Prüfung im Anschluss an das Sommersemester 2003 am 17. Oktober 2003 von bis Uhr

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1 Note Technische Universität München SS 2003 Zentrum Mathematik apl. Prof. Dr. J. Hartl Höhere Mathematik 2 (Weihenstephan) Prüfung im Anschluss an das Sommersemester 2003 am 17. Oktober 2003 von bis Uhr I II Name Vorname 03 Matrikelnummer Fachsemester Fachrichtung Hörsaal Platz Hinweise: Die Bearbeitung der Aufgaben muss den Lösungsweg eindeutig erkennen lassen. 2. Als Hilfsmittel sind zugelassen: Eigene Aufzeichnungen, Skripten, Formelsammlungen, Lehrbücher, Taschenrechner. Diese Hilfsmittel dürfen während der Prüfung nicht weitergegeben werden Unterschrift:... Summe: Ich wünsche, dass meine Note nach der Korrektur unverzüglich durch Veröffentlichung unter meiner Matrikelnummer im Internet bekanntgegeben wird. I II Unterschrift:... 1

2 1. In einer Betriebsvereinbarung ist festgelegt, dass die Bruttogehälter der Mitarbeiter (in Euro) in einer neu aufzubauenden Abteilung so festgelegt werden müssen, dass sie näherungsweise der folgenden empirischen Verteilungsfunktion genügen: F (x) := 0 falls x < 2400 x falls 2400 x < falls 4800 x Die Abteilung wird 96 Mitarbeiter umfassen. Wieviele Mitarbeiter werden ein Bruttogehalt zwischen 3000 und 3500 Euro beziehen?. 2) Die drei baltischen Staaten Estland, Lettland und Litauen haben (in dieser Reihenfolge) 1,44 Millionen, 2,45 Millionen und 3,71 Millionen Einwohner. Sie hatten im Jahr 1997 ein Bruttosozialprodukt pro Kopf von (ebenfalls in dieser Reihenfolge) 3360 $, 2430 $ und 2260 $. a) Welches Bruttosozialprodukt pro Kopf hatten diese drei baltischen Staaten im Jahr 1997 insgesamt pro Kopf? b) Welche Mittelbildung ist zu verwenden, wenn man aus den einzelnen Bruttosozialprodukten pro Kopf von mehreren Ländern das Bruttosozialprodukt pro Kopf für diese Länder insgesamt ermitteln will? 2

3 3. Ein Außendienstmitarbeiter übernimmt einen neuen Bezirk. Es wird ihm eine Sonderprämie versprochen, wenn es ihm gelingt, in den nächsten drei Jahren ein durchschnittliches jährliches Umsatzwachstum von 25 % zu erreichen. Der Umsatz in dem Bezirk nimmt im ersten Jahr zu, ebenso im zweiten, und im zweiten Jahr ist er um 50 % höher als zuletzt bei seinem Vorgänger. a) Wie hoch war das durchschnittliche jährliche Umsatzwachstum W d in dem Bezirk in den beiden Jahren in Prozent? b) Um wieviel Prozent muss der Umsatz in dem Bezirk im dritten Jahr höher sein als zuletzt beim Vorgänger, damit der Außendienstmitarbeiter die versprochene Sonderprämie erhält? c) Welches Umsatzwachstum in Prozent muss im dritten Jahr gegenüber dem Vorjahr erreicht werden, damit der Außendienstmitarbeiter die versprochene Sonderprämie erhält? 3

4 4. Ein Magier teilt in einer Vorstellung auf der Suche nach medial begabten Personen Karten mit fünf Fragen aus, deren Antworten die Zuschauer nicht wissen können. Die Fragen sind jeweils durch Ankreuzen mit ja oder nein zu beantworten. Eine Person gilt als medial begabt, wenn sie mindestens vier der fünf Fragen richtig beantwortet hat. a) Wie viele medial begabte Personen sind in einer Vorstellung mit 480 Zuschauern zu erwarten, wenn man annimmt, dass jeder Zuschauer die Fragen rein zufällig beantwortet? b) Die medial begabten Personen werden anschließend demselben Test (mit anderen Fragen!) noch einmal unterzogen. Von wievielen ist zu erwarten, dass Sie sich jetzt als wirklich medial begabt herausstellen, wenn wieder alle Testteilnehmer die Fragen rein zufällig beantworten? 4

5 5. Bei einer Untersuchung über Einkommensverhältnisse von Ehepartnern wurden sieben Ehepaare aus einer eng umgrenzten Wohngegend befragt. Die Ehemänner verdienten brutto wöchentlich 139, 140, 141, 146, 147, 150, 152 malewinische Dollar, kurz md. Bei den Ehefrauen ergab sich ein durchschnittliches wöchentliches Bruttoeinkommen x F von 155 md mit einer empirischen Standardabweichung s F von 7 md. a) Berechnen Sie das durchschnittliche wöchentliche Bruttoeinkommen (arithmetisches Mittel) x M der befragten Ehemänner in malewinischen Dollar md. der Bruttoein- b) Berechnen Sie die mittlere quadratische Abweichung s 2 M kommen der Ehemänner in der Einheit md 2. c) Wie groß ist die empirische Standardabweichung s M der wöchentlichen Bruttoeinkommen der befragten Ehemänner? d) Wie hoch war das wöchentliche Bruttodurchschnittseinkommen x der befragten Personen, und wie hoch war dabei die Standardabweichung s? 5

6 6. Bei Weizenmehl, Austern, Grünkohl, Knäckebrot, Mandeln, Tomaten und Vollkornbrot hängen der Puringehalt x i (angegeben in mg gebildete Harnsäure) und der Kohlehydratgehalt y i (angegeben in Gramm) pro 100 Gramm folgendermaßen zusammen: x i y i (Zur Rechenerleichterung wurde dabei leicht gerundet.) a) Zeichnen Sie ein Streudiagramm, um einen ersten Eindruck davon zu bekommen, wie die Purin- und Kohlenhydratgehalte bei den angegebenen Lebensmitteln sich zueinander verhalten. 6

7 b) Berechnen Sie die Kovarianz s xy der Purin- und Kohlenhydratgehalte bei den angegebenen Lebensmitteln. c) Berechnen Sie den empirischen Korrelationskoeffizienten r xy der Gehalte an Purin und an Kohlenhydraten in den angegebenen Lebensmitteln. d) Ist auf Grund der gemachten Angaben zu vermuten, dass ein Zusammenhang besteht zwischen den Purin- und Kohlenhydratgehalten der angegebenen Lebensmittel? 7

8 7. Von Männern erkranken jährlich 66 an Lungenkrebs, von Frauen erkranken jährlich 20 an Lungenkrebs. Ein Konzern hat Mitarbeiter, davon Männer. a) Mit wie vielen Erkrankungen an Lungenkrebs unter den Mitarbeitern der Firma ist auf Grund der gemachten Angaben jährlich zu rechnen? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit w L (M), dass ein an Lungenkrebs erkrankter Mitarbeiter der Firma ein Mann ist? Tip für Bezeichnungen: w(m) Wahrscheinlichkeit, dass ein Mitarbeiter der Firma ein Mann ist w(l) Wahrscheinlichkeit, dass ein Mitarbeiter der Firma in einem bestimmten Jahr an Lungenkrebs erkrankt w M (L) Wahrscheinlichkeit, dass ein männlicher Mitarbeiter der Firma in einem bestimmten Jahr an Lungenkrebs erkrankt 8