Klausur zu Methoden der Statistik I (mit Kurzlösung) Sommersemester Aufgabe 1

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1 Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie der Otto-Friedrich-Universität Bamberg Prof. Dr. Susanne Rässler Klausur zu Methoden der Statistik I (mit Kurzlösung) Sommersemester 2007 Aufgabe 1 25 Schülern einer Schulklasse wurden folgende zwei Fragen gestellt: Bist Du Mitglied in einem Sportverein? Spielst Du ein Musikinstrument bzw. lernst Du ein Musikinstrument zu spielen? Alle 25 Schüler haben beide Fragen wahrheitsgemäß (mit ja oder nein) beantwortet. Es seien die Merkmale A: Mitgliedschaft in einem Sportverein und B: Spielen eines Musikinstruments. Zunächst wird nur veröffentlicht, daß es 15 Ja-Antworten bei der Frage nach der Sportvereinsmitgliedschaft und 9 Ja-Anworten bei der Frage nach dem Musikinstrument gab. 1. Um welchen Merkmalstyp handelt es sich jeweils bei den Merkmalen A und B? (Kurze Begründung.) 2. Geben Sie die relative Häufigkeitsverteilung des Merkmals A an. 3. Bestimmen Sie sowohl die größtmögliche als auch die kleinstmögliche Anzahl von Schülern, die beide Fragen mit Nein beantwortet haben können. 4. Geben Sie die Indifferenztabelle der gemeinsamen absoluten Häufigkeiten von A und B an, wenn statistische Unabhängigkeit vorliegt. Kann diese hier tatsächlich auftreten? Auf Nachfrage erfahren Sie, dass genau drei Schüler der Klasse beide Fragen mit Ja beantwortet haben. 5. Erstellen Sie nun die Kontingenztabelle der gemeinsamen absoluten Häufigkeiten von A und B. 6. Berechnen Sie den Wert eines geeigneten normierten Maßes für den Zusammenhang der beiden erhobenen Merkmale und interpretieren Sie Ihr Ergebnis.

2 Aufgabe 2 In der stets gut besuchten Gaststätte Zum Pleitegeier erfasst der Aushilfskellner Sven, der aus seinem Studium erste Statistik-Kenntnisse hat, die Rechnungsbeträge X der Gäste. Er zeichnet nachfolgende Häufigkeitsdichte, die er als geeignet für die grafische Veranschaulichung seiner Daten und damit des Merkmals X hält: f (x) x Welches Skalenniveau hat das Merkmal X (kurze Begründung)? 2. Bestimmen Sie für alle zugrunde liegenden Klassen die relativen Häufigkeiten. 3. Welcher Anteil der Gäste hatte einen Rechnungsbetrag zwischen EUR 52,00 und EUR 85,00? Welche Annahme müssen Sie machen? 4. Zeichnen Sie die approximierende Verteilungsfunktion für das Merkmal X. 5. Bestimmen Sie mithilfe der Zeichnung aus Teilaufgabe 4 den Quartilsabstand. 6. Berechnen Sie für das Merkmal X näherungsweise das arithmetische Mittel, den Median und die Varianz.

3 Aufgabe 3 Ein Bamberger Student ist auf Wohnungssuche. Er hat sich die folgenden 10 Wohnungen im Bamberger Wohnungsmarkt angeschaut und dabei Wohnfläche X (in qm) und Kaltmiete Y (in EUR) notiert. Wohnfläche (in qm) Kaltmiete (in EUR) Quelle : http : // wg.de/, 15.Juli, 2007 Hinweis: x = 35, 2, y = 288, 5, x 2 = 1354, 8, y 2 = 84832, 5, xy = 10473, Die studentische Fachschaft vermutet einen Zusammenhang zwischen der Höhe der Kaltmiete und der Wohnfläche. Berechnen Sie ein geeignetes Maß und interpretieren Sie Ihr Ergebnis. 2. Schätzen Sie die Parameter eines linearen Regressionsmodells y i = α 0 + α 1 x i + u i mittels der Methode der kleinsten Quadrate. 3. Welches Prinzip liegt der Methode der kleinsten Quadrate zugrunde? 4. Interpretieren Sie die geschätzten Parameter anschaulich am Sachverhalt. (Hinweis: Sollten Sie in Teilaufgabe 2 keine Schätzer für α 0 und α 1 bestimmen können, dann, und nur dann verwenden Sie α 0 = 190 und α 1 = 3.) 5. Ein Student bekommt eine 34 qm-wohnung angeboten: Mit welchem Preis muß er rechnen? 6. Welcher Anteil der Varianz der Kaltmiete wird durch die Regressionsgerade nicht erklärt? 7. Die durchschnittlichen Mieten in Bamberg für Wohnungen unter 45 qm haben sich in den letzten 5 Jahren wie folgt entwickelt: Jahr Miete EUR/qm 6,06 6,14 6,44 6,54 6,80 Um wie viel Prozent sind die Mieten in dieser Zeit im Durchschnitt jährlich gestiegen?

4 Aufgabe 4 Zur Beurteilung von Stellenbewerbern führt ein Forschungsinstitut spezielle Eignungstests durch, deren Ergebnisse zur Entscheidung über die Einstellung der Bewerber herangezogen werden. Von den Bewerbern für eine bestimmte Tätigkeit bestehen im Durchschnitt 25% den Eignungstest. Aufgrund langjähriger Erfahrung weiß das Institut, dass 85% der Bewerber, die den Eignungstest bestehen, tatsächlich für die Tätigkeit geeignet sind. Von den Bewerbern, die den Test nicht bestehen, weiß das Institut dagegen, dass unter ihnen trotzdem 30% für die Tätigkeit geeignet wären. Verwenden Sie folgende Ereignisbezeichnungen: B: Bewerber besteht den Eignungstest G: Bewerber ist für die Tätigkeit geeignet 1. Formulieren Sie obige Angaben als Wahrscheinlichkeiten. 2. Welcher Wahrscheinlichkeitsbegriff wird hier verwendet? Betrachten Sie nun einen zufällig herausgegriffenen Bewerber. 3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht ein Bewerber den Eignungstest nicht? 4. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein Bewerber für die Tätigkeit geeignet? 5. Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht ein für die Tätigkeit geeigneter Bewerber den Eignungstest? Dem Forschungsinstitut ist aus der Vergangenheit bekannt, daß die Wahrscheinlichkeitsfunktion für die Zufallsvariable X: Anzahl der Bewerbungen auf eine Expertenstelle folgende Form besitzt: x f(x) 0,1 0,2 f(3) 0,4 0,1 6. Geben Sie f(3) an. Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz von X. 7. Nehmen Sie kurz Stellung zu folgender Aussage: sind zwei Zufallsvariablen unkorreliert, so sind sie auch stochastisch unabhängig.

5 Aufgabe 5 R-Aufgabe) 1. Sie wollen den Zusammenhang zwischen Schuhgröße und Gewicht von 5 Personen analysieren. (a) Was bewirkt folgende R-Befehlsfolge? Interpretieren Sie das Ergebnis. Ist das Ergebnis plausibel? > schuhg<-c(40,36,39,38,43) > gewicht<-c(80,65,70,69,92) > v.gewicht<-sum(gewicht*gewicht)/n-mean(gewicht)^2 > v.schuhg<-sum(schuhg*schuhg)/n-mean(schuhg)^2 > cv.gewicht.schuhg<-sum(gewicht*schuhg)/n-mean(gewicht)*mean(schuhg) > r.gewicht.schuhg<-cv.gewicht.schuhg/sqrt(v.gewicht*v.schuhg) > r.gewicht.schuhg [1] (b) Geben Sie den R- Befehl an, mit dem Sie das Streudiagramm für die Merkmale Gewicht und Schuhgröße mit Titel und Achsenbeschriftungen erzeugen können. (c) Mit welchen Befehlen können Sie in R die relativen Häufigkeiten sowie die Summenhäufigkeiten für das Merkmal Gewicht berechnen? (d) Wie können Sie den Median des Merkmals Gewicht bestimmen? 2. Beschreiben Sie, was mit den folgenden Befehlsfolgen berechnet wird und interpretieren Sie jeweils das Ergebnis. (a) > Aktie<-c(48,50,51,52,53,54,58,60,67) > n<-length(aktie) > Aktie.f<-Aktie[2:n]/Aktie[1:n-1] > Aktie.f [1] > Aktie.m<-(prod(Aktie.f)^(1/n)-1)*100 > Aktie.m [1] (b) > t<-(1:9) > a1<-sum((aktie-mean(aktie))*(t-mean(t)))/length(t)/(sum((t-mean(t))^2)/length(t)) > a1 [1] > a0<-mean(aktie)-a1*mean(t) > a0 [1]

6 Lösung zu Aufgabe 1 1) Merkmalstyp: qualitative Merkmale. 2) f(a 1 ) = 0, 6000 f(a 2 ) = 0, ) - Größtmöglich: 10 - Kleinstmöglich: 1 4) Indifferenztabelle: Ja Nein Ja 5,4 3,6 9 Nein 9,6 6, Nein, kann nicht auftreten. 5) Kontingenztabelle: Ja Nein Ja Nein ) Cramers V: V AB = 0, 4082

7 Lösung zu Aufgabe 2 1) Skalenniveau: Das Merkmal X ist quantitativ bzw. kardinalskaliert. 2) i Rechnungsbeträge f (x) x i x i f i F i , ,0300 0, , ,1000 0, , ,4400 0, , ,3000 0, , ,0800 0, , ,0500 1,0000 Summe ) F (85) F (52) = 0, 4080 Abbildung 1: approximierende Verteilungsfunktion 4) 5) q = 40 6) x (0.5) = 53, 6364; x = 53, 7000; s 2 X = 742, 81

8 Lösung zu Aufgabe 3 Merkmale: Y i : Kaltmiete in Euro (metrisch) X i : Wohnfläche in qm (metrisch) 1) Korrelationskoeffizient : s 2 X = 115, 76; s2 Y = 1600, 25; s XY = 318, 3; r XY = 0, ) â 1 = 2, 7497 â 0 = 191, ) Vorgehen bei der KQ-Methode: Minimierung der Fehlerquadratsumme. 4) â 0 : durchschnittliche Grundkosten einer Wohnung. â 1 : Regressionskoeffizient; Pro zusätzlichen qm steigt der Wohnungspreis durchschnittlich um ca. 2,75 Euro. 5) ŷ(34) = 285, ) R 2 Y X = r2 Y X = 0, 5469 nicht erklärter Varianzanteil: 0, ) geometrisches Mittel: x G = 1, 0292

9 Lösung zu Aufgabe 4 1) P (B) = 0, 25; P (G B) = 0, 85; P (G B) = 0, 3 2) statistische Wahrscheinlichkeit (Mises) 3) P (B) = 0, 75 4) P (G) = 0, ) P (B G) = 0, ) f(3) = 0, 2; E(X) = 3, 2; V ar(x) = 1, 36 7) Die Aussage ist falsch: Unkorreliertheit bezieht sich lediglich auf den linearen Zusammenhang.

10 Lösung zu Aufgabe 5 1a) Die Befehlsfolge berechnet: Varianzen und Kovarianz zweier Merkmale; der Korrelationskoeffizient beträgt 0, b) plot(schuhg,gewicht,main="titel",xlab="x",ylab="y") 1c) relh=table(gewicht)/length(gewicht) SumH=cumsum(relH) 1d) median(gewicht) 2a) Einlesen von Aktiendaten. Berechnung des geometrischen Mittels. 3, gibt die durschnittliche Steigerung der Aktien wieder. 2b) Lineare Regression der Zeit auf den Betrag der Aktie. Achsenabschnitt: α 0 = 44, 61111; Steigungskoeffizient: α 1 = 2, Grundwert der Aktie: 44,61 Euro, der pro Zeitintervall um 2,03 Euro ansteigt.