Sachaufgaben - Lösungen

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1 Sachaufgaben - Lösungen Aufgabe ) Wenn wir mit s und h die Anzahlen der Schafe bzw. Hühner bezeichnen, dann gilt nach Aufgabenstellung () 4 s + h = 00, [denn jedes Schaf hat 4 Füße und jedes Huhn hat Füße und sie hatten zusammen 00 Füße () s + h > 0, [denn jedes Schaf und jedes Huhn hat Augen und sie hatten zusammen mehr als 0 Augen () s > 4 h, [denn es waren mehr als viermal so viele Schafe wie Hühner Aus () folgt 4 s = 00 - h, [Subtraktion von h auf beiden Seiten und hieraus (4) s = - h, [Division durch 4 auf beiden Seiten Da s eine natürliche Zahl ist, folgt aus (4), dass h eine gerade Zahl sein muss. Nun untersuchen wir bei allen Zahlenpaaren (s; h), die (4) erfüllen, ob sie auch die edingungen () und () erfüllen. Hierfür ist folgende Tabelle geeignet: () s > 4 h () s + h > 0 h s (= - h) 4 h erfüllt? s + h erfüllt? ( - =) 4 8 ja ( =) ja 4 ( - =) ja (4 + 8 =) 4 ja ( - =) 4 nein Da bei einer Vergrößerung von h die Zahl s stets kleiner wird, kann die edingung () für h > erst recht nicht erfüllt sein. Folglich kann die Anzahl der Schafe und der Hühner aus den Angaben nicht eindeutig ermittelt werden. Dass die Zahlenpaare (4; ) und (; 4) die edingungen () und () erfüllen, wurde bereits gezeigt. Nun muss noch gezeigt werden, dass auch edingung () erfüllt ist. Tatsächlich gilt = = 00 und = = 00. Daher gibt es die folgenden beiden Lösungen: (4 Schafe und Hühner) oder ( Schafe und 4 Hühner). Aufgabe ) ezeichnet man mit k die (in angegebenen) Kosten des Zauns und mit p den (in angegebenen) Preis für Meter Zaun, dann gilt nach Aufgabenstellung k = und p =. Hieraus folgt, dass der Zaun ( : =) 04 Meter (m) lang ist. ezeichnet man die Länge der kürzeren Seite des Rechtecks mit a, dann beträgt die Länge der längeren Seite nach Aufgabenstellung a, wobei a in Metern (m) angegeben wird. Für den Umfang u des rechteckigen Grundstücks gilt dann u = ( a + a) = a. Da die Länge des benötigten Zauns gleich diesem Umfang ist, gilt a = 04, also a = 84. Für den Flächeninhalt A eines Rechtecks mit den Seitenlängen a und a gilt daher A = ( a) a = 8 84 = 4 (gemessen in m²). Da Hektar gleich (00² =) 0000 m² sind, beträgt die Fläche des Grundstücks genau,4 Hektar. Auf zwei Stellen hinter dem Komma gerundet sind dies,4 Hektar. Aufgabe ) Die beiden Eichhörnchen mögen x Nüsse gesammelt haben. Dann haben sie im Winter 4 x Nüsse gefressen und wegen - 4 = 4 blieb ein Rest von 4 x Nüssen. Zwei Drittel davon haben andere Eichhörnchen gefressen. Wegen = 4 waren dies x Nüsse. - -

2 Aus = Da 9 0 folgt, dass jetzt noch ein Rest von x Nüssen verbleibt. dieses Restes verfaulen und 9 = gilt, sind x Nüsse verfault Da die Summe von x, x, x und den Nüssen, aus denen neue Nussbäume wuchsen, 4 40 die Gesamtzahl der Nüsse ergibt, erhält man die Gleichung x + x + x + = x Durch Umformen folgt x + = x, 9 0 x + = x, also x = 40. Die beiden Eichhörnchen haben 40 Walnüsse gesammelt. Probe: von 40 Walnüssen sind 80 Walnüsse; der Rest beträgt (40-80 =) 0 Walnüsse. von 0 Walnüssen sind 40 Walnüsse; der Rest beträgt (0-40 =) 0 Walnüsse. von 0 Walnüssen sind 8 Walnüsse, der Rest beträgt (0-8 =) Walnüsse. Aufgabe 4) Eine Elle Tuch kostete beim Einkauf 7 Taler. Angenommen, es wurden x Ellen Tuch gekauft, dann wurden dafür 7 x Taler bezahlt. Wenn diese x Ellen Tuch für 7 Taler weiter verkauft wurden, dann betrug der Erlös x Taler. 7 Da der Gewinn 00 Taler betrug, gilt 7 7 x Durch beidseitige Multiplikation mit 7 folgt hieraus x = 49x + 00, durch Subtraktion von 49x folgt hieraus x = 00, durch Division durch folgt hieraus x = 00 Hieraus folgt, dass 8 Ellen Tuch gekauft und wieder verkauft wurden. = 70 = 8. Anderer Lösungsweg: Eine Elle Tuch kostete beim Einkauf 7 Taler, beim anschließenden Verkauf 7 Taler. Folglich wurde bei diesem Handel pro Elle Tuch ein Gewinn von ( 7 Talern erzielt. Wegen 00 : Aufgabe ) = 8 wurden daher 8-7 =) Ellen Tuch gekauft und wieder verkauft. Wir bezeichnen den Punkt, an dem sich das Zugende um.00 Uhr befindet mit E, den Anfang des Tunnels (an dem sich der Zuganfang um.00 Uhr befindet) mit T, das Tunnelende mit T und die lockstelle mit. Dann gilt nach Aufgabenstellung ET = 0, km, TT =, km und T=, km. Wir bezeichnen den Punkt, an dem sich der Zuganfang nach 4 min befindet, mit A. - -

3 Dann gilt TA =, km + 0, km = km und A = T - TA =, km - 0, km = km und T = TA + A = km + km = 7 km. Da der Zug für die km lange Strecke TA genau 4 min benötigt, und da der Zug mit gleich bleibender Geschwindigkeit fährt, braucht er für die 7 km lange Strecke T genau [(4min : km) 7km =] 4 min. Folglich erreichte der Zug, der um.00 Uhr in den Tunnel einfuhr, um.4 Uhr die lockstelle..00 Uhr 4 min,04 Uhr? min Uhr E E E Zug Tunnel 0, km. km, km T T T T Tunnel Zug Tunnel, km T T A, km 0, km? km A Zug 0, km Aufgabe ) Das Alter der Personen lässt sich nicht eindeutig ermitteln. Wie eine Probe bestätigt, gibt es (mindestens) folgende zwei verschiedene Altersangaben, welche die edingungen (a) bis (f) erfüllen. Name der Person Anna enjamin Carsten Dorothee Eva Alter des Kindes,. Lös Alter des Kindes,. Lös. 8 Probe: (a) Jede Person hat ein anderes Alter. (b) = und = 8. (c) 7 und sind Primzahlen; < 7 < 9 und 8 < <. (d) 9 = ( + ) und = ( + 8). (e) ist der Nachfolger der Primzahl und 8 ist der Nachfolger der Primzahl 7. (f) 0 = und = ; < 0 < und 8 < <. Aufgabe 7) a) Nach Aufgabenstellung fährt der Traktor um Uhr mit einer Geschwindigkeit von 0 km/h von ab. Folglich hat er um 7 Uhr bereits eine Strecke von 0 km zurückgelegt. Da A und genau km voneinander entfernt sind, ist der Traktor um 7 Uhr genau km von A entfernt. Wir bezeichnen mit T den Treffpunkt und mit t die (in Stunden gemessene) Zeit von 7 Uhr bis zum Zeitpunkt der Überholung. Wegen der gegebenen Geschwindigkeiten muss der Radfahrer von A bis T genau t km fahren, und der Traktor muss von nach T noch 0 t km fahren. Daher gilt die Gleichung t = + 0 t, woraus t =, also t = folgt. Folglich treffen der Radfahrer und der Traktor einander um 0 Uhr. Da der Radfahrer den Weg von A bis T mit einer Geschwindigkeit von km/h in Stunden zurücklegt, ist T von A genau ( =) 4 km entfernt. - -

4 Da von A km entfernt ist und da auf dem Weg von A nach T liegt, ist der Treffpunkt T von der Gemeinde genau (4 - =) 40 km entfernt. b) Nach Aufgabenstellung legt der Radfahrer km in 0 Minuten, also 0 km in 40 Minuten zurück, und der Traktor legt 0 km in 0 Minuten zurück. Folglich hat der Radfahrer im Vergleich zum Traktor nach 0 km einen Zeitvorsprung von (0-40 =) 0 Minuten. Folglich hat der Radfahrer vom Treffpunkt T an gerechnet nach 0 km einen Zeitvorsprung von 40 Minuten. Da der Radfahrer nach Aufgabenstellung genau 40 Minuten früher in der Stadt C ankommt als der Traktor, ist die Stadt C vom Treffpunkt T genau 0 km entfernt. Wie in Teil a) gezeigt wurde, ist T von der Gemeinde genau 40 km entfernt. Folglich ist die Gemeinde genau ( =) 0 km von der Stadt C entfernt. Aufgabe 8) a) Der Vater schafft in einer Stunde der gesamten Arbeit. Wenn Max und Philipp zusammen die Arbeit in x Stunden schaffen würden, dann würden sie in einer Stunde x der gesamten Arbeit schaffen. Alle drei zusammen würden also in einer Stunde ( + ) der Arbeit schaffen. x Da sie andererseits alle drei die Arbeit in Stunden schaffen würden, gilt + =, also = - = 7 und daher x = 0. x x 0 7 Max und Philipp würden daher die Arbeit zusammen ohne ihren Vater in ( 0 7 =) Stunden schaffen. b) Aus dem in a) Gezeigten folgt auch: In jeder Stunde schafft Max und auch Philipp ( x =) 7 0 In Stunden hat Max daher Für den Vater verbleiben daher noch ( der gesamten Arbeit. 7 7 der Arbeit geschafft, Philipp in 4 Stunden 0 0 = Dafür braucht er wegen 0 : = 9 = 7 4 insgesamt 7 4 also noch (7 4-4 = 4 =) Stunden und 48 Minuten. = 9 0 =) 0 der Arbeit. der Arbeit. Stunden, nach Weggang von Philipp Aufgabe 9) Sei s die Länge der Wegstrecke AE von Adorf bis Ermsleben; seien s und s die Länge der Wegstrecke AT von A bis zum Treffpunkt T bzw. die Länge von TE ; seien v und v die Geschwindigkeit von Gerd auf der Wegstrecke AT bzw. TE ; seien t, t und t die Zeit, die für das Zurücklegen der Wegstrecke AT, TE bzw. AE benötigt wurde. Dann gilt laut Aufgabenstellung: Geg.: s = AE = 0 km; v = km/h; v = 40 km/h; t =, h. Ges.: s = AT = x km

5 Aus v = km/h und s = x km folgt t = x h; [weil s = v t Aus t =, h und t = x h folgt t = (, - x ) h; [weil t + t = t Aus v = 40 km/h und t = (, - x ) h folgt s = 40(, - x ) km, also s = (0-8x) km; [weil s = v t Aus s = 0 km und s = (0-8x) km folgt s = (8x - 0) km; [weil s = s - s Wegen s = x km gilt daher x = 8x - 0, also 7x = 0 und daher x = 0 7. Folglich hat Gerd 4 7 Kilometer zu Fuß zurückgelegt. Aufgabe 0) Sei s bzw. s der vom LKW bzw. vom PKW mit der Geschwindigkeit v bzw. v in der Zeit t bzw. t zurückgelegte Gesamtweg. Nach Aufgabenstellung gilt dann s = s = s. Geg.: t = 8 (in h); 0 Ges.: v, v (in km/h); s (in km ). Es gilt () v = v + ; [laut Aufgabenstellung Es Es gilt () t = t - = 0 ; [laut Aufgabenstellung; Einsetzen des geg. t gilt () s = 8 v ; [weil s = v t, falls v konstant 0 (), () (4) s = (v + ); [weil s = v t; Einsetzen 0 (), (4) () 8 v = (v + ); [weil s = s nach Aufgabenstellung 0 0 7v = + v ; v = 7; () v = 4 = 4,8; [Umformen (), () () v = 70,8; [Einsetzen (), () (7) s = 8 4,8 = 4,9; [Einsetzen 0 Folglich gilt: Der LKW fuhr mit einer Geschwindigkeit von 4,8 km/h, der PKW mit einer Geschwindigkeit von 70,8 km/h, und die gemeinsam durchfahrene Wegstrecke bis zum Überholpunkt war rund 4,9 km lang. Aufgabe ) Geg.: V = m³ = 000 l; (Gesamtvolumen) P = 70 l/min; (Leistung der. Pumpe) P = 00 l/min; (Leistung der. Pumpe) Die. Pumpe fällt 0 min aus; die. Pumpe beginnt 0 min später. Ges.: t = x min; (Zeit, nach der der Teich leer gepumpt ist). Wir bezeichnen mit t bzw. t die Zeit, die die. Pumpe bzw. die. Pumpe arbeitet und mit V bzw. V das zugehörige geförderte Wasservolumen. Dann gilt: - -

6 () t = x - 0; [die. Pumpe hat 0 min Ausfall () t = x - 0; [die. Pumpe beginnt 0 min später () () V = 70(x - 0); [weil V = P t () (4) V = 00(x - 0); [weil V = P t (), 4) () 70(x - 0) + 00(x - 0) = 000 [weil V + V = V 70x x = 000 [Zusammenfassen 0x - 00 = x = 700 : 0 x = Der Feuerlöschteich ist nach Minuten leer gepumpt. Aufgabe ) Geg.: t = 4 (in h); etriebsdauer der.pumpe (von 7.00 bis.00 Uhr); t = (in h); etriebsdauer der.pumpe (von 8.00 bis.00 Uhr); A = 0 (in m³); Gesamtarbeit der beiden Pumpen; P : P = : ; Verhältnis der Leistungen der beiden Pumpen. Ges.: P = x (in m /h); Leistung der.pumpe; P Leistung der.pumpe. Aus P : N P = : und P = x folgt P = x. Stets gilt A = P t ; [eziehung zwischen Arbeit, Leistung und Zeit Folglich gilt A = 4x und A = x. Wegen A = A + A ; [Gesamtarbeit gleich Summe der Teilarbeiten] gilt daher 4x + x = 0, also 0x = 0 und daher x = und x = 0. Folglich hat die. Pumpe eine Leistung von m³/h und die. Pumpe eine Leistung von 0 m³/h. Aufgabe ) Die Namen der Cowboys werden mit, J, G, A, F und T abgekürzt. On, Ne, Sch und Tä bezeichnen den Onkel, den Neffen, den Schlafenden bzw. den Täter. Die Plätze werden nummeriert. On = bedeute, dass der Onkel auf Platz sitzt. Wir nehmen an, dass G auf Platz sitzt (siehe Abbildung). I. Wir nehmen an, dass es eine Zuordnung zwischen den Personen und den Plätzen gibt, welche die edingungen (a) bis (f) erfüllt. Dann gilt: Aus G = und edingung (c) folgt () On = und Ne = 4. Aus (f) und () folgt Tä und Tä 4. Aus (d) und () folgt Tä und Tä und Tä. Folglich gilt (als letzte Möglichkeit) () Tä =. Wegen (d) liegt Sch zwischen En und On, aus () folgt daher () Sch =. Aus (e) und () folgt, dass der Mann rechts von F links von X und daher auf Platz sitzt. Da Platz rechts von Platz 4 liegt und () gilt, folgt (4) Ne = F = 4. Aus (b) und () folgt T, da der Platz bereits besetzt ist. Aus (b) folgt dann, weil Platz gegenüber von Platz liegt. Da G und F die gegenüber liegenden Plätze und 4 einnehmen, kann nur noch = oder = gelten. Aus (a) und (c) folgt, weil anderenfalls entweder G oder den Schlafenden um eine Zigarette bitten müsste. Folglich gilt () = und T =. - - Neffe F 4 G Onkel

7 Aus (a) folgt A Sch und aus () folgt dann A. Da wegen G =, (4) und () außer Platz alle anderen Plätze besetzt sind, kann nur A = gelten. Wegen () folgt hieraus () Tä = A. Da G =, T =, F = 4, = und A = gilt, verbleibt als letzte Möglichkeit J =. Wegen (9) folgt hieraus (7) Sch = J. Damit ist gezeigt: Wenn es zwei geforderte Zuordnungen gibt, welche die edingungen (a) bis (f) erfüllen, dann können dies nur die in () und (7) angegebenen Zuordnungen sein. II. ei Verwendung der nebenstehend angegebenen Abbildung kann man leicht nachweisen, dass die Zuordnungen () und (7) tatsächlich alle gegebenen edingungen erfüllen, d.h. dass in keiner der edingungen (a) bis (f) eine Teilbedingung enthalten ist, die in der oben angegebenen Herleitung nicht verwendet wurde und die von () oder (7) nicht erfüllt wird. Aus I. und II. folgt: Aus den Angaben (a) bis (f) lässt sich eindeutig ermitteln, dass Allen der Täter und John der Schlafende ist. Hinweise: Würde man die Aufgabe abändern, indem man die edingung (f) ersetzen würde durch (f*) Der Täter hat keine Verwandten am Tisch und sitzt nicht neben George., dann hätte diese Aufgabe keine Lösung, weil die (einzig mögliche ) Lösung () die edingung (f*) nicht erfüllt. Würde man die Aufgabe abändern, indem man die Aufforderung Untersuche ob sich... eindeutig ermitteln lässt... ersetzen würde durch die Aufforderung Ermittle den Namen des Täters und den Namen des Schlafenden, dann wäre die in Teil II. durchgeführte Probe (zwar sehr nützlich, aus logischer Sicht aber) nicht erforderlich, weil diesem Aufgabentext zu entnehmen ist, dass es genau eine Lösung gibt. ei den Aufforderungen Weise nach, dass sich... eindeutig ermitteln lässt... oder Ermittle alle Lösungen, welche die folgenden edingungen erfüllen... darf man den in II. geführten Nachweis nie weglassen. Täter A Neffe F 4 G J Schlafender Onkel T - 7 -