t-differenzentest bei verbundener Stichprobe

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1 9 Mittelwert- und Varianzvergleiche Mittelwertvergleiche Nächste Anwendung: Vergleich der Mittelwerte zweier normalverteilter Zufallsvariablen Y A und Y B 1 auf derselben Grundgesamtheit durch Beobachtung von Realisationen (x1 A, x1 B ),..., (x, x ) einer (gemeinsamen) einfachen Stichprobe (X1 A, X1 B ),..., (X, X ) zur zweidimensionalen Zufallsvariablen (Y A, Y B ), insbesondere von Realisationen von Y A und Y B für dieselben Elemente der Grundgesamtheit ( verbundene Stichprobe ), auf derselben oder unterschiedlichen Grundgesamtheit(en) durch Beobachtung von Realisationen x1 A,..., x A und x1 B,..., x B zu zwei unabhängigen einfachen Stichproben X1 A,..., X A und X1 B,..., X B (möglicherweise mit ) zu den beiden Zufallsvariablen Y A und Y B. Anwendungsbeispiele für beide Fragestellungen: 1 Vergleich der Montagezeiten zweier unterschiedlicher Montageverfahren auf Grundlage von Zeitmessungen beider Verfahren für dieselbe (Stichproben-)Auswahl vorbeitern. Vergleich der in Eignungstests erreichten Punktzahlen von männlichen und weiblicheewerbern (auf Basis zweier unabhängiger einfacher Stichproben). Schließende Statistik (WS 018/19) Folie Mittelwert- und Varianzvergleiche Mittelwertvergleiche bei verbundenen Stichproben 9.1 t-differenzentest bei verbundener Stichprobe Idee für Mittelwertvergleich bei verbundenen Stichproben: Ein Vergleich der Mittelwerte von Y A und Y B kann anhand des Mittelwerts µ : E(Y ) der Differenz Y : Y A Y B erfolgen, denn mit µ A : E(Y A ) und µ B : E(Y B ) gilt offensichtlich µ µ A µ B und damit: µ < 0 µ A < µ B µ 0 µ A µ B µ > 0 µ A > µ B Mit x1 : x1 A x1 B,..., x n : x x liegt eine Realisation einer einfachen Stichprobe X 1 : X1 A X1 B,..., X n : X X vom Umfang n zu Y Y A Y B vor. Darüberhinaus gilt: Ist (Y A, Y B ) gemeinsam (zweidimensional) normalverteilt, so ist auch die Differenz Y Y A Y B normalverteilt. Es liegt also nahe, die gemeinsame Stichprobe zu (Y A, Y B ) zu einer Stichprobe zu Y Y A Y B zusammenzufassen und den bekannten t-test für den Mittelwert einer (normalverteilten) Zufallsvariablen bei unbekannter Varianz auf der Grundlage der einfachen Stichprobe X 1,..., X n zu Y durchzuführen. Prinzipiell wäre bei bekannter Varianz von Y Y A Y B auch ein entsprechender Gauß-Test durchführbar; Anwendungen hierfür sind aber selten. Schließende Statistik (WS 018/19) Folie 18

2 9 Mittelwert- und Varianzvergleiche Mittelwertvergleiche bei verbundenen Stichproben 9.1 Zusammenfassung: t-differenzentest Anwendungsvoraussetzungen exakt: (Y A, Y B ) gemeinsam (zweidimensional) normalverteilt, E(Y A ) µ A, E(Y B ) µ B sowie Varianzen/Kovarianz unbekannt approx.: E(Y A ) µ A, E(Y B ) µ B, Var(Y A ), Var(Y B ) unbek. (X1 A, X1 B ),..., (X, X ) einfache Stichprobe zu (Y A, Y B ) Nullhypothese H 0 : µ A µ B H 0 : µ A µ B H 0 : µ A µ B Gegenhypothese H 1 : µ A µ B H 1 : µ A > µ B H 1 : µ A < µ B Teststatistik t X S n Verteilung (H 0 ) Benötigte Größen t für µ A µ B (näherungsweise) t(n 1)-verteilt X i Xi A Xi B für i {1,..., n}, X 1 n X i n S 1 ( n n ) (X i X ) n 1 1 Xi nx n 1 Kritischer Bereich (, t n 1;1 α ) (t n 1;1 α, ) (, t n 1;1 α ) zum Niveau α (t n 1;1 α, ) p-wert (1 F t(n 1) ( t )) 1 F t(n 1) (t) F t(n 1) (t) Schließende Statistik (WS 018/19) Folie Mittelwert- und Varianzvergleiche Mittelwertvergleiche bei verbundenen Stichproben 9.1 Beispiel: Montagezeiten von zwei Verfahren Untersuchungsgegenstand: Ist ein neu vorgeschlagenes Montageverfahren besser (im Sinne einer im Mittel kürzereearbeitungsdauer Y B ) als das zur Zeit eingesetzte Montageverfahren (mit Bearbeitungsdauer Y A )? Stichprobeninformation: Zeitmessungen der Montagedauern xi A für Verfahren A und xi B für Verfahre bei denselben n 7 Arbeitern: Arbeiter i x A x B i i Annahme: (Y A, Y B ) gemeinsam normalverteilt, (X1 A, X 1 B),..., (X, X ) einfache Stichprobe zu (Y A, Y B ). Gewünschtes Signifikanzniveau: α 0.05 Geeigneter Test: Exakter t-differenzentest für verbundene Stichproben 1 Hypothesen: H 0 : µ A µ B gegen H 1 : µ A > µ B Teststatistik: t X S n ist unter H0 t(n 1)-verteilt (für µ A µ B ). Schließende Statistik (WS 018/19) Folie 184

3 9 Mittelwert- und Varianzvergleiche Mittelwertvergleiche bei verbundenen Stichproben Kritischer Bereich zum Niveau α 0.05: K (t n 1;1 α, + ) (t 6;0.95, + ) (1.943, + ) 4 Berechnung der realisierten Teststatistik: Arbeiter i xi A xi B x i xi A xi B Mit x x 1 7 i und s 7 1 (x i x) : t x n s Entscheidung: t.7914 (1.943, + ) K H 0 wird abgelehnt! (p-wert: 1 F t(6) (t) 1 F t(6) (.7914) ) Der Test kommt also zur Entscheidung, dass das neue Montageverfahren eine im Mittel signifikant kürzere Montagedauer aufweist. Schließende Statistik (WS 018/19) Folie Mittelwert- und Varianzvergleiche Mittelwertvergleiche bei zwei unabhängigen Stichproben 9. Mittelwertvergleiche bei zwei unabhängigen Stichproben Liegen zwei unabhängige Stichproben X1 A,..., X A und X1 B,..., X B zu jeweils normalverteilten Zufallsvariablen Y A und Y B vor, kann eine Aggregation zu einer einzigen Stichprobe wie beim Vorliegen verbundener Stichproben so nicht durchgeführt werden. Verglichen werden nun nicht mehr Beobachtungspaare, sondern die (getrennt) berechneten Mittelwerte X A und X B der beiden Stichprobenrealisationen zu Y A bzw. Y B. Wir setzen zunächst die Normalverteilungsannahme für Y A und Y B voraus! Die Differenz X A X B ist wegen der Unabhängigkeit der Stichproben dann offensichtlich normalverteilt mit Erwartungswert µ A µ B (für µ A µ B gilt also gerade E(X A X B ) 0) und Varianz Var(X A X B ) Var(X A ) + Var(X B ) σ A + σ B. Sind die beteiligten Varianzen bekannt, kann zum Vergleich von µ A und µ B somit unmittelbar ein exakter Gauß-Test konstruiert werden. Schließende Statistik (WS 018/19) Folie 186

4 9 Mittelwert- und Varianzvergleiche Mittelwertvergleiche bei zwei unabhängigen Stichproben 9. Zusammenfassung: -Stichproben-Gauß-Test bei bekannten Varianzen Anwendungs- exakt: Y A N(µ A, σa), Y B N(µ B, σb), σa, σb bekannt voraussetzungen X1 A,..., X A einfache Stichprobe zu Y A, unabhängig von einfacher Stichprobe X1 B,..., X B zu Y B. Nullhypothese H 0 : µ A µ B H 0 : µ A µ B H 0 : µ A µ B Gegenhypothese H 1 : µ A µ B H 1 : µ A > µ B H 1 : µ A < µ B σ A Teststatistik N X A X B Verteilung (H 0 ) + σ B N für µ A µ B N(0, 1)-verteilt Benötigte Größen X A 1 na Xi A, X B 1 nb Xi B Kritischer Bereich (, N 1 α ) (N 1 α, ) (, N 1 α ) zum Niveau α (N 1 α, ) p-wert (1 Φ( N )) 1 Φ(N) Φ(N) Schließende Statistik (WS 018/19) Folie Mittelwert- und Varianzvergleiche Mittelwertvergleiche bei zwei unabhängigen Stichproben 9. Sind die Varianzen σa und σ B unbekannt, so ist zu unterscheiden, ob man wenigstens σa σ B annehmen kann oder nicht. Im Fall übereinstimmender Varianzen σa σ B wird diese mit Hilfe eines gewichteten Mittelwerts S der Stichprobenvarianzen S Y A 1 1 in der Form (X A i X A ) und S Y B 1 1 j1 (X B j X B ) S ( 1)S Y A + ( 1)S Y B + na (X i A X A ) + j1 (X j B X B ) + geschätzt, ein exakter t-test ist damit konstruierbar. Für erhält man die einfachere Darstellung S S Y A + S Y B. Schließende Statistik (WS 018/19) Folie 188

5 9 Mittelwert- und Varianzvergleiche Mittelwertvergleiche bei zwei unabhängigen Stichproben 9. Zusammenfassung: -Stichproben-t-Test bei unbekannten, aber übereinstimmenden Varianzen Anwendungsvoraussetzungen exakt: Y A N(µ A, σa), Y B N(µ B, σb), µ A, µ B, σa σb unbek. approx.: E(Y A ) µ A, E(Y B ) µ B, Var(Y A ) Var(Y B ) unbekannt X1 A,..., X A einfache Stichprobe zu Y A, unabhängig von einfacher Stichprobe X1 B,..., X B zu Y B. Nullhypothese H 0 : µ A µ B H 0 : µ A µ B H 0 : µ A µ B Gegenhypothese H 1 : µ A µ B H 1 : µ A > µ B H 1 : µ A < µ B Teststatistik t X A X B X A X B na S + Verteilung (H 0 ) S + S Benötigte Größen X A 1 na i, X B 1 ( 1)S S Y A +( 1)S Y B + t für µ A µ B (näherungsweise) t( + )-verteilt X A nb Xi B, na (X i A X A ) + + (X i B X B ) Kritischer Bereich (, t na + ;1 α ) (t + ;1 α, ) (, t na + ;1 α) zum Niveau α (t na + ;1 α, ) p-wert (1 F t(na + )( t )) 1 F t(na + )(t) F t(na + )(t) Schließende Statistik (WS 018/19) Folie Mittelwert- und Varianzvergleiche Mittelwertvergleiche bei zwei unabhängigen Stichproben 9. Beispiel: Absatzwirkung einer Werbeaktion Untersuchungsgegenstand: Hat eine spezielle Sonderwerbeaktion positiven Einfluss auf den mittlerebsatz? Stichprobeninformation: Messung der prozentualebsatzänderungen x1 A,..., x 10 A in 10 Supermärkten ohne Sonderwerbeaktion und x1 B,..., x 5 B in 5 Supermärkten mit Sonderwerbeaktion. Annahme: Für prozentuale Absatzänderungen Y A ohne bzw. Y B mit Sonderwerbeaktion gilt Y A N(µ A, σa ), Y B N(µ B, σb ), µ A, µ B, σa σ B unbekannt, X1 A,..., X 10 A einfache Stichprobe zu Y A, unabhängig von einfacher Stichprobe X1 B,..., X 5 B zu Y B. (Zwischen-)Ergebnisse aus Stichprobenrealisation: x A 6.5, x B 8, s Y 0.5, s A Y 3.04 B ( 1)s + (n Y s A B 1)s Y B Gewünschtes Signifikanzniveau: α 0.05 Geeigneter Test: -Stichproben-t-Test bei übereinstimmenden, aber unbekannten Varianzen Schließende Statistik (WS 018/19) Folie 190

6 9 Mittelwert- und Varianzvergleiche Mittelwertvergleiche bei zwei unabhängigen Stichproben 9. 1 Hypothesen: H 0 : µ A µ B gegen H 1 : µ A < µ B Teststatistik: t X A X B na ist unter H 0 t( + )-verteilt (für µ A µ B ). S + 3 Kritischer Bereich zum Niveau α 0.05: K (, t na + ;1 α) (, t 13;0.95 ) (, 1.771) 4 Berechnung der realisierten Teststatistik: t x A x B na s Entscheidung: t / (, 1.771) K H 0 wird nicht abgelehnt! (p-wert: F t(13) (t) F t(13) ( ) 0.807) Der Test kommt also zur Entscheidung, dass eine positive Auswirkung der Sonderwerbeaktion auf die mittlere prozentuale Absatzänderung nicht bestätigt werden kann. Schließende Statistik (WS 018/19) Folie Mittelwert- und Varianzvergleiche Mittelwertvergleiche bei zwei unabhängigen Stichproben 9. Sonderfall: Vergleich vonteilswerten Ein Sonderfall des (approximativen) -Stichproben-t-Test bei unbekannten, aber übereinstimmenden Varianzen liegt vor, wenn zwei Anteilswerte miteinander verglichen werden sollen. Es gelte also speziell Y A B(1, p A ) und Y B B(1, p B ) für p A (0, 1) und p B (0, 1), außerdem seien X1 A,..., X A sowie X1 B,..., X B unabhängige einfache Stichproben vom Umfang zu Y A bzw. vom Umfang zu Y B. Zur Überprüfung stehen die Hypothesenpaare: H 0 : p A p B H 0 : p A p B H 0 : p A p B gegen H 1 : p A p B H 1 : p A > p B H 1 : p A < p B Für die Varianzen von Y A und Y B gilt bekanntlich Var(Y A ) p A (1 p A ) bzw. Var(Y B ) p B (1 p B ), d.h. die Varianzen sind zwar unbekannt, unter H 0 genauer für p A p B jedoch gleich. Mit den üblichen Schreibweisen p A : 1 na X i A bzw. p B : 1 erhält man für S ibhängigkeit von p A und p B die Darstellung: S p A (1 p A ) + p B (1 p B ) + nb X i B Approximation vernünftig, falls 5 p A 5 und 5 p B 5. Schließende Statistik (WS 018/19) Folie 19

7 9 Mittelwert- und Varianzvergleiche Mittelwertvergleiche bei zwei unabhängigen Stichproben 9. Zusammenfassung: -Stichproben-t-Test für Anteilswerte Anwendungs- approx.: Y A B(1, p A ), Y B B(1, p B ), p A, p B unbekannt voraussetzungen X1 A,..., X A einfache Stichprobe zu Y A, unabhängig von einfacher Stichprobe X1 B,..., X B zu Y B. Nullhypothese H 0 : p A p B H 0 : p A p B H 0 : p A p B Gegenhypothese H 1 : p A p B H 1 : p A > p B H 1 : p A < p B Teststatistik t p A p B p A p B na S + Verteilung (H 0 ) Benötigte Größen p A 1 S + S t für p A p B näherungsweise t( + )-verteilt (Näherung ok, falls 5 p A 5 und 5 p B 5) S na Xi A, p B 1 nb Xi B, p A (1 p A )+ p B (1 p B ) + Kritischer Bereich (, t na + ;1 α ) (t + ;1 α, ) (, t na + ;1 α) zum Niveau α (t na + ;1 α, ) p-wert (1 F t(na + )( t )) 1 F t(na + )(t) F t(na + )(t) Schließende Statistik (WS 018/19) Folie Mittelwert- und Varianzvergleiche Mittelwertvergleiche bei zwei unabhängigen Stichproben 9. Beispiel: Vergleich von zwei Fehlerquoten mit approximativem -Stichproben-t-Test für Anteilswerte Untersuchungsgegenstand: Vergleich von Fehlerquoten zweier Sortiermaschinen Für einen automatisierten Sortiervorgang werden eine günstige (A) sowie eine hochpreisige Maschine (B) angeboten. Es soll anhand von (unabhängigen) Testläufen mit jeweils 1000 Sortiervorgängen überprüft werden, ob die Fehlerquote p A bei der günstigen Maschine A höher ist als die Fehlerquote p B der hochpreisigen Maschine B. Resultat der Testläufe soll jeweils als Realisation einer einfachen Stichprobe aufgefasst werden können. Stichprobeninformation: Bei Maschine A traten 9 Fehler auf, bei Maschine B 1 Fehler. (Zwischen-) Ergebnisse aus Stichprobenrealisation: p A , p B , s (1 0.09) (1 0.01) Gewünschtes Signifikanzniveau α Schließende Statistik (WS 018/19) Folie 194

8 9 Mittelwert- und Varianzvergleiche Mittelwertvergleiche bei zwei unabhängigen Stichproben 9. 1 Hypothesen: H 0 : p A p B gegen H 1 : p A > p B Teststatistik: t p A p B na ist unter H 0 näherungsweise t( + )-verteilt S + (für p A p B ). Näherung ok, da und Kritischer Bereich zum Niveau α 0.05: K (t na + ;1 α, + ) (t 1998;0.95, + ) (1.646, + ) 4 Berechnung der realisierten Teststatistik: t p A p B na s Entscheidung: t / (1.646, + ) K H 0 wird nicht abgelehnt! (p-wert: 1 F t(1998) (t) 1 F t(1998) (1.145) ) Der Test kommt also zum Ergebnis, dass eine höhere Fehlerquote der günstigen Maschine nicht bestätigt werden kann. Schließende Statistik (WS 018/19) Folie Mittelwert- und Varianzvergleiche Mittelwertvergleiche bei zwei unabhängigen Stichproben 9. Approximativer -Stichproben-Gauß-Test für Mittelwertvergleiche, wenn Gleichheit der Varianzen ungewiss Kann in der Situation des exakten -Stichproben-t-Test (Y A und Y B sind normalverteilt mit unbekannten Varianzen) auch unter H 0 keine Gleichheit der Varianzen vorausgesetzt werden, müssen andere Testverfahren verwendet werden, z.b. der Welch-Test (hier nicht besprochen). Als approximativer Test lässt sich (zumindest bei hinreichend großen Stichprobenumfängen, Daumenregel n A > 30 und > 30) auch eine leichte Modifikation des -Stichproben-Gauß-Tests aus Folie 187 verwenden. Anstelle der (dort als bekannt vorausgesetzten) Varianzen σa und σ B sind die erwartungstreuen Schätzfunktionen S Y und S A Y einzusetzen und der Test B als approximativer Test durchzuführen. Die Teststatistik nimmt damit die Gestalt N X A X B S Y A + S Y B an und ist unter H 0 näherungsweise standardnormalverteilt. Schließende Statistik (WS 018/19) Folie 196