Prüfungsnummer «Kan_Nr» «Name» «Vorname» Punkte: Note:

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1 MATHEMATIK - Teil A Prüfungsnummer «Kan_Nr» «Name» «Vorname» Punkte: Note: Aufnahmeprüfung 2012 Pädagogische Maturitätsschule Kreuzlingen Zur Verfügung stehende Zeit: 45 Minuten. Die Lösungsgedanken und einzelnen Schritte müssen sauber, übersichtlich und mathematisch korrekt dargestellt werden. Hilfsmittel: Keine. Gewöhnliche Brüche müssen in den Resultaten stets gekürzt sein. Dezimalbrüche sind der Aufgabe entsprechend sinnvoll zu runden. Wir wünschen Dir viel Erfolg! Aufgabe 1 a) Sind die folgenden Aussagen/Gleichungen richtig oder falsch? i. 2! = 2! =! =! = 1.5 richtig (0.5)!!!! falsch iii. 0.1 dm! = 10! 000 mm! richtig (0.5) falsch iv.

2 Aufgabe 1 iii. a b a + b = 0 richtig (0.5) falsch b) Bei den folgenden Gleichungen ist die Lösungsmenge (sind die Lösungen) zu bestimmen für den Fall a =! und b = 2:! i. a! =!! 2 (1)! vi.! ii. vii.!!! =!!!! +!!!! (1.5) AP 2012 Mathematik Teil A «Name» «Vorname» S.2/7

3 Aufgabe 2 a) Welche natürlichen Zahlen (ohne Null) erfüllen die folgenden Bedingungen? i. Das Doppelte der Zahl ist höchstens zwanzig. (1) ii. Die um drei verkleinerte Zahl beträgt höchstens die Hälfte der Zahl. (1.5) iii. AP 2012 Mathematik Teil A «Name» «Vorname» S.3/7

4 Aufgabe 2 b) Für ein Fest kommen die drei Lokale A, B und C in Frage. Die folgende Tabelle zeigt die Kosten in Schweizer Franken: Lokal A B C Essen pro Person Raummiete Musikanlage Berechne mit Hilfe einer Gleichung oder Ungleichung, ab welcher Teilnehmerzahl Lokal B günstiger als Lokal A ist. (1.5) Aufgabe 3 Vereinfache soweit als möglich. a) 2a + 1 [a a 2 a a (a + 2)] (1) i. AP 2012 Mathematik Teil A «Name» «Vorname» S.4/7

5 Aufgabe 3 b)!!!!!!!!!! (1) c)!!!!!! +!!!!! (2)!!!!"!"!!!!!!!!!! i. AP 2012 Mathematik Teil A «Name» «Vorname» S.5/7

6 Aufgabe 4 Gianna und Herbert haben zwei Spielwürfel. Damit haben sie sich ein Spiel mit folgenden Regeln ausgedacht: Zeigt ein Würfel eine gerade und der andere eine ungerade Zahl, gibt es keine Punkte. Zeigen beide Würfel eine ungerade oder beide eine gerade Zahl, bekommt man die Summe der beiden Zahlen gutgeschrieben. Wenn beide Würfel dabei dieselbe Zahl zeigen, so gibt es doppelt so viele Punkte, wie die Summe der beiden Zahlen ausmacht. a) Der Tabelle kannst du die Würfe der ersten fünf Runden entnehmen. Wie ist der Punktestand nach 5 Runden? (2) AP 2012 Mathematik Teil A «Name» «Vorname» S.6/7

7 Aufgabe 4 b) Sie beginnen ein neues Spiel. In der 1. Runde erreicht Gianna 8 Punkte mehr als Herbert. Welche zwei Zahlen hat Gianna in dieser Runde gewürfelt? Nenne 4 verschiedene Möglichkeiten. (2) 1. Möglichkeit Gianna 2. Möglichkeit 3. Möglichkeit 4. Möglichkeit AP 2012 Mathematik Teil A «Name» «Vorname» S.7/7

8 MATHEMATIK - Teil B Prüfungsnummer «Kan_Nr» «Name» «Vorname» Punkte: Note: Aufnahmeprüfung 2012 Pädagogische Maturitätsschule Kreuzlingen Zur Verfügung stehende Zeit: 45 Minuten. Die Lösungsgedanken und einzelnen Schritte müssen sauber, übersichtlich und mathematisch korrekt dargestellt werden. Hilfsmittel: Nicht-programmierbarer Taschenrechner erlaubt, nicht aber Formelsammlungen usw. Gewöhnliche Brüche müssen in den Resultaten stets gekürzt sein. Dezimalbrüche sind der Aufgabe entsprechend sinnvoll zu runden. Wir wünschen Dir viel Erfolg! Aufgabe 1 a) Wie viel wiegt der in einem Zimmer von 4,5 m Länge, 4 m Breite und 3,5 m Höhe enthaltene Sauerstoff und der Stickstoff, wenn das Gewicht von 1 l Luft 1,3 g beträgt und das Gewichtsverhältnis von Sauerstoff zu Stickstoff den Wert 24 : 76 hat? (2)

9 Aufgabe 1 b) Ein Bergwanderer beginnt am Samstag um 14 Uhr seinen fünfstündigen Aufstieg zu einer 20 km entfernten Berghütte. Er legt diesen Weg mit einem gleichmässigen Tempo zurück. Am Sonntag beginnt er um 15 Uhr seinen Abstieg und kommt um 19 Uhr wieder im Tal an. Er wandert auf demselben Weg wie am Vortag und legt diesen gleichmässig schnell laufend zurück. Zu welcher Uhrzeit ist der Wanderer an beiden Tagen am selben Ort? (2) AP 2012 Mathematik Teil B «Name» «Vorname» S.2/8

10 Aufgabe 2 a) In einem Gefäss werden Flüssigkeiten gemischt: 20 ml der Flüssigkeit A, 70 ml der Flüssigkeit B und 70 ml der Flüssigkeit C. Wie gross ist er prozentuale Anteil der Flüssigkeit A des Gemisches? (1) b) Wie viel ml Wasser muss man dazugeben, damit die Flüssigkeit C im Gesamtgemisch einen prozentualen Anteil von 40% hat? (1) AP 2012 Mathematik Teil B «Name» «Vorname» S.3/8

11 Aufgabe 2 c) Vom ursprünglichen Gemisch aus Teilaufgabe a) entfernt man 40 ml. Dem zurückgebliebenen Gemisch werden 55 ml der Flüssigkeit B untergemischt. Welchen prozentualen Anteil hat dann die Flüssigkeit C? (1) d) 10 ml der Flüssigkeit A kostet 2 Fr., Flüssigkeit B ist 15% teurer. Das ursprüngliche Gemisch aus Teilaufgabe a) kostet insgesamt 32,98 Fr.. Um wie viel Prozent ist Flüssigkeit C billiger als Flüssigkeit A? (1) AP 2012 Mathematik Teil B «Name» «Vorname» S.4/8

12 Aufgabe 3 Konstruiere in die unten stehende Frontansicht der 3 Räder den Keilriemen des Motors, wie die Skizze rechts zeigt. Das kleinste (schwarze) Rad kann als Punkt P betrachtet werden. (4) AP 2012 Mathematik Teil B «Name» «Vorname» S.5/8

13 Aufgabe 4 Ein Bauer fährt mit seinem Traktor aufs Feld. a) Wenn der Traktor mit 18 km/h fährt, dreht sich das Hinterrad 53 mal in der Minute. Wie gross ist der Umfang des Rades? (1) b) Das Vorderrad des Traktors habe einen Durchmesser von 55 cm. Wieviel mal dreht es sich pro Minute bei der Fahrt in a)? (Runde auf zwei Nachkommastellen) (1) AP 2012 Mathematik Teil B «Name» «Vorname» S.6/8

14 Aufgabe 4 c) Betrachtet man das Vorderrad von der Seite, beträgt die Dicke des Reifens 1/5 des Durchmessers (in der Skizze bezeichnet mit x ). Berechne die sichtbare Seitenfläche des Reifens (schraffierte Fläche). (1) Der Bauer pflügt nun einen 140 m langen und 95 m breiten Acker. Der Pflug gräbt dabei eine Bahn von 2,5 m Breite um. d) Während der ersten 40 Minuten fährt der Bauer mit 5,1 km/h. Wie schnell muss der Bauer für den Rest der Arbeit fahren, wenn er den Acker in insgesamt einer Stunde fertig gepflügt haben muss? (Die Zeit und die Strecke für das Wenden an den Enden der Bahnen soll vernächlässigt - d.h. nicht beachtet - werden) (1) AP 2012 Mathematik Teil B «Name» «Vorname» S.7/8

15 AP 2012 Mathematik Teil B «Name» «Vorname» S.8/8

16 MATHEMATIK - Teil A Lösungen Prüfungsnummer 001 Muster Peter Aufnahmeprüfung 2012 Pädagogische Maturitätsschule Kreuzlingen Aufgabe 1 a) Richtig oder falsch? i. 2! = 2! =! =! = 1.5!!!! falsch ii. 0.1 dm! = 10! 000 mm! falsch iii. a b a + b = 0 richtig b) Bei den folgenden Gleichungen ist die Lösungsmenge zu bestimmen für den Fall a =! und b = 2:! i.!!!! = 2 2!!! = 0 x = 0 L = {0} ii.!! =!! +!! x =! x +! 3x = 3x = 1 L = {}!!!!!!!! Aufgabe 2 a) Welche natürlichen Zahlen (ohne Null) erfüllen die folgenden Bedingungen? i. Das Doppelte der Zahl ist höchstens zwanzig. 2x 20 x 10 L = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ii. Die um drei verkleinerte Zahl beträgt höchstens die Hälfte der Zahl x x 1 x 3 x 6 L = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 2 b) Für ein Fest kommen die drei Lokale A, B und C in Frage. Die folgende Tabelle zeigt die Kosten in Schweizer Franken: Lokal A B C Essen pro Person Raummiete Musikanlage Berechne mit Hilfe einer Gleichung oder Ungleichung, ab welcher Teilnehmerzahl Lokal B günstiger als Lokal A ist. 24x > 20x x > 20x x > 440 x > 110 Ab 111 Personen.

17 Aufgabe 3 Vereinfache soweit als möglich. a) 2a + 1 a a 2 a 4 a + 2 = 2a + 1 a a 2 a a a + 2 b)!!!!!!!!!! =!(!!!!)!(!!!!) = x = 2a + 1 a! 2a a! 2a + 4a + 8 = 2a = 16a + 8 c)!!!!!! +!!!!! =!!!!!! +!!!!! =!(!!!)!(!!!) +!!!!!!!!!"!"!!!!!!!!!!!(!!!)!(!!!)!"(!!!)!"(!!!)!"(!!!)!"(!!!) Aufgabe 4 =!"!!!!!!!!"!!!!!!!"(!!!) =!(!!!)!"(!!!) = y xz Gianna und Herbert haben zwei Spielwürfel. Damit haben sie sich ein Spiel mit folgenden Regeln ausgedacht: Zeigt ein Würfel eine gerade und der andere eine ungerade Zahl, gibt es keine Punkte. Zeigen beide Würfel eine ungerade oder beide eine gerade Zahl, bekommt man die Summe der beiden Zahlen gutgeschrieben. Wenn beide Würfel dabei dieselbe Zahl zeigen, so gibt es doppel so viele Punkte, wie die Summe der beiden Zahlen ausmacht. a) Der Tabelle kannst du die Würfe der ersten fünf Runden entnehmen. Wie ist der Punktestand nach 5 Runden? Total (Summe) Sie beginnen ein neues Spiel. In der 1. Runde erreicht Gianna 8 Punkte mehr als Herbert. Welche zwei Zahlen hat Gianna in dieser Runde gewürfelt? Nenne 4 Möglichkeiten. 8 oder mehr Punkte erreicht Gianna mit (Punkte jeweils in Klammer angegeben) und Herbert müsste entsprechend [ ] würfeln: 3/5 (8) [gerade/ungerade (0)], 2/6 (8) [gerade/ungerade (0)], 4/4 (16) [2/6 oder 3/5 (8)], 3/3 (12) [1/3 (4)], 2/2 (8) [gerade/ungerade (0)] 5/5 (20) [3/3 (12)], 6/6 (24) [4/4 (16)] AP 2012 Mathematik Teil A Muster Peter S.2/2

18 MATHEMATIK - Teil B Lösungen Prüfungsnummer 001 Muster Peter Aufnahmeprüfung 2012 Pädagogische Maturitätsschule Kreuzlingen Aufgabe 1 a) Wie viel wiegt der in einem Zimmer von 4,5 m Länge, 3,5 m Breite und 4 m Höhe enthaltene Sauerstoff und der Stickstoff, wenn das Gewicht von 1 l Luft 1,3 g beträgt und das Gewichtsverhältnis von Sauerstoff zu Stickstoff den Wert 24 : 76 hat? 4,5 3,5 4 = 63 m! 1l = 1dm! 63 m! = dm! = l l 1,3!! = g 81! 900g!"!"" = 62! 244g = 62, 244 kg Stickstoff g = 19, 656 kg Sauerstoff b) Ein Bergwanderer beginnt am Samstag um 14 Uhr seinen fünfstündigen Aufstieg zu einer 20 km entfernten Berghütte. Er legt diesen Weg mit einem gleichmässigen Tempo zurück. Am Sonntag beginnt er um 15 Uhr seinen Abstieg und kommt um 19 Uhr wieder im Tal an. Er wandert auf demselben Weg wie am Vortag und legt diesen gleichmässig schnell laufend zurück. Aufgabe 2 Zu welcher Uhrzeit ist der Wanderer an beiden Tagen am selben Ort? Sa 14h 5 Std/20 km v! =!"!"!! So 15h 19h v! =!"!" 4t + 5 t 1 = 20 4t = 25 5t t = 2! = 2 h 47 min!!! um 16:47h a) In einem Gefäss werden Flüssigkeiten gemischt: 20 ml der Flüssigkeit A, 70 ml der Flüssigkeit B und 70 ml der Flüssigkeit C. Wie gross ist er prozentuale Anteil der Flüssigkeit A des Gemisches? Gemisch: 20 ml + 70 ml + 70 ml = 160 ml 100 % Anteil A: 20 ml 12, 5 % b) Wie viel Milliliter Wasser muss man dazugeben, damit die Flüssigkeit C im Gesamtgemisch einen prozentualen Anteil von 40% hat? 70 ml 40 % 100 % 175 ml = 15 (ml) c) Vom ursprünglichen Gemisch aus Teilaufgabe a) entfernt man 40 ml. Dem zurückgebliebenen Gemisch werden 55 ml der Flüssigkeit B untergemischt. Welchen prozentualen Anteil hat dann die Flüssigkeit C? C hatte ursprünglich einen Anteil von 43.75%, also wurden mit den 40 ml 17,5 ml der Flüssigkeit C entleert. Folglich gibt es noch 52,5 ml im Gesamtgemisch. 120 ml + 55 ml = 175 ml 100 % 52,5 ml 30 % d) 10 ml der Flüssigkeit A kostet 2 Fr Flüssigkeit B ist 15% teurer. Das ursprüngliche Gemisch aus Teilaufgabe a) kostet insgesamt 32,98 Fr. Um wie viel Prozent ist Flüssigkeit C billiger als Flüssigkeit A? 2A + 7B + 7C = 32,98 Fr ,3 + 7C = 32,98 Fr. 10 ml C kosten 1,84 Fr. 2 Fr. 100 % 1,84 Fr 92 % C ist um 8% billiger.

19 Aufgabe 3 Konstruiere in die Frontansicht der 3 Räder den Keilriemen des Motors, wie die Skizze rechts zeigt. Das kleinste (schwarze) Rad kann als Punkt P betrachtet werden. 1. Kreismittelpunkte konstruieren. 2. Tangenten von P an K1 und K2. 3. Gemeinsame Tangente von K1 und K2. (4) AP 2012 Mathematik Teil B Muster Peter S.2/3

20 Aufgabe 4 Ein Bauer fährt mit seinem Traktor aufs Feld. a) Wenn der Traktor mit 18 km/h fährt, dreht sich das Hinterrad 53 mal in der Minute. Wie gross ist der Umfang des Rades? 18!" = 300!. 53 U 300 m 53 2rπ 300 m r = 0,9 m!!"# Umfang = 0,9 2 π m = 5, 66 m b) Das Vorderrad des Traktors habe einen Durchmesser von 55 cm. Wieviel mal dreht es sich pro Minute bei der Fahrt in a)? (Runde auf zwei Nachkommastellen) x 2rπ = 300 x 0.55π = 300 x = 173, 62 (Mal) c) Betrachtet man das Rad von der Seite (Skizze), beträgt die Dicke des Reifens (bezeichnet mit x ) 1/5 des Durchmessers. Berechne die sichtbare Seitenfläche des Reifens (schraffierte Fläche). d = 55 cm x = 11 cm A!"#$$%"!"#$% = 27,5! π = 2375,83 cm! A!"#$%#&!"#$% = 16,5! π = 855,3 cm! A!"!!"##$%!&%!"ä!!! = 2375,83 855,3 cm! = 1520, 53 cm 2 Der Bauer pflügt nun einen 140 m langen und 95 m breiten Acker. Der Pflug gräbt dabei eine Bahn von 2.5 m Breite um. d) Während den ersten 40 Minuten fährt der Bauer mit 5.1 km/h. Wie schnell muss der Bauer für den Rest der Arbeit fahren, wenn er den Acker in insgesamt einer Stunde fertig gepflügt haben muss? (Die Zeit und die Strecke für das Wenden an den Enden der Bahnen soll vernächlässigt - d.h. nicht beachtet - werden) B muss 95 : 2,5 = 38 Bahnen fahren. 38 Bahnen à 140 Meter 5320 m zu fahren 40! 3400m = 1920m müssen nach 40! Arbeit noch bearbeitet werden. 20! 1920m 60! 5760 m = 5.76 km Der Bauer muss mt 5,76 km/h fahren. AP 2012 Mathematik Teil B Muster Peter S.3/3