalb einem Signifikanzniveau von 0.05 liegt, gilt: Falls die Nullhypothese zutrifft, ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir sie zu Unrecht verwerfen, lediglich 0.05.

63 Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern Wenn wir uns auf ein Signifikanzniveau von α = 0.05 festlegen, verwerfen wir die Nullhypothese also, wenn der t-wert in den roten Bereich fällt: density (hier am Beispiel der t Verteilung mit df= 16 Freiheitsgraden)

64 Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern Welche t-werte sind auf dem 5%-Niveau signifikant? Anzahl Freiheitsgrade t

65 Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern Welche t-werte sind auf dem 5%-Niveau signifikant? Anzahl Freiheitsgrade t > qt(0.025,df=c(5,10,20,30,100,1e100))

66 Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern Welche t-werte sind auf dem 5%-Niveau signifikant? Anzahl Freiheitsgrade t > qt(0.025,df=c(5,10,20,30,100,1e100)) [1]

67 Inhalt t-test für gepaarte Stichproben Beispiel: Richtungsabhängige Korkdicke 1 t-test für gepaarte Stichproben Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern Beispiel: Richtungsabhängige Korkdicke Prinzip des statistischen Testens

68 t-test fu r gepaarte Stichproben Beispiel: Richtungsabha ngige Korkdicke Korkeiche (Quercus suber) Foto (c) Hannes Grobe

69 Beispiel: Richtungsabhängige Korkdicke Fragestellung: Hängt die Korkdicke von der Himmelsrichtung ab? Foto (c) Manfred Werner

70 Achtung: simulierte Daten! Beispiel: Richtungsabhängige Korkdicke Im Beispiel mit den Korkdicken verwenden wir wieder simulierte Daten, die aber Daten aus echten Studien nachempfunden sind, auch im Ergebnis.

71 Beispiel: Richtungsabhängige Korkdicke Bei n = 28 Bäumen wurden die Korkdicken [mm] in den vier Himmelsrichtungen gemessen: n e s w

72 Beispiel: Richtungsabhängige Korkdicke Korkdicken nach Himmelsrichtung getrennt n e s w

73 Beispiel: Richtungsabhängige Korkdicke Korkdicken nach Himmelsrichtung getrennt n e s w Kann da was signifikant unterschiedlich sein???

74 Beispiel: Richtungsabhängige Korkdicke n e s w Stripchart der Korkdicken je nach Himmelsrichtung

75 Beispiel: Richtungsabhängige Korkdicke n e s w Stripchart der Korkdicken je nach Himmelsrichtung mit Mittelwerten

76 Beispiel: Richtungsabhängige Korkdicke n e s w Stripchart der Korkdicken je nach Himmelsrichtung mit Mittelwerten und Mittelwerten ± Standardfehler

77 Beispiel: Richtungsabhängige Korkdicke n e s w Stripchart der Korkdicken je nach Himmelsrichtung mit Mittelwerten und Mittelwerten ± Standardfehler Kann da was signifikant unterschiedlich sein???

78 Beispiel: Richtungsabhängige Korkdicke Haben wir irgendwas übersehen?

79 Beispiel: Richtungsabhängige Korkdicke Haben wir irgendwas übersehen? Wir haben bisher vernachlässigt welche Werte vom selben Baum kommen!

80 Beispiel: Richtungsabhängige Korkdicke Haben wir irgendwas übersehen? Wir haben bisher vernachlässigt welche Werte vom selben Baum kommen! Die Bäume unterscheiden sich sehr in ihrer Größe und Dicke.

81 Beispiel: Richtungsabhängige Korkdicke Haben wir irgendwas übersehen? Wir haben bisher vernachlässigt welche Werte vom selben Baum kommen! Die Bäume unterscheiden sich sehr in ihrer Größe und Dicke. Vergleiche also jeweils Paare von Korkdicken, die vom selben Baum kommen! ( gepaarter t-test)

82 Beispiel: Richtungsabhängige Korkdicke Korkdicken [mm] bei n = 28 Bäumen Korkdicke an der Westseite kork$w kork$n Korkdicke an der Nordseite

83 Beispiel: Richtungsabhängige Korkdicke Differenz der Korkdicken and der Nord- und der Westseite für n = 28 Bäume Ist die Differenz signifikant von 0 verschieden?

84 Beispiel: Richtungsabhängige Korkdicke Differenz der Korkdicken and der Nord- und der Westseite für n = 28 Bäume mit Mittelwert Ist die Differenz signifikant von 0 verschieden?

85 Beispiel: Richtungsabhängige Korkdicke Differenz der Korkdicken and der Nord- und der Westseite für n = 28 Bäume mit Mittelwert und Mittelwert±Standardfehler Ist die Differenz signifikant von 0 verschieden?

86 Beispiel: Richtungsabhängige Korkdicke x := (Korkdicke Nordseite) (Korkdicke Westseite)

87 Beispiel: Richtungsabhängige Korkdicke x := (Korkdicke Nordseite) (Korkdicke Westseite) x 5.36

88 Beispiel: Richtungsabhängige Korkdicke x := (Korkdicke Nordseite) (Korkdicke Westseite) x 5.36 s x 7.99

89 Beispiel: Richtungsabhängige Korkdicke x := (Korkdicke Nordseite) (Korkdicke Westseite) x 5.36 s x 7.99 s x n 1.51

90 Beispiel: Richtungsabhängige Korkdicke x := (Korkdicke Nordseite) (Korkdicke Westseite) x 5.36 s x 7.99 s x n 1.51 t Wert =

91 Beispiel: Richtungsabhängige Korkdicke x := (Korkdicke Nordseite) (Korkdicke Westseite) x 5.36 s x 7.99 s x n 1.51 t Wert = x s x / n 3.547

92 Beispiel: Richtungsabhängige Korkdicke x := (Korkdicke Nordseite) (Korkdicke Westseite) x 5.36 s x 7.99 s x n 1.51 x t Wert = s x / n Anzahl Freiheitsgrade: df =

93 Beispiel: Richtungsabhängige Korkdicke x := (Korkdicke Nordseite) (Korkdicke Westseite) x 5.36 s x 7.99 s x n 1.51 x t Wert = s x / n Anzahl Freiheitsgrade: df = n 1 = 27

94 Beispiel: Richtungsabhängige Korkdicke > t.test(kork$n-kork$w) One Sample t-test data: kork$n - kork$w t = , df = 27, p-value = alternative hypothesis: true mean is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of x

95 Beispiel: Richtungsabhängige Korkdicke east south west south west east north south north west north east

96 Beispiel: Richtungsabhängige Korkdicke east south west south west east north south north west north east p value=

97 Beispiel: Richtungsabhängige Korkdicke east south west south west east north south north west p value= north east p value=

98 Beispiel: Richtungsabhängige Korkdicke east south west south west east north south p value= north west p value= north east p value=

99 Beispiel: Richtungsabhängige Korkdicke east south west south west east north south p value= p value= north west p value= north east p value=

100 Beispiel: Richtungsabhängige Korkdicke east south west south p value= west east north south p value= p value= north west p value= north east p value=

101 Beispiel: Richtungsabhängige Korkdicke east south p value= west south p value= west east north south p value= p value= north west p value= north east p value=

102 Inhalt t-test für gepaarte Stichproben Prinzip des statistischen Testens 1 t-test für gepaarte Stichproben Beispiel: Orientierung bei Trauerschnäppern Beispiel: Richtungsabhängige Korkdicke Prinzip des statistischen Testens

103 Beispiel: Codon Bias Prinzip des statistischen Testens Wir beobachten mal CCT und mal CCA

104 Prinzip des statistischen Testens Beispiel: Codon Bias Wir beobachten mal CCT und mal CCA Wenn beide eigentlich gleich wahrscheinlich sind, erwarten wir von jedem.

105 Prinzip des statistischen Testens Beispiel: Codon Bias Wir beobachten mal CCT und mal CCA Wenn beide eigentlich gleich wahrscheinlich sind, erwarten wir von jedem. Die Beobachtung weicht um 2156 von diesem Erwartungswert ab

106 Prinzip des statistischen Testens Beispiel: Codon Bias Wir beobachten mal CCT und mal CCA Wenn beide eigentlich gleich wahrscheinlich sind, erwarten wir von jedem. Die Beobachtung weicht um 2156 von diesem Erwartungswert ab z-test: Die Wahrscheilichkeit einer mindestens so großen Abweichung ist kleiner als 10 20

107 Prinzip des statistischen Testens Beispiel: Codon Bias Wir beobachten mal CCT und mal CCA Wenn beide eigentlich gleich wahrscheinlich sind, erwarten wir von jedem. Die Beobachtung weicht um 2156 von diesem Erwartungswert ab z-test: Die Wahrscheilichkeit einer mindestens so großen Abweichung ist kleiner als Also sind CCT und CCA wohl nicht gleich wahrscheinlich.

108 Prinzip des statistischen Testens Beispiel: Zugvogelorientierung Wie variabel ist die Abflugrichtung bei grünem und bei blauem Licht.

109 Prinzip des statistischen Testens Beispiel: Zugvogelorientierung Wie variabel ist die Abflugrichtung bei grünem und bei blauem Licht. Wir messen die Variabilität durch die Länge des Schwerpunktsvektors.

110 Prinzip des statistischen Testens Beispiel: Zugvogelorientierung Wie variabel ist die Abflugrichtung bei grünem und bei blauem Licht. Wir messen die Variabilität durch die Länge des Schwerpunktsvektors. Quantifiziere Unterschied durch X =(Länge grün) (Länge blau).

111 Prinzip des statistischen Testens Beispiel: Zugvogelorientierung Wie variabel ist die Abflugrichtung bei grünem und bei blauem Licht. Wir messen die Variabilität durch die Länge des Schwerpunktsvektors. Quantifiziere Unterschied durch X =(Länge grün) (Länge blau). Wenn das Licht keinen Einfluss hat, gilt EX = 0.

112 Prinzip des statistischen Testens Beispiel: Zugvogelorientierung X =(Länge grün) (Länge blau) Wenn das Licht keinen Einfluss hat, gilt EX = 0.

113 Prinzip des statistischen Testens Beispiel: Zugvogelorientierung X =(Länge grün) (Länge blau) Wenn das Licht keinen Einfluss hat, gilt EX = 0. Wir beobachten aber X = und SEM=

114 Prinzip des statistischen Testens Beispiel: Zugvogelorientierung X =(Länge grün) (Länge blau) Wenn das Licht keinen Einfluss hat, gilt EX = 0. Wir beobachten aber X = und SEM= t-test: p-wert dieser Abweichung ist ca. 3.3%.

115 Prinzip des statistischen Testens Beispiel: Zugvogelorientierung X =(Länge grün) (Länge blau) Wenn das Licht keinen Einfluss hat, gilt EX = 0. Wir beobachten aber X = und SEM= t-test: p-wert dieser Abweichung ist ca. 3.3%. Vermutlich hat die Lichtfarbe also doch einen Einfluß

116 Beispiel: Dicke des Korks Prinzip des statistischen Testens X =(Korkdicke an der Nordseite) (Korkdicke an der Westseite)

117 Beispiel: Dicke des Korks Prinzip des statistischen Testens X =(Korkdicke an der Nordseite) (Korkdicke an der Westseite) Wenn die Seite keine Rolle spielt, ist EX = 0.

118 Beispiel: Dicke des Korks Prinzip des statistischen Testens X =(Korkdicke an der Nordseite) (Korkdicke an der Westseite) Wenn die Seite keine Rolle spielt, ist EX = 0. Wir sehen aber X = 5.36 und SEM=

119 Beispiel: Dicke des Korks Prinzip des statistischen Testens X =(Korkdicke an der Nordseite) (Korkdicke an der Westseite) Wenn die Seite keine Rolle spielt, ist EX = 0. Wir sehen aber X = 5.36 und SEM= t-test: p-wert dieser Abweichung ist ca. 0.14%.

120 Beispiel: Dicke des Korks Prinzip des statistischen Testens X =(Korkdicke an der Nordseite) (Korkdicke an der Westseite) Wenn die Seite keine Rolle spielt, ist EX = 0. Wir sehen aber X = 5.36 und SEM= t-test: p-wert dieser Abweichung ist ca. 0.14%. Also hat die Himmelsrichtung wohl doch einen Einfluß.

121 Prinzip des statistischen Testens Wir möchten belegen, dass eine Abweichung in den Daten vermutlich nicht allein auf Zufallsschwankung beruht.

122 Prinzip des statistischen Testens Wir möchten belegen, dass eine Abweichung in den Daten vermutlich nicht allein auf Zufallsschwankung beruht. Dazu spezifizieren wir zunächst eine Nullhypothese H 0, d.h. wir konkretisieren, was allein auf Zufall beruhen bedeutet.

123 Prinzip des statistischen Testens Wir möchten belegen, dass eine Abweichung in den Daten vermutlich nicht allein auf Zufallsschwankung beruht. Dazu spezifizieren wir zunächst eine Nullhypothese H 0, d.h. wir konkretisieren, was allein auf Zufall beruhen bedeutet. Dann versuchen wir zu zeigen: Wenn H 0 gilt, dann ist eine Abweichung wie, die mindestens so groß sind wie die beobachtete, sehr unwahrscheinlich.

124 Prinzip des statistischen Testens Wir möchten belegen, dass eine Abweichung in den Daten vermutlich nicht allein auf Zufallsschwankung beruht. Dazu spezifizieren wir zunächst eine Nullhypothese H 0, d.h. wir konkretisieren, was allein auf Zufall beruhen bedeutet. Dann versuchen wir zu zeigen: Wenn H 0 gilt, dann ist eine Abweichung wie, die mindestens so groß sind wie die beobachtete, sehr unwahrscheinlich. Wenn uns das gelingt, verwerfen wir H 0.

125 Prinzip des statistischen Testens Wir möchten belegen, dass eine Abweichung in den Daten vermutlich nicht allein auf Zufallsschwankung beruht. Dazu spezifizieren wir zunächst eine Nullhypothese H 0, d.h. wir konkretisieren, was allein auf Zufall beruhen bedeutet. Dann versuchen wir zu zeigen: Wenn H 0 gilt, dann ist eine Abweichung wie, die mindestens so groß sind wie die beobachtete, sehr unwahrscheinlich. Wenn uns das gelingt, verwerfen wir H 0. Was wir als Abweichung auffassen, sollten klar sein, bevor wir die Daten sehen.

126 Nullhypothesen t-test für gepaarte Stichproben Prinzip des statistischen Testens H 0 bei Codon-Bias: CCT und CCA haben jeweils W keit 1 2

127 Nullhypothesen t-test für gepaarte Stichproben Prinzip des statistischen Testens H 0 bei Codon-Bias: CCT und CCA haben jeweils W keit 1 2 Außerdem: alle Positionen entscheiden unabhängig zwischen CCT und CCA

128 Prinzip des statistischen Testens Nullhypothesen H 0 bei Codon-Bias: CCT und CCA haben jeweils W keit 1 2 Außerdem: alle Positionen entscheiden unabhängig zwischen CCT und CCA H 0 bei Vogelorientierung und Korkdicken: EX = 0.

129 Prinzip des statistischen Testens Nullhypothesen H 0 bei Codon-Bias: CCT und CCA haben jeweils W keit 1 2 Außerdem: alle Positionen entscheiden unabhängig zwischen CCT und CCA H 0 bei Vogelorientierung und Korkdicken: EX = 0. Außerdem: X normalverteilt, X i unabhängig.

130 Abweichungen und p-werte Prinzip des statistischen Testens Codon Bias: Anzahl CCT weicht um 2156 vom Mittelwert ab.

131 Abweichungen und p-werte Prinzip des statistischen Testens Codon Bias: Anzahl CCT weicht um 2156 vom Mittelwert ab. Wegen der Binomialverteilungsannahme gehen wir von festem σ aus und berechen mit z-test

132 Abweichungen und p-werte Prinzip des statistischen Testens Codon Bias: Anzahl CCT weicht um 2156 vom Mittelwert ab. Wegen der Binomialverteilungsannahme gehen wir von festem σ aus und berechen mit z-test den p-wert: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine bin(n, 1 )-Verteilte Zufallsgröß um mindestens 2156 von n/2 2 abweicht.

133 Abweichungen und p-werte Prinzip des statistischen Testens Codon Bias: Anzahl CCT weicht um 2156 vom Mittelwert ab. Wegen der Binomialverteilungsannahme gehen wir von festem σ aus und berechen mit z-test den p-wert: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine bin(n, 1 )-Verteilte Zufallsgröß um mindestens 2156 von n/2 2 abweicht. Vogelorientierung und Korkdicke: t-wert = X EX s/ n

134 Abweichungen und p-werte Prinzip des statistischen Testens Codon Bias: Anzahl CCT weicht um 2156 vom Mittelwert ab. Wegen der Binomialverteilungsannahme gehen wir von festem σ aus und berechen mit z-test den p-wert: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine bin(n, 1 )-Verteilte Zufallsgröß um mindestens 2156 von n/2 2 abweicht. Vogelorientierung und Korkdicke: t-wert = X EX s/ n p-wert: W keit, dass t-wert bei n 1 mindestens so stark von 0 abweicht wie beobachtet.

135 Prinzip des statistischen Testens Zweiseitig oder einseitig testen? Wir beobachten einen Wert x, der deutlich größer als der H 0 -Erwartungswert µ ist. density % 2.5% p-wert=pr H0 ( X µ x µ ) density % p-wert=pr H0 (X x)

136 Prinzip des statistischen Testens Reine Lehre des statistischen Testens Formuliere eine Nullhypothese H 0, z.b. µ = 0.

137 Prinzip des statistischen Testens Reine Lehre des statistischen Testens Formuliere eine Nullhypothese H 0, z.b. µ = 0. Lege ein Signifikanzniveau α fest; üblich ist α = 0.05.

138 Prinzip des statistischen Testens Reine Lehre des statistischen Testens Formuliere eine Nullhypothese H 0, z.b. µ = 0. Lege ein Signifikanzniveau α fest; üblich ist α = Lege ein Ereignis A fest, so dass Pr(A) = α H 0 (oder zumindest Pr H0 (A) α).

139 Prinzip des statistischen Testens Reine Lehre des statistischen Testens Formuliere eine Nullhypothese H 0, z.b. µ = 0. Lege ein Signifikanzniveau α fest; üblich ist α = Lege ein Ereignis A fest, so dass Pr(A) = α H 0 (oder zumindest Pr H0 (A) α). z.b. A = {X > q} oder A = { X µ > r}

140 Prinzip des statistischen Testens Reine Lehre des statistischen Testens Formuliere eine Nullhypothese H 0, z.b. µ = 0. Lege ein Signifikanzniveau α fest; üblich ist α = Lege ein Ereignis A fest, so dass Pr(A) = α H 0 (oder zumindest Pr H0 (A) α). z.b. A = {X > q} oder A = { X µ > r} allgemein: H 0 = {p-wert α}

141 Prinzip des statistischen Testens Reine Lehre des statistischen Testens Formuliere eine Nullhypothese H 0, z.b. µ = 0. Lege ein Signifikanzniveau α fest; üblich ist α = Lege ein Ereignis A fest, so dass Pr(A) = α H 0 (oder zumindest Pr H0 (A) α). z.b. A = {X > q} oder A = { X µ > r} allgemein: H 0 = {p-wert α} ERST DANN: Betrachte die Daten und überprüfe, ob A eintritt.

142 Prinzip des statistischen Testens Reine Lehre des statistischen Testens Formuliere eine Nullhypothese H 0, z.b. µ = 0. Lege ein Signifikanzniveau α fest; üblich ist α = Lege ein Ereignis A fest, so dass Pr(A) = α H 0 (oder zumindest Pr H0 (A) α). z.b. A = {X > q} oder A = { X µ > r} allgemein: H 0 = {p-wert α} ERST DANN: Betrachte die Daten und überprüfe, ob A eintritt. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass H 0 verworfen wird, wenn H 0 eigentlich richtig ist ( Fehler erster Art ), lediglich α.

143 Prinzip des statistischen Testens Verstöße gegen die reine Lehre Beim zweiseitigen Testen kam ein p-wert von 0.06 raus. Also hab ich einseitig getestet, da hat s dann funktioniert.

144 Prinzip des statistischen Testens Verstöße gegen die reine Lehre Beim zweiseitigen Testen kam ein p-wert von 0.06 raus. Also hab ich einseitig getestet, da hat s dann funktioniert. genauso problematisch:

145 Prinzip des statistischen Testens Verstöße gegen die reine Lehre Beim zweiseitigen Testen kam ein p-wert von 0.06 raus. Also hab ich einseitig getestet, da hat s dann funktioniert. genauso problematisch: Beim ersten Blick auf die Daten habe ich sofort gesehen, dass x größer ist als µ H0. Also habe ich gleich einseitig getestet

146 Prinzip des statistischen Testens Wichtig Die Entscheidung ob einseitig oder zweiseitig getestet wird darf nicht von den konkreten Daten, die zum Test verwendet werden, abhängen.

147 Prinzip des statistischen Testens Wichtig Die Entscheidung ob einseitig oder zweiseitig getestet wird darf nicht von den konkreten Daten, die zum Test verwendet werden, abhängen. Allgemeiner: Ist A das Ereignis, dass zum Verwerfen von H 0 führt (falls es eintritt), so muss die Festlegung von H 0 stattfinden bevor man in den Daten herumgeschnüffelt hat.

148 Prinzip des statistischen Testens Die Wahl von A sollte von der Alternative H 1 abhängen, also für das, was wir eigentlich zeigen wollen, indem wir H 0 durch einen Test verwerfen. Es muss gelten: Pr H0 (A) = α und Pr H1 (A) = möglichst groß,

149 Prinzip des statistischen Testens Die Wahl von A sollte von der Alternative H 1 abhängen, also für das, was wir eigentlich zeigen wollen, indem wir H 0 durch einen Test verwerfen. Es muss gelten: und Pr H0 (A) = α Pr H1 (A) = möglichst groß, damit die W keit eines Fehlers zweiter Art, dass also H 0 nicht verworfen wird, obwohl H 1 zutrifft, möglichst klein.

150 Beispiele t-test für gepaarte Stichproben Prinzip des statistischen Testens Wenn wir von Anfang an unsere Vermutung belegen wollten, dass sich die Trauerschnäpper bei grünem Licht stärker auf eine Richtung konzentrieren als bei blauem, dürfen wir einseitig testen.

151 Prinzip des statistischen Testens Beispiele Wenn wir von Anfang an unsere Vermutung belegen wollten, dass sich die Trauerschnäpper bei grünem Licht stärker auf eine Richtung konzentrieren als bei blauem, dürfen wir einseitig testen. Wenn dann aber noch so deutlich herauskommt, dass die Richtungswahl bei blauem Licht deutlicher war, so ist das dann nicht als signifikant zu betrachten.

152 Prinzip des statistischen Testens Beispiele Wenn wir von Anfang an unsere Vermutung belegen wollten, dass sich die Trauerschnäpper bei grünem Licht stärker auf eine Richtung konzentrieren als bei blauem, dürfen wir einseitig testen. Wenn dann aber noch so deutlich herauskommt, dass die Richtungswahl bei blauem Licht deutlicher war, so ist das dann nicht als signifikant zu betrachten. Wenn wir von Anfang an die Vermutung belegen wollten, dass der Kork an der Nordseite des Baumes dicker war, dürfen wir einseitig testen.

153 Prinzip des statistischen Testens Beispiele Wenn wir von Anfang an unsere Vermutung belegen wollten, dass sich die Trauerschnäpper bei grünem Licht stärker auf eine Richtung konzentrieren als bei blauem, dürfen wir einseitig testen. Wenn dann aber noch so deutlich herauskommt, dass die Richtungswahl bei blauem Licht deutlicher war, so ist das dann nicht als signifikant zu betrachten. Wenn wir von Anfang an die Vermutung belegen wollten, dass der Kork an der Nordseite des Baumes dicker war, dürfen wir einseitig testen. Wenn dann aber noch so deutlich heraauskommt, dass der Kork im Westen dicker ist, ist das nicht mehr signifikant.

154 Prinzip des statistischen Testens Angenommen, H 0 wird auf dem 5%-Niveau verworfen. Welche Aussage gilt dann? Die Nullhypothese ist falsch.

155 Prinzip des statistischen Testens Angenommen, H 0 wird auf dem 5%-Niveau verworfen. Welche Aussage gilt dann? Die Nullhypothese ist falsch.

156 Prinzip des statistischen Testens Angenommen, H 0 wird auf dem 5%-Niveau verworfen. Welche Aussage gilt dann? Die Nullhypothese ist falsch. H 0 ist mit 95%-iger Wahrscheinlichkeit falsch.

157 Prinzip des statistischen Testens Angenommen, H 0 wird auf dem 5%-Niveau verworfen. Welche Aussage gilt dann? Die Nullhypothese ist falsch. H 0 ist mit 95%-iger Wahrscheinlichkeit falsch.

158 Prinzip des statistischen Testens Angenommen, H 0 wird auf dem 5%-Niveau verworfen. Welche Aussage gilt dann? Die Nullhypothese ist falsch. H 0 ist mit 95%-iger Wahrscheinlichkeit falsch. Falls die Nullhypothese wahr ist, beobachtet man ein so extremes Ergebnis nur in 5% der Fälle.

159 Prinzip des statistischen Testens Angenommen, H 0 wird auf dem 5%-Niveau verworfen. Welche Aussage gilt dann? Die Nullhypothese ist falsch. H 0 ist mit 95%-iger Wahrscheinlichkeit falsch. Falls die Nullhypothese wahr ist, beobachtet man ein so extremes Ergebnis nur in 5% der Fälle.

160 Prinzip des statistischen Testens Angenommen, H 0 konnte durch den Test nicht verworfen werden. Welche Aussagen sind dann richtig? Wir müssen die Alternative H 1 verwerfen.

161 Prinzip des statistischen Testens Angenommen, H 0 konnte durch den Test nicht verworfen werden. Welche Aussagen sind dann richtig? Wir müssen die Alternative H 1 verwerfen.

162 Prinzip des statistischen Testens Angenommen, H 0 konnte durch den Test nicht verworfen werden. Welche Aussagen sind dann richtig? Wir müssen die Alternative H 1 verwerfen. H 0 ist wahr.

163 Prinzip des statistischen Testens Angenommen, H 0 konnte durch den Test nicht verworfen werden. Welche Aussagen sind dann richtig? Wir müssen die Alternative H 1 verwerfen. H 0 ist wahr.

164 Prinzip des statistischen Testens Angenommen, H 0 konnte durch den Test nicht verworfen werden. Welche Aussagen sind dann richtig? Wir müssen die Alternative H 1 verwerfen. H 0 ist wahr. H 0 ist wahrscheinlich wahr.

165 Prinzip des statistischen Testens Angenommen, H 0 konnte durch den Test nicht verworfen werden. Welche Aussagen sind dann richtig? Wir müssen die Alternative H 1 verwerfen. H 0 ist wahr. H 0 ist wahrscheinlich wahr.

166 Prinzip des statistischen Testens Angenommen, H 0 konnte durch den Test nicht verworfen werden. Welche Aussagen sind dann richtig? Wir müssen die Alternative H 1 verwerfen. H 0 ist wahr. H 0 ist wahrscheinlich wahr. Es ist ungefährlich, davon auzugehen, dass H 0 zutrifft.

167 Prinzip des statistischen Testens Angenommen, H 0 konnte durch den Test nicht verworfen werden. Welche Aussagen sind dann richtig? Wir müssen die Alternative H 1 verwerfen. H 0 ist wahr. H 0 ist wahrscheinlich wahr. Es ist ungefährlich, davon auzugehen, dass H 0 zutrifft.

168 Prinzip des statistischen Testens Angenommen, H 0 konnte durch den Test nicht verworfen werden. Welche Aussagen sind dann richtig? Wir müssen die Alternative H 1 verwerfen. H 0 ist wahr. H 0 ist wahrscheinlich wahr. Es ist ungefährlich, davon auzugehen, dass H 0 zutrifft. Auch wenn H 0 zutrifft, ist es nicht sehr unwahrscheinlich, dass unsere Teststatistik einen so extrem erscheinenden Wert annimmt.

169 Prinzip des statistischen Testens Angenommen, H 0 konnte durch den Test nicht verworfen werden. Welche Aussagen sind dann richtig? Wir müssen die Alternative H 1 verwerfen. H 0 ist wahr. H 0 ist wahrscheinlich wahr. Es ist ungefährlich, davon auzugehen, dass H 0 zutrifft. Auch wenn H 0 zutrifft, ist es nicht sehr unwahrscheinlich, dass unsere Teststatistik einen so extrem erscheinenden Wert annimmt.

170 Prinzip des statistischen Testens Angenommen, H 0 konnte durch den Test nicht verworfen werden. Welche Aussagen sind dann richtig? Wir müssen die Alternative H 1 verwerfen. H 0 ist wahr. H 0 ist wahrscheinlich wahr. Es ist ungefährlich, davon auzugehen, dass H 0 zutrifft. Auch wenn H 0 zutrifft, ist es nicht sehr unwahrscheinlich, dass unsere Teststatistik einen so extrem erscheinenden Wert annimmt. Die Nullhypothese ist in dieser Hinsicht mit den Daten verträglich.

171 Prinzip des statistischen Testens Angenommen, H 0 konnte durch den Test nicht verworfen werden. Welche Aussagen sind dann richtig? Wir müssen die Alternative H 1 verwerfen. H 0 ist wahr. H 0 ist wahrscheinlich wahr. Es ist ungefährlich, davon auzugehen, dass H 0 zutrifft. Auch wenn H 0 zutrifft, ist es nicht sehr unwahrscheinlich, dass unsere Teststatistik einen so extrem erscheinenden Wert annimmt. Die Nullhypothese ist in dieser Hinsicht mit den Daten verträglich.