Technische Universität München SS 2006 Zentrum Mathematik Blatt 1 Prof. Dr. J. Hartl

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Gerrit Raske
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1 Technische Universität München SS 006 Zentrum Mathematik Blatt Prof. Dr. J. Hartl Höhere Mathematik (Weihenstephan). Die Gemeinde Fronhausen besteht aus drei Ortsteilen: Neudorf, Wulling und Marking. Neudorf hat 400 Einwohner, Wulling 600 Einwohner, Marking 5000 Einwohner. In Neudorf gelten nach der amtlichen Statistik 0 Prozent der Einwohner als arm, in Wulling 5 Prozent der Einwohner und in Marking 8 Prozent. Wieviele Prozent der Einwohner von Fronhausen gelten nach der amtlichen Statistik als arm? Da wir in der Vorlesung keine Formel kennengelernt haben, die auf genau diese Aufgabenstellung passt, müssen wir uns für diesen speziellen Fall die Lösung überlegen, und wir tun gut daran, nicht nur einen Zahlenwert als Lösung dieser speziellen Aufgabe anzugeben, sondern eine Formel anzugeben, die wir für analoge Aufgaben wieder verwenden können. Wir suchen zunächst die Anzahl der Einwohner von Fronhausen und die Anzahl der Einwohner von Fronhausen, die als arm gelten. Daraus können wir die gesuchte Prozentzahl berechnen. Anzahl der Einwohner von Fronhausen: Als arm gelten: 400 0% % % Das sind oder 400 0% % % % 0, % 7, 7% % 7, 7% Also gelten 7,7 % der Einwohner von Fronhausen nach der amtlichen Statistik als arm. Den Prozentsatz der Einwohner der Gemeinde, die als arm gelten, erhält man aus den Prozentsätzen der Einwohner, die in jeweils einem Ortsteil als arm gelten, indem man daraus das gewogene arithmetische Mittel bildet. Gewicht

2 ist jeweils das Verhältnis: Einwohnerzahl des Ortsteils : Einwohnerzahl der Gemeinde oder kürzer: Die Einwohnerzahl des Ortsteils.. Im folgenden sei ein kartesisches Koordinatensystem im dreidimensionalen euklidischen Raum zugrundegelegt. Sind Objekte M i der Massen m i mit den Schwerpunkten s i gegeben (i,,..., n), so ist der Schwerpunkt s des Systems, das aus diesen Objekten besteht, gegeben durch s i m i s i n i m. i Der Schwerpunkt s des Gesamtsystems ist also das gewogene arithmetische Mittel aus den Schwerpunkten der einzelnen Objekte, wobei als Gewichte die Massen der einzelnen Objekte auftreten. a) Die drei Ecken a, b, c eines Dreiecks seien jeweils mit der Masse m belegt. Man gebe den Schwerpunkt s des Dreiecks an. b) Die drei Seiten a, b, c eines Dreiecks, die den drei Ecken a, b, c gegenüberliegen, seien jeweils auf ihrer ganzen Länge gleichmäßig mit Masse belegt. (Das Dreieck sei z.b. aus homogenen Stäben gleicher Dicke gefertigt.) Man ermittle den Schwerpunkt des Dreiecks. c) Die drei Seiten a, b, c eines Dreiecks aus b) haben die Längen a 3, b 4, c 5. Man ermittle den Schwerpunkt des Dreiecks. s i m i s i i m i a) Ecken a, b, c eines Dreiecks jeweils mit der Masse m belegt: s m a + m b + m c m + m + m 3 ( a + b + c) b) Seiten a, b, c eines Dreiecks, die den Ecken a, b, c gegenüberliegen, jeweils gleichmäßig mit Masse belegt. Masse pro Längeneinheit sei k. Dann hat man Seite Schwerpunkt ( Mittelpunkt) belegt mit der Masse a ( b + c) c b k b ( c + a) a c k c ( a + b) b a k

3 Der Schwerpunkt s des Dreiecks ist dann nach Angabe in der Aufgabenstellung: s c b k ( b + c) + a c k ( c + a) + b a k ( a + b) c b k + a c k + b a k c b ( b + c) + a c ( c + a) + b a ( a + b) c b + a c + b a a ( a c + b a ) + b ( c b + b a ) + c ( c b + a c ) ( c b + a c + b a ) Der Schwerpunkt eines Dreiecks, dessen Seiten gleichmäßig mit Masse belegt sind, ist das gewogene arithmetische Mittel aus den Ecken des Dreiecks. Gewicht jeder Ecke ist die Summe der Längen der beiden Seiten, auf denen die Ecke liegt, geteilt durch den doppelten Dreiecksumfang. Bezeichnet man die Längen der Seiten a, b, c mit denselben Buchstaben a, b, c, so erhält man kurz: c) a 3, b 4, c 5 s a (b + c) + b (c + a) + c (a + b) (a + b + c) s 9 a + 8 b + 7 c ( ) 4 (9 a + 8 b + 7 c) 3. Ein Autofahrer fährt mit einer Geschwindigkeit von zunächst 60 km/h nach Hause. Nach 40 Minuten kommt er in einen Stau. Die nächste Stunde kann er nur mit Schrittgeschwindigkeit, d.h. mit 5 km/h fahren. Nachdem er noch 0 Minuten mit 60 km/h gefahren ist, kommt er zu Hause an. Welche Durchschnittsgeschwindigkeit hat er dabei erreicht? Eine ähnliches aber nicht ganz so allgemeines Beispiel wurde in der Vorlesung behandelt. Wir können ähnlich vorgehen wie in der Vorlesung: Wir gehen aus von der Formel: Geschwindigkeit Weg Zeit Gesamtzeit h + h h h 3

4 Gesamtweg: Durchschnittsgeschwindigkeit: 60 km h h + 5km h h + 60km h 0 60 h 60 km 40h + 5 km h + 60 km 0 h 60 h h h h + h h 65km h 3, 5km h Der Autofahrer hat eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 3,5 km h erreicht. Diese Durchschnittsgeschwindigkeit errechnet sich als gewogenes arithmetisches Mittel aus den Durchschnittsgeschwindigkeiten der einzelnen Zeitintervalle. Gewicht bei jeder Durchschnittsgeschwindigkeit über ein Zeitintervall ist das Verhältnis der Länge dieses Zeitintervalls zur gesamten Fahrzeit. Kürzer: Gewicht bei jeder Durchschnittsgeschwindigkeit ist der Zeitanteil an der Fahrzeit. 4. Ein Autofahrer fährt mit einer Geschwindigkeit von zunächst 60 km/h nach Hause. Nach 0 Kilometern kommt er in einen 0 Kilometer langen Stau, den er nur mit Schrittgeschwindigkeit, d.h. mit 5 km/h durchfahren kann. Die restlichen 30 Kilometer fährt er mit 90 km/h. Welche Durchschnittsgeschwindigkeit hat er dabei erreicht? Eine ähnliches aber nicht ganz so allgemeines Beispiel wurde in der Vorlesung behandelt. Wir können ähnlich vorgehen wie in der Vorlesung: Wir gehen aus von der Formel: Geschwindigkeit Weg Zeit Gesamtweg 0 km + 0 km + 30 km Gesamtzeit: 0km 60 km h + 0km 5 km h + 30km 90 km h Durchschnittsgeschwindigkeit: 0km + 0km + 30km 0km 60 km h 60 km h km 5 km h + 30km 90 km h km h 80 8 km h, 5km h 4

5 Der Autofahrer hat eine Durchschnittsgeschwindigkeit von,5 km erreicht. h Diese Durchschnittsgeschwindigkeit errechnet sich als gewogenes harmonisches Mittel aus den Durchschnittsgeschwindigkeiten auf den einzelnen zurückgelegten Wegstrecken. Gewicht bei jeder Durchschnittsgeschwindigkeit über eine Wegstrecke ist das Verhältnis der Länge dieser Wegstrecke zur Länge des Gesamtweges. Kürzer: Gewicht bei jeder Durchschnittsgeschwindigkeit ist der Weganteil am Gesamtweg. 5

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