Aufgabe 2. Zudem konnten Sie bereits die folgenden Maße ermitteln: g = 2040 x = 3 xg = 7049 S 2 X = 2, 98.

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1 Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie der Otto-Friedrich-Universität Bamberg Prof. Dr. Susanne Rässler Klausur zu Methoden der Statistik I (mit Kurzlösung) Sommersemester 2016 Aufgabe 1 Absolventen und Absolventinnen der Fakultät Sozial- und Wirtschaftswissenschaften wurden zu ihrem jährlichen Bruttoeinkommen in Euro befragt. In der folgenden Tabelle finden Sie die Einkommensangaben von 5 Befragten. ν Einkommen in e a) Berechnen Sie den Variationskoeffizienten vom Einkommen (X), gegeben ist die Varianz S 2 x = b) Erstellen Sie eine geeignete Arbeitstabelle und berechnen Sie die Konzentration des Einkommens anhand einer geeigneten Maßzahl und interpretieren Sie das Ergebnis. c) Stellen Sie die maximale Einkommenskonzentration grafisch dar. d) Was geschieht mit der Einkommenskonzentration, wenn... (i)...jede Person einen Bonus von EUR erhält? (ii)...sich das Einkommen aller Personen halbiert? e) Berechnen Sie die Konzentration (K), die Fläche zwischen der Winkelhalbierenden und der Lorenzkurve, aus folgender Abbildung: G(x) F(x)

2 Aufgabe 2 Um die Einflussfaktoren des Nettoeinkommens analysieren zu können, wird von einer Gruppe wissbegieriger Statistiker, der Sie selbstredend angehören, eine Erhebung vom Umfang n = 5 Personen durchgeführt (ν = 1,..., 5). Hierzu ermitteln Sie sowohl das Nettoeinkommen in Euro (Merkmal G) sowie die Berufserfahrung in Jahren (Merkmal X). Sie unterstellen das einfache lineare Regressionsmodell: g ν = β 0 + β 1 x ν + u ν, ν = 1,..., 5 Zudem konnten Sie bereits die folgenden Maße ermitteln: g = 2040 x = 3 xg = 7049 S 2 X = 2, 98. a) Berechnen Sie die Parameter β 0 und β 1 nach der KQ-Methode und interpretieren Sie den Achsenabschnittsparameter. b) Prognostizieren Sie das Nettoeinkommen für eine Person mit einer Beruferfahrung von 30 Jahren. Ersatzergebnis: Sollten Sie Teilaufgabe a) nicht gelöst haben (und nur dann!), verwenden Sie in den nachfolgenden Teilaufgaben β 0 = 1050 sowie β 1 = 290. c) Diskutieren Sie unter Verweis auf Aufgabenteil b) kurz (maximal 2 Sätze), ob die Annahme der Form des Zusammenhangs, den Sie in Ihrem Regressionsmodell unterstellen, für diesen Sachverhalt zutreffend erscheint. d) Berechnen Sie das arithmetische Mittel und die Varianz für die oben erhobene Berufserfahrung, wenn diese nicht mehr in Jahren, sondern in Monaten gemessen wird. Ihren Ergebnissen wollen Sie noch nicht wirklich trauen. Deshalb führen Sie eine zweite Erhebung durch, in der Sie fünf andere Personen nach dem Nettoeinkommen befragen (ν = 6,..., 10). Lediglich unter Verwendung der neuen fünf Beobachtungen schätzen Sie anschließend neue Regressionsparameter, mit deren Hilfe Sie nun die sogenannten Schätzgleichungs- oder ausgeglichenen Werte ĝ ν berechnen können. Sowohl die fünf neuen erhobenen Nettoeinkommen als auch die dazugehörigen ausgeglichenen Werte sind der folgenden Tabelle zu entnehmen: ν g ν ĝ ν e) Bestimmen Sie mit diesen Informationen die Güte des neuen Modells und interpretieren Sie das Ergebnis.

3 Aufgabe 3 Es liegen Informationen von siebzig Einwohnern des Vereinigten Königreichs (außerhalb Londons) zu den Merkmalen G ( Ortsgröße in tausend Einwohnern ) und B ( Befürwortung des Brexit ) vor. B \ G 0 bis 20 ü. 20 bis 100 ü. 100 bis 400 ü. 400 bis 1000 ja nein a) Bestimmen Sie die durchschnittliche Ortsgröße von Brexit-Befürwortern g 1 und Brexit-Gegnern g 2 sowie die zugehörigen Varianzen s 2 1 und s 2 2. Ersatzergebnis: Falls Sie Teilaufgabe a) nicht lösen konnten (und nur dann!), verwenden Sie in den folgenden Teilaufgaben n 1 = 30, n 2 = 40, g 1 = 65, g 2 = 90, s 2 1 = 4000 und s 2 2 = b) Welche implizite Annahme haben Sie bei den Berechnungen in Teilaufgabe a) bezüglich der Verteilung der Daten innerhalb der Klassen getroffen? c) Berechnen und interpretieren Sie ein geeignetes Maß für den Zusammenhang zwischen Brexit-Befürwortung und Ortsgröße. d) Wie hätte bei Beibehaltung der Randhäufigkeiten (n 1 = 30 und n 2 = 40) sowie den durchschnittlichen Ortsgrößen von Brexit-Befürwortern und Brexit- Gegnern die Datenlage sein müssen, damit das Zusammenhangsmaß maximal ist?

4 Aufgabe 4 Ihnen liegt eine unvollständige Kontingenztabelle zu Geschlecht (Merkmal S ) und der Häufigkeit der korrekt getippten Ergebnisse einer Tippspiel-Runde zur EU- RO 2016 (Merkmal T ) eines mittelständischen Unternehmens mit 200 Tippspiel- Teilnehmern vor. S \ T oder mehr Frauen 27 Männer a) Erstellen Sie die vollständige Kontingenztabelle auf Ihrem Lösungsbogen (nicht in der Klausurangabe vervollständigen!). Folgende (teilweise redundante) Informationen sind hierfür noch gegeben: 12 Männer hatten kein Ergebnis korrekt getippt. 3 7 derjenigen, die zwei Ergebnisse korrekt getippt hatten, waren Frauen. Doppelt so viele Frauen wie Männer hatten vier oder mehr Ergebnisse richtig getippt, aber nur halb so viele Frauen wie Männer haben drei Ergebnisse richtig getippt. f 2 = 0, 25 25% aller Männer hatten ein Ergebnis korrekt getippt. Ersatzergebnis: Falls Sie Teilaufgabe a) nicht lösen konnten (und nur dann!), verwenden Sie in den folgenden Teilaufgaben nachstehende Tabelle: S \ T oder mehr Frauen Männer b) Erstellen Sie eine Arbeitstabelle mit den relativen Häufigkeiten und den relativen Summenhäufigkeiten nur für die Männer, wobei Sie die Kategorien 0 und 1 korrekt getippte Ergebnisse zunächst zusammenfassen sollen. c) Charakterisieren Sie die Verteilung der Anzahl korrekter Tipps für die Teilpopulation der Männer anhand des Medians und der normierten Summenhäufigkeitsentropie. Interpretieren Sie beide Ergebnisse.

5 Lösung Aufgabe 1 a) υ X = 0, 3253 b) Arbeitstabelle ν n ν X ν f ν F ν g ν G ν ,2 0,2 0,1376 0, ,2 0,4 0,1577 0, ,2 0,6 0,1678 0, ,2 0,8 0,2181 0, ,2 1 0, = S* c) h MG = 0, 2114 Es liegt eine eher schwache Konzentration des Einkommens vor. Gehalt der Absolventen G F d) (i) Konzentration verringert sich. (ii) Konzentration bleibt gleich. e) K = 0, 24

6 Lösung Aufgabe 2 a) β 1 = 311, 7450 β 0 = 1104, 765 Interpretation β 0 : Das Nettoeinkommen beträgt für einen Berufseinsteiger 1104, 7665 Euro. b) ĝ = 10457, 115 c) Die Form ist nicht angebracht, da der Zusammenhang nicht linear zu sein scheint. Stattdessen könnte der positive Effekt der Berufserfahrung mit zunehmender Dauer abnehmend sein. d) Sei Y = 12 X, sodass y = 36 SY 2 = 429, 12 e) R 2 = 0, 5971 D.h. ca. 60% der Variation des Nettoeinkommens werden erklärt. Mittelgute Anpassung!

7 Lösung Aufgabe 3 a) g 1 = 101, 3333 g 2 = 169, 5 s 2 1 = , 8889 s 2 2 = , 75 b) Einpunktverteilung innerhalb der Klassen auf der Klassenmitte (Gleichverteilungsannahme zur Approximation des Klassenmittelwerts durch die Klassenmitte ebenfalls zulässig). c) 0 η 2 = 0, Der Zusammenhang zwischen Brexit-Befürwortung und Ortsgröße ist extrem schwach. d) Keine Streuung innerhalb der Klassen, d.h. alle 30 Brexit-Befürworter würden als Ortsgröße g 1 = 101, 3333 und alle 40 Brexit-Gegner g 2 = 169, 5 aufweisen.

8 Lösung Aufgabe 4 a) h S \ T oder mehr Frauen Männer b) h j n j f j F j ,3611 0, ,3333 0, ,2222 0, , Σ c) Median: Zwei Tipps, d.h. eine richtige Anzahl von 2 Tipps ist der kleinste Merkmalswert, der von mindestens 50% aller Beobachtungen (hier: 69,44%) nicht überschritten wird. Normierte Summenhäufigkeitsentropie: d.h. die Streuung ist relativ groß. VD = 0, 7486,