Statistik. Sommersemester Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg. für Betriebswirtschaft und internationales Management

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1 für Betriebswirtschaft und internationales Management Sommersemester Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg

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3 Streuungsparameter Etschberger SS Voraussetzung: kardinale Werte x,..., x n Beispiel: a) x i b) x i Spannweite: SP = max x i min x i i i Im Beispiel: } je x = 00 a) SP = 0 90 = 00 b) SP = = 6000 Mittlere quadratische Abweichung: s = n n (x i x) = n x i x n }{{} Verschiebungssatz

4 Streuungsparameter () Etschberger SS Mittlere quadratische Abweichung im Beispiel: a) s = 3 ( ) = 3 ( ) 00 = 666,67 b) s = 3 ( ) = 3 ( ) 00 = Standardabweichung: s = s Im Beispiel: a) s = 666,67 = 40,8 b) s = = 88,43 Variationskoeffizient: V = (maßstabsunabhängig) s x Im Beispiel: a) V = 40,8 00 = 0,0 ( = %) b) V = 88,43 00 =,4 ( = 4 %)

5 smaße Etschberger SS Gegeben: kardinale Werte 0 x x x n Achtung! Die Werte müssen aufsteigend sortiert werden! Lorenzkurve: Wieviel Prozent der Merkmalssumme entfällt auf die x Prozent kleinsten Merkmalsträger? Beispiel: Die 90 % ärmsten besitzen % des Gesamtvermögens. Streckenzug: (0,0), (u, v ),..., (u n, v n ) = (,) mit v k = Anteil der k kleinsten MM-Träger an der MM-Summe = k x i n x i u k = Anteil der k kleinsten an der Gesamtzahl der MM-Träger = k n 7

6 Lorenzkurve: Beispiel Etschberger SS Markt mit fünf Unternehmen; Umsätze: 6, 3,,, 3 (Mio. ) n =, x k = k= v k k 3 4 x k p k v k 8 4 u k u k 8

7 Lorenzkurve Etschberger SS Knickstellen: Bei i-tem Merkmalsträger x i+ > x i Empirische Verteilungsfunktion liefert Knickstellen: a j 3 6 h(a j ) f(a j ) F(a j ) Vergleich von Lorenzkurven: 3 4 Gleichverteilung extreme stärker konzentriert als schwer vergleichbar 9

8 Lorenzkurve: Beispiel Bevölkerungsanteil gegen BSP Etschberger SS Bangladesch Brasilien Deutschland Ungarn USA (Stand 00) Anteil am BSP,0 0,8 0,6 0,4 0, 0, 0,4 0,6 0,8 Anteil der Bevölkerung,0 60

9 Lorenzkurve: Beispiel Bevölkerungsanteil gegen BSP Etschberger SS Bangladesch Brasilien Deutschland Ungarn USA (Stand 00) Anteil am BSP,0 0,8 0,6 0,4 0, 0, 0,4 0,6 0,8 Anteil der Bevölkerung,0 60

10 Gini-Koeffizient Etschberger SS Numerisches Maß der : Gini-Koeffizient G G = Aus den Daten: G = Fläche zwischen 4 -Linie und L Fläche unter 4 -Linie n i x i (n + ) n x i n n = x i n i p i (n + ) n = wobei p i = x i n x i Problem: G max = n n Normierter Gini-Koeffizient: G = n G [0; ] n 6

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12 Gini-Koeffizient: Beispiel Etschberger SS Beispiel: i 3 4 x i p i G = ( ) (4 + ) = 0, 4 Mit G max = 4 4 = 0,7 folgt G = 4 0, = 0,7 4 6

13 smaße: Beispiel Etschberger SS Armutsbericht der Bundesregierung 08 Verteilung der Bruttoeinkommen in Preisen von 00 aus unselbständiger Arbeit der Arbeitnehmer/-innen insgesamt Anteil am Einkommen,0 0,8 0,6 0,4 0, 0, 0,4 0,6 0,8,0 Anteil der Bevölkerung Arithmetisches Mittel Median Gini-Koeffizient 0,433 0,44 0,448 0,43 63

14 Lorenzkurve mit R Etschberger SS require(ineq) # inequality Paket Lorenz = Lc(AusgSchuhe) plot(lorenz, xlab="", ylab="", main="") # Standard plot plot(c(0,), c(0,), type="n", # bisschen netter panel.first=grid(lwd=., col=rgb(0,0,0,/)), xlab="", main="", ylab="") polygon(lorenz$p, Lorenz$L, density=-, col=rgb(0,0,,/4), lwd=) Gini(AusgSchuhe) # Gini-Koeffizient ## []

15 Weitere smaße Etschberger SS skoeffizient: CR g = Anteil, der auf die g größten entfällt = Herfindahl-Index: H = n p i ( [ n ; ]) n i=n g+ Es gilt: H = n (V + ) bzw. V = n H Exponentialindex: E = n p p i i ( [ n ; ] ) wobei 0 0 = p i = v n g Im Beispiel mit x = (,,, ): CR = 7 = 0,8 ( ) ( ) H = + + = 0,9 ( ) E = ( ) = 0,44 6