Evaluation & Forschungsstrategien. B.Sc.-Seminar. Sitzung IV: Konfidenzintervalle // Normalverteilungstests

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2 Evaluation & Forschungsstrategien B.Sc.-Seminar Sitzung V: Konfidenzintervalle // Normalverteilungstests

3 Seminarinhalte Sitzung V: Konfidenzintervalle bei bekannter Varianz Konfidenzintervalle bei unbekannter Varianz Normalverteilungstests 2 / 34

4 Konfidenzintervalle bei bekannter Varianz Schätzung des Populationsparameters µ durch Stichprobenmittelwert xҧ µ xҧ Rückschlüsse auf die zugrundeliegende Population Wie genau schätzt xҧ den Populationsparameter µ? Schätzung durch ntervall Ermittlung von Grenzen darin: wahres µ enthalten 3 / 34 Konfidenzintervall (95% oder 99%)

5 Konfidenzintervalle bei bekannter Varianz Beispiel: Verteilung des Merkmals ntelligenzquotient bei Abiturienten µ = 110 und σ² = 144 Sampling Distribution Mittelwerteverteilung von Ministichproben geringere Streuungen / weniger rregularitäten je mehr n, desto geringere Streuung Übergang in Normalverteilung Zentraler Grenzwertsatz 4 / 34

6 Konfidenzintervalle bei bekannter Varianz µ = µ xҧ Mittelwert als erwartungstreuer Schätzer des Populationsmittelwerts Beziehung beider Varianzen σ² x ҧ = σ² n Mittelwerte weniger variabel als Rohwerte anstatt Varianz: Standardabweichung der Mittelwertsverteilung (Standardfehler!) σ n 5 / 34

7 Konfidenzintervalle bei bekannter Varianz Standardnormalverteilung z-transformation z = z ഥx ഥx µ σ ഥx x µ σ Mittelwert 0 / Standardabweichung 1 Wahrscheinlichkeit, mit der Mittelwerte > a auftreten Beispiel: Wahrscheinlichkeit von Q-Wert über / 34

8 Konfidenzintervalle bei bekannter Varianz durchschnittlicher Q µ = 115 Varianz der Q-Werte σ² = 144 n = 36 Standardfehler der Mittelwertsverteilung: σ ഥx = σ² n = = 2.00 z ഥx = ഥx µ σ ഥx = = 2.5 ഥx = 115 entspricht z ഥx = / 34

9 Konfidenzintervalle bei bekannter Varianz Wahrscheinlichkeit für z ഥx Fläche zwischen 2.5 und p (z ഥx > 2.5) =.0062 Beispiel: Stichprobenmittelwert weicht um mindestens 5 Q-Punkte von µ ab z ഥx = p (z ഥx < - 2.5) =.0062 p (- 2.5 > z ഥx > 2.5) = = / 34

10 Konfidenzintervalle bei bekannter Varianz p =.95 z ഥx -Werte, die an beiden Seiten je 2.5% abschneiden z ഥx = z ഥx = 1.96 p (-1.96 < z ഥx < 1.96) =.95 9 / 34

11 Konfidenzintervalle bei bekannter Varianz ഥx -Wertebereich ntervall, in dem sich bestimmter Anteil p aller Stichprobenmittelwerte befindet p =.95 z ഥx = z ഥx = 1.96 p (-1.96 < z ഥx < 1.96) = ഥx u ഥx o ഥx u = ഥx o = / 34

12 Konfidenzintervalle bei bekannter Varianz µ ± σ ഥx * z 110 ± 2 * 1.96 Problem: zwischen z u = und z o = 2.33 ebenfalls 95% der Gesamtfläche theoretisch unendlich viele -a < µ < a minimale ntervallbreite: 1.96 bis 1.96 = 3.92; bis 2.33 = 4.08 Bevorzugung des kürzesten ഥx -Wertebereichs, denn: schätzt µ am genausten 11 / 34

13 Konfidenzintervalle bei bekannter Varianz Bestimmung des Konfidenzintervalls µ meist unbekannt Stichprobenmittelwert ഥx bekannt bei welchen Parametern ഥx -Werte im 95%igen Bereich? alle Parameter zwischen ഥx ± a möglich ഥx + a = rechtsseitige Begrenzung des Bereichs ഥx - a = linksseitige Begrenzung des Bereichs 12 / 34

14 Konfidenzintervalle bei bekannter Varianz 13 / 34

15 Konfidenzintervalle bei bekannter Varianz nterpretation von Konfidenzintervallen klassischer Wahrscheinlichkeitsbegriff Populationsparameter µ im ntervall enthalten oder nicht (Wahrscheinlichkeit 1 oder 0) subjektiver Wahrscheinlichkeitsbegriff gesuchter Parameter mit Wahrscheinlichkeit (95%) im ntervall enthalten allgemeine Formel Δ krit(1 α) = തX ± Z ( α 2 ) σ തX für p =.99 ist z ഥx = 2.58 bzw / 34

16 Konfidenzintervalle bei bekannter Varianz Δ krit(1 α) = തX ± Z ( α 2 ) σ തX n = 36, ഥx = 112, 99% C, z-wert = ± 2.58, σ² = 144 σ ഥx = σ² n = = 2.00 Δ krit(1 α) = 112 ± µ bzw µ / 34

17 Konfidenzintervalle bei unbekannter Varianz Konfidenzintervall des arithmetischen Mittels bei unbekannter Varianz Berechnung über t-verteilung t = ത X µ σ ഥ X = ത X µ σ 2 n Δ krit(1 α) = തX ± t ( α 2,df) σ തX kritische t-werte von n / df abhängig 16 / 34

18 Konfidenzintervalle bei unbekannter Varianz Freiheitsgrade Anzahl frei variierender Abweichungen Stichprobe der Größe n sind n 1 Abweichungen variierbar Beispiel 4 Messungen x 1 = 6 x 1 - ഥx = 2 x 2 = 1 x 2 - ഥx = - 3 x 3 = - 1 x 3 - ഥx = - 5 x 4 = 10 x 4 - ഥx = 6 17 / 34

19 Konfidenzintervalle bei unbekannter Varianz Beispiel: Altersverteilung der Bevölkerung in der Bundesrepublik µ = σ = Frage: Wenn Stichprobe mit n = 1000, in welchem ntervall dann 95% der ഥx? α =.05 1 α =.95 Δ krit(1 α) = തX ± Z ( α 2 ) σ തX Δ krit(1 α) = ± / തX 38.66

20 Konfidenzintervalle bei unbekannter Varianz Beispiel: Altersverteilung der Bevölkerung in der Bundesrepublik തX = σ = n = 1000 α =.05 1 α =.95 Δ krit(1 α) = തX ± t ( α 2,df) σ തX Δ krit(1 α) = ± / µ 39.5

21 Normalverteilungstests Tests der Normalverteilungsannahmen Chi-Quadrat-Test auf Güte der Anpassung χ² = σ (beobachtete Häufigkeit erwartete Häufigkeit)² erwartete Häufigkeit H0: Die Zufallsvariable besitzt die angegebene Verteilung H1: Die Zufallsvariable besitzt nicht die angegebene Verteilung k 1 Freiheitsgrade 20 / 34

22 Normalverteilungstests Beispiel: Einkommensverteilung der Bundesrepublik Deutschland Einkommen in Anteil in % (2011) Umfrage (2016) unter über H0: Die Verteilung des Einkommens aus dem Jahr 2016 ist identisch mit H1: Die Verteilung 2016 ist nicht identisch mit E = n * p 21 / 34

23 Normalverteilungstests Einkommen in beob. Häufigkeit B erw. Häufigkeit E Differenz B-E Quadrat der Differenz unter χ² über χ² = σ (beobachtete Häufigkeit erwartete Häufigkeit)² erwartete Häufigkeit = / 34

24 Normalverteilungstests F(χ² dfs) = F( ) = p = = H0 nicht abzulehnen erwartete Häufigkeiten werden aus den Wahrscheinl. der Quantilintervalle der Norm.Vert. berechnet 23 / 34

25 Normalverteilungstests Beispiel: Umsätze von 197 börsennotierten Unternehmen. Klasse Umsätze in Mio. beob. Häufigkeit B Wahrscheinl. erw. Häufigkeit E Differenz B- E Quadrat der Differenz χ² µ = 6892 σ = / 34 H0: X ist norm.vert. Mit µ = 6892 und der Standardabweichung =

26 Normalverteilungstests Beispiel: Umsätze von 197 börsennotierten Unternehmen. Klasse Umsätze in Mio. beob. Häufigkeit B Wahrscheinl. erw. Häufigkeit E Differenz B- E Quadrat der Differenz χ² µ = 6892 σ = Ф(x 6892;14984) = Wahrscheinlichkeit Ф(0 6892;14984) = Ф( ;14984) = 0.45 p (0 < x 5000) = = / 34 H0: X ist norm.vert. Mit µ = 6892 und der Standardabweichung =

27 Normalverteilungstests Beispiel: Umsätze von 197 börsennotierten Unternehmen. Klasse Umsätze in Mio. beob. Häufigkeit B Wahrscheinl. erw. Häufigkeit E Differenz B- E Quadrat der Differenz , , , , , , χ² ,08 82,4464 3, ,35 374, , ,36 152,7696 7, ,25 126,5625 8, ,23 52,2729 5, ,14 9,8596 1, ,02 9,1204 1, µ = 6892 σ = χ² = / 34 χ²(0.95;8) = > 14.07, also: H0 verwerfen

28 Normalverteilungstests Probleme χ²-tests sind nicht sehr trennscharf benötigen hohes n abhängig von Anzahl der dfs Stattdessen? QQ-Plots! 27 / 34

29 Normalverteilungstests Der QQ-Plot wenn Stichprobendaten normalverteilt: empirische Quantile = theoretische Quantile Berechnung der Quantile p = i 0.5 n theoretische Quantile für z-werte aus inverser Normalverteilung bestimmen 28 / 34

30 Normalverteilungstests 29 / 34 Schritt 1: Sortieren der Daten und z-transformation Nr. Wert Sortiert z

31 Normalverteilungstests Schritt 2: Bestimmung der Quantilszahlen p Nr. Wert Sortiert z p p = i 0.5 n z.b.: p = = / 34

32 Normalverteilungstests 31 / 34 Schritt 3: Bestimmung der erwarteten Quantile Q p Nr. Wert Sortiert z p Q p

33 Normalverteilungstests 32 / 34

34 Normalverteilungstests Schritt 4: Bestimmung der Güte der Passung für jeden standardisierten Wert einen eigenen Erwartungswert bestimmen zugehöriges Quantil aus der theoretischen Verteilungsfunktion Fehlervarianz s e 2 = 1 n σ(z Q p)² Differenz s² und s e 2 : aufgeklärte Varianz η² = s2 s e 2 s² * 100% 33 / 34

35 34 / 34 Normalverteilungstests Berechnung von s e 2 und η² Nr. Wert Sortiert z p Q p e (z -Q p ) , , , , , , , , , , , , s e 2 = η² = s2 s e 2 s² η² = η² = 97.3% * 100% * 100%

36 Bis übernächste Woche!