Beschreibende Statistik Eindimensionale Verteilungen Übungsaufgaben

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Philipp Frank
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1 Dr. rer. pol. habil. Burkhard Utecht Professor an einer Berufsakademie - Staatlichen Studienakademie Wirtschaftsstatistik Berufsakademie Thüringen Studienabteilung Eisenach Studienbereich Wirtschaft Beschreibende Statistik Eindimensionale Verteilungen Übungsaufgaben

2 Burkhard Utecht Wirtschaftsstatistik 1 Beschreibende Statistik Eindimensionale Verteilungen Übungsaufgaben Aufgabe 1 (Empirische Häufigkeitsfunktion und Verteilungsfunktion) Frau M. wirft 0 mal hintereinander einen sechsseitigen Würfel und notiert die jeweilige Augenzahl ( statistische Reihe X). Die absolute Häufigkeitsverteilung dieser statistischen Reihe entspricht: Augenzahl [X = x i ] x 1 = 1 x = x 3 = 3 x 4 = 4 x 5 = 5 x 6 = 6 Absolute Häufigkeit [absh(x i )] absh(1) = absh() = 6 absh(3) = 3 absh(4) = 3 absh(5) =1 absh(3) = 5 a) Bestimmen Sie die relativen Häufigkeiten [h = h(x)] sowie die kumulierten relativen Häufigkeiten [H = H(x)] der statischen Reihe und bilden Sie die hieraus resultierende (empirische) Häufigkeitsfunktion sowie die Verteilungsfunktion in einem Achsenkreuz ab. b) Bestimmen Sie das arithmetische Mittel der statistischen Reihe. c) Bestimmen Sie den Median der statistischen Reihe. Aufgabe (Arithmetisches Mittel und Median) Frau M. wirft mehrmals hintereinander einen sechsseitigen Würfel und notiert die jeweilige Augenzahl ( statistische Reihe X). Bestimmen Sie das arithmetische Mittel und den Median der statistischen Reihe für den Fall, dass die absolute Häufigkeitsverteilung der Reihe a) b) c) Augenzahl Absolute Häufigkeit Augenzahl Absolute Häufigkeit Augenzahl Absolute Häufigkeit entspricht.

3 Beschreibende Statistik Eindimensionale Verteilungen Übungsaufgaben Aufgabe 3 (Lage- und Streuungsmaße) Ein Statistikkurs besteht aus 7 Studenten. Am Ende des Kurses wird eine Abschlussklausur geschrieben. Die maximale erreichbare Punktzahl dieser Klausur beträgt 10 Punkte. Hiervon erreichen die Studenten jeweils die folgenden Punktzahlen. Student (ω i ) ω 1 = A ω = B ω 3 = C ω 4 = D ω 5 = E ω 6 = F ω 7 = G Punkte (x i ): Berechnen Sie a) das arithmetische Mittel der erreichten Punkte, b) den Median der erreichten Punkte, c) den Modus der erreichten Punkte, d) die Spannweite der erreichten Punkte, e) die mittlere absolute Abweichung der erreichten Punkte, f) die Varianz und die Standardabweichung der erreichten Punkte, g) den Variationskoeffizienten der erreichten Punkte. Ihre Herleitungswege müssen erkennbar sein. Nehmen Sie an, alle Studenten hätten gegenüber der Ausgangsverteilung jeweils 3 Punkte mehr erreicht: Wie hoch wäre dann h) das arithmetische Mittel der erreichten Punkte? i) die Varianz und die Standardabweichung? j) der Variationskoeffizient? Berechnen Sie h) und i) über die betreffenden Werte in a) und f). Nehmen Sie an, alle Studenten hätten gegenüber der Ausgangsverteilung jeweils 10% höhere Punkte erreicht: Wie hoch wäre dann k) das arithmetische Mittel der erreichten Punkte? l) die Varianz und die Standardabweichung? m) der Variationskoeffizient? Berechnen Sie k), l) und m) über die betreffenden Werte in a), f) und g).

4 Burkhard Utecht Wirtschaftsstatistik 3 Aufgabe 4 (Lage- und Streuungsmaße) Ein Transporter liefert viermal im Jahr von einem Zentrallager aus Waren an eine 40 km entfernte Filiale. Der Transporter besitzt ein Ladekapazität von 60 m 3. Im Jahr 004 ergaben sich bei den betreffenden vier Fahrten die folgenden relativen Kapazitätsauslastungen (= Transportmenge in m 3 / Ladekapazität in m 3 ): Fahrt Kapazitätsauslastung a 75% 100% 60% 100% a) Berechnen Sie das arithmetische Mittel a der Kapazitätsauslastung. b) Berechnen Sie die Varianz s A, die Standardabweichung s A und den Variationskoeffizienten VK A der Kapazitätsauslastung. c) Berechnen Sie das harmonische Mittel der Kapazitätsauslastung H A. d) Berechnen Sie die einzelnen Transportmengen q. e) Berechnen Sie das arithmetische Mittel q der Transportmengen. Q f) Berechnen Sie die Varianz s, die Standardabweichung sq und den Variationskoeffizienten VK Q der Transportmengen. Geben Sie zu Ihren numerischen Ergebnissen in d) bis f) die jeweiligen Maßeinheiten mit an. Aufgabe 5 (Lage und Streuungsmaße) Ein Transporter liefert viermal im Jahr von einem Zentrallager aus Waren an eine 40 km entfernte Filiale. Im Jahr 004 wurden hier bei den jeweiligen Fahrten die folgenden durchschnittlichen Transportgeschwindigkeiten (= Transportstrecke in km / benötigte Zeit in Stunden) erreicht: Fahrt Geschwindigkeit v 80 km/h 50 km/h 60 km/h 75 km/h a) Berechnen Sie das arithmetische Mittel v der Transportgeschwindigkeit. V b) Berechnen Sie die Varianz s, die Standardabweichung sv und den Variationskoeffizienten VK V der Transportgeschwindigkeit. c) Berechnen Sie das harmonische Mittel H V der Transportgeschwindigkeit. d) Berechnen Sie die einzelnen Transportzeiten t. e) Berechnen Sie das arithmetische Mittel t der Transportzeit. T f) Berechnen Sie die Varianz s, die Standardabweichung st und den Variationskoeffizienten VK T der Transportzeit. Geben Sie zu Ihren numerischen Ergebnissen die jeweiligen Maßeinheiten mit an.

5 Beschreibende Statistik Eindimensionale Verteilungen Übungsaufgaben 4 Aufgabe 6 (Geometrisches Mittel) Die Firma F erreichte in den Jahren 000 bis 004 die folgenden Jahresumsätze: Jahr Umsatz ,4 a) Berechnen Sie die jeweiligen Änderungsraten, mit denen sich die Jahresumsätze gegenüber dem jeweiligen Vorjahr verändert haben. b) Berechnen Sie mithilfe des geometrischen Mittels diejenige durchschnittliche Änderungsrate w, bei deren Vorliegen über den Gesamtzeitraum derselbe Umsatz im Jahr 004 erreicht worden wäre. Aufgabe 7 (Ungewichtetes und gewichtetes arithmetisches Mittel) Der Obsthändler M. kauft am selben Tag auf einem Großmarkt von verschiedenen Großhändlern Orangen ein. Die betreffenden Mengen und Preise ergeben sich aus der folgenden Tabelle: Großhändler 1 3 Menge (kg) Preis ( /kg) 1 1,15 1,30 a) Berechnen Sie das ungewichtete arithmetische Mittel der Preise sowie die ungewichtete Varianz, Standardabweichung und den Variationskoeffizienten. b) Berechnen Sie das mit den relativen Mengen gewichtete arithmetische Mittel der Preise sowie die gewichtete Varianz, Standardabweichung und den Variationskoeffizienten. Aufgabe 8 (Gruppenmittelwerte und Gruppenvarianzen) Das Einzelhandelsunternehmen F betreibt in den Ländern Hessen, Thüringen und Sachsen jeweils eine Zahl von Filialen. Die landesspezifischen Filialzahlen, arithmetischen Mittel der Filialumsätze des letzten Monats und deren Standardabweichungen ergeben sich aus der folgenden Tabelle: Bundesland Filialzahl Arithmetisches Mittel der Filialumsätze des letzten Monats Standardabweichung der Filialumsätze des letzten Monats Hessen 10 x H = 150 s H = 10 Thüringen 7 x T = 100 s T = 8 Sachsen 3 x S = 50 s S = 6 Berechnen Sie das arithmetische Mittel der Filialumsätze bezogen auf alle Filialen ( x ) und die betreffende Standardabweichung (s).

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