1. Wiederholungsklausur Statistik

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1 Goethe Universität Frankfurt Fachbereich Wirtschaftswissenschaft Prof. Dr. Martin Biewen PD Dr. Ralf Wilke Sommersemester Wiederholungsklausur Statistik Bitte tragen Sie hier und auf den Lösungsblättern (oben links) Ihre Matrikelnummer ein! Matrikelnummer: Wichtig! Durch Ihre Unterschrift in der Teilnehmerliste bestätigen Sie, folgende Prüfungsvorschriften zu beachten: Sie haben den nachfolgenden Text gelesen und stimmen allen Punkten zu. Sie fühlen sich gesund und sind in der Lage, an der Prüfung teilzunehmen. Sie haben sich über die Vorschriften der Prüfungsordnung, die Teilnahme an Klausurprüfungen betreffend, informiert. Sie haben zur Kenntnis genommen, dass Sie für die ordnungsgemäße Abgabe der Klausur vor Verlassen des Prüfungsraumes selbst verantwortlich sind. Es sind nur die vom Themensteller aufgeführten Hilfsmittel erlaubt. Das Mitbringen eines Mobiltelefons in die Klausur ist verboten. Zuwiderhandeln gilt als Täuschungsversuch. Lösungen mit Bleistift oder roter Tinte werden nicht gewertet. Dieses Schema dient nur der Korrektur Σ Rohpunktzahl: Note:

2 Matrikelnr.: 2 Hinweise: a) Die Klausur umfasst 10 Aufgaben. Sie stehen auf den nachfolgenden Seiten. Außerdem gibt es am Ende Blätter, in welche Sie die Lösungen eintragen. Mit den beiden Deckblättern müssen Sie insgesamt 13 Seiten haben. b) Tragen Sie sogleich auf dem Deckblatt und den Lösungsblättern LESERLICH Ihre Matrikelnummer ein. c) Alle Klausurergebnisse sind auf den letzten 7 Seiten einzutragen! Multiple-Choice-Aufgaben werden an Ort und Stelle durch Ankreuzen beantwortet. Die Ergebnisse der Aufgaben 1 bis 9 schreiben Sie in die vorgesehenen Kästchen auf den letzten Seiten hinter den Antwortsatz. NUR DIE ERGEBNISSE DER LETZTEN 7 SEITEN WERDEN GEWERTET! d) Insgesamt sind 132 Rohpunkte zu erreichen. 28 Rohpunkte fallen auf Multiple-Choice-Aufgaben. e) Multiple Choice: Für jede der sieben Teilaufgaben gibt es maximal 4 Punkte. Von den vier Alternativen jeder Aufgabe sind genau zwei richtig und diese sind anzukreuzen. Sind beide Kreuze richtig, so gibt es vier Punkte. Ist nur eine Alternative angekreuzt und richtig, so gibt es zwei Punkte. In allen anderen Fällen gibt es null Punkte! f) Als Hilfsmittel sind nicht programmierbare Taschenrechner und ein geheftetes, BEIDSEITIG bedrucktes Skript von Hassler/Nautz zugelassen. g) Die Beantwortungszeit beträgt 180 Minuten. h) Geben Sie am Ende die VOLLSTÄNDIGE Klausur ab. Viel Erfolg!

3 Matrikelnr.: 3 Aufgabe 1 (12 Punkte) Ein Bettler in Zürich verzeichnet während 40 Wochen folgende Wocheneinnahmen (in Schweizer Franken): a) Erstellen Sie eine Häufigkeitstabelle mit folgender Klasseneinteilung: 100 bis 300, 300 bis 400, 400 bis 500, 500 bis 600, 600 bis 800, 800 bis Die Einträge für die Klassen 600 bis 800 und 800 bis 1200 brauchen Sie nicht zu berechnen. b) Bestimmen Sie aufgrund der Häufigkeitstabelle aus a) das untere Quartil, d.h. den 25-Prozent-Punkt der Einnahmenverteilung des Bettlers. Aufgabe 2 (12 Punkte) Drei verschiedene Dörfer D1, D2 und D3 unterscheiden sich darin, wie der Grund und Boden unter den in diesen Dörfern lebenden Familien aufgeteilt ist. In der folgenden Tabelle gibt x i den Anteil am gesamten Grund und Boden eines Dorfes und n i die Anzahl der Familien an, die jeweils einen solchen Anteil am gesamten Grund und Boden besitzen (z.b. gibt es in D1 drei Familien, von denen jede 20 Prozent des gesamten Grund und Boden besitzt). D1 D2 D3 i x i n i x i n i x i n i a) Berechnen Sie die Koordinaten der Lorenzkurve für D1. b) Berechnen Sie den Gini-Koffizienten für D1. c) Ordnen Sie die Dörfer nach der Ungleichheit der Verteilung des Grundbesitzes gemessen am Gini- Koeffizienten. Aufgabe 3 (12 Punkte) Eine Unternehmung produziert zwei Güter A und B. Der Absatz von Gut A sei eine Zufallsvariable X mit E(X) = 20 und V ar(x) = 4. Der Absatz von Gut B ist entsprechend durch die Zufallsvariable Y mit E(Y ) = 30 und V ar(y ) = 9 gegeben. Die Kovarianz zwischen X und Y beträgt Cov(X, Y ) = 3. Bei der Produktion fallen Kosten X + 3Y an. Der Umsatz beträgt 3X + 4Y. Insgesamt ergibt sich für die Unternehmung also ein Gewinn von (3X + 4Y ) (25 + 2X + 3Y ). a) Berechnen Sie den erwarteten Gewinn. b) Berechnen Sie die Varianz des Gewinns.

4 Matrikelnr.: 4 Aufgabe 4 (14 Punkte) Die drei Töchter Mariah, Britney und Christina haben es übernommen, jeden Abend das Geschirr zu spülen. Die Wahrscheinlichkeit, dass Mariah, die älteste, abwäscht, ist 0,6, dass Britney spült, 0,3 und dass Christina, die jüngste, spült, 0,1. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Stück zu Bruch geht, ist bei Mariah 0,05, bei Britney 0,2 und bei Christina 0,1. (Hinweis: Letztere Wahrscheinlichkeiten stellen bedingte Wahrscheinlichkeiten dar.) a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Stück zu Bruch geht? b) Man hört Scherben klirren. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass Mariah gerade abspült? c) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass Mariah abspült und ein Stück zu Bruch geht? d) Wie gross ist die Wahrscheinlickeit, dass Mariah nicht abspült? (Hinweis: Benützen Sie den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit bzw. den Satz von Bayes.) Aufgabe 5 (16 Punkte) Karl Müller studiert im Rahmen des Bachelor Programmes der Universität Frankfurt. Um von seinem Studentenwohnheim zum Vorlesungsgebäude zu gelangen, muss er zunächst zur U-Bahn Haltestelle gehen (durchschnittliche Zeit µ 1 = 4 Min., Standardabweichung σ 1 = 1 Min.), wartet dort durchschnittlich 3,5 Min. (= µ 2 ; σ 2 = 2, 5 Min.), fährt mit der U-Bahn bis zur Bockenheimer Warte (durchschnittliche Fahrzeit µ 3 = 21 Min., σ 3 = 5 Min.) und erreicht von hier sein Ziel schließlich zu Fuß (µ 4 = 6; σ 4 = 1, 5 Min.). Die Zeiten für die einzelnen Wegstrecken sind unabhängig voneinander und N(µ i, σ i ) verteilt. a) Wie ist die Gesamtzeit verteilt? b) Berechnen Sie die erwartete Gesamtzeit. c) Berechnen Sie die Standardabweichung der Gesamtzeit. d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Karl maximal 40, aber mindestens 30 Minuten für die Strecke vom Studentenwohnheim - Vorlesungsgebäude benötigt. Aufgabe 6 (4 Punkte) Damit der Dozent einer Vorlesung die geeignete Länge der Abschlussklausur besser abschätzen kann, wirft er einen Blick auf die Ergebnisse der verangenen Jahre. Zur Lösung der Klausur benötigten die 300 Bachelor-Studenten im Durchschnitt 50 Minuten mit einer Standardabweichung von 5 Minuten. a) Berechnen Sie ein 95% Konfidenzintervall für die mittlere Lösungszeit aller Studenten des Semesters unter der Annahme, dass die Lösungszeit normalverteilt ist. Aufgabe 7 (10 Punkte) Es ist unvermeidlich, dass sich PKWs vom gleichen Typ und Baujahr dennoch im Benzinverbrauch unterscheiden. Es wird aber gefordert, dass die Standardabweichung des Benzinverbrauchs in der Gesamtheit nicht grösser sei als 0.3 Liter/100KM. Eine Automobilzeitschrift hat 30 Fahrzeuge eines neuen Modells von Opel ausprobiert und als Benzinverbrauch ermittelt und behauptet nun, die Varianz im Verbrauch sei zu groß. Unterstellen wir Normalverteilung und testen mit α = 10%, ob die Varianz nicht zu gross ist. a) Stellen Sie die Hypothesen auf.

5 Matrikelnr.: 5 b) Berechnen Sie die Prüfgrösse. c) Bestimmen Sie den kritischen Wert. d) Wie lautet die Testentscheidung? Aufgabe 8 (14 Punkte) Der Programmbeauftragte eines Bachelor Studiums hat die Ergebnisse der Statistik Klausur (300 Studenten) nach 5 Notenkategorien und dem Geschlecht der Studenten klassifiziert. Die folgende Tabelle zeigt die Häufigkeiten: männlich weiblich Note Note Note Note Note Es soll überprüft werden, ob Geschlecht und Noten unabhängig voneinander sind (α = 0.05). a) Stellen Sie die Hypothesen auf. b) Berechnen Sie die Prüfgröße. c) Bestimmen Sie die Freiheitsgrade und den kritischen Wert. d) Wie lautet die Testentscheidung?

6 Matrikelnr.: 6 Aufgabe 9 (10 Punkte) Es sei folgende Regressionsgleichung gegeben: y i = β 1 x i,1 + β 2 x i,2 + β 3 x i,3 + ε i, i = 1,..., 5 Folgende Daten stehen zur Verfügung: X = , Y = , ˆβ = 1, 8 0, 4 0. a) Es sei nun die unbekannte Varianz der Störterme wie folgt geschätzt worden: ˆσ 2 = 4, 2. Testen Sie bei α = 0.05 die Hypothese: H 0 : β 3 = 0 vs. H 1 : β 3 0. Geben Sie auch die Prüfgröße und den kritischen Wert an. b) Berechnen Sie das durch das Modell vorhergesagte Y an der Stelle der Stichprobenmittel von X 1, X 2 und X 3 (d.h. ŷ x) und berechnen Sie das Stichprobenmittel von Y (d.h. ȳ). Welche der folgenden Eigenschaften beobachten Sie: A: ŷ x > ȳ, B: ŷ x = ȳ oder C: ŷ x < ȳ?

7 Matrikelnr.: 7 Multiple Choice und Lösungsblätter Aufgabe 10 (28 Punkte) Für jede der folgenden Teilaufgaben gibt es maximal 4 Punkte. Von den vier Alternativen jeder Aufgabe sind genau zwei richtig und diese sind anzukreuzen. Sind beide Kreuze richtig, so gibt es vier Punkte. Ist nur eine Alternative angekreuzt und richtig, so gibt es zwei Punkte. In allen anderen Fällen gibt es null Punkte! a) Die Lebensdauer von Fernsehgeräten einer bestimmten Marke bis zur ersten Reparatur kann als exponentialverteilt mit dem Paramter λ angenommen werden. Bei einer Untersuchung von 100 Fernsehgeräten wurde eine durchschnittliche Lebensdauer von 3 Jahren festgestellt. Der Parameter λ soll mithilfe der Maximum Likelihood Methode geschätzt werden: Welche der folgenden Ausdrücke gleichen in diesem Fall der Likelihood Funktion? L(λ) = λe λx λe λx100 L(λ) = λe λx 1... λe λx100 L(λ) = λ 100 e 3 L(λ) = λ 100 e 300λ b) Es gilt Die Quantilfunktion ist die Inverse der Verteilungsfunktion. Wie die Verteilungsfunktion kann die Quantilfunktion nur Werte zwischen 0 und 1 annehmen. Wenn eine Verteilung nicht symmetrisch ist, dann existiert auch keine Quantilfunktion. Die Quantile bzw. Prozentpunkte in den statistischen Verteilungstabellen sind ausgewählte Werte der Quantilfunktionen. c) Es gilt die Chi-Quadrat Verteilung mit n Freiheitsgraden gleicht der Verteilung der Summe von n 1 quadrierten unabhängig standardnormalverteilten Zufallsvariablen. die Chi-Quadrat Verteilung mit n Freiheitsgraden gleicht der Verteilung der Summe von n quadrierten unabhängig standardnormalverteilten Zufallsvariablen. der Erwartungswert und die Varianz der Chi-Quadrat Verteilung streben gegen unendlich, wenn die Zahl der Freiheitsgrade gegen unendlich geht. die Chi-Quadrat Verteilung konvergiert für hinreichend grosse Freiheitsgrade gegen die t-verteilung.

8 Matrikelnr.: 8 d) Es gilt F-verteilte Zufallsvariablen sind nicht negativ. der Erwartungswert der F-Verteilung mit m und n Freiheitsgraden geht gegen unendlich, wenn m gegen null geht. für die α-quantile der F Verteilung mit m und n Freiheitsgraden gilt: F m n [α] = 1 F n m [1 α]. die F-Verteilung mit n und m Freiheitsgraden konvergiert gegen die Standardnormalverteilung, wenn m konstant ist und n gegen unendlich strebt. e) In welchen Fällen ist der P-Wert richtig bestimmt? zweiseitiger Test; Prüfgröße z = , Φ(1.3225) = 0.907, P-Wert=0.093 zweiseitiger Test; Prüfgröße z = , Φ(1.3225) = 0.907, P-Wert= unterseitiger Test; Prüfgröße t(7) = , Ft(7) (1.1192) = 0.85, P-Wert=0.15 unterseitiger Test; Prüfgröße t(7) = , F t(7) (1.1192) = 0.85, P-Wert=0.30 mit Φ als der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung und F t(v) als der Verteilungsfunktion der t-verteilung mit v Freiheitsgraden.

9 Matrikelnr.: 9 f) Es sei folgende Regressionsgleichung gegeben: y i = β 1 x i,1 + β 2 x i,2 + β 3 x i,3 + ε i, i = 1,..., 5 und es gelten die üblichen Annahmen an dieses Modell. Welche der folgenden Martizen X sind zulässig? X = X = X = X =

10 Matrikelnr.: 10 g) Im Rahmen der Regressionsrechnung gelte y i = a + bx i + e i mit den Beobachtungen i = 1,..., n. Welche Aussagen sind korrekt? Das Bestimmheitsmaß R 2 ist der Anteil der durch die exogene Variable X erklärte Varianz der abhängigen Variablen Y an ihrer Gesamtvarianz. Das Bestimmtheitsmaß R 2 und der Korrelationskoeffizient stehen in einem direkten Zusammenhang: beide können Werte zwischen -1 und 1 annehmen. Die Koeffizienten der Regressionsgerade erhält man durch die Maximierung der Summe der quadrierten Abweichungen (SQA). Bei gegebener Streuung der beiden Variablen X und Y verläuft die Regressionsgerade um so flacher, je schwächer der lineare Zusammenhang zwischen den Variablen ist.

11 Matrikelnr.: 11 Lösungen der Aufgaben 1 bis 9 tragen Sie bitte in die nachfolgenden Kästchen ein. Aufgabe 1 (Lösung) a) Tragen Sie Ihre Ergebnisse in folgende Tabelle ein: i x i 1 < X x i n i h i i ˆf(x) i j=1 h j = ˆF (x i ) 1 (100; 300] 2 0, , ,05 2 (300; 400] 2 0, ,0005 0,1 3 (400; 500] 3 0, , ,175 4 (500; 600] 8 0, ,002 0,375 b) Das untere Quartil ist: 537, 5 Aufgabe 2 (Lösung) a) Tragen Sie die Lorenzkoordinaten in folgende Tabelle ein: i u i v i ,2 0,1 2 0,8 0, b) Der Gini-Koeffizient für D1 lautet: 0, 16 c) Das Dorf mit der ungleichsten Besitzverteilung ist: D3 Das Dorf mit der zweit-ungleichsten Besitzverteilung ist: D1 Das Dorf mit der dritt-ungleichsten Besitzverteilung ist: D2 Aufgabe 3 (Lösung) a) Der erwartete Gewinn beträgt: 25 b) Die Varianz des Gewinns ist: 19

12 Matrikelnr.: 12 Aufgabe 4 (Lösung) a) Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Stück zu Bruch geht, beträgt: 0, 1 b) Wenn man Scherben klirren hört, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass Mariah gerade abspült: 0,3 c) Die Wahrscheinlichkeit, dass Mariah spült und ein Stück zu Bruch geht, beträgt: 0,03 d) Die Wahrscheinlichkeit, dass Mariah nicht abspült, beträgt: 0,4 Aufgabe 5 (Lösung) a) Die Gesamtzeit hat die folgende Verteilung: Normalverteilung b) Die erwartete Gesamtzeit in Minuten lautet: 34,5 c) Die Standardabweichung der Gesamtzeit in Minuten lautet: 5,874 d) Mit Wahrscheinlichkeit: 0, 603 Aufgabe 6 (Lösung) a) Das Konfidenzintervall lautet: [49, 43; 50, 57] Aufgabe 7 (Lösung) a) Die Nullhypothese lautet: σ 2 0, 09 Die Alternativhypothese lautet: σ 2 > 0, 09 b) Die Prüfgrösse lautet: 39, 6 c) Der kritische Wert lautet: 39, 09 d) Die Nullhypothese wird verworfen

13 Matrikelnr.: 13 Aufgabe 8 (Lösung) a) Die Nullhypothese lautet: Noten und Geschlecht sind unabhängig. Die Alternativhypothese lautet: Noten und Geschlecht sind nicht unabhängig. b) Die Prüfgrösse lautet: 9, 45 c) Die Anzahl der Freiheitsgrade lautet: 4 Der kritische Wert lautet: 9, 49 d) Die Nullhypothese wird nicht verworfen Aufgabe 9 (Lösung) a) Die Prüfgröße lautet: 0 Der kritische Wert lautet: 4, 3 Die Nullhypothese wird nicht verworfen b) Die richtige Antwort lautet: B