Mathematik für Biologen

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1 Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 21. Januar 2015

2 1 t-tests für Erwartungswerte Verbundene und unverbundene Stichproben Teststatistik für verbundene Stichproben Die t-verteilung t-test für verbundene Stichproben Beispiel Blutdrucksenker t-test für den Vergleich eines Erwartungswerts mit einem Referenzwert 2

3 t-tests für Erwartungswerte

4 Verbundene und unverbundene Stichproben Zwei Versuchsreihen liefern Messergebnisse. Der Test soll entscheiden, ob sich diese Ergebnisse signifikant unterscheiden. Unverbundene Stichproben: Die Messerergebnisse werden an verschiedenen Populationen gewonnen. Beispiel: 9 Maisfelder werden mit einem Bodenbakterium behandelt, 10 weitere bleiben unbehandelt. Bei allen wird der Befall mit Maiszünsler bestimmt. Verbundene Stichproben: Beide Messungen werden an derselben Population wird unter identischen Bedingungen durchgeführt. Beispiel: Bei 10 Patienten mit Bluthochdruck wird der Blutdruck vor und nach einer Therapie bestimmt.

5 Verbundene Stichproben Ein Versuch wird n-mal durchgeführt Ein Parameter wird geändert Der Versuch wird mit dem geänderten Parameter mit demselben Kollektiv wiederholt Die Messergebnisse werden verglichen

6 t-test zum Vergleich zweier Erwartungswerte bei verbundenen Stichproben Gegeben sind Zufallsvariable X 1,..., X n und Y 1,..., Y n Verteilungsvoraussetzungen sind Alle X j sind normalverteilt mit unbekanntem Erwartungswert µ 1 und unbekannter Varianz σ 2 Alle Y j sind normalverteilt mit unbekanntem Erwartungswert µ 2 und unbekannter Varianz σ 2 Ziel: µ 1 und µ 2 sollen verglichen werden

7 t-test für unverbundene Stichproben, Fortsetzung x j und y j seien Realisierungen z j = y j x j seien die Differenzen Bestimme arithmetischen Mittelwert z = 1 n n j=1 z j und Stichprobenstreuung Die Teststatistik ist s = 1 n 1 n (z j z) 2 j=1 t = z s n Die Teststatistik wird mit einem Quantil der t-verteilung verglichen

8 Teststatistik Wenn kein Unterschied zwischen X j und Y j besteht, dann ist die Teststatistik für große n annähernd standardnormalverteilt Die tatsächliche Verteilung der Teststatistik ist die t-verteilung mit (n 1) Freiheitsgraden Die t-verteilungen sind tabelliert

9 Quantile der t-verteilung f 90% 95% 97.5% 99% 99.5% 99.9%

10 Freiheitsgrade Heuristisch: n Versuche, um den Parameter z zu schätzen Jeder andere Parameter, der hilfsweise geschätzt werden muss, verringert die Zahl der Freiheitsgrade um 1 Beim t-test für verbundene Stichproben muss s hilfsweise geschätzt werden Daher gibt es (n 1) Freiheitsgrade

11 Ein- und zweiseitige Tests Tests können ein- oder zweiseitig sein Es sind µ 1 und µ 2 die unbekannten wahren Erwartungswerte der beiden Stichproben Bei zweiseitigen Tests ist die Nullhypothese von der Form H 0 = {µ 1 = µ 2 } Bei einseitigen Tests ist die Nullhypothese von der Form H 0 = {µ 1 µ 2 } bzw. H 0 = {µ 1 µ 2 }

12 t-tests, Fortsetzung Das Signifikanzniveau sei α Die Quantile der t-verteilung müssen verwendet werden t n 1, 1 α/2 t n 1, 1 α z j = y j x j und Teststatistik beim zweiseitigen Test bei einem einseitigen Test t = z s n Entscheidung: H 0 = {µ 1 = µ 2 }: Die Nullhypothese H 0 wird abgelehnt, wenn t > t n 1, 1 α/2 H 0 = {µ 1 µ 2 }: Die Nullhypothese H 0 wird abgelehnt, wenn t > t n 1, 1 α H 0 = {µ 1 µ 2 }: Die Nullhypothese H 0 wird abgelehnt, wenn t < t n 1, 1 α

13 Ein- und zweiseitige Tests Zweiseitiger Test H H 0 annehmen H 0 ablehnen 0 ablehnen Einseitiger Test H 0 ablehnen H 0 annehmen

14 Beispiel Blutdrucksenker 10 Blutdruckpatienten erhalten eine Woche lang das Medikament und eine Woche lang das Placebo. Der Blutdruck am Ende der jeweiligen Behandlung wird notiert. Zwischen beiden Behandlungen vergehen zwei Wochen mit Standard-Therapie. Ob jemand zuerst das Medikament oder zuerst das Placebo bekommt, wird ausgelost. Für den j-ten Patienten X j = Blutdruck unter Placebo Y j = Blutdruck unter Medikament Z j = Y j X j

15 Beispiel Blutdrucksenker Blutdruck [mm hg] Placebo X j Medikament Y j Differenz Z j z = 1 10 z j = j=1 s = 1 10 (z j z) 9 2 j=1 Frage: Ist die beobachtete Differenz signifikant, oder lässt sie sich durch Zufall erklären? Das Signifikanzniveau sei zu α = 0.05 festgelegt

16 Blutdrucksenker mm Hg Medikament Placebo n

17 Blutdrucksenker: Fortsetzung Beim Blutdrucksenker interessiert nur, ob der Blutdruck tatsächlich sinkt Ein einseitiger Test ist angemessen µ 1 = Blutdruck unter Placebo, µ 2 = Blutdruck unter Medikament Die Nullhypothese ist H 0 : µ 1 µ 2, das Signifikanzniveau ist α = 0.05 Das benötigte Quantil ist t 9, 0.95 = Teststatistik t = z s n = = Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn t < t 9, 0.95 Das trifft hier zu. Die Wirksamkeit des Blutdrucksenkers ist zum Signifikanzniveau α = 0.05 nachgewiesen

18 Quantile der t-verteilung f 90% 95% 97.5% 99% 99.5% 99.9%

19 t-test für den Vergleich eines Erwartungswerts mit einem Referenzwert X 1,..., X n bezeichnen unabhängig erhobene, gleichartige Messwerte. Verteilungsvoraussetzungen: Alle X j sind normalverteilt mit unbekanntem Erwartungswert µ und unbekannter Varianz σ 2 Ziel: µ soll mit einem festen Referenzwert µ 0 verglichen werden. x j seien Realisierungen der X j Bestimme arithmetisches Mittel und Stichprobenstreuung x = 1 n x j und s x = 1 n (x j x) n n 1 2 j=1 Die Teststatistik ist t = x µ 0 n s x Die Teststatistik wird mit dem passenden Quantil verglichen j=1

20 t-tests, Fortsetzung Das Signifikanzniveau sei α Die Quantile der t-verteilung müssen verwendet werden t n 1, 1 α/2 t n 1, 1 α beim zweiseitigen Test bei einem einseitigen Test Entscheidung: H 0 = {µ = µ 0 }: Die Nullhypothese H 0 wird abgelehnt, wenn t > t n 1, 1 α/2 H 0 = {µ µ 0 }: Die Nullhypothese H 0 wird abgelehnt, wenn t < t n 1, 1 α H 0 = {µ µ 0 }: Die Nullhypothese H 0 wird abgelehnt, wenn t > t n 1, 1 α

21 An- und Abmeldung Anmeldung im LSF Keine Pflichtanmeldung mehr, auch zu Wiederholungsprüfungen muss man sich selbst anmelden Keine Zulassungsvoraussetzungen mehr Wenn nötig: Abmeldung im LSF bis eine Woche vor der Prüfung

22 Klausurhilfsmittel Vier beidseitig beschriebene A4-Blätter Ein Taschenrechner. Der Taschenrechner darf nicht symbolisch integrieren können

23 Termine : Vorlesung : Vorlesung und Besprechung von Blatt : Vorlesung : Präsenzübung zur Vorbereitung auf die Prüfung : Keine Vorlesung : Klausur