WISTA WIRTSCHAFTSSTATISTIK

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1 WISTA WIRTSCHAFTSSTATISTIK PROF. DR. ROLF HÜPEN FAKULTÄT FÜR WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFT Seminar für Theoretische Wirtschaftslehre Vorlesungsprogramm Konzentrationsmaße 1. Konzentrationsbegriff 2. Lorenzkurve 3. Gini-Koeffizient Literatur: Degen, Horst / Lorscheid, Peter: Statistik-Lehrbuch, 2. Aufl., München-Wien 2002, S Mosler, Karl und Schmid, Friedrich: Beschreibende Statistik und Wirtschaftsstatistik, 4. Aufl., Berlin-Heidelberg-New York 2009, S von der Lippe, Peter: Deskriptive Statistik, Stuttgart 1993, S Bruckmann, Gerhart: Konzentrationsmessung, in: Bleymüller, Josef / Gehlert, Günther / Gülicher, Herbert: Statistik für Wirtschaftswissenschaftler, 15. Aufl., München 2008, S Übungsaufgaben: Semesterabschlussklausuren WS 03/04, A2; SS 05, A2; SS 08, A2; WS 10/11, A3.

2 Konzentrationsmaße Begriff und Fragestellung Begriff der Konzentration Unter Konzentration versteht man die (ungleiche) Verteilung der Merkmalssumme eines Erhebungsmerkmals auf die Merkmalsträger. Beispiele: Marktformen Polypol Oligopol Monopol (Anzahl der Anbieter, Marktanteil, Marktmacht) Personelle Einkommens- oder Vermögensverteilung ( Die ärmsten 10% der Bevölkerung beziehen 4,1% des Volkseinkommens, die reichsten 10% beziehen 21,1% des Volkseinkommens ) Konzentration statisch dynamisch absolut relativ absolut relativ 2

3 Konzentrationsmaße Begriff und Fragestellung Statische Konzentration Zeitpunktbetrachtung, Konzentration als Zustand. Das Vermögen ist ungleich verteilt, es konzentriert sich auf wenige Personen Dynamische Konzentration Zeitraumbetrachtung, Konzentration als Prozess. In der Landwirtschaft hat zwischen 1960 und 1990 ein Konzentrationsprozess stattgefunden. Absolute Konzentration Konzentration der Merkmalssumme auf absolut wenige Merkmalsträger. Ein Großteil des gesamten Merkmalsbetrages konzentriert sich auf eine kleine Zahl von Merkmalsträgern. Die drei größten Unternehmen haben auf dem Markt x einen Marktanteil von zusammen 90%. Relative Konzentration (Disparität) Konzentration der Merkmalssumme auf einen geringen Anteil der Merkmalsträger. 1,7% der Bevölkerung besitzen mehr als 70% des Produktivvermögens. 3

4 Konzentrationsmaße Begriff und Fragestellung Beispiel: Umsatzverteilung von Unternehmen einer Branche 1) Unternehmen Verteilung A B C D E F G H a b c d e f g h i j Gesamtumsatz ) Beispiel entnommen aus: Bleymüller/Gehlert/Gülicher, Statistik für Wirtschaftswissenschaftler, 15. Aufl., München 2008, S

5 Konzentrationsmaße Begriff und Fragestellung Messung der Konzentration Maßzahlen der absoluten Konzentration Konzentrationsrate Herfindahl-Index (normierte) Entropie = Anteil der j größten Merkmalsträger an der Merkmalssumme = Summe der quadrierten Anteile an der Merkmalssumme Maßzahlen der relativen Konzentration Lorenzkurve Gini-Koeffizient 5

6 Konzentrationsmaße Lorenzkurve Lorenzkurve Max Otto Lorenz ( ), amerikanischer Ökonom Fragestellung: Verteilung der Merkmalssumme auf die Merkmalsträger. Vorgehen: Zuordnung der kumulierten relativen Häufigkeiten zum kumulierten Anteil an der Merkmalssumme. Charakterisierung: Bei der Lorenzkurve handelt es sich um eine graphische Darstellung der relativen Konzentration. Voraussetzungen: Das statistische Merkmal ist mindestens verhältnisskaliert. Die Merkmalsausprägungen sind nicht negativ. Die Merkmalssumme kann sinnvoll berechnet werden. 6

7 Konzentrationsmaße Lorenzkurve Beispiele für sinnvolle Merkmalssummen Merkmal Merkmalsträger Merkmalssumme Umsatz (Mio / Monat) Unternehmen einer Branche Branchenumsatz Bruttolohn ( / Monat) Arbeitnehmer Lohnsumme der Arbeitnehmer Landwirtschaftliche Nutzfläche (ha) Landwirtschaftlicher Betrieb Gesamtfläche für landwirtschaftliche Nutzung 7

8 Konzentrationsmaße Lorenzkurve Datenlage A Berechnung der Lorenzkurve bei Datenlage A Gegeben: Geordnete Urliste der n Beobachtungswerte: x (1) x (2) x (n) Merkmalssumme: S = n x (i) i=1 Kumulierte relative Häufigkeit: F i = i n Kumulierter Anteil an der Merkmalssumme: G i = 1 S j=1 i x (j) Dann entsteht die Lorenzkurve in einem F/G-Koordinatensystem als Streckenzug, der die Punkte 0,0, F 1, G 1, F 2, G 2,, F n 1, G n 1, 1,1 miteinander verbindet. 8

9 Konzentrationsmaße Lorenzkurve Datenlage A Beispiel: Umsatzverteilung von Unternehmen einer Branche 1) Unternehmen Verteilung A B C D E F G H a b c d e f g h i j Gesamtumsatz ) Beispiel entnommen aus: Bleymüller/Gehlert/Gülicher, Statistik für Wirtschaftswissenschaftler, 15. Aufl., München 2008, S Vorgehen: 1. Merkmale der Größe nach aufsteigend ordnen, 2. Arbeitstabelle erstellen, 3. zeichnen! 9

10 kumulierter Anteil am Umsatz Konzentrationsmaße Lorenzkurve Datenlage A Verteilung B i x i F i g i G i ,2 0,06 0, ,4 0,08 0, ,6 0,2 0, ,8 0,3 0, , ,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, ,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 kumulierter Anteil Unternehmen 10

11 kumulierter Anteil am Umsatz Konzentrationsmaße Lorenzkurve Datenlage A Verteilung B i x i F i g i G i ,2 0,06 0, ,4 0,08 0, ,6 0,2 0, ,8 0,3 0, , Verteilung C: Gleichverteilung i x i F i g i G i ,2 0,2 0, ,4 0,2 0, ,6 0,2 0, ,8 0,2 0, , ,8 0,6 0,4 0,2 0 Gleichverteilung, Konzentration = 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 kumulierter Anteil Unternehmen Lorenzkurve Verteilung B 11

12 kumulierter Anteil am Umsatz Konzentrationsmaße Lorenzkurve Datenlage A Verteilung B i x i F i g i G i ,2 0,06 0, ,4 0,08 0, ,6 0,2 0, ,8 0,3 0, , ,8 Vergleich Verteilungen A und B Verteilung A i x i F i g i G i 1 0 0, , , , ,6 0,4 0, ,2 0,4 0,6 0,8 1 kumulierter Anteil Unternehmen Gleichverteilung Verteilung B Verteilung A 12

13 kumulierter Anteil am Umsatz Konzentrationsmaße Lorenzkurve Datenlage A Verteilung D - Arbeitstabelle Lorenzkurve Verteilungen D und E i x i F i g i G i ,2 0,11 0, ,4 0,12 0, ,6 0,13 0, ,8 0,14 0, , ,8 Verteilung E - Arbeitstabelle i x i F i g i G i ,2 0,11 0, ,4 0,12 0, ,6 0,13 0, ,8 0,14 0, , ,6 0,4 0, ,2 0,4 0,6 0,8 1 kumulierter Anteil Unternehmen 13

14 kumulierter Anteil am Umsatz Konzentrationsmaße Lorenzkurve Datenlage A Verteilung B i x i F i g i G i ,2 0,06 0, ,4 0,08 0, ,6 0,2 0, ,8 0,3 0, , ,8 Vergleich Verteilungen B und D 0,6 Gleichverteilung Verteilung D i x i F i g i G i ,2 0,11 0, ,4 0,12 0, ,6 0,13 0, ,8 0,14 0, , ,4 0, ,2 0,4 0,6 0,8 1 kumulierter Anteil Unternehmen Verteilung B Verteilung D 14

15 Konzentrationsmaße Lorenzkurve Datenlage B Berechnung der Lorenzkurve bei Datenlage B Gegeben: m voneinander verschiedene mögliche Merkmalsausprägungen x 1 < x 2 < < x m mit den absoluten Häufigkeiten h 1, h 2,, h m Anzahl der Merkmalsträger: n = m h i i=1 Kumulierte relative Häufigkeiten: F i = 1 n j=1 mit m n i h j Merkmalssumme: S = m i=1 h i x i i Kumulierter Anteil an der Merkmalssumme: G i = 1 S j=1 h j x j Dann entsteht die Lorenzkurve in einem F/G-Koordinatensystem als Streckenzug, der die Punkte 0,0, F 1, G 1, F 2, G 2,, F m 1, G m 1, 1,1 miteinander verbindet. 15

16 kumulierter Anteil am Umsatz Konzentrationsmaße Lorenzkurve Datenlage B Verteilung F - Arbeitstabelle Lorenzkurve Verteilung F i x i h i f i F i x i h i g i G i ,2 0,2 60 0,06 0, ,2 0,4 80 0,08 0, ,2 0, ,2 0, ,2 0, ,3 0, , , ,8 0,6 0,4 0, ,2 0,4 0,6 0,8 1 kumulierter Anteil Unternehmen 16

17 Konzentrationsmaße Lorenzkurve Datenlage C Berechnung der Lorenzkurve bei Datenlage C Die Merkmalsausprägungen sind in k Klassen eingeteilt: i = 1,2,, k Grenzen der Klasse i: a i 1, ) a i Mittelpunkt der Klasse i: Anzahl der Merkmalsträger in Klasse i: x i = 1 2 a i 1 + a i h i Gesamtzahl der Merkmalsträger: n = k h i i=1 i Kumulierte relative Häufigkeit: F i = 1 n j=1 h j Näherungswert für die Merkmalssumme: S = Näherungswert für den kumulierten Anteil an der Merkmalssumme: k i=1 i G i = 1 S j=1 h i x i h j x j Dann entsteht die Lorenzkurve in einem F/G-Koordinatensystem als Streckenzug, der die Punkte 0,0, F 1, G 1, F 2, G 2,, F m 1, G m 1, 1,1 miteinander verbindet. 17

18 Konzentrationsmaße Lorenzkurve Datenlage C Klasse Nr. Landwirtschaftlich genutzte Fläche in Deutschland ) Betriebsgröße in ha von bis unter Zahl der Betriebe i a i-1 a i h i und mehr Summe ) Quelle: Statistisches Jahrbuch für Deutschland 2000, eigene Berechnungen. Ergebnis der Landwirtschaftszählung Nur Betriebe mit 2 ha und mehr Nutzfläche wurden berücksichtigt. 18

19 Konzentrationsmaße Lorenzkurve Datenlage C Arbeitstabelle zur näherungsweisen Berechnung der Lorenzkurve Landwirtschaftlich genutzte Fläche in Deutschland 1999 Klasse Nr. Betriebsgröße in ha von bis unter Zahl der Betriebe Relative Häufigkeit Kumulierte rel. Häufigk. Klassenmitte Fläche (Approximation) Flächenanteil Kumulierter Flächenanteil i a i-1 a i h i f i F i x i s i = h i x i g i G i ,1838 0,1838 3, ,5 0,0205 0, ,1703 0,3541 7, ,5 0,0406 0, ,1100 0, , ,5 0,0437 0, ,0913 0, , ,5 0,0508 0, ,1193 0, ,0 0,0948 0, ,1441 0, ,0 0,1834 0, ,1251 0, ,0 0,2984 0, und mehr , ,0 0, Summe ,0 1 19

20 kumulierter Anteil der landwirtschaftlich genutzten Fläche Konzentrationsmaße Lorenzkurve Datenlage C Konzentration der landwirtschaftlich genutzten Fläche - Lorenzkurve - 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 kumulierter Anteil der landwirtschaftlichen Betriebe Gleichverteilung Deutschland

21 Konzentrationsmaße Lorenzkurve Datenlage C In der Originalquelle lagen noch zusätzliche Informationen zur genutzten Fläche in den jeweiligen Größenklassen vor: Landwirtschaftlich genutzte Fläche in Deutschland ) Betriebsgröße in ha Genutzte Klasse Zahl der Fläche in Nr. von bis unter Betriebe ha i a i-1 a i h i s i , , , , , , , und mehr ,9 Summe ,5 1) Quelle: Statistisches Jahrbuch für Deutschland 2000, Ergebnis der Landwirtschaftszählung Nur Betriebe mit 2 ha und mehr Nutzfläche wurden berücksichtigt. Mit diesen Zusatzinformationen lässt sich die Lorenzkurve exakt ermitteln. 21

22 Konzentrationsmaße Lorenzkurve Datenlage C Landwirtschaftlich genutzte Fläche in Deutschland ) Klasse Nr. Betriebsgröße in ha von bis unter Zahl der Betriebe Genutzte Fläche in ha Kumulierter Anteil der Betriebe Kumulierter Flächenanteil i a i-1 a i h i s i F i G i ,0 0,1838 0, ,3 0,3541 0, ,0 0,4641 0, ,0 0,5554 0, ,9 0,6747 0, ,8 0,8188 0, ,6 0,9439 0, und mehr ,9 1 1 Summe ,5 22

23 kumulierter Anteil der landwirtschaftlich genutzten Fläche Konzentrationsmaße Lorenzkurve Datenlage C Konzentration der landwirtschaftlich genutzten Fläche - Lorenzkurve - 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 kumulierter Anteil der landwirtschaftlichen Betriebe Gleichverteilung approximierte Lorenzkurve tatsächliche Lorenzkurve 23

24 Konzentrationsmaße Gini-Koeffizient Gini-Koeffizient Corrado Gini ( ), italienischer Statistiker und Demograph Maßzahl für die relative Konzentration Der Gini-Koeffizient wird aus dem Inhalt der Fläche zwischen der Diagonalen und der Lorenzkurve berechnet. Normierung auf einen Wertebereich zwischen 0 und 1. Berechnung der Fläche L unter der Lorenzkurve: Datenlage A: L = 1 2n G i 1 + G i i=1 Datenlage B: L = 1 m 2n G i 1 + G i i=1 n, wobei G 0 = 0 gesetzt wird. h i, wobei G 0 = 0 gesetzt wird. Datenlage C: L = 1 k 2n i=1 G i 1 + G i h i, wobei G 0 = 0 gesetzt wird. Daraus erhält man den Gini-Koeffizienten als: c G = 1 2 L 24

25 kumulierter Anteil am Umsatz Konzentrationsmaße Gini-Koeffizient 1 0,9 Lorenzkurve Verteilung B Die Fläche M zwischen der Diagonalen und der Lorenzkurve misst die Konzentration. Je größer M, umso konzentrierter ist die Verteilung. Es gilt: 0,8 M = 0,5 L, 0,7 wobei L die Fläche unter der Lorenzkurve ist. 0,6 0,5 0,4 M Bei maximaler Konzentration wäre L = 0 und somit M = 0,5 Der Gini-Koeffizient wird daher als 0,3 0,2 L c G = 2 M = 1 2 L definiert und ist damit auf den Wertebereich: 0, ,2 0,4 0,6 0,8 1 normiert. 0 c G < 1 kumulierter Anteil Unternehmen 25

26 kumulierter Anteil am Umsatz Konzentrationsmaße Gini-Koeffizient Lorenzkurve Verteilung B L i = F i F i 1 G i F i F i 1 G i G i 1 1 = 1 2 F i F i 1 G i + G i 1 0,9 Datenlage A: 0,8 F i F i 1 = f i = n 1 n 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 F i F i-1 G i G i-1 G i-1 L = i=1 L i n L = 1 2n G i 1 + G i i=1 Datenlage B: F i F i 1 = f i = L = m i=1 L i m L = 1 2n i=1 h i n h i G i 1 + G i 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 F i-1 kumulierter Anteil Unternehmen F i Datenlage C wie Datenlage B, nur statt m die Zahl der Klassen k einsetzen. 26

27 Konzentrationsmaße Gini-Koeffizient Verteilung B i x i F i g i G i G i-1 + G i ,2 0,06 0,06 0, ,4 0,08 0,14 0, ,6 0,2 0,34 0, ,8 0,3 0,64 0, ,36 1 1, ,36 Fläche unter der Lorenzkurve: L = 0,336 Gini-Koeffizient: c G = 0,