4 Konzentrationsmessung

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1 4 Konzentrationsmessung

2 4.0 Vorbemerkungen 4.0 Vorbemerkungen Konzentration: Ausmaß der Ballung von großen Anteilen an der gesamten Merkmalssumme auf wenige Einheiten. welchen Anteil am Gesamtvermögen haben die Reichsten? Nullkonzentration: alle haben denselben Anteil, d.h. es tritt nur eine Merkmalsausprägung auf Grundlegende Unterscheidung je nach dem Verständnis des Begriffs wenige. geringe Anzahl von Einheiten: absolute Konzentration, v.a. in der Ökonomie ((Angebots-) Oligopol) geringer Anteil von Einheiten: relative Konzentration (Disparität) v.a. Einkommensund Bodenverteilung; Armutsmessung 4 Konzentrationsmessung 159

3 4.0 Vorbemerkungen Jedes absolute Konzentrationsmaß sagt auch etwas über relative Konzentration aus und umgekehrt. 2 Arten der Beschreibung: durch eine Funktion: v.a. Lorenzkurve (für relative Konzentrationen), in Wirtschaftsund Sozialstatistik (Nebenfach) dann Halbordnungen für Verteilung (in Kapitel 1.1.3) durch Maßzahlen: Ginikoeffizient(für relative Konzentration), mehrere gebräuchliche Maße für absolute Konzentrationen. 4 Konzentrationsmessung 160

4 Durchgängige Annahmen 4.0 Vorbemerkungen X sei ein verhältnisskaliertes Merkmal (mit Urliste x 1,...,x n ) Die Merkmalsausprägungen a 1,...,a k seien der der Größe nach geordnet a 1 <...,< a k. h 1,...,h k und f 1,...,f k seien die zugehörigen absoluten bzw. relativen Häufigkeiten. Die empirische Verteilungsfunktion werde mit F X ( ) oder F( ) bezeichnet. X nimmt nur positive Werte an, x i 0, für alle i = 1,...,n und mindestens ein Wert ist von Null verschieden) n x i > 0 (d.h Betrachtet werden die der Größe nach geordneten Daten: x (1) x (2)... x (n) Achtung: Die Klammern im Index werden in der Literatur oft weggelassen, wenn vorausgesetzt wird, dass die Daten schon geordnet sind (z.b in Fahrmeir et al.,2005) 4 Konzentrationsmessung 161

5 Warum überhaupt Konzentrationsmaße als eigenes Gebiet? 4.0 Vorbemerkungen Wenn alle gleiches Vermögen haben, dann tritt nur eine einzige Merkmalsausprägung a 1 auf: Dieser Wert ist zugleich arithmetisches Mittel, Median und Modus Die Varianz bzw. der Variationskoeffizient ist Null Beispiel: 9 Personen haben jeweils 10 Euro und einer 1010 Euro ( 9 Arme, 1 Reicher ) j a j f j a j f j (a j x) 2 (a j x) ( 100) 2 = (909) 2 = Summe 1.0 x=110 s 2 = Konzentrationsmessung 162

6 4.0 Vorbemerkungen Wir betrachten nun den Fall, wo eine Person 0 Euro und 9 Personen jeweils 1000 Euro haben ( 1 Armer, 9 Reiche ) Transformation: Y= 1010-X x i = 10 = g(x i ) = y i = 1000 x i = 1010 = g(x i ) = y i = 0 Damit gilt (Transformationsregeln): ȳ = 1010 x = 900 s 2 y = ( 1) 2 s 2 x Y hat gleiche Varianz und gleichen Variationskoeffizienen wie X aber ganz unterschiedliches Streuverhalten. = Varianz bzw. Variationskoeffizienten genügt nicht als (alleiniges) Maß für (relative) Konzentration 4 Konzentrationsmessung 163

7 4.0 Vorbemerkungen Die üblichen Streuungsmaße messen die Variabilität um das Zentrum (arithmetisches Mittel, Median) symmetrisch Überschreiten und Unterschreiten des Zentrums wird gleich gewichtet Streuungsmaße geben keine Auskunft darüber, wie sich die Gesamtsumme (etwa das Vermögen) unter den einzelnen Einheiten verteilt, d.h. die Konzentration, also z.b. die Frage welchen Anteil am Gesamtvermögen haben die Reichsten? 4 Konzentrationsmessung 164

8 4.1.1 Die Lorenzkurve Definition 4.1. Die stückweise lineare Kurve durch die Punkte wobei für jedes j = 1,...,n (0,0),(u 1,v 1 ),u 2,v 2 ),...,(u n,v n ) = (1,1), j j x (i) x (i) u j := j n und v j := = n x i n x (i) heißt Lorenzkurve. 4 Konzentrationsmessung 165

9 u j ist der Anteil der j kleinsten Merkmalsträger v j der anteilige Beitrag dieser Einheiten zur Gesamtsumme n x i = n x (i) ( kumulierte relative Merkmalssumme ) Punkte oberhalb der Winkelhalbierenden kommen nicht vor! Die Lorenz Kurve muss monoton wachsend sein. 4 Konzentrationsmessung 166

10 Bem [Zur Interpretation der Lorenzkurve] Wie liegen die Punkte bei minimaler Konzentration (Konzentration=0)? 10% kleinste haben 10% 20% 20% usw. also u j = v j für alle j, d.h. auf der Winkelhalbierenden. Konzentration von 0: gleiche Verteilung in dem Sinne, dass jede Einheit denselben Anteil an der Gesamtsumme hat. Dies bedeutet x 1 = x 2 =... = x n und damit h j = 1 für eine bestimmte Ausprägung a j = x 1. Das ist zu unterscheiden von der so genannten (Häufigkeits-)Gleichverteilung (siehe v.a. Statistik II). Dort ist h 1 = h 2 =... = h k, d.h. jede Ausprägung a j gleich häufig. 100% gleiche Werte, Konzentration 0 (Häufigkeits-)Gleichverteilung 4 Konzentrationsmessung 167

11 Extremfall: vollständige Konzentration n 1 Personen haben gar nichts n-te Person hat alles 1 Je weiter die Kurve von der Winkelhalbierenden entfernt ist, also je tiefer ceteris paribus v j ist, umso stärker ist die Konzentration. n 1 n u j = 0.9 v j = Die 90% Ärmsten haben.... u j = 0.9 v j = Konzentrationsmessung 168

12 Bem a) Insbesondere bei größeren Datensätzen vereinfacht sich die Berechnung wesentlich, wenn man die relativen/absoluten Häufigkeiten f 1,...,f k bzw. h 1,...,h k der der Größe nach geordneten Merkmalsausprägungen a 1 < a 2 <,...,< a k benutzt. Dann ist für j = 1,...,k u j = j h l n = j f l = F(a j ) (4.1) und v j = j h l a l = k h l a l j f l a l (4.2) k f l a l 4 Konzentrationsmessung 169

13 b) Ist bei klassierten Daten mit den Klassen [c 0,c 1 ),[c 1,c 2 ),...,[c k 1,c k ] die Merkmalsverteilung in den Klassen nicht bekannt - und will man als Ergebnis dennoch eine einzelne Zahl -, so nimmt man wie beim arithmetischen Mittel als Approximation an, dass alle Ausprägungen in dieser Klasse auf die Klassenmitte m l = c l 1+c l 2 fallen. Damit erhält man mit f l und h l, l = 1,...,k als relative bzw. absolute Klassenhäufigkeiten und a l = m l, l = 1,...,k : j v j = h l m l = k h l m l j f lm l k f lm l. (4.3) c) Während normalerweise bei Lorenzkurven nur die Punkte (0,0),(u 1,v 1 ),... interpretierbar sind, sind bei klassierten Daten auch die linearen Zwischenstücke interpretierbar. 4 Konzentrationsmessung 170

14 Bsp Gegeben sei ein Land mit folgender klassierter Verteilung: Klasse (c j 1,c j ) [0;10) [10;227.5) [227.5; ) arm mittel reich f j f 1 = 0.5 f 2 = 0.4 f 3 = 0.1 Man bestimme die Lorenzkurve (mit m 3 := 500). j m j f j u j = F(a j ) f j m j j f lm l v j Summe Konzentrationsmessung 171

15 Konzentrationsmessung 172

16 letzte Gruppe nochmals aufspalten 10% Reiche 1% sehr reich und v 4,neu = 1 9% mäßig reich, so dass v 3,neu = Konzentrationsmessung 173

17 4.1.2 Der Gini-Koeffizient Definition 4.5. [Gini-Koeffizient] Gegeben sei die geordnete Urliste x (1),x (2),...,x (n) eines verhältnisskalierten Merkmals X. G := 2 n i x (i) n n x i n+1 n heißt Gini-Koeffizient und G := n 1 G n normierter Gini-Koeffizient (Lorenz-Münzner-Koeffizient). 4 Konzentrationsmessung 174

18 Bem Man kann zeigen (Herleitung über Trapezformel Toutenburg & Heumann,2008): G = Fläche zwischen Winkelhalbierender und Lorenzkurve Fläche zwischen Winkelhalbierender und Abszisse = 2 Fläche zwischen Winkelhalbierender und Lorenzkurve Es gilt: G = 0 bei minimaler Konzentration und G = n 1 n bei maximaler Konzentration Damit ist: G = 0 bei minimaler Konzentration und G = 1 bei maximaler Konzentration. (Ist n sehr groß, so ist n 1 n 1, also G G.) 4 Konzentrationsmessung 175

19 Betrachtet man die geordneten Ausprägungen a 1 < a 2 <... < a k mit den Häufigkeiten h 1,h 2,...,h k,. G = k (u l 1 +u l )f l a l 1 = k f l a l k = 1 f l (v l 1 +v l ) k (u l 1 +u l )h l a l 1 = k h l a l mit u j = 1 n j h l, u 0 := 0 4 Konzentrationsmessung 176

20 Bsp [Konzentrationsmessung] Fortsetzung von Bsp. 4.4 Man veranschauliche und berechne in der Situation von Bsp. 4.4 den Ginikoeffizienten. j f j u j v j k G = 1 f l (v l 1 +v l ) = = 1 (f 1 v 1 +f 2 (v 1 +v 2 )+f 3 (v 2 +v 3 )) = = 1 ( % % %) = = Konzentrationsmessung 177

21 Graphische Darstellung v 3 v 2 v 1 e c d a b f 1 f 2 f 3 Gini Koeffizient = 1 2 (a + b + c + d + e) = ( f1 v 1 = f 2 v 1 + f 2 (v 2 v 1 ) + f 3 v 2 + f ) 3 (v 3 v 2 ) ( f1 v 1 = f 2 v 1 + f 2 v 2 + f 3 v 2 + f ) 3 v 3 = = 1 (f 1 v 1 + f 2 v 1 + f 2 v 2 + f 3 v 2 + f 3 v 3 ) = 4 Konzentrationsmessung 178

22 Ausgewählte Gini-Koeffizienten der landwirtschaftlich genutzten Fläche Paraguay G = % haben < 10ha Italien G = % Schweiz G = % Österreich G = % Portugal G = % Übergang von der Lorenzkurve zum Gini-Koeffizienten: - Informationsverlust, insbesondere können verschiedene Lorenzkurven denselben Ginikoeffizienten haben + Totale Ordnung: Ginikoeffizienten als Zahlen lassen sich immer ordnen, Lorenzkurven im Allgemeinen nicht. 4 Konzentrationsmessung 179

23 4.1.3 Quantilsbezogene relative Konzentrationsmessung Oft stehen die Daten in einer anderen Form zur Verfügung: Gegeben sind dann Quantile (typischerweise Quartile, Quintile oder Dezile, allgemein 1 q 100% Quantile) und die Anteile z 1,z 2,...,z q des Merkmals, die auf die jeweiligen Quantile entfallen. Wie kann man dann immer noch die Lorenzkurve berechnen? Bsp [Einkommensverteilung Brasilien] Quintil z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 Quelle: World Resources Institute: (Aufruf 2010) 4 Konzentrationsmessung 180

24 v 3 v 2 v % 50% 75% 100% Für die Abszisse erhält man dann für ṽ α n = v 1 bzw. allgemein für ṽ j α n = v j v 1 = α n x (i) bzw. v j = n x (i) jα n n x (i) x (i) 4 Konzentrationsmessung 181

25 Bildet man die folgenden Differenzen: z 1 := v 1 0 z 2. := v 2 v 1 z j := v j v j 1, so erhält man genau den Anteil, der ins q-te Quantil fällt, denn: usw. z 1 = α n x (i) und z 2 = n x (i) 2α n x (i) α n x (i) = n x (i) 2αn i=α n+1 Umgekehrt kann man auch aus z 1,z 2,... die v 1,v 2,... und damit die Lorenzkurve berechnen v 1 = z 1 v 2 = z 2 + v 1 = z 2 + z 1 v 3. = z 1 + z 2 + z 3 n x (i) x (i) v j = l j z l 4 Konzentrationsmessung 182

26 Bem Für den Gini-Koeffizienten G der vergröberten Lorenzkurve (u j,v j ),j = 0,1,...,n kann man einfach auf die Formeln aus Kapitel zurückgreifen. Dies liefert (wegen der Konvexität der Lorenzkurve) eine untere Schranke für Gini- Koeffizienten G der wahren Lorenzkurve. G = G, wenn im jeweiligen Quantil alle Einkommen gleich sind. Man hat dann Häufigkeitsdaten mit den Ausprägungen a 1,a 2,...,a q vorliegen: a l ist der Wert im l-ten Quantil. Dann ist z l = l α n (l 1) α n+1 x (i) = n x (i) α n a l q α n a l = a l q a l 4 Konzentrationsmessung 183

27 und damit (wegen f l = α = const.) G = = k (u l 1 + u l )f l a l 1 = k f l a l q (u l 1 + u l ) a l q a l 1 = q (u l 1 + u l ) f l a l 1 = q f l a l ( q ) (u l 1 + u l ) z l 1 4 Konzentrationsmessung 184

28 Beispiel Brasilien: Quintil j z j u j v j v 1 = z 1 = 2.5% v 2 = z 1 +z 2 = 2.5%+4.9% = 7.4% v 3 = z 1 +z 2 +z 3 = 16.6% v 4 = z 1 +z 2 +z 3 +z 4 = 34.9% v 5 = 100% 4 Konzentrationsmessung 185

29 Gini-Koeffizienten: Algerien Brasilien Deutschland Finnland Niger China Konzentrationsmessung 186

30 4.1.4 Einige weitere quantilsbasierte Maße Insbesondere basierend auf dieser natürlichen, äquidistanten Einteilung lassen sich weitere relative Konzentrationsmaße definieren: Robin-Hood-Index (maximaler Nivellierungssatz, Schutzkoeffizient) (Wagschal (1999, S.135ff)) Wie viel müsste den Reichen weggenommen werden, um zu einer Konzentration von 0 zu kommen? Ermittle für jedes Quantil den Abstand seines Anteils zu α! Aufaddieren der positiven Abstände liefert den Robin-Hood-Index. Dieser Anteil müsste verteilt werden, um zu einer gleichen Verteilung zu kommen! Grafische Bestimmung des Robin-Hood-Indexes Wagschal (1999, S.132) Man kann zeigen, dies ergibt genau den maximalen Abstand zur Winkelhalbierenden. 4 Konzentrationsmessung 187

31 Quantilverhältnisse etwa Dezilverhältnis z.b. Dezilratio 90:10= x 0.9 x 0.1, falls x 0.1 > 0 beim Einkommensvergleich: also um welchen Faktor ist der untere Wert der 10% Reichsten größer als der obere Wert der 10% Ärmsten Minimale Konzentration: alles in einem Punkt x 0.1 = x 0.9 Dezilratio = 1 Umgekehrt Vorsicht: bei extremer Konzentration. Könnte für Entwicklungsländer eventuell problematisch sein, aber etwa für Einkommensverhältnisse in OECD-Ländern sehr anschauliches Maß. 4 Konzentrationsmessung 188

32 Bsp Dezilverhältnisse 90:10 des Einkommens von Vollbeschäftigten im internationalen Vergleich Wagschal (1999, S.138) Norwegen Schweden Dänemark Belgien Finnland Deutschland Niederlande Schweiz Australien Italien Neuseeland Japan Frankreich Großbritannien Österreich Kanada Portugal USA 4 Konzentrationsmessung 189

33 4.2 Absolute Konzentration 4.2 Absolute Konzentration Vorbemerkungen Alle bisherigen Maße betrachteten die relative Konzentration: Sowohl die u j als auch die v j waren Anteile. Die absolute Konzentration bezieht die absolute Zahl der Merkmalsträger mit ein. Es ist jeweils inhaltlich zu entscheiden, welche der beiden Arten von Konzentration von Interesse ist. Relative Konzentrationsmessung ist heranzuziehen: wenn die Merkmalsumme auf sehr viele Einheiten verteilt wird (z.b. Boden/Einkommen) oder bei der Frage: Herrscht im Markt ein Übergewicht? Absolute Konzentrationsmaße werden v.a. dann verwendet, wenn die Merkmalsumme nur auf wenige Einheiten aufgeteilt wird, z.b. Betriebssysteme, Engergieversorger, Ölkonzerne. 4 Konzentrationsmessung 190

34 4.2.2 Einige Maßzahlen der absoluten Konzentration 4.2 Absolute Konzentration Definition Sei 0 x (1) x (2)... x (n) die geordnete Urliste eines verhältnisskalierten n Merkmals mit x i > 0. Mit p (i) := x (i) n j=1 x j heißt Konzentrationsrate (vom Grade g). CR g := n i=n g+1 p (i) 4 Konzentrationsmessung 191

35 Maximale Konzentration CR 1 = 1: Die größte Beobachtung hat alles. 4.2 Absolute Konzentration Minimale relative Konzentration x (1) = x (2) =... = x (n) =: x p (i) = x (i) x = n n x x j j=1 also CR g = n i=n g+1 p (i) = g, abhängig von n n Für n = 2 ist CR 1 = 1 2, für n geht CR 1 gegen 0. Wahl von g? Typischerweise klein : 2 oder 3 4 Konzentrationsmessung 192

36 Bsp Absolute Konzentration Zweitstimmenanteile polit. Parteien bei Bundestagswahlen CDU/CSU 31,0% 45,2% 47,6% 44,9% 48,8% 41,5% 38,5% 35,2% 33,8% SPD 29,2% 28,8% 39,3% 45,8% 38,2% 36,4% 38,5% 34,2% 23,0% FDP 11,9% 9,5% 9,5% 8,4% 7,0% 6,9% 7,4% 9,8% 14,6% Grüne ,6% 7,3% 8,6% 8,1% 10,7% PDS/Die Linke ,4% 4,0% 8,7% 11,9% Sonstige 27,9% 16,5% 3,6% 0,9% 0,4% 3,5% 3,0% 4,0% 7,0% 4 Konzentrationsmessung 193

37 Definition Absolute Konzentration In der Situation von Def 1.12 heißt H := n p 2 (i) Herfindahl-Index. Die Größe 1 H wird auch Rae-Index genannt. In der Politikwissenschaft wird 1 H auch als Anzahl der effektiven Parteien bezeichnet. Bem p (i) gibt Idee, da konstant 1. Durch das Quadrieren werden große Anteile relativ gesehen noch größer. Da über alle p (i) summiert wird, müssen für den natürlichen Herfindahl-Index die p (i) nicht geordnet sein. 4 Konzentrationsmessung 194

38 4.2 Absolute Konzentration H liegt zwischen 1 n und 1. maximale Konzentration: H = 1, da p (n) = 1,und alle restlichen p (i) = 0 minimale Konzentration p (i) = 1 n : H = n ( ) 2 1 = n 1 n n 2 = 1 n ; H hängt tatsächlich von Anzahl Marktteilnehmer ab! 4 Konzentrationsmessung 195

39 In der Tat wird die absolute Konzentration gemessen: Hat man q Einheiten, die jeweils den gleichen Anteil ausmachen, so gilt: 4.2 Absolute Konzentration q = 1 H = 1 maximale Konzentration während hier immer G 0 gilt. q = 2 H = ( 1 2 )2 +( 1 2 )2 = 1 2 q = 3 H = ( 1 3 )2 +( 1 3 )2 +( 1 3 )2 = 1 3 usw.. Bsp [Herfindahl- und Rae-Index des deutschen Parteienwesens] 4 Konzentrationsmessung 196

40 4.2 Absolute Konzentration Bsp [ Durchschnittliche Fraktionalisierung von Parteiensystemen ] (Waagschal (1999, S. 145)) Land durchschnittl. Rae-Index USA 0.53 Österreich 0.60 Großbritannien 0.62 Deutschland 0.64 Schweiz 0.71 Italien 0.75 Frankreich 0.79 Niederlande 0.79 Finnland Konzentrationsmessung 197